(整理)动力学分析基础.
(整理)大学无机及分析化学第三章化学动力学题附答案.
第三章化学动力学基础一判断题1.溶液中，反应物A 在t1时的浓度为c1，t2时的浓度为c2，则可以由(c1－c2 ) / (t1 - t2 ) 计算反应速率，当△t→ 0 时，则为平均速率。
......................................................................（）2.反应速率系数k的量纲为1 。
..........................（）3.反应2A + 2B → C，其速率方程式v = kc (A)[c (B)]2，则反应级数为3。
................（）4.任何情况下，化学反应的反应速率在数值上等于反应速率系数。
..........（）5.化学反应3A(aq) + B(aq) → 2C(aq) ，当其速率方程式中各物质浓度均为 1.0 mol·L-1时，其反应速率系数在数值上等于其反应速率。
......................................................................（）6.反应速率系数k越大，反应速率必定越大。
......（）7.对零级反应来说，反应速率与反应物浓度无关。
...........................................（）8.所有反应的速率都随时间而改变。
........................（）9.反应a A(aq) + b B(aq) → g G(aq) 的反应速率方程式为v = k [c(A)]a[ c(B)]b，则此反应一定是一步完成的简单反应。
........................（）10.可根据反应速率系数的单位来确定反应级数。
若k的单位是mol1-n·L n-1·s-1，则反应级数为n。
...............................（）11.反应物浓度增大，反应速率必定增大。
结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
动力学分析(很不错的)教材
动力学分析(很不错的)教材一、引言动力学分析是研究物体运动规律及其与外力、约束力之间关系的学科，是物理学、工程学等领域的基础课程。
通过学习动力学分析，我们可以深入理解物体运动的本质，掌握解决实际问题的方法，提高自身的综合素质。
为了帮助大家更好地学习动力学分析，我们编写了这本教材，希望对您有所帮助。
二、教材内容1. 运动学基础运动学是动力学分析的基础，主要研究物体运动的几何性质，如位移、速度、加速度等。
本部分内容将详细介绍运动学的基本概念、公式和定理，并通过实例讲解如何运用运动学知识解决实际问题。
2. 牛顿运动定律牛顿运动定律是动力学分析的核心内容，描述了物体受力与运动状态之间的关系。
本部分内容将详细介绍牛顿三定律，并通过实例讲解如何运用牛顿运动定律解决实际问题。
3. 动能定理与功动能定理和功是动力学分析中的重要概念，描述了物体在运动过程中能量的变化。
本部分内容将详细介绍动能定理、功的概念和公式，并通过实例讲解如何运用动能定理和功解决实际问题。
4. 动力学系统分析动力学系统分析是动力学分析的高级内容，主要研究多物体系统的运动规律。
本部分内容将详细介绍动力学系统分析的基本方法，如拉格朗日方程、哈密顿原理等，并通过实例讲解如何运用动力学系统分析方法解决实际问题。
5. 应用实例本部分内容将通过实例讲解动力学分析在实际工程、物理等领域中的应用，如车辆动力学、动力学等，帮助读者更好地理解动力学分析的实际意义。
三、教材特色1. 结构清晰，层次分明：本教材按照由浅入深的原则，将动力学分析的知识体系分为运动学基础、牛顿运动定律、动能定理与功、动力学系统分析等部分，使读者能够循序渐进地掌握动力学分析的知识。
2. 理论联系实际：本教材在讲解基本概念和定理的同时，注重与实际问题的结合，通过丰富的实例讲解如何运用动力学分析解决实际问题，提高读者的实践能力。
3. 语言通俗易懂：本教材采用简洁明了的语言，避免使用过于复杂的数学公式，使读者能够轻松理解动力学分析的基本原理。
机械系统的动力学分析与设计
机械系统的动力学分析与设计引言机械系统在现代工业中扮演着至关重要的角色，其动力学分析与设计对于提高机械设备的性能和效率至关重要。
本文将探讨机械系统的动力学原理及其在设计中的应用。
一、动力学基础1. 动力学简介动力学研究物体受力产生的运动，包括力的作用、质点运动和刚体的运动。
了解动力学基本概念和定律对于理解机械系统的运动行为至关重要。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了力与物体运动之间的关系。
公式 F=ma 表明力（F）等于物体质量（m）乘以加速度（a）。
这个定律在机械系统的分析和设计中起到了重要作用。
3. 动力学模型为了将机械系统的复杂动力学分析简化，我们可以建立数学模型。
这些模型一般基于质点或刚体的运动原理，通过力学和数学的知识建立起来。
常见的模型包括弹簧振子、单摆等。
二、机械系统的动力学分析1. 动力学方程为了描述机械系统的运动，我们需要建立动力学方程。
这个方程可以通过牛顿第二定律和能量守恒定律等原理推导而来。
通过解动力学方程，我们可以计算机械系统的加速度、速度和位移等重要参数。
2. 运动稳定性分析机械系统的运动稳定性是指系统在特定约束下是否保持平衡或稳定。
通过分析动力学方程的解，我们可以判断机械系统的稳定性。
这对于保证机械设备的正常工作和安全运行至关重要。
三、机械系统的动力学设计1. 动力学参数的优化在机械系统的设计中，我们需要考虑如何优化动力学参数。
例如，在传动装置中，通过调整齿轮的模数、齿数等参数，可以实现最佳传动效果。
在机械结构设计中，通过减少惯性矩等手段，可以提高系统的响应速度。
2. 动力学仿真和优化借助计算机辅助设计软件，我们可以进行机械系统的动力学仿真和优化。
通过建立模型和设定参数，可以模拟机械系统在不同条件下的运动行为，进而优化设计方案。
四、案例分析以某工业机械设备的传动系统设计为例，我们将进行动力学分析与设计。
在设计过程中，我们需要确定传动比、转速和扭矩等参数，以保证系统的正常运转和传动效率。
动力学基础知识(惯性力、阻尼等)
惯性力惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体非惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体平动加速系:相对于惯性系作变速直线运动,但是本身没有转动的物体.例如:在平直轨道上加速运动的火车转动参考系:相对惯性系转动的物体.例如:转盘在水平面匀速转动惯性力：指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该物体为坐标原点，看起来就彷佛有一股方向相反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。
因为惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力。
当系统存在一加速度a时，则惯性力的大小遵从公式：F=-ma例如，当公车煞车时，车上的人因为惯性而向前倾，在车上的人看来彷佛有一股力量将他们向前推，即为惯性力。
然而只有作用在公车的煞车以及轮胎上的摩擦力使公车减速，实际上并不存在将乘客往前推的力，这只是惯性在不同坐标系统下的现象注意：惯性力和离心力一样，是没有施力物体的，所以从力的要素来看，是不存在这样的力的。
那么为什么要有这样一个概念呢？简单一点讲是为了满足牛顿运动定律在非惯性系中的数学表达形式不变而引入的。
所谓非惯性系，简单一点将就是做变速运动的参考系。
所以说到底，所谓惯性力和离心力就是在一个加速运动的参考系中观察到的物体惯性的表达形式，是为了计算方便而人为引入的一个概念。
ANSYS中的动力学分析1动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和阻尼起重要作用时的结构或构件动力学特性的技术。
2“动力学特性”可能指的是下面的一种或几种类型-振动特性：结构振动方式和振动频率-随时间变化载荷的效应（例如：对结构位移和应力的效应）-周期（振动）或随机载荷的效应3动力学分析类型-模态分析：确定结构的振动特性-瞬态动力学分析：计算结构对时间变化载荷的响应-谐响应分析：确定结构对稳态简谐载荷的响应-谱分析：确定结构对地震载荷的响应-随机振动分析：确定结构对随机震动的影响动力学基本概念和术语包括：通用运动方程；求解方法；建模要考虑的因素；质量矩阵；阻尼1 通用运动方程其中：[M]=结构质量矩阵[C]=结构阻尼矩阵[K]=结构刚度矩阵{F}=随时间变化的载荷函数{u}=节点位移矢量{u}=节点速度矢量{u}=节点加速度矢量-模态分析：设定F(t)=0，而矩阵[C]通常被忽略-谐响应分析：假设F(t)和u(t)都是谐函数，如X*sin(ωt)，其中X是振幅，ω是单位为弧度/秒的频率-瞬态动力学分析：方程保持上述的形式2 求解方法-模态叠加法：确定结构的固有频率和模态，乘以正则化坐标，然后加起来用以计算位移解。
结构动力学(克拉夫) 第二章 分析动力学基础
第二章 分析动力学基础2.1 基本概念 2.1.1 约束• 定义：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或 运动学的限制。
N 个质点的约束方程： → → 为mi 的位置向量及速度 **弹簧支座不是约束。
• 约束的分类：*稳定（不含t → 左图） 与非稳定（含t → 右图）* 完整（不含 → ）几何约束（有限约束） 与非完整（含 → ）运动约束（微分约束） • 约束条件：zc=a （水平面绝对光滑）一个完整约束 *水平面粗糙，仅滚动无滑动，A 点速度为零 。
两个完整约束*若为刚性圆球，三个约束（A点两个水平方向速度为零，可证明约束微分方程不能积分成有限形式）非完整约束单向（约束方程为不等式）：柔索 与双向（约束方程为等式）：刚杆 工程力学中研究对象：稳定的、完整的、双 向约束• 质点系约束方程：→ （N ：质点数；M 约束数） 2.1.2 自由度与广义坐标 广义坐标定义：能决定体系几何位置的、彼此独立的量广义坐标个数→空间质点系:n=3N-k;平面质点系: n=2N-k0),,,,,,(11=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N N r r r r t f 0),,(=i i r r t f i i r r ,0),(=i i rr f 0),,(=i i rr t f Ai r0),(=i r t f i r 0),,(=i i rr t f ϕϕa x a x v C C A =⇒=−=)(0积分 lr ≤l r =0),,(1=⋅⋅⋅N k r r f )~1;~1(0)(M k N i r f i k ===x双连刚杆双质点系的约束方程：广义坐标数：广义坐标：独立参数→角度→ 振型等（见下页） 梁的挠度曲线用三角级数表示： 广义坐标→*自由度定义：在固定时刻，约束许可条件下能自由变更的 独立的坐标数目（对完整约束=广义坐标数）• 自由度数→空间质点系：n=3N-k 平面质点系：n=2N-k （N ：质点数；k: 约束数） 非完整约束：（广义坐标数>系统自由度数）2.1.3 功的定义元功：A →B 过程中力作的功：对摩擦传动轮的例，由于力未移动，位移=？ • 功的新定义：(传动齿轮)• 功率：2.1.4 有势力和体系的势能有势力：（1）大小和方向只决定于体系质点的位置（2）体系从位置A 移动到位置B ，力作功只决定于位置而与路径无关取体系的任意位置为“零位置O ”，从位置A 移动到零位置O 各力作的功为体系在位置A 时的势能UA(位能)。
Patran动力分析Part1-基础与概述
四面体元 CTETRA（12-30）
■ 约束元（无限刚硬，称为刚性元，在数学模型中不引起数值困难） 刚性杆：RROD 刚性梁：RBAR 刚性三角板：RTRPLT 刚性体：RBE 1，RBE 2 均方加权约束元：RBE 3 内插约束元：RSPLINE
4
第二章 动力学模型输入
2.5 耦合质量与集中质量
2.5.1 概述
（1） 耦合质量比集中质量更精确 （2） 集中质量比耦合质量计算效率更高 （3） Nastran 中缺损为集中质量，用如下语句选择耦合质量矩阵
PARAM, COUPMASS, 1
（4） 可用集中质量和耦合质量的单元有
（5） 仅能用集中质量的单元有
（6） 仅能用耦合质量的单元有
CELAS1～4
两自由度弹簧单元：CELASi（2） （I=1,2,3,4） 多至 6 自由度频变弹簧/阻尼器单元：CBUSH（6） ■ 线单元（它们的性质象杆、棒或梁）
杆元： CROD（4），CONROD（4） 直梁元：CBAR（12），CBEAM（14） 曲梁元：CBEND（12） ■ 面单元（它们的性质象膜或薄板）
1）环境类型
2）动态激励类型
第一章 动力分析概述
7
1.3.3 有限元动力学建模需要考虑的问题
1） 结构分析的频率范围 2） 结点/约束/单元的分配方案及其相互关系 3） 线性与非线性行为的区别，问题的定性考虑 4） 整体系统与超单元模型的关系 5） 相邻介质的相互作用 6） 测试/或测量数据的综合考虑 7） 阻尼
（7） （8）
（9）
集中质量矩阵仅包含对角元素，因此仅有平动分量，而无转动分量 耦合质量矩阵包含非对角元素，因此对象 BAR（即使无扭转）, BEAM,BEAND 单元既仅有平动分量，又有转动分量 例子：杆单元质量矩阵
(整理)列车纵向动力学分析.
第一部分开行重载列车，就机车车辆本身来讲，重载列车技术涵盖牵引性能、制动系统性能、列车纵向动力学性能、机车车辆动力学性能、机车车辆及其零部件强度以及合理操纵方法等众多方面。
而重载列车的通信、纵向冲击力和长大下坡道的循环制动问题是开行重载列车的三大关键技术。
而这三大技术其实就是制动系统的三大难题。
下面就以制动系统来分析。
1.重载列车制动系统的关键技术制动系统对列车运行安全具有举足轻重的重要作用，随着铁道技术的不断进步，已出现了多种制动方式，但对货物列车而言，空气制动仍是最基本的制动作用方式。
众所周知，货物列车空气制动作用的制约因素甚多，列车长度就是主要影响因素之一。
我国重载列车的发展始于20世纪80年代，至今列车编组重量已由5 000t级提高到2万t以上，编组辆数从62辆增加到210辆之多，列车最大长度已达2·6 km以上，导致空气制动作用条件严重恶化。
1.1制动空走时间和制动距离影响货物列车紧急制动距离的主要因素除制动初速、线路条件(坡道)、列车制动率(每百吨重量换算闸压瓦力)和闸瓦性能以外，还有影响空走距离的空走时间，后者主要与列车长度或编组辆数有关。
笔者在根据上述因素编制我国《铁路技术管理规程》中的制动限速表时，对货物列车考虑的列车编组条件为5000t级以下，由于重载列车编组辆数的增加，必然导致制动空走时间和距离相应增加,加上长大列车压力梯度对后部车辆制动力的影响，因此该限速表不适用于重载列车。
对于重载列车，其制动力应比普通列车高，以保持和普通列车同等的制动距离。
1.2充气作用和长大下坡道的运行安全列车空气制动后的再充气时间随编组辆数的增加而呈非线性的增加。
重载列车需要有比普通列车长得多的再充气时间，因此，在长大下坡道多次循环制动作用时对司机操纵方法特别是再充气时间的要求更高。
1.3减轻列车纵向动力作用货物列车在纵向非稳态运动过程中产生的纵向动力作用不仅是导致断钩、脱轨等重大事故的主要原因，也是破坏货物完整性和加速机车车辆装置疲劳破坏的重要因素。
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i = i + 1
Next
End Sub
由于方程曲线是内凹的所以无论如何减少步距,得到的结果都小于真实值，有必要采取措施来抑制、减少误差，尽量使结果精确。在构造欧拉公式时采取的一个重要步骤--用向前差商来代替导数，如将其改为向后差商也是行的通的。此时的欧拉公式就变成了：yI+1= yI+h*f(xI+1,yI+1)，由于该式是一个隐式公式，所以可用迭代法进行计算，直至获取到满足精度要求的yI+1。从数学上可以证明，该式的局部截断误差和前面的欧拉公式的截断误差在主部上之相差正负号，所以只要将显示和隐式的两个欧拉公式相加后再行求解会大大减少误差。可以解得改进后的欧拉公式的表达式为：
例2图
解：如图所示，在质心C建立杆的连体基,该杆关于质心C的转动惯量为JC=ml2/12。根据已知条件，杆AB在运动过程中位形坐标间有如下两个独立的约束方程(s=2)
仿真计算的步骤:
(1)将时间离散,根据式计算A，b,利用高斯消元法解代数方程；
(2) 进行数值积分得 ,返回(1)
例1:图示一双质点摆，摆球P1与P2的质量为m1=m2=1，摆长分别为l1=1与l2=1,两球开始位置在正右方。试利用雅可比矩阵建立该双质点摆的动力学方程。
例1图
解：如图建立惯性基。双质点摆为两质点系，系统的坐标阵为
y(i + 1) = y(i) + 0.1 * (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4) / 6
List2.AddItem y(i)
i = i + 1
Next
End Sub
从下表记录的程序运行结果来看，在步长为0.1的情况下所计算出来的常微分方程的数值解是非常精确的，用浮点数进行运算时由近似所引入的误差几乎不会对计算结果产生影响。
b(2) = m * g: b(4) = m * g: b(5) = -Vx(1) ^ 2 - Vy(1) ^ 2: b(6) = -(Vx(2) - Vx(1)) ^ 2 - (Vy(2) - Vy(1)) ^ 2
End Sub
Private Sub Timer1_Timer()
Const t = 0.03'步距
'绘制球,杆
Picture1.Circle (X(jj), Y(jj)), 0.1
Picture1.Line (X(jj - 1), Y(jj - 1))-(X(jj), Y(jj))
'重新设置初始值
INI
Next
End Sub
例2:利用拉格朗日第一类方程建立所示均质杆封闭的动力学方程,杆开始角度为Pi/6。
For x = 0 To 0.5 Step 0.1
K1 = x - y(i) + 1 '求K1
K2 = (x + 0.1 / 2) - (y(i) + K1 * (0.1 / 2)) + 1
K3 = (x + 0.1 / 2) - (y(i) + K2 * (0.1 / 2)) + 1
K4 = (x + 0.1) - (y(i) + K3 * 0.1) + 1
约束方程为
(1)
可见坐标数为4，约束方程数为2，故系统自由度为2。引入拉格朗日乘子阵 。约束方程(1)的雅可比为
(每种约束方程都有其偏导数方程,如果你不了解如何求二阶导数直接带公式即可)
主动力只有重力，主动力阵为
将上述分析的结果代入动力学模型，有动力学方程
(2)
将式(1)对时间求二阶导数，得到加速度约束方程，即
1.107076
（1）非煤矿矿山的建设项目（注：对煤矿建设项目有单独特别规定）；1.106531
0.000545
一、环境影响评价的发展与管理体系、相关法律法规体系和技术导则的应用使用经典龙格-库塔算法进行高精度求解
对于一阶精度的欧拉公式有：
yi＋１＝yi＋h*K1
K1=f(xi,yi)
当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi＋１处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：
用欧拉算法、改进欧拉算法以及经典龙格-库塔算法对常微分方程的初值问题进行数值求解算法。
动力学仿真计算最后会出现一加速度，速度，坐标的两阶微分方程组，其积分需要这种计算方法。
一、 使用欧拉算法及其改进算法（梯形算法）进行求解
所谓的微分方程数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。欧拉(Euler)算法是其实现的依据是用向前差商来近似代替导数。对于常微分方程：
Dim A(1 To 6, 1 To 6) As Single, b(1 To 6) As Single, Fr(1 To 6) As Single
Private Sub Form_Load()
'开始位置在右方
X(1) = 1: Y(1) = 0: X(2) = 2: Y(2) = 0
Vx(1) = 0: Vy(2) = 0
将后两个方程与动力学方程合并，有完整的动力学方程:
编写代码：
Const m As Single = 1'质量
Const g As Single = 9.8'重力
'速度,加速度
Dim X(2) As Single, Y(2) As Single, Vx(2) As Single, Vy(2) As Single
（1）生产力变动法0.4
目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。1.070802
（三）安全预评价程序1.070320
0.000482
（2）辨识和分析评价对象可能存在的各种危险、有害因素，分析危险、有害因素发生作用的途径及其变化规律。0.5
...
End Sub
'初始化
Private Sub INI()
A(1, 1) = m: A(1, 5) = 2 * X(1): A(1, 6) = -2 * (X(2) - X(1))
A(2, 2) = m: A(2, 5) = 2 * Y(1): A(2, 6) = -2 * (Y(2) - Y(1))
dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]
y(a)=y0
可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xI点有y'(xI)=f(xI,y(xI))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xI+1)-y(xI))/h= f(xI,y(xI))，因此可以根据xI点和yI点的数值计算出yI+1来.由此可以看出，常微分方程数值解法的基本出发点就是计算离散化点。
A(3, 3) = m:: A(3, 6) = 2 * (X(2) - X(1))
A(4, 4) = m:: A(4, 6) = 2 * (Y(2) - Y(1))
A(5, 1) = X(1): A(5, 2) = Y(1)
A(6, 1) = X(1) - X(2): A(6, 2) = Y(1) - Y(2): A(6, 3) = X(2) - X(1): A(6, 4) = Y(2) - Y(1)
'高斯消去法解方程组
GaMss A(), b(), 6, Fr()
For jj = 1 To 2
'积分
Vx(jj) = Vx(jj) + t * Fr(jj * 2 - 1): Vy(jj) = Vy(jj) + t * Fr(jj * 2)
X(jj) = X(jj) + t * Vx(jj): Y(jj) = Y(jj) + t * Vy(jj)
yi＋１＝yi＋h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6
K1=f(xi,yi)
K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)
K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)
K4=f(xi+h,yi+h*K3)
龙格ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-库塔算法代码清单：
Private Sub Runge_Kutta()
Dim K1 As Single, K2 As Single, K3 As Single, K4 As Single
yi＋１＝yi＋h*( K1+ K2)/2
K1=f(xi,yi)
K2=f(xi+h,yi+h*K1)
依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：
0.000000
0.5
1.106531
1.106531
0.000000
一般来说经典龙格－库塔算法精确度高又利于计算机编程实现，稳定性也很好，可以考虑作为首选实现算法。
求解两阶微分方程组的龙格—库塔法:
对于两阶微分方程组:
利用雅可比矩阵分析动力学
系统约束方程的概念：
对于刚体系，刚体间存在铰(或运动副)。在一个铰的邻接刚体中，一个刚体的运动将部分地牵制了另一刚体的运动。在一般情况下，描述系统位形的坐标并不完全独立，在运动过程中，它们之间存在某些关系。这些关系的解析表达式构成约束方程
xI（各分点）
yI （数值解）
y(xi) （真实值）
| y(xi)- yI | (误差)
0.0
1.000000