排列组合中的分组问题
排列组合中的分组问题
2 4 2 2
2 2 C4 C2 x 2 A2
6人平均分为三组有多少种不同的结果？ 处理方法相同
C
3 9
2 2 2 C6 C4 C2 3 A3
混合分组也称为局部平均分组，对于平均 分组部分一定要注意按照平均分组处理。
排列组合中的分组问题
分组问题的类型
一、平均分组
二、不平均分组 三、混合分组
所谓“平均分组”是指将所有元素分成所有 组元素个数相等的组。
例如. 将4个人分成两组，每组都是2人，有多少种不同的分法？ 由分步计数原理： 2 第1步： C4 2 第2 步: C 2 2 2 共计: C4 C2 6 现在我们利用列举法列出6种可能：假设4人分别为A、B、C、D。 1 2 3 4 5 6 (A、B),（A、C）,（A、D）,（B、C）,（B、D）,（C、D） （C、D),（B、D）,（B、C）,（A、D）,（A、C）,（A、B） 实际只有3种
2 2 2 C6 C4 C2 3 A3
对于n个元素，平均分为m组时，我们一定要在分组后要除以
A m!
m m
• 所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成 元素个数彼此不相等的组。 例如. 将6人分别以1人、2人、3人分成三 组，有多少种不同的分组方法？
3 2 C C C 4 3
1 6
• 所谓“混合分组”是指即有平均分组又有 不平均分组。 例如，将9人分成人数为3人、2人 、2人、2 四组，有多少种分配方法？ 方法相类似利用分步计数原理
排列组合中的分组问题
中
学 生 数 理 化
■ 湖 南
点评：由于是不同的书，故分组后并无序， 所以切忌乘以Ａｉ． ２．分组后有序 倒２不同的６本书，分给甲、乙、丙３人， 使得１人得３本，１人得２本，１人得１本．问共 有多少种不同的分法． 解：由于题设并没有指定哪个人得３本书， 冈此甲、乙、丙３人都有得到３本书的町能．于是 问题可转化为先将６本不同的书分成三堆，一 堆３本，一堆２本，一堆１本；然后再将ｉ堆书再 分给甲、乙、丙３人．
在解排列组合的有关府用题时，经常会遇 到将所给元素或对象进行分组的问题．主要涉 及平均分组与不平均分组、有序与无序等问题． 很多同学在解答此类问题时要么束手无策，要 么出现错解或漏解．本文就这类问题加以剖析 说明，希望引起重视．
一、不平均分组问题
１．分组后无序 倒，不同的６本书。分成三堆，使得一堆３ 本，一堆２本，一堆１本，问有多少种分法． 解：本例属于不平均分组问题，令３本的为 甲堆，２本的为乙堆，１本的为丙堆．故我们只需 将它们分开即可，属于无序问题．
本文链接：/Periodical_zxsslh-geb200905014.aspx 下载时间：2010年4月16日
Ｃｉ・Ｃ；・Ｃｊ・Ａｉ一３６０．
高 二
向 剑 疃
版
点评：此例与上例的区别在于分组后有序． 二、平均分组问题 １．分组后有序 倒芎将不同的６本书分给甲、乙、丙３人， 每人２本，问有多少种不同的分法． 解：此类问题属于平均分组后的有序问题． 由于是不同的６本书，不妨把６本书编号为１， ２，３，４，５，６．不失一般性，设甲分得标号为１，２ 的２本书，乙得标号为３，４的２本书，丙得标号 为５，６的２本书；与甲分得标号为３，４的２本 书，乙得标号为１，２的２本书，丙仍得标号为５，
排列组合中的分组问题
知识点在课本解题方法学教辅排列组合中的分组问题分组问题，涉及的面比较广，分成下面几种情况来考虑。
一、非均匀分组所谓“非均匀分组”是指将元素分成的组中，各组元素的个数彼此都不相等。
例1 七个人参加义务劳动，按下列方法分组，有多少种不同的分法？（1）分成三组，每组分别有1人，2人，4人；（2）选出五人再分成两组，一组2人，另一组3人。
例2 将十个不同的零件，按下列方法分堆，有多少种不同的分法？（1）分成四堆，每堆分别有1个，2个，3个，4个；（2）选出8个零件分成两堆，一堆3个，另一堆5个。
二、均匀分组所谓“均匀分组”，是指将元素分成的组，各组元素的个数，全部相等，或一部分相等。
例3 从七个参加义务劳动的人中，选出六人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法？例4 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个，2个，2个，4个，有多少种不同的分法？三、编号分组上面的四个例题分成的组与组，或堆与堆之间是没有区别的，这可称为不编号的分组，如果在例1、例3中分成的几组，分别编号为第一组，第二组，或者说各组担任不同的工作，如挖土、运土等等；例2、例4中分成的几堆零件，分别送给几个不同的车床加工，这就相当于要编号地分组了。
将不编号的组变成编号的组，只需乘以组数的全排列，我们将上面四个例题，略作修改如下：例5 从七个人参加义务劳动的人中，选出2人一组，3人一组，轮流挖土、运土，有多少种不同的分法？例6 将十个不同的零件分成1个、2个、3个、4个四堆，分别送给四个不同的车床加工，有多少种不同的分法？例7 从七个参加义务劳动的人中，选出3人一组，3人一组，轮流挖土、运土，有多少种不同的分法？例8 将十个不同的零件分成2个、2个、2个、4个四堆，分别送给四个不同的车床加工，有多少种不同的分法？四、复合分组如果有两类或两类以上的元素，各自分组以后再互相结合起来，这就是复合分组。
例9 六个运动员分成四组，每组人数分别为1人、1人、2人、2人;三个教练分成两组，一组1人，一组2人，一组教练指导一组运动员，问有多少种不同的配合方法？练习：1按下列要求，三个教师分配到六个班里，各人教不同的班级，有几种分配方法？（1）甲教一个班，乙教两个班，丙教三个班；（2）一人教一个班，一人教两个班，一人教三个班；（3）每人都教两个班。
高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解
高中数学排列组合中的“分组分配”问题详解
数学好教师 2020-02-06
不同种元素
分组问题
将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
分组问题有平均分组、不平均分组、和部分平均分组三种情况。
1. 平均分组
1
2. 不平均分组
2
3. 部分平均分组
3
分配问题：
如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后分配的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
所以针对分配问题，需要遵守的原则是：先分组，后分配
同种元素
分组问题：
1
分配问题：
对于同种元素的分配问题，通常有两种解法：常规法和隔板法
常规法：
隔板法：
常规法：
隔板法：
经典练习题
1：将五位老师分到三个学校任教，每个学校至少分一位老师，总共有多少种分法。
(答案：150种)
2：有4个不同小球放入4个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？(答案：144种)
3：7个人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3个人，有多少种不同分法？(答案：70种)
4：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？(答案：84种)
5：现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中
(1)若每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？(答案：15种)
(2)若允许出现空盒，共有多少种不同的放法？(答案：36种)
6：现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(答案：10种)。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题在数学和计算机科学中是一个重要的问题，它涉及到如何将一组对象分配到不同的集合中，使得每个集合包含的对象满足特定的条件。
在实际生活中，这种问题也经常出现，比如在制定班级或团队分组、分配资源等方面。
在这篇文章中，我们将讨论排列组合中的分组分配问题，并介绍一些有效的解法，希望能够帮助读者更好地理解和解决这类问题。
1. 理解排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题，通常可以描述为以下几种形式：（1）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同；（2）将N个对象分成K个组，每个组的大小相同；（3）将N个对象分成K个组，每个组的大小不同，但满足一定条件。
在实际应用中，这些问题可能会涉及到一些约束条件，比如每个组中的对象之间有特定的关系，或者每个组中的对象有特定的属性，这将在具体问题中得到体现。
2. 有效解法为了解决排列组合中的分组分配问题，我们介绍一些有效的解法，包括暴力穷举、动态规划和回溯法等。
（1）暴力穷举暴力穷举是一种简单直接的方法，它通过遍历所有可能的组合来寻找符合条件的分组分配。
这种方法的优点是容易理解和实现，但是当问题规模较大时，时间复杂度会非常高，需要花费大量的计算资源。
暴力穷举一般适用于问题规模较小的情况。
（2）动态规划动态规划是一种常用的解决排列组合问题的方法，它通过将原问题分解成若干个子问题，并且这些子问题之间存在重叠的性质。
通过记录中间结果，可以避免重复计算，从而提高效率。
在分组分配问题中，动态规划可以用来求解不同组合的分配方案数量、找到最优的分组方案等。
通过定义状态转移方程和设计合适的算法，可以高效地解决大规模的分组分配问题。
（3）回溯法回溯法是一种递归地穷举所有可能的解决方案，通过不断地试探和回溯来寻找最优的解决方案。
在分组分配问题中，回溯法可以用来找到满足条件的分组方案，或者列举所有可能的分配方案。
回溯法的优点是能够找到所有可能的解，但是在问题规模较大时，时间复杂度会很高，需要耗费大量的计算资源。
排列组合中的分组问题
排列组合中的分组问题分组问题有两大类：一类是相同元素的分组问题，另一类是不同元素的分组问题。
在不同元素的分组问题中包含平均分组和非平均分组及其部分平均分组，以及有序和无序之分。
一、相同元素的分组问题方法：隔板法例1、（1）6人带10瓶矿泉水参加春游，每人至少带1瓶，共有种不同的方法（2）分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有种不同的方法解：（1）解法（一）隔板法：只需把10瓶矿泉水分成6份，每份至少有一瓶，共有59C方法（二）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。
分别有1,1,1,1,0,0、2,1,1,0,0,0、3,1,0,0,0,0、4,0,0,0,0,0、2,2,0,0,0,0.共有43121126636266126C C C C C C C++++=方法（三）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。
需要5块隔板，把5块隔板与4瓶放在一起，每一种放法就是一种分配方案，共有59C（2）方法（一）：实质是把6个人分成4份，有2,2，1，1、3,1,1,1。
共有214410C C+=种方法方法（二）：设置有3块隔板，有3510C=方法。
二、不同元素的分组问题方法：使用分步计数原理例1、 将6本不同的书，按下列方式分配，各有多少种分法？（1） 分给甲、乙、丙三人，每人得2本（2） 分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本（3） 甲、乙、丙三人3人，其中一人得1本，一人得2本，1人得3本。
（4） 若平均分成三堆，有几种分法？解：（1）按照分类计数原理222642C C C （属于有序平均分组）（2）按照分类计数原理123653C C C （属于无序非平均分组）（3）按照分类计数原理12336533C C C A （属于有序非平均分组）（4）22264233C C C A 注意：分类计数原理是有序的，（1）、（4）的区别在于一个有序，另一个无序。
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
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MBA重难点研究之一：排列组合中的分组问题
分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分组问题，实际上可运用分组问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
一、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法？
分析：分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是=90(种) ，这90种分组实
际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数
6
2
4
2
2
2
C C C
3
3
P，所以分法是6
2
4
2
2
2
3
3
C C C
P
=15(种)。
例2 六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？
分析：先分组，方法是
6
1
5
2
3
3
C C C，那么还要不要除以33P？我们发现，由于每组的书
的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=60(种) 分法。
6
1
C C C
5
2
3
3
例3 六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？
分析：先分组，方法是=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是
6
4
2
1
1
1
C C C
6
4
2
1
1
1
2
2
C C C
P
=15(种)。
通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
原理一一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m，m，…，m，其中k组内元素数目相等，那么分组方案是
12 p
n
m
n m
m
n m m
m
m
m
k
k
C C C C
P
p
p
1
1
2
12
3
−−−
…。
二、分组后分配的问题
例4 将上面三个例题中的“分为三组”改为“分给甲、乙、丙三人”，那么各有多少种分法？
分析：由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再
乘以，即例1是
3
3
P6
2
4
2
2
2
3
3
C C C
P3
3
P=90(种)，例2是=360(种)，例3是
6
1
5
2
3
3
C C C33P
6
4
2
1
1
1
2
2
C C C
P3
3
P=90(种)。
原理二 一般地，如果每个“不同的元素”和每个“接受单位”都有“归宿”，并且每个“接受单位”可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以“接受单位”数的全排列数。
例5 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。
因此，考虑先分组，后排列。
先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。
所以根据加法原理，分组法是
62422233C C C P +615233C C C +6421112
2C C C P =90(种)。
再考虑排列，即再乘以33P 。
所以一共有540种不同的分法。
三、分组问题的变形问题
例6 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。
实际上可转化为
先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有4131222
2C C C P (种)，
然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有413122
2
2C C C P 44P =144(种)。
例7 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有10191822
2C C C P (种)分法。
再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有
1019182
2
2C C C P 22P =2520(种)不同的选法。
例8 设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A 为定义域，B 为值域，则从集合A 到集合B 的不同的函数有多少个？
分析：由于集合A 为定义域，B 为值域，即集合A 、B 中的每个元素都有“归宿”，而集合B 的每个元素接受集合A 中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分
组后分配的问题。
先考虑分组，集合A 中4个元素分为三组，
各组的元素数目分别为1、1、2，则共有4131222
2C C C P (种)分组方法。
再考虑分配，即排列，再乘以，所以共有33P
4131222
2C C C P 33P =36(个)不同的函数。
总之，掌握上述两个基本原理，就能顺利解决任何分组问题。
而且，学会了分组问题，还能将一些其他的排列组合问题转化为分组问题来解决。