六年级奥数题：容斥原理(A)
六年级数学专题详解 容斥原理
容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素的个数。
在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。
我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。
包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。
即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。
例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。
显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。
我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。
A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。
此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。
A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。
A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。
六年级上册奥数试题-第5讲 容斥原理 全国通用(含答案)
第5讲容斥原理知识网络我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。
解答此类问题的主要依据是容斥原理。
容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b-ab容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B 对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算：总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc重点·难点容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。
我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。
如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。
学法指导解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。
因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。
经典例题[例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？思路剖析分母是1001的真分数有共1000个，为了方便计算，增加一个分数在1001个分数中考虑问题。
由于1001=7×11×13，所心1~1001的分子里只要含有7、11、13的倍数的就一定能同分母约分，即不是最简真分数，应排除掉。
因此，首先应考虑1~1001中，有多少个7、11或13的倍数。
解答因为1001=7×11×13，所以在1~1001的自然数中，7的倍数共有（11×13）个，11的倍数共有（7×13）个，13的倍数共有（7×11）个；7、11年公倍数有13个，7、13的公倍数有11个，11、13的公倍数有7个；7、11、13的公倍数有1个（即1001）。
小学六年级奥数题：容斥原理问题
小学六年级奥数题：容斥原理问题
容斥原理问题：(高等难度)
在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
容斥原理问题答案：
根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a_、a_、a23、a_3
由(1)知：a1+a2+a3+a_+a_+a23+a_3=25…①
由(2)知：a2+a23=(a3+ a23)_2……②
由(3)知：a_+a_+a_3=a1-1……③
由(4)知：a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3_2……⑤
再由③④得a_+a_+a_3=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2_4+a3=26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、_、_、_、_
又根据a23=a2-a3_2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。
然后可以推出a1=8，a_+a_+a_3=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。
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6年级 奥数 容斥原理
专题解读：
在数学中，我们经常会碰到重复包含的现象。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这一原理，我们称之为容斥原理，也称包含排除原理。正确运用这一原理，可以帮助我们解答血多抽象的数学问题。
例1.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑自行车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
5.某班学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试。有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的人数如下表。求这个班的学生数？
短跑
游泳
篮球
短跑、游泳
游泳、篮球
短跑、篮球
短跑、游泳、篮球
17
18
15
6
6
5
2
课堂检测
1六一班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。问两项比赛都参加的有几人？
2.分母是1001的最简真分数有多少个？
3.小明统计了全班56名同学喜欢看的电视节目，其中喜欢看动画片的有52人，喜欢看综艺节目的有38人，喜欢看体育节目的有32人，全班三种节目都喜欢看的至少有几人？
4.五年级有54人参加三项课外活动，每人至少参加一项。有32人参加科技组，27人参加书法组，20人参加体育组，其中参加科技又参加体育的有10人，而参加科技组又参加书法组的有14人，既参加体育组又参加书法组的有4人。问三项都参加的有几人？
5.小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记如下表：
姓名
居室Βιβλιοθήκη 门厅厨房厕所总面积
小明家
14
12
8
4
六年级小学奥数题：容斥原理问题
六年级小学奥数题：容斥原理问题
容斥原理问题：(高等难度)
在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
容斥原理问题答案：
根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a_、a_、a23、a_3
由(1)知：a1+a2+a3+a_+a_+a23+a_3=25…①
由(2)知：a2+a23=(a3+ a23)_2……②
由(3)知：a_+a_+a_3=a1-1……③
由(4)知：a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3_2……⑤
再由③④得a_+a_+a_3=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2_4+a3=26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、_、_、_、_
又根据a23=a2-a3_2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。
然后可以推出a1=8，a_+a_+a_3=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。
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小学奥数计数问题之容斥原理知识点
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3=26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22 又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。 然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2=6人。
经典例题：
例1、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队，且每 人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队 的有()人. 考点：重叠问题. 分析：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解方程即可. 解答：解：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理， 有20+12+10-6-2-x=30， 解得x=4. 故答案为：4. 点评：此题考查学生依据容斥原理解答问题的能力. 例2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出 第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1 人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是() 解答：根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2 题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……② 由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知：a1=a2+a3……④ 再由②得a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
2010年六年级奥数题：容斥原理(a)
2010年六年级奥数题：容斥原理（A）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书．借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人．语文、数学两种课外书都借的有_________人．2．（3分）有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是_________平方厘米．3．（3分）在1～100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有_________个．4．（3分）某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的75人，既懂英语又懂俄语的20人，那么懂俄语的教师为_________人．5．（3分）六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，问两样都不会的有_________人．6．（3分）在1至10000中不能被5或7整除的数共有_________个．7．（3分）在1至10000之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数有_________个．8．（3分）某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队．已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有_________人．9．（3分）分母是1001的最简真分数有_________个．10．（3分）在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有_________人，最多有_________人．二、解答题（共4小题，满分0分）11．某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人，选修乙这门课有的35人，选修丙这门课的有31人，兼选甲、乙两门课的有29人，兼选甲、丙两门课的有28人，兼选乙、丙两门课的有26人，甲、乙、丙三科均选的有24人．问三科均未选的人数？12．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和．13．如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5、3、4，求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积．14．分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和．2010年六年级奥数题：容斥原理（A）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书．借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人．语文、数学两种课外书都借的有26人．2．（3分）有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是67平方厘米．3．（3分）在1～100的自然数中，是5的倍数或是7的倍数的数有32个．4．（3分）某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的75人，既懂英语又懂俄语的20人，那么懂俄语的教师为45人．5．（3分）六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，问两样都不会的有19人．6．（3分）在1至10000中不能被5或7整除的数共有6857个．7．（3分）在1至10000之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数有9883个．8．（3分）某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队．已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有4人．9．（3分）分母是1001的最简真分数有720个．的倍数（个）的倍数（个）的倍数（个）的倍数（个）的倍数（个）的倍数10．（3分）在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有31人，最多有56人．二、解答题（共4小题，满分0分）11．某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人，选修乙这门课有的35人，选修丙这门课的有31人，兼选甲、乙两门课的有29人，兼选甲、丙两门课的有28人，兼选乙、丙两门课的有26人，甲、乙、丙三科均选的有24人．问三科均未选的人数？12．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和．13．如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5、3、4，求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积．14．分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和．的倍数有的倍数有（个）的倍数有的倍数有的倍数有如果有一个真分数为，则必还有另一个真分数，即以。
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十七 容斥原理(1)
年级 班 姓名 得分
一、填空题
1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有 人.
2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是 平方厘米.
3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有 个.
4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为 人.
5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 人.
6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有 个.
7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有 个.
8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有 人.
9.分母是1001的最简真分数有 个.
10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有 人,最多有 人.
二、解答题
11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?
12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和.
13.如图所示,A 、B 、C 分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片
,6
它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A 与B ,B 与C ,C 与A 公共部分的面积分别是5、3、4,求A 、B 、C 三个图形公共部分(阴影部分)的面积.
14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.
———————————————答 案——————————————————————
1. 26
从图中可以看出全班45人,借语文或数学课外读物的共39+32=71(人),超过全班人数71-45=26(人),这26人都借了语文、数学两种课外书。
2． 67
将长方形和正文形面积相加，则图中阴影部分即三角形面积被多算了一次，即这两个图形盖住的图形面积为67342
15568=⨯⨯-⨯+⨯(平方厘米). 3. 32
在1到100这100个自然数中,5的倍数有20个,7的倍数有14个,既是5的倍数又是7的倍数有2个,故5的倍数或7的倍数的个数是20+14-2=32.
4. 45
从图中可以看出:懂俄语的人数(即阴影部分)等于总人数减去只懂英语的人数,即100-(75-20)=45(人)
5. 19
所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人
共45人
数)=46-(17+14-4)=19(人)
6. 6857
在1到10000中,能被5整除的有20005
=⎥⎦
⎤⎢⎣(个),能被7整除的有1428710000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),能被35整除的有2857310000=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯(个).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(个).从而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(个).
7. 9883
1~10000中完全平方数有100个(因为1002=10000),完全立方数有21个(因为213<10000<223),完全六次方数有4个(因为46<10000<56)
故1~10000中是完全平方数或完全立方数的数共有100+21-4=117个;从而既不是完全平方数,又不是完全立方数的数有10000-117=9883(个).
8. 4
如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x ,则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x =30,解得x =4.
9. 720
1~1001中,有7的倍数14371001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个);有11的倍数91111001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个),有13的倍数77131001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个);有7⨯11=77的倍数13771001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个),有7⨯13=91的倍数11911001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),有11⨯13=143的倍数71431001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个).有1001的倍数1个. 由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(43+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.
10. 31,56
如图,当100人都是或者音乐爱好者,或者体育爱好者时,这两者都爱好的人数为最小值即56+75-100=31(个).
10 12 20 6 2 x 排球队 足球队 蓝球队
当所有的音乐爱好者都是音乐爱好者时,这两者都爱好的人数最大可为56人.
11. 如图,选甲乙而不选丙的有a =29-24=5(人),选甲丙而不选乙的b =28- 24=4(人),选乙丙而不选甲的有c =26-24=2(人), 仅选了丁的人有d =35-24-a -c =4(人),仅选了丙的人有e =31-24-b -c =1(人),故少选了一科的人数是:甲+d +c +e =45(人),故三门均未选的人数为50-45=5(人).
12. 由第9题的结论知分母是1001的最简分数的个数是720.又真分数1001a 和真分数1001
1001a - (a 与1001互质)是成对出现的,故上述720个真分数可以分成360对,每一对=数之和为1,故上述720个分母是1001的真分数之和为360.
所以所有小于1001且与1001互质的数之和为360⨯1001=360360.
13. 设阴影部分的面积是x ,由容斥原理知28-(5+3+4)+x =18,故x =2.
14. 因为385=5⨯7⨯11,故在1~385这385个自然数中,5的倍数有
765385=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),7的倍数有557385=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),11的倍数有355385=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个), 5⨯7=35的倍数有1135385=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),5⨯11=55的倍数有755385=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个),7⨯11=77的倍数有⎥⎦
⎤⎢⎣⎡77385=5(个),385的倍数有1个. 由容斥原理知,在1~385中能被5、7或11整除的数有
77+55+35-(11+7+5)+1=145(个),而5、7、11互质的数有385-145=240(个).即分母为385的真分数有240(个).
如果有一个真分数为385a ,则必还有另一个真分数385
385a -,即以385为分母的最简真分数是成对出现的,而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时,它们的和为1⨯120=120.
音乐 爱好者 体育 爱好者
甲 乙 丙 24 a b c d e。