第2章第1节连续函数_3_--间断点的分类
(整理)函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→, 那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y x 在区间∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0); 则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数x y 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x 1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y . 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ,)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象, 我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。
(高等数学)第二章 连续函数
周 世 国 讲 义第二章 连续函数第一节 连续函数一.连续函数的概念引：许多物理量都是随时间而连续变化的。
例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。
通常我们说物理量()t f 随时间t 的变化而连续变化，其确切含义啥？那就是说，物理量()t f 在变化过程中不会突然发生跳跃，只要时间t 的改变量非常小，相应地量()t f 的改变也应该非常小.用极限的语言来说： ()()00l i m t t f t f t →=.推广上述的说法，就得到一般函数在一点处连续的概念.1.定义1.设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：（1）由定义1可见，函数在0x 点处连续，则0x 点必属于()x f 的定义域,这()0lim x x f x A →=定义的前提有本质的区别；（2）如果()x f 在0x 点处连续，则函数()x f 在0x 点首先必有极限，而且极限值就 是函数()x f 在0x 点处的定义值，因此()x f 在连续点处的极限很好求； （3）如果()x f 在0x 点处连续，则()()lim x x x x f x f lim x →→=.2.连续的第一个等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果对0,0>∃>∀δε，使当0x x ε-<时，就有()()0f x f x ε-<成立，称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：定义中，不再象函数极限定义中那样，要求00x x <-（为何？） 函数在一点处连续还有第二种等价定义，为此要先介绍一个新概念----增量.3.定义2.若自变量从初始值0x 变化到终值x ,相应地函数值由()0f x 变化到()x f ，则称0x x -为自变量的增量，并计为0x x x ∆=-；而称()()0f x f x -为函数的增量，计为()()0y f x f x ∆=-.注意：显然()()0y f x f x ∆=-又可表示为：()()00y f x x f x ∆=+∆-由此可见()()0y f x f x ∆=-是0x x x ∆=-的函数.4.连续的第二种等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果lim 0x y ∆→∆=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点.二.左、右连续1.定义3.如果()()00lim x x f x f x -→=，则称()x f 在0x 点处左连续，并称0x 点为函数()x f 的左连续点；2.定义4.如果()()00lim x x f x f x +→=，则称()x f 在0x 点处右连续，并称0x 点为函数()x f 的右连续点.定理1.()x f 在x 0点处连续⇔()x f 在x 0点处既左连续又，右连续. 注意：连续函数的几何意义是：函数()x f y =的曲线在0x 点处没有断.三.函数在区间上连续定义5.若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，则称函数()x f 在开区间()b a ,内连续；若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，而且在点a 处右连续，在点b 处左连续则称函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续.注意：在在闭区间[]b a ,上连续的函数的图形特征是曲线位于[]b a ,上方的一段是连续不间断的.例1.证明常值函数()c x f ≡在()+∞∞-,连续.证明：任取0x ()+∞∞-∈,，下证()x f 在0x 点处连续，即要证()()00lim x x f x f x →=，也就是要证： c c x x =→0lim .事实上，对,0>∀ε要使()()0||||0f x f x c c ε-=-=<，可取δ为任意正实数，则当0||x x ε-<时，就有 ()()0||f x f x ε-<成立。
函数的连续性与间断点
。
.
O
x
10
例3 函数
x − 1, y = f ( x) = 0, x + 1,
x → −0 x → +0 x → −0
x < 0, x = 0, x > 0.
y
lim f ( x ) = lim ( x − 1) = −1
。
１
lim f ( x ) = lim ( x + 1) = +1
18
1 − x 2n ⋅ x 的连续性，若有间断点 例7 讨论函数 f ( x ) = lim 的连续性， 2n n→∞ 1 + x
判断其类型。 判断其类型。 解 Q lim x 2 n
n→∞
0, = 1, ∞,
1, x <1 2n 1− x x = 1, lim = 0, 2n n →∞ 1 + x − 1, x >1
x → +0
O。
－１
•
x
x 不存在。 所以 lim f ( x )不存在。 = 0 称为 x→0
跳跃间断点。 该函数的跳跃间断点 该函数的跳跃间断点。
11
例4 正切函数 y = tan x 在 x =
π
处没有定义， 处没有定义，
2 π 的间断点。 所以 x = 是函数 y = tan x 的间断点。 2
∆y = sin( x + ∆x ) − sin x = 2 sin
∆x Q cos x + ≤1 2 ∆x ∴ ∆y = sin( x + ∆x ) − sin x ≤ 2 sin . 2 又因为当α ≠ 0 时， sinα < α
第2章第1节连续函数_2_--在一点的单侧连续性
二、函数在一点单侧连续的概念【导语】函数在一点单侧连续指的是函数在一点左连续或右连续。
当研究分段函数在分端点，或研究函数在其定义区间的端点的连续性时，都会碰到单侧连续的问题。
本讲将介绍左连续和右连续的概念，并给出函数在一点连续与左、右连续的关系。
【正文】定义2 设函数()f x 在区间000(,]x x δ-内有定义，若00lim ()()x x f x f x -→=成立，则称函数()f x 在0x 处左连续；设函数()f x 在区间00[,)x x δ+内有定义，若00lim ()()x x f x f x +→=成立，则称函数()f x 在0x 处右连续．左连续与右连续统称为单侧连续．对于分段函数，在分段点处我们只能首先讨论它的单侧连续性；对于定义在区间[,]a b 上的函数，在区间端点我们也只能讨论它的单侧连续性．若函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点都连续，就说()f x 在该区间内连续．一般地，用(,)C a b 表示所有在区间(,)a b 内连续的函数，即()(,)f x C a b ∈表示函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点都连续．若函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点都连续，且在x a =处右连续，在x b =处左连续，则说()f x 在区间[,]a b 上连续．一般地，用[,]C a b 表示所有在区间[,]a b 上连续的函数．定理1 (连续与单侧连续的关系） 函数()f x 在0x 处连续的充分必要条件是：()f x 在0x 处既是左连续又是右连续．例1 判断取整函数[]y x =在整数点的单侧连续性． 解 对任意的整数n ，当(1,)x n n ∈-时，根据取整函数的定义可知[]1y x n ==-，所以 lim[]1x nx n -→=-． 当[,1)x n n ∈+时，有[]y x n ==，所以lim[]x n x n +→=．因为[]n n =，所以lim[][]x n x n -→≠，lim[][]x nx n +→=．故取整函数[]y x =在整数点右连续，但并不左连续． 例2 已知函数2ln(1),0()1,0,x x f x x x x -⎧<⎪=⎨⎪-⎩,≥ 判断()f x 在0x =处的连续性．解 因为(0)1f =-，且000ln(1)lim ()lim lim 1x x x x x f x x x---→→→--===-， 所以0lim ()(0)x f x f -→=．即()f x 在0x =处左连续． 又因为200lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=-=-， 所以0lim ()(0)x f x f +→=．即()f x 在0x =处右连续． 由于()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，所以()f x 在0x =处连续．例3 当常数,a b 取什么值时，函数,0,e 1(),0,5,0ax x b x f x x xx +>⎧⎪-⎪=<⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处连续？ 解 因为000e 1lim ()lim lim ax x x x ax f x a xx ---→→→-===，且(0)5f =， 所以当且仅当5a =时函数()f x 在0x =处左连续．又因为00lim ()lim()x x f x x b b ++→→=+=， 所以当且仅当5b =时函数()f x 在0x =处右连续．综上可知，当且仅当5a =，5b =时，函数()f x 在0x =处连续．【本讲总结与下讲预告】本讲介绍了函数在一点左连续和右连续的概念；给出了函数在一点连续与左、右连续的关系；了解了利用左、右连续处理相关问题的常用方法。
间断点的分类及连续函数的性质
目 录
• 连续函数的基本性质 • 间断点的分类 • 连续函数的应用 • 连续函数与离散函数的关系 • 连续函数与极限的关系
01
CATALOGUE
连续函数的基本性质
定义与性质
定义
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当|x'-x|<δ时，|f(x')-f(x)|<ε，则称函数f在点x处 连续。
连续函数的运算性质
线性性质
若函数f和g在某点连续，则f+g、f-g、fg和f/g（g≠0） 也在该点连续。
01
指数性质
若函数f在某点连续，则对于任意实数a ，函数f^a和e^f在在该点也连续。
02
03
幂性质
若函数f和g在某点连续，则f^g在在该 点也连续。
02
CATALOGUE
间断点的分类
第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）
VS
区别
离散函数和连续函数在定义域和值域上存 在本质的区别。离散函数的定义域和值域 都是离散的数集，而连续函数的定义域和 值域都是实数集。此外，离散函数和连续 函数的性质也存在较大的差异，如连续函 数具有可微性、可积性等性质，而离散函 数则没有这些性质。
离散函数在实际问题中的应用
• 离散函数在实际问题中有着广泛的应用， 如计算机科学、统计学、物理学等领域。 在计算机科学中，离散函数被广泛应用于 算法设计和数据结构中，如排序算法、图 算法等。在统计学中，离散函数被用来描 述概率分布和概率密度函数。在物理学中 ，离散函数被用来描述离散系统的状态和 行为，如量子力学中的波函数、分子动力 学中的粒子位置等。
可去间断点
在这一点，函数值存在，但导数不存 在。
数学中的连续性与间断点分析
数学中的连续性与间断点分析在数学中，连续性与间断点是一种重要的概念和分析方法。
连续性描述了数学函数在某一区间内的平滑性和连贯性，而间断点则指出了函数在某些点上的不连续性和突变性。
本文将从连续性的定义、间断点的分类和分析方法三个方面来探讨数学中的连续性与间断点。
1. 连续性的定义在数学中，连续性是指函数在某一区间上的无缝性和连贯性。
形式化地说，函数f(x)在某一点a处连续，当且仅当满足以下三个条件：（1）f(a)存在；（2）f(x)在点a的邻域内有定义；（3）lim(x→a) f(x) = f(a)，即当x趋近于a时，f(x)趋近于f(a)。
2. 间断点的分类间断点是指函数在某些点上不满足连续性的情况。
根据间断点的性质和出现形式，可以将其分为三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
（1）可去间断点：当函数在某一点上左右极限存在且相等，但与函数在该点的函数值不相等时，称该点上的间断点是可去间断点。
可去间断点的特点是可以通过修改函数在该点的函数值来消除间断并使其连续。
（2）跳跃间断点：当函数在某一点上左右极限存在但不相等时，称该点上的间断点是跳跃间断点。
跳跃间断点的特点是函数在该点处发生了突变或跳跃，从极限的角度看，左极限和右极限不相等。
（3）无穷间断点：当函数在某一点上的极限为正无穷大或负无穷大时，称该点上的间断点是无穷间断点。
无穷间断点的特点是函数在该点的函数值无限增大或无限逼近某一极限。
3. 连续性与间断点的分析方法分析函数的连续性与间断点可以利用以下方法：（1）图像分析：通过绘制函数的图像，观察函数在各点上的连续性和间断点的特征。
图像分析可以直观地展示函数的变化和趋势，找到可能存在的间断点。
（2）函数性质分析：根据函数性质和运算规则，推理函数在某些点上的连续性和间断点。
例如，有理函数的定义域和分母的零点通常会导致函数的间断点。
（3）极限分析：通过计算函数在某一点的左右极限，并与该点的函数值进行比较，判断函数在该点上的连续性和间断点。
高数间断点的分类及判断方法
高数间断点的分类及判断方法1.引言1.1 概述概述在数学领域中，高等数学是一门重要的学科，涉及到许多与函数相关的概念和方法。
在函数的研究中，间断点是一个关键概念。
间断点是指函数在某一点上不连续的现象，可以分为不同的类型进行分类。
本文将对高等数学中的间断点进行分类，并介绍判断这些间断点的方法。
通过对间断点的分类和判断方法的了解，我们可以更好地理解函数的性质和行为，为解决实际问题提供更准确的数学模型。
接下来的章节将更详细地介绍高数间断点的定义和分类，以及判断这些间断点的方法。
希望通过本文的阐述，读者可以对高数中的间断点有一个全面的了解，从而提升自己在数学领域的知识水平。
同时，本文也将对已有研究进行总结，并对未来可能的研究方向进行展望。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分。
首先，在引言部分，将对高数间断点的概念进行概述，并介绍本文的目的。
接下来，在正文部分，将详细讨论高数间断点的定义和分类，并探讨相关的判断方法。
最后，在结论部分，将对全文进行总结，并展望未来对高数间断点的研究方向。
在正文部分，2.1 将详细介绍高数间断点的定义和分类。
首先，会给出对间断点的定义和解释，包括数学中间断点的概念及其在实际问题中的应用。
随后，将对间断点进行分类，按照不同的特征和判定标准，将间断点划分为不同的类型，并详细讲解其特点和应用场景。
接着，2.2 将介绍高数间断点的判断方法。
通过引入相关的数学工具和技巧，将阐述如何判断一个给定的函数在某个点是否存在间断点。
将重点讨论几种常用的判断方法，包括极限和连续性的概念，并结合实例进行详细说明和推导。
在结论部分，3.1 将对全文进行总结，概括高数间断点的定义、分类和判断方法以及相关内容的重要性和应用价值。
同时，将对本文的研究工作进行简要回顾，并指出存在的不足之处。
最后，3.2 将展望未来对高数间断点研究的方向和重点，提出可能的改进和拓展方向。
通过以上的文章结构，本文旨在为读者提供一个全面而系统的了解高数间断点的分类和判断方法。
函数的间断点及其分类
第一章第八节函数的连续性定义1.10.)()(00内有定义的某邻域在点设x U x x f 1.函数在一点连续的定义存在；)(lim )1(0x f x x →若)()(lim )2(00x f x f x x =→则称函数.)(0处连续在点x x f 注1°函数在一点连续的等价定义之一设有函数y = f (x ). 当自变量x 从增量概念:0x 变到,0x x ∆+x ∆则称为自变量的增量(或改变量).若相应地函数y 从)(0x f ),(0x x f ∆+变到则称)()(00x f x x f y −∆+=∆为函数的增量(或改变量).定义1.9（函数在一点连续的增量定义）,00→∆→x x x 就是.0)()(0→∆→y x f x f 就是.0lim 0=→y x ∆∆.)()(00内有定义的某邻域在点设x U x x f ⇔处连续在点0)(x x f定理处连续点在函数0)(x x f 处既左连续又右连续点在0)(x x f ⇔).()()(000x f x f x f ==⇔+−例2解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<−=<≤=.21,2,1,2,10,)(2x x x x x x f 讨论函数在点x = 1处的连续性.由于=−→)(lim 1x f x 21lim x x −→,1==+→)(lim 1x f x )2(lim 1x x −+→,1=1)(lim 1=→x f x ,2)1(=f 所以f (x ) 在点x = 1 处不连续.≠在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上连续的函数, 或者说函数在该区间上连续.,),(内连续如果函数在开区间b a 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.3. 函数在区间上的连续性.],[)(b a C x f ∈记作, 处右连续端点并且在左a x =,处左连续在右端点b x =.],[)(上连续在闭区间则称函数b a x f如果上述三个条件中有一个不满足，则称f (x )在二、函数的间断点及其分类:)(00条件连续必须满足以下三个处在点函数的去心邻域内有定义的在点x x f x ;)()1(0有定义在点x x f ;)(lim )2(0存在x f x x →).()(lim )3(00x f x f x x =→内有定义，的某去心邻域在点设)()(00x U x x f o1. 定义(或间断点).点x 0 处不连续(或间断)，并称点x 0为f (x )的不连续点lim lim 1=+∞=>−∞→+∞→xx xx a a a 时，当lim lim 1=+∞=>−∞→+∞→xx xx a a a 时，当，x x cot ,tan x csc ,sec 结论：三角函数在其定义域内连续.利用极限的四则运算法则可以证明：推论(连续函数的线性运算法则))( )(x g x f 和α和β是常数,)()(x g x f βα+若函数此运算法则对有限个函数成立.在点0x 连续,则函数)( )(x g x f 和的线性组合在点0 x 连续.结论：反三角函数在其定义域内连续.结论：指数函数，对数函数在其定义域内皆连续.1. 函数记号f 与极限记号可以交换次序;意义:变量代换x=.2的理论依据uϕ(.))(特别地，若定理1.17是定理1.16 的特殊情形例9.),0()(内连续在为常数证明：+∞=µµxy 证xx y ln e µµ==内连续，在),0(ln )(+∞==x x u µϕQ 内连续在而),(e )(+∞−∞==uu f y .),0()(内连续在为常数+∞=∴µµx y 可以证明：µx y =对于μ取任何实数,均在其定义域内连续.结论：幂函数在其定义域内连续.结论：一切初等函数在其定义区间内连续.是指包含在定义域内的区间.）端点为单侧连续=])([x f ϕ1,2≤x x 1,2>−−x x.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数=⎩⎨⎧<−≥+=x x x x x x f 解)2(lim )(lim 0+=++→→x x f x x 2=)2(lim )(lim 0−=−−→→x x f x x 2−=.0)(处不连续在点故函数=x x f 备用题例2-1)0()0(+−≠f f =+)0(f =−)0(f ∵∴不存在)(lim 0x f x→例2-3解⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=,0,,0,)(x x a x e x f x 设函数应当怎样选择a,使得f (x ) 在x =0 处连续.=−)0(f xx e−→0lim ,1==+)0(f )(lim 0x a x ++→,a =,)0(a f =由连续的充要条件)0()0()0(f f f ==+−得a =1.所以当a =1时，f (x )在x =0处连续.。
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三、函数的间断点及其分类
【导语】
函数在一点连续只有一种情形，就是0
0lim ()()x x f x f x →=。
函数在一点不连续时，它在这一点附件函数值的变化情况则是多种多样的。
为了区分不同的间断点，根据函数在一点发生间断的原因，本讲给出了间断点的分类。
【正文】
若函数()f x 在点0x 处不连续，则称0x 为()f x 的间断点．
一般地，可对间断点作如下分类： 定义3 若函数()f x 在点0x 处的左、右极限均存在，但不连续，则称0x 为()f x 的第一类间断点．
若函数()f x 在点0x 处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称0x 为()f x 的第二类间断点．
在第一类间断点中，当左、右极限相等，即极限存在时，又称这样的间断点为可去间断点．
如0x =就是函数sin ()x f x x =的可去间断点，1x =是函数21()1
x f x x -=-的可去间断点． 所谓“可去”是指：如果00lim ()()x x f x f x →≠，就将函数在0x 的值改为0
lim ()x x f x →；如果()f x 在0x 没有定义，就给出定义0
0()lim ()x x f x f x →=，那么所得的新函数就是在0x 处连续的函数，这样就把“间断”去掉了．
在第一类间断点中，当左、右极限存在但不相等时，又称这样的间断点为跳跃间断点． 如0x =是符号函数sgn y x =的跳跃间断点，任何一个整数都是取整函数[]y x =的跳跃间断点．
例1 已知函数2+1,0,()0,
0,1,0,x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩
判断()f x 在0x =处的连续性，若不连续，指出间断点的类型．
解 因为(0)0f =，且
200
lim ()lim(1)1x x f x x --→→=+=，
00
lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=-=-， 所以()f x 在0x =处既不是左连续，也不是右连续．0x =是()f x 的跳跃间断点．
例2 已知函数1e ,0,()0,0,
x x f x x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 判断()f x 在0x =处的连续性，若不连续，指出间断
点的类型．
解 因为
1100lim ()lim e lim e 0t x t x
t x x f x --=→-∞
→→===，且(0)0f =， 所以()f x 在0x =处左连续．
又因为
1100lim ()lim e lim e t x t x
t x x f x ++=→+∞
→→===+∞， 所以()f x 在0x =处不连续．0x =是()f x 的第二类间断点．
例2 已知 函数2(1)()(1)x x f x x x -=
-，找出()f x 无定义的点，并说明这些点是()f x 的什么类型的间断点．
解 函数2(1)()(1)x x f x x x -=
-无定义的点为0,1x x ==±． 在点0x =处，因为
0lim ()1x f x +→=，0
lim ()1x f x -→=-， 所以0x =是()f x 的第一类间断点（跳跃型）．
在点1x =处，因为
11lim ()2x f x +→=，11lim ()2
x f x -→=， 所以1x =是()f x 的第一类间断点（可去型）．
在点1x =-处，因为
1lim ()x f x +→-=-∞，1
lim ()x f x -→-=+∞， 所以1x =-是()f x 的第二类间断点．
例4 已知函数()tan x f x x
=
，找出()f x 无定义的点，并说明这些点是()f x 的什么类型的间断点． 解 ()f x 在tan 0x =及tan x 无定义的点处无定义，所以()f x 无定义的点是
π()x n n =∈Z ，或ππ()2
x n n =+∈Z ． 在点0x =处，因为
0lim 1tan x x x
→=， 所以0x =是()f x 的可去间断点．
在点π()0n n x n =∈≠Z,处，因为
πlim tan 0x n x →=，π
lim π0x n x n →=≠， 所以πlim tan x n x x
→=∞，所以当0n ≠时，π()x n n =∈Z 是()f x 的第二类间断点． 在点ππ()2
x n n =+∈Z 处，因为 ππ+2lim tan x n x →=∞，π
π+2πlim π+2
x n x n →=， 所以 ππ+2lim 0tan x n x x →=，所以ππ()2
x n n =+∈Z 是()f x 的可去间断点． 例5 设函数221()lim 1
n n n x g x x x →∞-=+，求()g x 的表达式，并判断1x =±是()g x 的什么类型的间断点．
解 当1x =± 时，
22111()lim lim 01
11n n n n x g x x x x →∞→∞--===++． 当1x < 时，因为lim 0n n x →∞
=， 所以 22101()lim 101
n n n x g x x x x x →∞--===-++． 当||1x >时，11x
<，所以 222211()110()lim lim 11101()n n
n n n n
x x g x x x x x x x →∞→∞---====+++．
综上可知，,1,(),1,0, 1.x x g x x x x ⎧>⎪=-<⎨⎪=±⎩
因为
11lim ()lim 1x x g x x --→-→-==-，11
lim ()lim ()1x x g x x ++→-→-=-=， 所以1x =-是()g x 的跳跃间断点．
又因为
11lim ()lim()1x x g x x --→→=-=-，11
lim ()lim 1x x g x x ++→→==， 所以1x =是()g x 的跳跃间断点．
右图是()y g x =的图象．
【本讲总结与下讲预告】
本讲介绍了函数间断点的分类，通过间断点的类型，大致可以了解函数发生间断的原因。
一般说来，间断点往往是函数没有定义的点或单独给出定义的点。
下一讲将介绍连续函数的运算性质和初等函数的连续性结论。