函数的间断点及其类型
函数间断点分类及类型精品PPT课件
1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
15
例3
讨论函数
f (x)
1
x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
xx+
0
9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
x o1
井水不犯河水
xo
x0
x
y
各自为政
o
x0
x
ox
10
3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点 . 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点 .
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
14
例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
You Know, The More Powerful You Will Be
函数间断点的类型
函数间断点的类型
函数间断点是指函数图像中的某一点，该点处的函数值无法通过连续的方法来定义。
函数间断点可以分为以下几种类型：
1. 可去间断点：函数在该点上的极限存在，但是函数在该点上未定义或定义与极限不相等。
例如，函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的间断点就是可去间断点。
这种类型的间断点可以通过对函数进行修补或定义来消除。
2. 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但是左右极限不相等。
例如，函数g(x) = [x]在x = 1处的间断点就是跳跃间断点，其中[x]表示向下取整函数，即x的整数部分。
这种类型的间断点可以用数列极限来定义。
3. 无穷间断点：函数在该点的左右极限至少有一个不存在或为无穷大。
例如，函数h(x) = 1/x在x = 0处的间断点就是无穷间断点。
这种类型的间断点可以进一步细分为左侧无穷间断点和右侧无穷间断点。
函数间断点的类型与函数的性质密切相关，对于特定类型的间断点，需要采用相应的方法进行处理和求解。
间断点及其分类
第十九讲、间断点及其分类定义19.1. 设f (x) 在点x 的某个去心邻域U x 内有定义, 则下列情形之一，o( )0 0函数f (x) 在点x处不连续：（1）函数f (x) 在点x处没有定义；（2）函数f (x) 在点x处有定义，但极限lim ( )x→x f x 不存在；（3）函数f (x) 在点x处有定义，极限lim ( )x→x f x 也存在，但lim ( ) ( )x→x f x ≠ f x0 0这样的点x称为函数f (x) 的不连续点，通常称为间断点。
间断点的分类：设x为函数f (x) 的间断点，（I）若步地，f(x +)及f x −均存在，我们称( )x 为函数f (x) 的第一类间断点。
进一可去间断点，即+−f (x )=f (x )0 0第一类间断点跳跃间断点，即f (x +) ≠ f (x −)0 0（II）若断点f x +及( )f x −至少有一个不存在，我们称( )x 为函数f (x) 的第二类间注记19.1：若要么x为函数f (x) 的可去间断点，则要么函数f (x) 在x 没有定义，lim x→x f (x) ≠ f (x ) 。
于是，当0 0 x 为函数f (x) 的可去间断点时，可以通过补充函0数f (x) 在x的定义，或者改变f (x) 在0 x 处的取值使之在x 连续。
πx=。
0 2 例子19.1：（1）f (x) = tan x ，因为l im tanπx→+2 x与lim tanπx→−2x存不存在，故点πx=为函数f (x) = tan x 的第二0 2类间断点。
又因为与均发散到无穷，故我们又进一步lim tan x lim tan xππx→+x→−2 2π地称点=为函数f (x) = tan x 的无穷间断点。
x0 21（2）=，0 0f (x) sin x =x1 1 1因为x→+x 与x→−x 不存在，故点x =为函数=的第二lim sin 0 0 f (x) sinlim sin0 0x1类间断点。
1.6.4间断点及其分类
都存在， 若 f ( x0 0) 和 f ( x0 + 0) 都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的 第一类间断点 第一类间断点. 类间断点
①若 f ( x0 0)≠ f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 跳跃间断点 跳跃间断点；
可去间断点. ②若 f ( x0 0)= f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 可去间断点.
如果不是闭区间而是开区间， 注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 如果不是闭区间而是开区间 不一定成立. 不一定成立.
1 例如： 内无界. 例如： f ( x )= ∈C (0, 1) ，但 f ( x ) 在 (0, 1) 内无界. x
最大值最小值定理） 定理 5（最大值最小值定理） 设 f ( x )∈C [a , b] ，则
∵ f (0)= 1< 0 ， f (1)=1> 0 ，
∴ c∈(0, 1) ，使 f (c )= c 2c 1= 0 ，
内至少有一个实数根. 即方程 x 2 x 1 = 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个实数根 .
必有实根. 例 4．证明：实系数方程 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 必有实根 ．证明：
1.6.4 间断点及其分类 1.间断点的定义 1.间断点的定义
定义 3 不连续， 若函数 f ( x ) 在点 x0 不连续，则称 f ( x ) 在点 x0 间断点. 间断, 间断,点 x0 称为 f ( x ) 的间断点.
若 f ( x ) 有下列三种情况之一： 有下列三种情况之一： 没有定义； ① 在 点 x 0 没有定义； 不存在； ② 极限 lim f ( x ) 不存在；
2.3-2间断点及其分类闭区间上连续函数的性质
1三、函数的间断点及其分类如果f (x )在x 0 处不连续, 则称点x 0 为函数f (x )的间断点(或不连续点) . Next f (x ) 在x 0处连续的三要素：)(x f (1)在某邻域内有定义；)(0x N )(lim x f xx 0→(2)存在;(3)00lim ()().xxf x f x →=有一条不满足，x 0为f (x )间断点.xy 1sin=f (x )在x =0 附近无限震荡3间断点分类第一类间断点0()f x −及0()f x +均存在00()(),f x f x −+=00()(),f x f x −+≠第二类间断点0()f x −及0()f x +中至少一个不存在若其中有一个为振荡,若其中有一个为,∞称0x 为可去间断点;称0x 为跳跃间断点.称0x 为无穷间断点;称0x 为振荡间断点;⎧⎨⎩⎧⎨⎩……Previous Next4() , () , f x x x F x A x x ≠⎧=⎨=⎩所以，F (x ) 在x 0处连续.此时有lim ()lim ()x x x x F x f x →→=0()A F x ==Previous Next注如果是函数f (x )的可去间断点，构造0x13四、闭区间上连续函数的性质定义函数f (x ) 定义在区间I 上，有称f (x 0) 是函数f (x ) 在区间I 上的最大(小)值.定理(最值定理) 设 f (x ) 在[a , b ]上连续,即12,[,],a b ξξ∃∈都有1()min (),a x b f f x ξ≤≤=2()max ().a x bf f x ξ≤≤=则 f (x ) 在[a , b ] 上必能取到最大(小)值,12()()()f f x f ξξ≤≤Previous Next 00()()(()())f x f x f x f x ≤≥x I∀∈0,x I ∈若[,],x a b ∈对于一切即15定理(有界性定理)则f (x )在[ a , b ] 上有界.Previous Next 定理(介值定理)若f (x ) 在[ a , b ] 上连续, 至少存在一个使 [ , ]a b ξ∈().f ξμ=若f (x ) 在[ a ,b ]上连续,对任意x ∈[ a , b ] 有m ≤f (x ) ≤M .即,,m M ∃最大值M 和最小值m 之间的任何一个值.则它一定能取到即[,],m M μ∀∈18例证明：方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=证设3()31,f x x x =−+则f (x ) 在[ 1, 2]上连续.又f (1) = -1 , f (2) = 3,根据零点定理, (1, 2),ξ∃∈使()0.f ξ=故方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=Previous Next 即3310ξξ−+=19例如果f (x )在[ a , b ]上连续, 且f (a ) < a , f (b ) > b ,证明：在( a , b )内至少存在一点ξ, 使ξξ=)(f 证,)()(x x f x F −=令0,<由零点定理,使),,(b a ∈∃ξ()()0F f ξξξ=−=b b f b F −=)()(,0>.)(ξξ=f 即Previous Next 则F (x ) 在[ a , b ]上连续.()()F a f a a =−而(构造函数)20例如果f (x )在[ 0, 1 ]上连续, 且f (1) > 1,证明：在( 0, 1 )内至少存在一点ξ, 使2()f ξξ−=证2()()1,F x x f x =−令(0)1F 而=−,0<由零点定理,(0,1),ξ使∃∈2()()10,F f ξξξ=−=(1)(1)1F f =−,0>2().f ξξ即−=则F (x )在[ 0, 1 ]上连续,Previous (变形，构造函数)。
函数的间断点及其类型(老黄学高数第118讲)
指出下列函数的间断点并说明其类型：
.
(1)f(x)=x+1/x；(2)f(x)=sinx/|x|；(3)f(x)=[|cos x|]. (3) f(x)在x=nπ间断，(n=0,±1,±2,…) 且
x=nπ是f(x)的可去间断点, (n=0,±1,±2,…).
1、若 f(x)=A，(1)而f在点x0无定义，或
(2)有定义但f(x0)≠A，则称点x0为f的可去间断点.
g(x)=
y 2 f(x)=|sgn x|
O 2x
(2)
可定义函数 ：当x≠x0时， (x)=f(x)； 当x=x0时， (x0)=A. 则x0是 的连续点.
1、若 f(x)=A，(1)而f在点x0无定义，或
老黄学高数
第118讲 函数的间断点
及其类型
设函数f在某U⁰(x0)内有定义. 若f在点x0无定义，或f在点x0有定义不连续，则 称点x0为函数f的间断点或不连续点。
即间断点包括以下两种情形之一： (1)f在点x0无定义或极限 f(x)不存在； (2)f在点x0有定义且极限 f(x)存在，但
f(x)≠f(x0).
.
(1)f(x)=x+1/x；(2)f(x)=sinx/|x|；(3)f(x)=[|cos x|].
解：(1)∵f(x)在x=0的左右极限都不存在， ∴x=0是f(x)的第二类间断点.
指出下列函数的间断点并说明其类型：
.
(1)f(x)=x+1/x；(2)f(x)=sinx/|x|；(3)f(x)=[|cos x|]. (2)f(x)在x=0间断，且
∴整数点都是函数f(x)=[x]的跳跃间断点. (2)对sgn x在点x=0处的左、右极限分别为-1和1， ∴x=0是sgn x的跳跃间断点.
函数间断点的分类标准
函数间断点的分类标准
函数间断点是指函数在某一点处不连续的点。
根据其不连续的原因，可以将函数间断点分为以下三类：
1. 第一类间断点：也称为可去间断点（removable discontinuity），是指函数在某一点处虽然没有定义，但是可以通过重新定义函数在该点的值，使得函数在该点处连续。
2. 第二类间断点：也称为跳跃间断点（jump discontinuity），是指函数在某一点处的左右极限都存在，但是左右极限不相等。
3. 第三类间断点：也称为无穷间断点（infinite discontinuity），是指函数在某一点处的左右极限都不存在或者都为无穷大。
需要注意的是，函数间断点的分类标准并不是唯一的，不同的教材和学者可能会有不同的分类方式。
但是，以上三种分类方式是比较常见和广泛接受的。
函数间断点的类型
函数间断点的类型函数的间断点是指函数在某些点上不连续的现象。
函数的间断点可以分为几种类型，包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
首先，我们来看可去间断点。
可去间断点是指函数在某个点上的间断点可以通过修补来消除。
也就是说，在这个点上，函数虽然不连续，但是可以通过重新定义函数在该点上的值，使得函数在该点上连续。
一个常见的可去间断点的例子是函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，在 x = 1 处是一个可去间断点。
我们可以通过简单的化简，将函数重新定义为 f(x) = x + 1，从而消除间断点。
其次，跳跃间断点是指函数在某个点上的值从一个常数值跳跃到另一个常数值，导致函数在该点上不连续。
一个典型的跳跃间断点的例子是函数 f(x) = [x]，其中[x] 表示不大于 x 的最大整数。
在整数点上，函数的值会突然跳跃，导致函数在这些点上不连续。
最后，无穷间断点是指函数在某个点上的值趋近于无穷大或无穷小，导致函数在该点上不连续。
一个常见的无穷间断点的例子是函数 f(x) = 1/x，在 x = 0 处是一个无穷间断点。
在 x = 0 的附近，函数的值趋近于无穷大，因此在该点上函数不连续。
总的来说，函数的间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点这三种类型。
每种类型的间断点都有其特点和表现形式，了解函数的间断点类型有助于我们更深入地理解函数的性质和行为。
在数学分析和函数的研究中，对函数的间断点的类型进行分类和研究是非常重要的。
通过对函数的间断点的类型的研究，我们可以更好地理解函数的性质，从而更好地应用函数的知识解决实际问题。
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y f x
x1
o
x2
x3
x
11
例 讨论函数
f (x)
x sin x
的间断点 .
解 令 sin x 0 , x k ( k Z )为间断点 .
当 k 0, x 0,
lim f ( x ) 1 ,
x 0
x 0为可去间断点 .
当 k 0,
x k
lim f ( x ) ,
u 0
e lim
3
u u(u 2)
u 0
e lim
3
1 u2
u 0
e
3
.
24
2
x 0
lim e
x 0
2x
1 2x 1 ln( 1 3 x )
x 0
1 lim
1 2x 1 ln( 1 3 x )
x 0
1 lim 2
x 0
(2 x ) 3x
1 3
23
x 0 , ln( 1 x ) ~ x ,
arcsin x ~ x ,
x
1
1 x
3 x
2
1 2
1
又 lim ( x x 3 x )
2 x
()
22
x 0 , ln( 1 x ) ~ x ,
m
1 x 1 ~
1 m
x
求 lim
( 1 2 x 1 )e ln( 1 3 x ) lim
2x
§1.10 函数的间断点 及其类型
1
函数 f ( x )在点 x0处连续 lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
1. 间断点的定义
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
( 1 ) f ( x ) 在点 x 0 处有定义 ;
( 2 ) lim f ( x ) 存在 ;
.
如果 f ( x 0 ) f ( x 0 ), 则称点 x 0 为函数 f ( x )的可去间断点 .
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x 0 处的左、右极限都存在
.
5
第二类间断点 如果 f ( x ) 在点 x 0 处的左、右极限
f ( x 0 ), f ( x 0 ) 至少有一个不存 函数 f ( x )的第二类间断点 .
2
究 复 合 函 数 f [ g ( x )] 与 g [ f ( x )] 的 连 续 性 . 1, x 0 2 f ( x ) 0, x 0 解答 g ( x ) 1 x 1, x 0 2 f [ g( x )] sgn(1 x ) 1
求 lim
e
3x
ln x
2
x1
arcsin( x 1 )
( ) 0
e lim
3
0
lim e
x1
3x
lim
ln x arcsin( x 1 )
2
ln x arcsin( x 1 )
2
x1
x1
u x 1 e lim
3
ln[ 1 u ] arcsin u ( u 2 )
x 1
x1
x
1 e
1 x
1
所以 x
1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型.
15
sin x x 2 .设 f ( x ) a 1 b x sin x
x 0 x 0 x 0
问 a , b 为何值时 ,
( 1 ) lim f ( x ) 存在 ;
y
y
y
2 1
o
y
x0
x
o
1
x
o
y
x0
x
o
x0
x
o
x
3
初等函数无定义的点是间断点. 分段函数的分段点可能是间断点, 也 可能是连续点, 需要判定.
4
2. 间断点的分类
第一类间断点 如果 f ( x ) 在点 x 0 处间断，且 f ( x 0 ),
f ( x 0 ) 都存在 .
如果 f ( x 0 ) f ( x 0 ), 则称点 x 0 为函数 f ( x )的跳跃间断点
f [ g ( x )] 在 ( , ) 上 处 处 连 续
g[ f ( x )] 1 sgn x
2
2, 1,
x 0 x 0
g [ f ( x )] 在 ( , 0 ) ( 0 , ) 上 处 处 连 续
x 0 是它的可去间断点.
20
.
0,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim e
x 0
1 x
,
x 0是 f ( x ) e
1 x
的第二类间断点
.
14
1 .求函数 f ( x )
1
1x 0
的间断点 ,
并指出其类型.
0 1 e 1 1 x
解
当 x 0 , x 1时 ,
x k为无穷间断点 .
12
例 当 a 取何值时 ,
cos x , 函数 f ( x ) a x, f (0) a ,
x 0
x 0
x 0, x 0,
在 x 0 处连续 .
解
lim f ( x ) lim cos x 1 ,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( a x ) a ,
1 x
x 0为第二类间断点
.
这种情况称为振荡间
断点 .
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
9
总结两类间断点:
第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型 极限与连续之间的关系: f(x)在 x0 点连续
f(x)在x0点存在极限
10
判断下列间断点类型:
x 0
( 2 ) 要 f ( x ) 在 x 0 处连续 , 必需且只需
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) f (0), 即 a b 1.
x 0
16
小 结
1 、函数间断点的定义. 2、 在点 间断的类型: 可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 振荡间断点 个不存在 (见下图)
作业
习题1-10 (63页)
1. 2. 3.(1)
21
求 lim (
x
2
x x 3 x)
2
2
x3 x x3 x 3 1 x
2
lim
x x3 x
2
lim
x
x x3 x
x
lim
x3 x x3 x
2
x
lim
第一类间断点 第二类间断点
17
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
18
思考与练习
讨论函数 间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
19
思考题
设 f ( x ) sgn x ， g ( x ) 1 x ， 试 研
x 0
x 0
( 2 ) f ( x ) 在 x 0 处连续 .
解 因为
lim f ( x ) 1 , lim f ( x ) b ,
x 0
所以
( 1 ) 要 lim f ( x ) 存在 , 必需且只需
x 0
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ), 即 b 1( a 可任取 ).
f (1 ) 2 ,
f (1),
断点 .
x 0 为函数的第一类可去间
若令 f (1) 2,
2 x , 则 f (x) 1 x , 0 x 1, x 1, 在 x 1 处连续 .
7
例
讨论函数
1 , f (x) x x,
x 0, x 0,
要使 f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 )
a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x ) 在 x 0 处连续 .
13
例 问 x 0 是函数 f ( x ) e 解
lim f ( x ) lim e
x 0 1 x
1 x
的第几类间断点
x 0
函数无定义, 是函数的间断点.
1
x
x 0, 由于 lim f ( x ) lim
x 0
,
1 e 1
1 x
所以 x
0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
x1
x
x 1, 由于 lim f ( x ) lim
x 1
1 e 1
1 x
0
lim f ( x ) lim
( 3 ) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
x x0
如果上述三个条件中只
要有一个不满足
, 则称
函数 f ( x ) 在点 x 0 处不连续 f ( x )的不连续点