函数间断点分类及类型PPT课件
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函数的间断点及其类型(老黄学高数第118讲)
(2)有定义但f(x0)≠A，则称点x0为f的可去间断点.
g(x)=
y 2 f(x)=|sgn x|
O 2x
(2)
如，对g(x)=
，可定义 (x)=
,
则 在x=0连续.
2、若函数f在点x0的左、右极限存在，但
f(x)≠
f(x)，则称点x0为f的跳跃间断点.
如：(1)对于函数f(x)=[x]，当x=n(n为整数)时，有
2、若函数f在点x0的左、右极限存在，但
f(x)≠
f(x)，则称点x0为f的跳跃间断点.
跳跃间断点可去吗？为什么？ 不可去， 因为补充定义间断点的函数值无法使函数在该点连续.
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点. 共同点：函数在该点处左、右极限都存在. 不同点：可去间断点极限存在，跳跃间断点极限不存在.
老黄学高数
第118讲 函数的间断点
及其类型
设函数f在某U⁰(x0)内有定义. 若f在点x0无定义，或f在点x0有定义不连续，则 称点点包括以下两种情形之一： (1)f在点x0无定义或极限 f(x)不存在； (2)f在点x0有定义且极限 f(x)存在，但
f(x)≠f(x0).
∴x=0是f(x)的跳跃间断点.
指出下列函数的间断点并说明其类型：
.
(1)f(x)=x+1/x；(2)f(x)=sinx/|x|；(3)f(x)=[|cos x|]. (3) f(x)在x=nπ间断，(n=0,±1,±2,…) 且
x=nπ是f(x)的可去间断点, (n=0,±1,±2,…).
.
(1)f(x)=x+1/x；(2)f(x)=sinx/|x|；(3)f(x)=[|cos x|].
解：(1)∵f(x)在x=0的左右极限都不存在， ∴x=0是f(x)的第二类间断点.
间断点及其分类ppt课件
, x0 , x0 ，
x
s
in
1 x
1,
x0
∵ f (00) lim sin x 1， f (00) lim (xsin 1 1) 1，
x0 x
x0
x
∴ lim f (x) 1 ，但 lim f (x) 1 f (0) 0 ，
x0
x0
∴点 x0 是 f (x) 的可去间断点。
若改变定义： f (0) 1 ，则 f (x) 在点x 0 处连续。
x1
x1
1
x
0，
1e1x
lim f (x) lim 1 1 ，
x1
Байду номын сангаас
x1
x
1e1x
∴ x1为跳跃间断点。
8
（2）
f
(
x)
(
x
1)
arc
tan
x
1 2
1
,
x 1 .
x , x 1
解： f (x) 是分段函数，x 1 是“分界点”。
当 x 1 时， 根据初等函数在其定义区间上是连续
的结论，知 f (x) 在(, 1), (1, 1), (1, ) 内连续。
x 1
x 1
x2 1
∴ lim f (x) 不存在，
x 1
故 x 1为跳跃间断点。
10
1.5.5 闭区间上连续函数的性质
定理 4（有界性定理） 设 f C[a, b] ，则 f 在 [a, b] 上有界，即 M 0 ，x [a, b] ，有 f (x) M 。
注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 不一定成立。 例如： f (x) 1C(0, 1) ，但f (x) 在(0, 1) 内无界。 x
函数的间断点
分析间断点的左右极限
计算函数在间断点处的左右极限，理解该点处函数值不存在的原因。
对函数间断点的研究展望
深入研究间断点的性质
进一步探索间断点的性质和特 点，如研究间断点处函数值的 性质、左右极限的关系等。
探讨间断点在数学其他分 支中的应用
研究函数间断点在其他数学分 支中的应用，如微积分、实变 函数、复变函数等。
02
函数形态分析
03
求解极限问题
间断点可以作为函数形态分析的 依据，例如判断函数是否具有周 期性、对称性等。
在数学分析中，有时需要通过研 究函数的间断点来求解某些极限 问题。
在微积分中的应用
导数与间断点
函数的导数在间断点处可能不存在，因此研究函数的 间断点有助于理解函数的导数性质。
积分与间断点
在计算定积分时，需要考虑被积函数在积分区间内的 间断点，以确保积分的准确性。
利用极限存在定理判断
总结词
利用极限存在定理来判断函数的间断点，主要依据是函数在某点的极限存在当且仅当该点的左右极限存在且相等。
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则该点的极限也存在，即函数在该点连续；否则，该点是函数的间断点。
利用连续函数的性质判断
总结词
利用连续函数的性质来判断函数的间断点，主要是通过分析函数在某点的极限性质来确定。
开发新的研究方法
寻求新的研究方法，以更有效 地处理函数的间断点问题，如 利用数值计算、计算机模拟等 方法。
拓展应用领域
将函数间断点的理论应用于实 际问题中，如物理学、工程学 、经济学等领域的问题，以促 进数学与实际应用的结合。
感谢您的观看
THANKS
为什么要研究函数的间断点
数学理论完整性
计算函数在间断点处的左右极限，理解该点处函数值不存在的原因。
对函数间断点的研究展望
深入研究间断点的性质
进一步探索间断点的性质和特 点，如研究间断点处函数值的 性质、左右极限的关系等。
探讨间断点在数学其他分 支中的应用
研究函数间断点在其他数学分 支中的应用，如微积分、实变 函数、复变函数等。
02
函数形态分析
03
求解极限问题
间断点可以作为函数形态分析的 依据，例如判断函数是否具有周 期性、对称性等。
在数学分析中，有时需要通过研 究函数的间断点来求解某些极限 问题。
在微积分中的应用
导数与间断点
函数的导数在间断点处可能不存在，因此研究函数的 间断点有助于理解函数的导数性质。
积分与间断点
在计算定积分时，需要考虑被积函数在积分区间内的 间断点，以确保积分的准确性。
利用极限存在定理判断
总结词
利用极限存在定理来判断函数的间断点，主要依据是函数在某点的极限存在当且仅当该点的左右极限存在且相等。
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则该点的极限也存在，即函数在该点连续；否则，该点是函数的间断点。
利用连续函数的性质判断
总结词
利用连续函数的性质来判断函数的间断点，主要是通过分析函数在某点的极限性质来确定。
开发新的研究方法
寻求新的研究方法，以更有效 地处理函数的间断点问题，如 利用数值计算、计算机模拟等 方法。
拓展应用领域
将函数间断点的理论应用于实 际问题中，如物理学、工程学 、经济学等领域的问题，以促 进数学与实际应用的结合。
感谢您的观看
THANKS
为什么要研究函数的间断点
数学理论完整性
间断点的定义和分类
间断点的定义和分类
函数的间断点是指在某点处不连续的点。
这些点通常是由于函数在该点处的极限不存在或存在无穷大而引起的。
间断点可以分为以下几类：
- 第一类间断点：函数在该点处的左右极限都存在的间断点。
这类间断点又可以分为两种情况：
- 跳跃间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等时，该点为跳跃间断点。
例如绝对值函数在零点处、符号函数在正负无穷大处等。
- 可去间断点：当函数在该点处的左右极限相等但该点处的函数值不等于极限值时，该点为可去间断点。
- 第二类间断点：函数在该点处的左右极限至少有一个不存在的间断点。
这类间断点又可以分为两种情况：
- 无限间断点：当函数在该点处的左右极限至少有一个为无穷大时，该点为无限间断点。
例如一些无界函数的图像在垂直坐标轴上的点等。
- 振荡间断点：当函数在该点处的左右极限存在但不相等且都不为无穷大时，该点为振荡间断点。
例如一些具有振荡行为的函数的图像上的一些点。
除了以上提到的两类间断点外，还有一些特殊类型的间断点，例如：垂直间断点、水平间断点和斜间断点等。
这些间断点的存在性和类型可以根据具体函数的性质和定义来判别。
在研究函数的间断点和类型时，通常需要利用极限的思想和方法来进行判断和证明。
1.6.4间断点及其分类
都存在， 若 f ( x0 0) 和 f ( x0 + 0) 都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的 第一类间断点 第一类间断点. 类间断点
①若 f ( x0 0)≠ f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 跳跃间断点 跳跃间断点；
可去间断点. ②若 f ( x0 0)= f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 可去间断点.
如果不是闭区间而是开区间， 注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 如果不是闭区间而是开区间 不一定成立. 不一定成立.
1 例如： 内无界. 例如： f ( x )= ∈C (0, 1) ，但 f ( x ) 在 (0, 1) 内无界. x
最大值最小值定理） 定理 5（最大值最小值定理） 设 f ( x )∈C [a , b] ，则
∵ f (0)= 1< 0 ， f (1)=1> 0 ，
∴ c∈(0, 1) ，使 f (c )= c 2c 1= 0 ，
内至少有一个实数根. 即方程 x 2 x 1 = 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个实数根 .
必有实根. 例 4．证明：实系数方程 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 必有实根 ．证明：
1.6.4 间断点及其分类 1.间断点的定义 1.间断点的定义
定义 3 不连续， 若函数 f ( x ) 在点 x0 不连续，则称 f ( x ) 在点 x0 间断点. 间断, 间断,点 x0 称为 f ( x ) 的间断点.
若 f ( x ) 有下列三种情况之一： 有下列三种情况之一： 没有定义； ① 在 点 x 0 没有定义； 不存在； ② 极限 lim f ( x ) 不存在；
《二函数的间断点》课件
第二类间断点
定义
在某点附近，函数至少有一个极 限不存在。
举例
函数$f(x, y) = frac{y}{x}$在点$(0, 0)$处。
分析
在点$(0, 0)$附近，$y$的极限不存 在，因为$x$不能为0。
跳跃间断点
定义
01
在某点附近，函数值的左右极限不相等。
举例
02
函数$f(x, y) = left{ begin{array}{ll} x + y, & x + y > 0 xy, &
连续。这些方法对于理解和分析函数的性质非常有帮助。
03
二元函数的间断点类型
第一类间断点
01
02
03
定义
在某点附近，函数极限都 存在，但在该点函数值不 存在。
举例
函数$f(x, y) = frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1}$ 在原点$(0, 0)$处。
分析
在原点附近，函数极限为 0，但原点处函数值不存 在。
二元函数连续性的判定方法
总结词
判断一个二元函数在某点是否连续的方法包括，利用连续性的定义、利用极限的运算法 则和性质、利用复合函数的连续性等。
详细描述
根据连续性的定义，可以通过计算函数在该点的极限值并与该点的函数值进行比较来判 断函数是否连续。此外，可以利用极限的运算法则和性质来判断函数的极限是否存在， 从而判断函数的连续性。对于复合函数，可以利用复合函数的连续性来判断原函数是否
函数间断点的分类
第一类间断点
函数在这一点有确定的左右极限 ，但该点处的函数值可能不存在 。
第二类间断点
函数在这一点没有确定的左右极 限，或者左右极限不相等。
函数的间断点及其类型ppt课件
lim x2 x 3 x2 lim
x3
x x2 x 3 x x x2 x 3 x
lim
x3
lim
1 3 x
1
x x2 x 3 x
x
1
1 x
3 x2
1
2
又 lim ( x2 x 3 x) x ()
论
函
数
f
(
x)
x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性.
x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
o
x
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
6
例 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
23
x 0, ln(1 x) ~ x, m 1 x 1 ~ 1 x
m
求 lim ( 1 2x 1)e2x x0 ln(1 3x)
lime2x lim
x0
x0
12x 1 ln(1 3x)
1 lim x0
12x 1 ln(1 3x)
1 (2x) lim 2
x0
x0
1
lim f ( x) lim e x ,
x0
x0
x
0是
f (x)
e
1
x的
第
二
类
间
断
点.
15
1.求函数f ( x)
1
10x
的 间 断 点,
并指出其类型.
《间断点及其分类》课件
分类
第一类间断点
跳跃间断点。
第二类间断点
奇点。
第三类间断点
可去间断点。
跳跃间断点
定义
例子
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等。
f(x) = { x, x < 1 x+ 1, x≥ 1 }
性质
在跳跃间断点处，函数图像的 曲线从一个点跳跃到另一个点， 导致函数值发生突变。
奇点
定义
函数在某一点的极限不存在。
《间断点及其分类》PPT 课件
在学习微积分时，遇到间断点是很常见的。本次课程将帮助你更好地学习间 断点及其分类。
什么是间断点？
定义
在函数图像中，不连续点称为 间断点。它们可以是跳跃间断 点或奇点。
跳跃间断点
奇点
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等，导致函数值发生突 变。如：f(x) = |x|
函数在某一点的极限不存在。 如：f(x) = 1/x
例子
f(x) = 1/x
性质
在奇点处，函数图像无法被连数在某一点的极限存在，但 与函数在该点的值不相等。
例子
f(x) = (x-1)/(x²-1)
性质
在可去间断点处，函数图像在 该点的值可以通过修改函数的 定义来使之与该点的极限相等。
总结
1 定义
间断点是函数图像中不 连续的点。
2 分类
跳跃间断点和奇点为第 一类和第二类间断点。 可去间断点为第三类间 断点。
3 应用
在微积分学习中，间断 点是非常重要的概念， 应充分理解和掌握。
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跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
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例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
x x0
③
lim
x x0
f (x)
A
f ( x0 )
在某点没定义 极限不存在 极限与函数值不相等
如果上述三个条件中只要有一个不满足,
则称函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为f ( x)的不连续点(或间断点). 3
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2、间断点图形举例：函数在一点间断，其图形在该点断开.
§1.5.3 函数的间断点及其类型
p17
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1
复习
y
y
2
2
四个字概括连续函数图像的特点 1
1
Hale Waihona Puke 是： “紧紧”跟随o1
xo 1
x
① a-b=0 说明a与b相等的 ab
② a-b→0 说明a与b接近（几乎）相等
（a与b是紧紧挨着的） a b
极限概念当中的“无穷小”是可以描述“紧紧”跟
随函数
o
x0
x
y
f (x0 ) f (x0 )
ox
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13 13
第二类间断点 如 果 f ( x)在 点x0处 的 左 、 右 极 限
f ( x0 ), f ( x0 )至 少 有 一 个 不 存在, 则 称 点x0为 函 数 f ( x)的 第 二 类 间 断 点.
y
y
o
x0
o
x
函数在x 0处不连续，它是为函数的第二类间断点.
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总结两类间断点:
第一类间断点:
跳跃型,
第二类间断点
可去型
思考：极限与连续之间的关系:
f(x)在x0点存在极限
f(x)在 x0 点连续
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练习：判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
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例3
讨论函数
f
(x)
1
x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
f (0 ) 0, f (0 ) ,
xx0
另立山头
2019/12/23
7 7
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
√ ①在某点没定义
√ ②极限不存在
o
x0
x
③极限与函数值不相等
f(x0)有吗？
lim f (x0 )有吗？
xx0
井水不犯河水
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8 8
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
xo
x0
x
y
各自为政
o
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x0
x
ox
10 10
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11
3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点x0为函数 f ( x)的跳跃间断点. 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点.
y
√ ①在某点没定义
√ ②极限不存在
o
x
各自为政
③极限与函数值不相等
f(x0)有吗？
limf (x0)有
xx-0
limf (x0)=不存在
xx+
0
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9 9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
x o1
井水不犯河水
②极限不存在
√ ③极限与函数值不相等
f(1)=1
lim f (x) 2
x
x1
lim f (x) 2 f (1) 1
x1
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6 6
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
①在某点没定义
y
√ ②极限不存在
o
x0
③极限与函数值不相等
f(x0)有定义吗？
x
lim f (x0 )有吗？
x
ox
左、右极限都不存在
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左极限存在，右极限 不存在
14
例1
判断函数
f
(x)
x, 1 x,
解： f (0) 0,
x 0, 间断点x 0的类型
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
y
y
y
2 1
o x0
x o1
xo
x0
x
y
y
o
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x0
x
o
x
4 4
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
√ ①在某点没定义
y
②极限不存在
③极限与函数值不相等
o x0
x
不见了
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间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
2 1
o1
掉队了
①在某点没定义
x2
x3
x
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1 、函数间断点的定义.
2、 在点 间断的类型:
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点
左右极限都存在
左右极限至少有一 个不存在
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再见
2019/12/23
21
2019/12/23
22
f
( x)在点 x0处连续
lim
x0
y0
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lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
2
1. 间断点的定义
函数 f (x)在点x0处连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
函数 f (x)在点x0处连续必须满足的三个条件:
① f (x)在点x0处有定义;
② lim f ( x)=A(存在);
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点x0处的左、右极限都存在.
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第一类间断点的特点：左右极限都存在
可去间断点 y
y 可去间断点
跳跃间断点 y
2 1
o x0
x o1
x
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
o
x0
x