2018届高三数学第4练集合与常用逻辑用语中的易错题

第4练 集合与常用逻辑用语中的易错题 训练目标 解题步骤的严谨性，转化过程的等价性．
训练题型 集合与常用逻辑用语中的易错题．
解题策略
(1)集合中元素含参数，要验证集合中元素的互异性；(2)子集关系转化时先考虑空集；(3)参数范围问题求解时可用数轴分析，端点处可单独验证.
一、选择题
1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2
＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于( )
A ．4
B ．2
C ．0
D ．0或4 2．已知集合A ＝{－1，12
}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是( ) A ．{－1,0,2}
B ．{－12，0,1}
C ．{－1,2}
D ．{－1,0，12} 3．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．[1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
4．(2017·烟台质检)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0；q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0.若p ∨q
为假命题，则实数m 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(－∞，－1]
C ．(－∞，－2]
D ．[－1,1] 5．下列说法不正确的是( )
A ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”
B ．命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”的否命题是假命题
C ．命题“∃a ∈R ，使方程2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1<x 2”和命题“函数f (x )＝ log 2(ax －1)在[1,2]上单调递增”都为真
D ．△ABC 中，A 是最大角，则sin 2B ＋sin 2C <sin 2A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件
6．满足条件{1,2}
M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是( ) A ．3
B ．6
C ．7
D ．8
7．下列有关命题的说法中错误的是( )
A ．若“p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题
B ．“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件
C ．“cos x ＝12”的必要不充分条件是“x ＝π3
” D ．若命题p ：“∃x 0∈R ，x 20≥0”，则命题綈p 为“∀x ∈R ，x 2
<0”
8．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，2]
C ．(1,2]
D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
二、填空题
9．(2016·江西赣州十二县(市)期中联考)设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，若M ∩N ＝N ，则a 的值是________．
10．已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2(x 2－2mx ＋12
)在x ∈[1，＋∞)上单调递增．若“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为____________．
11．已知全集为U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，则a 的取值范围是________．
12．(2016·安阳月考)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2
＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真，那么实数m 的取值范围为________________.
答案精析
1．A [①当a ＝0时，1＝0显然不成立；②当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4或a ＝0(舍)．综上可知a ＝4.选A.]
2．A [由A ∩B ＝B ，得B ⊆A .若B ＝∅，则m ＝0.若B ＝{－1}，得－m －1＝0，
解得m ＝－1.若B ＝{12}，则12
m －1＝0，解得m ＝2. 综上，m 的取值集合是{－1,0,2}．]
3．C [由P ∪M ＝P ，得M ⊆P .又∵P ＝{x |x 2≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴－1≤a ≤1.故选C.]
4．A [∵p ∨q 为假，∴p ，q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题， 得∀x ∈R ，mx 2＋2>0，∴m ≥0.
由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假，
得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0.
∴Δ＝(－2m )2－4≥0，得m 2≥1，
∴m ≤－1或m ≥1.∴m ≥1.]
5．C [因为2x 2＋x ＋a ＝0的两根x 1，x 2满足x 1<1<x 2的充要条件是2＋1＋a <0，所以a <－3，当a <－3时，函数f (x )＝log 2(ax －1)在[1,2]上无意义．故选C.]
6．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]
7．C [对于A ，根据真值表知正确；对于B ，由于x ＝1可以推出x ≥1，但x ≥1不一定能
推出x ＝1，故正确；对于D ，由特称命题的否定形式知正确；对于C ，“x ＝π3
”应为“cos x ＝12
”的充分不必要条件．] 8．C [若命题p 为真，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋8a ≥0，f ?0?·f ?1?＝－1·?2a －2?<0，
得a >1.
若命题q 为真，则2－a <0，得a >2，
故由p 且綈q 为真命题，得1<a ≤2.]
9．－1
解析 因为集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，M ∩N ＝N ，又a 2≥0，所以当a 2
＝0时，a ＝0，此时N ＝{0,0}，不符合集合元素的互异性，故a ≠0；当a 2＝1时，a ＝±1，a ＝1时，N ＝{1,1}，不符合集合元素的互异性，故a ≠1，a ＝－1时，此时N ＝{－1，1}，符合题意．故a ＝－1.
10．(－1，34
) 解析 根据题意，关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]上有解，可得1－m －2≥0，从而求得m ≤－1；f (x )＝log 2(x 2－2mx ＋12)在x ∈[1，＋∞)上单调递增，可得⎩
⎪⎨⎪⎧ m ≤1，1－2m ＋12>0， 解得m <34
.根据“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，可知p 假q 真， 所以实数m 的取值范围为(－1，34
)． 11．{－1}
解析 因为x ＋a ≥0，
所以M ＝{x |x ≥－a }．
又log 2(x －1)<1，所以0<x －1<2，
所以1<x <3，
所以N ＝{x |1<x <3}．
所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}．
又因为M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以a ＝－1.
12．(－∞，－2]∪[－2，2)
解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2，∴当r (x )是真命题时，m <－ 2. 当s (x )为真命题时，x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.
∵r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真，
∴r (x )与s (x )一真一假，
∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2；
当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2，且－2<m <2，即－2≤m <2.
综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m <2.。