数据结构第20讲

应用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程
比较两种算法
算法名 时间复杂度 适应范围
普里姆算法 克鲁斯卡尔算法
O(n2) 稠密图
O(eloge) 稀疏图
6
V0
5
1 5 5 V3 V2 6 4 3 2 6 V4 V5
U={ V0 }
66
V1 V0
U={ V0,V2 }
5
U={ V0,V2,V5}
V0 V3 V1
3
3
V4
5 5 V3 5 V2 5 6 4 6 4 2 2 6
1 1
5
V0 V1
1
V2 V4 V5
1
V2 V4
V3
4
V5
6
V5
U={ V0,V2,V5,V3 }
算法分析： 算法分析： 若连通网络有 n 个顶点 ，则该算法的 O(n 时间复杂度为 O(n2), 它适用于边稠密的网 络。
克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法
• 克鲁斯卡尔算法的基本思想： 克鲁斯卡尔算法的基本思想： 设有一个有 n 个顶点的连通网络 N = { V, E },最初先构造一个只有 n 个顶点，没 },最初先构造一个只有 个顶点， 有边的非连通图 T = { V, ∅ }, 图中每个顶 点自成一个连通分量。 点自成一个连通分量。当在 E 中选到一条 具有最小权值的边时, 具有最小权值的边时,若该边的两个顶点落 在不同的连通分量上， 在不同的连通分量上，则将此边加入到 T 否则将此边舍去， 中；否则将此边舍去，重新选择一条权值 最小的边。如此重复下去， 最小的边。如此重复下去，直到所有顶点 在同一个连通分量上为止。 在同一个连通分量上为止。
V0 V1
U={ VLeabharlann ,V2,V5,V3,V1 }V0 V3 V1
U={ V0,V2,V5,V3,V1,V4 }
V0
1
V2 V4
5
1
V2
V3
V1
5
1
V3
V3
4
V5
2
V4
4
V5
2
3
V4
4
V5
2
例 2 3 5
1 6 1 5 3 6 6
5 5 4 4 2 6
1
1 1 3
1 1 3 4 6
1 1 3 4 4 2 6 2
例如: 例如 a
18 16 14
19 12
b
7 8
5
c
3
e f
g
27
21
d
closedge
0
1
2
3
4
5
6
Adjvex Lowcost
d c e a 19 12 5 7
d 3
e 8
a 14
a e 21 18 16 d
typedef int VRType; struct{ VertexType adjvex; VRType lowcost; }closedge[MAX_VERTEX_NUM]; void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u){ int k,j,i,minCost; k=LocateVex(G,u); for (j=0;j<G.vexnum;++j) if (j!=k) { closedge[j].adjvex=u; closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j]; }
第二十讲
第七章 图
知识要点： 图的生成树的概念 图最小生成树的普里姆算法 克鲁斯卡尔算法的基本思想
• 7.4 生成树
– 生成树
• 定义：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的 图叫~ • 深度优先生成树与广度优先生成树 • 生成森林：非连通图每个连通分量的生成树一起组成 非连通图的~ G • 说明
例 V2 V4
V1 V3 V5 V8 V1 V6
深度遍历：V1⇒ V2 ⇒V4 ⇒ V8 ⇒V5 ⇒V3 ⇒V6 ⇒V7 广度遍历：V1⇒ V2 ⇒V3 ⇒ V4 ⇒V5 ⇒V6 ⇒V7 ⇒V8 V1 V7 V2 V4 V1 V3 V2 V7 V4 V8 V5 深度优先生成树 V3 V6 V7 V2 V4 V8 广度优先生成树 V5 V6 V5 V8 V1 V3 V7 V6 V3 V7
– 一个图可以有许多棵不同的生成树 – 所有生成树具有以下共同特点： » 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同 » 生成树是图的极小连通子图 » 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边 » 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的 » 在生成树中再加一条边必然形成回路 – 含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树 K H I
V2 V4 V5 V8 V6
例 A C F I J L A L M J B 深度优先生成森林 C F M D E K H G I D G E H K B
下面我们计算一下上面两棵生成树的权值之和。 第一棵生成树的权值总和是：16+11+5+6+18=56； 第二棵生成树的权值是：16+19+33+18+6=92。 通常我们将权值总和最小的生成树称为最小生 成树。
– 取 lowcost[i] = min{ lowcost[i], lowcost[ lowcost[ G.arcs[ ][i }， G.arcs[k][i] }，即用生成树顶点集合外各顶 点 i 到刚加入该集合的新顶点 k 的距离 G.arcs[ ][i G.arcs[k][i] 与原来它们到生成树顶点集合 中顶点的最短距离lowcost[ 做比较, 中顶点的最短距离lowcost[i] 做比较, 取距 离近的作为这些集合外顶点到生成树顶点 集合内顶点的最短距离。 集合内顶点的最短距离。 – 如果生成树顶点集合外顶点 i 到刚加入该 集合的新顶点 k 的距离比原来它到生成树 顶点集合中顶点的最短距离还要近， 顶点集合中顶点的最短距离还要近，则修 adj： 表示生成树外顶点i 改adj：adjvex = v。表示生成树外顶点i到 生成树内顶点k当前距离最近。 生成树内顶点k当前距离最近。
普鲁姆算法基本步骤 G=（ 为一个具有n 设G=（V，E）为一个具有n个顶点的带权 的连通网络，T=（ TE） 的连通网络，T=（U，TE）为构造的生成 树。 初始时，U={u0}， }； （1）初始时，U={u0}，TE={ }； v∈V- 的边（u,v） （2）在所有u∈U 、v∈V-U 的边（u,v） 在所有u∈U 中选择一条权值最小的边， 中选择一条权值最小的边，不妨设为 V1 u,v)； （u,v)； 加入TE 同时将v 加入U TE， （3）(u,v) 加入TE，同时将v 加入U； 重复(2)、（3），直到U=V为止 (2)、（ 直到U=V为止； （4）重复(2)、（3），直到U=V为止；
printf("(%c,%c)\n",closedge[k].adjvex,G.vexs[k]); closedge[k].lowcost=0; for (j=0;j<G.vexnum;++j) if (G.arcs[k][j]<closedge[j].lowcost) { closedge[j].adjvex=G.vexs[k]; closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j];} } }
普里姆(Prim)算法 算法 普里姆
普里姆算法的基本思想： 普里姆算法的基本思想： 基本思想 从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出 中的某一顶点 发, 选择与它关联的具有最小权值的边 ( u0, v ), 将其顶点加入到生成树顶点集合 中。 将其顶点加入到生成树顶点集合U中 以后每一步从一个顶点在 U 中,而另一个 而另一个 顶点不在 U 中的各条边中选择权值最小的 边(u, v), 把它的顶点加入到集合 U 中。如 此继续下去, 此继续下去 直到网络中的所有顶点都加入 中为止。 到生成树顶点集合 U 中为止。 采用邻接矩阵作为图的存储表示。 采用邻接矩阵作为图的存储表示。
例
个城市间建立交通网， 要在 n 个城市间建立交通网，要 1 考虑的问题如何在保证 n 5点连通的 V1 5 V3 前题下最节省经费? 前题下最节省经费 V2
要在 n 个城 市间建立交通网， 市间建立交通网， 要考虑的问题如 何在保证 n 点连 通的前题下最节 省经费? 省经费? V0 5 6 6
如何求连通图的 最小生成树? 最小生成树
3
4
V4
6
2
V5
一般情况下所添加的顶点应满足下列 条件: 在生成树的构造过程中，图中 n 个 顶点分属两个集合：已落在生成树上的 顶点集 U 和尚未落在生成树上的顶点集 V-U ，则应在所有连通 中顶点和 在所有连通U中顶点和 在所有连通 中顶点和V-U中 中 顶点的边中选取权值最小的边。 顶点的边中选取权值最小的边
设置一个辅助数组closedge[]： 设置一个辅助数组closedge[]： lowcost域 存放在V 中各个顶点到集合U lowcost域 ： 存放在 V-U中各个顶点到集合 U 中的当前最小权值； 中的当前最小权值； adjvex域 记录该边所依附的在U adjvex域： 记录该边所依附的在U中的顶点
closedge[k].lowcost=0; for (i=1;i<G.vexnum;++i) { k=minimum(closedge); minCost=INFINITY; for (j=0;j<G.vexnum;++j) { if (closedge[j].lowcost <minCost && closedge[j].lowcost!=0) { minCost=closedge[j].lowcost; k=j;} }
1 1 5 3 4 4 2 6 2 3 5