伯努利方程伯努利Bernoulli
伯努利流体方程
伯努利流体方程
伯努利方程（Bernoulli's equation）是流体力学基本方程之一，常用于描述静止流体或运动流体在流经不同位置时，压力、速度、高度等物理量的变化关系。
伯努利方程最早由瑞士数学家和物理学家伯努利（Daniel Bernoulli）在1738年提出，被称
为伯努利定理，也称作伯努利方程或伯努利流体方程。
伯努利方程的数学形式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的
速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度，constant表示一个常数。
伯努利方程可以表达出一个流体在液体静压力、动能和势能三者之间的平衡状态。
在一个理想的流体中，如果流体穿过一段水管，那么在这段水管的任何位置，液体静压力、动能和势能总和相等。
应用伯努利方程，可以计算液体在不同位置的压力、速度和高度等物理量的变化。
伯努利方程可以应用在气体、液体等不同介质的流体力学问题中，如风力发电机、水压机等。
9.2.4 伯努里方程
x=e
ln cos y
[∫ sin 2 y ⋅ e
− ln cos y
dy + C
]
2 sin y cos y dy + C = cos y ∫ cos y
= cos y[C − 2 cos y ].
小 结：一阶微分方程的解法 可分离变量
dy = g ( x ) ⋅ h( y ) dx
=e
y2 − 2
y2 − y 3 e y2 dy + C −2 = Ce − y 2 + 2 ∫
2
用适当的变量代换解微分方程: 用适当的变量代换解微分方程:
例3 求方程 y' 的通解． + 2 x arctan y = 4 x 3 的通解． 2 1+ y
du 1 dy = ， 原方程可化为 2 dx 1 + y dx du + 2 xu = 4 x 3 dx
将 u = x + y 代回, 所求通解为
y − ln( x + y + 1) = C ,
或 x = C 1e y − y − 1
dx 另解 方 变 为 = x + y. 程 形 dy
小结
y 1.齐次方程 y ′ = f ( ) 齐次方程 x
2.线性非齐次方程 2.线性非齐次方程 3.伯努利方程 伯努利方程
−1
将 z = xy 代回,
所求通解为 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C .
dy 1 3. ; = dx x + y
dy du 解 令x + y = u, 则 = − 1, dx dx du 1 −1= , 代入原式 dx u 分离变量法得 u − ln( u + 1) = x + C ,
伯努利方程
伯努利方程伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。
该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。
伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。
该方程表达式为：P + ½ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。
伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。
在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。
对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。
当流体速度增加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速度会增加，而压力会降低。
②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。
在流体的流动过程中，当速度增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动能也会增加，从而推动水轮发电。
③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。
当流体在重力作用下流动时，流体会从高处向低处移动，势能也随之降低。
例如当我们用pump把水从低处抽到高处时，水的势能就会增加。
由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。
这在飞行、水利及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。
伯努利方程的应用十分广泛。
例如在空气动力学领域中，伯努利方程被用来解释飞机起飞、飞行、着陆过程中的颤振等现象。
在水利工程领域中，伯努利方程被用来计算水流在不同地方的速度、压力和高度等因素，对于设计水坝、水龙头、流量计等工程设施具有重要的作用。
总之，伯努利方程作为理解流体力学基本方程之一，不仅在理论研究中具有广泛的应用，也在实际的设计和应用中具有十分重要的意义。
伯努利方程积分推导
伯努利方程积分推导伯努利方程（Bernoulli's equation）是流体力学中的一个重要方程，描述了沿着流体的流动方向，流体质点在流动过程中总能量守恒的情况。
下面将对伯努利方程进行推导。
设流体在运动中的某一点的物理量为P、ρ、v和h，分别代表流体的压强、密度、速度和高度。
根据流体力学基本原理，伯努利方程可表示为：P + 1/2 ρv^2 + ρgh = 常数其中，P + 1/2 ρv^2 是动压项，ρgh 是静压项。
为了推导伯努利方程，我们先从流体力学的基本公式出发——欧拉方程开始。
欧拉方程是描述流体运动的基本方程之一，其数学形式为：∂v/∂t + (v · ∇)v = - 1/ρ ∇P + g其中，∂v/∂t 是速度随时间的变化率，(v ·∇)v 是速度随空间的变化率，∇P 是压力随空间的变化率，g 是重力加速度。
将欧拉方程中的各项乘以ρ，并利用连续性方程（∇·v = 0），可以得到：ρ∂v/∂t + ρ(v · ∇)v = - ∇P + ρg这样，方程就变成了一个由速度、时间、压力和重力加速度构成的方程。
接下来，我们考虑无粘流体在等压情况下的流动。
在等压情况下，压力沿着流体的流动方向不变，即∇P = 0。
再考虑自由面，自由面上的压强为大气压，即 P = P0。
这时，欧拉方程可以简化为：ρ∂v/∂t + ρ(v · ∇)v + ρg = 0同时，假设流体为定常流动，即流体的速度与时间无关∂v/∂t = 0。
这样，方程可以进一步简化为：ρ(v · ∇)v + ρg = 0对于无粘流体，在速度的梯度值极小的条件下，可以利用链式法则将∇v进行展开，即∇v ≈ (∂v/∂x,∂v/∂y, ∂v/∂z)。
这样，方程可以进一步简化为：(v ·∇)v ≈ v · (∂v/∂x, ∂v/∂y, ∂v/∂z) ≈ (v ∂v/∂x, v ∂v/∂y, v ∂v/∂z)由于流体是连续的，在稳定流动中，速度大小在不同位置上是相等的，即 v = |v|。
流体力学-04-2 伯努利方程的应用.
伯努利方程的应用伯努利方程对于流动体系除了掌握体系的对于流动体系，除了掌握体系的物料衡算关系以外，还必须找出体系各种形式能量之间的转换关系系各种形式能量之间的转换关系。
伯努利(Bernoulli)方程：描述了流体流动过程中各种形式能量之间的转换关系，是流体在定常流动情。
是热力学第一Daniel Bernoulli ，1700-1782况下的能量衡算式是热力学第定律对流体流动过程的具体描述。
流动系统的能量流动系统的能量：流动系统的能量流动系统的能量：(3) 动能：流体以一定的速度运动时便具有一定的动能，大时所需要的功小等于流体从静止加速到流速v时所需要的功。
(4) 静压能：流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功。
流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功若质量为m的流体体积为，某截面处的静压强为p，截面面积为A，则将质量为m的流体压入划定体积的功为：则将质量为的流体压入划定体积的功为质量为能量还可以通过其他外界条件与流动系统进行交换，包括：：流体通过换热器吸热或放热Q e吸热时为正，放热时为负。
：泵等流体输送机械向系统做功W em 的流体交换热量=m Q e流体接受外功为正流体对外作功为负作功为负的流体所接受的功= mW e以截面两边同除以m单位质量流体稳定流动过程的总能量衡算式，流动系统的力学第一定律表达式系统内能变化系统内能变化：是单位质量流体从截面1-1到截面是单位质量流体从截面1-1到截面2-2流体通过环境直接获得的热量，Q e(1)流体通过环境直接获得的热量流体流动时需克服阻力做功，因而消耗机械能转化为热量，若流体等温流动，这部分热量则散失到系统外部。
设单位流体因克服阻力而损失的，则则不可压缩流体ρ=const=0无外加功W e=0理想流体，Σhf伯努力方程努力方程的有关伯努力方程的讨论(1)伯努力方程的适用条件：不可压缩的理想流体做定常流动而无外功输入的情况，选取截面符合缓变流条件。
单位质量流体在任一截面上所具有的势能、动能和静压能之和是一常数。
伯努利(Bernoulli)方程
形如ndypxyqxydx01n称为伯努利方程bernoulli当n01这是线性微分方程当方程不是线性的但是可以通过变量代换可以把它化成线性的
伯努利（Bernoulli）方程
一、 定义：
形如
dy + P( x) y = Q( x) y n dx
（ n ≠ 0、） 1
称为伯努利方程（bernoulli） ，当 n=0、1，这是线性微分 方程，当 n ≠ 0、方程不是线性的，但是可以通过变量代换， 1 可以把它化成线性的。
二、 计算方法： ① 方程两边同时除以 y
n
y−n
dy + P ( x) y1− n = Q ( x) dx
1− n
② 变量代换：令 z = y
则：
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dz dy = (1 − n) y − n dx dx
由此代换可以把伯努利这个非线性方程化为线性微分方程， 把 方程两边同时乘以（1-n） ：
dz + (1 − n) P( x) z = (1 − n)Q( x) dx 1− n 然后求出这个方程通解之后，以 y = z 带入方程。
伯努利方程几何意义
伯努利方程几何意义
伯努利方程是人们对两个不同状态之间可能出现事件的概率建模的一种概念。
它由17世纪瑞士数学家兼物理学家、历史上极具影响力的人物詹姆斯·伯努利（Jacques Bernoulli）发明，他认为给定一组事件，其概率是固定的，并且没有可能性不确定性。
伯努利方程的几何意义是概率就是平面两边的面积之比。
假设在一个二维平面上，把出现某种情况的概率表示为面积比，则伯努利方程成立，模型会变成:概率为两个事件之间面积比。
伯努利方程是概率 = 事件A与事件B之比，其实也可以理解为概率 = 面积A与面积B之比，这个方程的好处之一就是能节省计算步骤，省去了统计学中的大量数据统计步骤。
此外，伯努利方程也用来表示某一事件或特征的几率，比如网络安全领域中的异常检测。
以网络流量为例，当异常流量被检测出后，我们不需要在检测结束时才知道它的正常流量比率，而是可以在检测前根据伯努利方程就能获得。
因此，伯努利方程是一个非常有用的概率模型。
伯努利在历史上留下了深远的影响，他发现了总数定律，发明了伯努利方程，成功应用于概率和统计学，令17世纪的数学发展有了重要进展。
今天，伯努利方程仍然被广泛使用，多用于机器学习和安全领域，以及其他各种应用中。
关于伯努利方程的理论推导
关于伯努利方程的理论推导
《伯努利方程》，又称《伯努利假设》，是20世纪著名数学家Andrey Kolmogorov提出的一种概率论模型。
伯努利方程（Bernoulli Equation）表示一个有限的概率分布，它描述了一个变量的取值依赖于另外一个变量取值所产生的不同情况之间的关系。
它是概率论中最基础而重要的概念，广泛用于统计学、机器学习、金融数学以及一些实际应用场景。
伯努利方程的公式表示为：
P（X=x）=p^x (1-p)^（1-X）
其中，X为事件的发生与否，取值为0或1；p为在某种条件下某事件发生的概率。
伯努利方程的推导如下：
当X取值为1时，事件发生，其发生概率为p，即P（X=1）=p；
当X取值为0时，事件不发生，其发生概率为1-p，即P（X=0）=1-p；
以上两式相乘可得：
P（X=1）P（X=0）=P（X=1）（1-p）=p（1-p）
根据概率乘法定律，把X取值为0或1的两种情况统一表示，可得如下公式：
P（X=x）=p^x (1-p)^（1-x）
如此，便完成了伯努利方程的推导。
伯努利方程的概念广泛应用于实际，如经济统计学中经常使用它
来表示经济变量的概率分布，在信息论中，可以把它用来衡量某个信息源的信息熵，在机器学习中，用它来表示决策树以及逻辑回归算法，而且在金融数学中，还可以使用它来模拟股市中的收益概率分布。
伯努利模型的推导及应用，即实现了统计学与概率论的完美结合。
总之，伯努利方程（Bernoulli Equation）是一种有限的概率分布模型，它比较简单，易于理解，而且应用广泛，因而在统计学、信息论、机器学习以及金融数学等领域均有着重要的应用。
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则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
例 10
解 两端除以 y，得 1 dy 4 y x2 , y dx x
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
当
f (u) u
0时,
得
du f (u) u
ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,
（ (u) du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
(
Ce
y) x
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2).
思考题1
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x elncos y sin2 y e lncos ydy C
积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为:
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
例8
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
1 cos x C .
x
例9 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
解
dy dx
2y2 x2 xy
xy y2
2 1
y 2
x
y x
y
y
2
,
x x
则 dy xdu udx,
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
线
与
截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .
解
x
f ( x)dx
[ x3 f ( x)]2 ,
0
y
x ydx x3 y, 0
y x3
两边求导得 y y 3x2 ,
y f (x)
解
dx
C
3
x
2e
dx
dx
Cex 3x2 6x 6,
由 y |x0 0, 得 C 6,
P( x)dx,
设
Q( x)dx为v( y
x
),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y e e v( x) P( x)dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
作变换
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
令z y,
2 dz 4 z x2 , dx x
解得 z x2 x C , 2
即 y x4 x C 2 . 2
思考与练习
判别下列方程类型:
提示:
可分离 变量方程 齐次方程
线性方程
线性方程
伯努利 方程
例11 用适当的变量代换解下列微分方程:
解 y xy 1 xex2 y1 , 2 则 dz 2 y dy , dx dx
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
例 5 求解微分方程
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0, cos udu dx , sin u ln x C,
x
微分方程的解为
例 6 求解微分方程
数,
为微分方程的解.
例1 求解微分方程
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2 xdx,
ln y x2 C1
二、齐次方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 作变量代换
即 y xu,
dy u x du ,
dx
dx
代入原式
u x du f (u), dx
dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
原方程的通解为
三、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
一阶线性微分方程的解法
2
2
u 1 3 Cx. u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
利用变量代换求微分方程的解
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
du 1 u2 解得 arctanu x C, dx
arctan( x y) x C,
cos
y
2
sin y cos cos y
y
dy
C
cos
yC
2 cos
y.
思考题2
求一连续可导函数
提示: 则有
利用公式可求出
使其满足下列方程: 令
四、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
两端除以yn，得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
第二节 一阶微分方程
可分离变量的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利微分方程
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
dy y
Q( x) y
P(
x)dx,
两边积分
ln
y
Q( x)dx y