湖南师大附中2017-2018学年高一上学期期末考试 数学(word版含答案)

湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试数 学命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组时量：120分钟 满分：150分得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线过点(1, 2)，(2, 2＋3)，则此直线的倾斜角是 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2: (a ＋2)x －y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为 A ．2 B ．1 C ．0 D ．－13．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为①a ⊥α，b ∥α a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b b ∥α；③a ∥α，a ⊥b b ⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．在空间直角坐标系中，点B 是A (1，2，3)在xOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于A.14B.13C. 5D.105．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离6．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是7．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是 A ．3x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x －2y －3＝0 D ．x －2y ＋3＝08．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为A.322B.142C.324D.322－110．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A ．恒有DE ⊥A ′FB ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCDED ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上答题卡11．如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，O ′A ′＝3, O ′B ′＝4，则△AOB 的面积是________．12．在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，若AB ＝3，AC ＝4，AD ＝5，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为________．13．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．三、解答题：14．(本题满分10分)已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34.(Ⅰ)求直线l 的方程；(Ⅱ)求与直线l 切于点(2，2)，圆心在直线x ＋y －11＝0上的圆的方程．15．(本题满分12分)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点A (26，1)，B (2，1)的距离之比等于5. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C ，过点P (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．16．(本题满分13分)如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(Ⅰ)求证：P A∥平面BDE；(Ⅱ)平面P AC⊥平面BDE；(Ⅲ)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．第Ⅱ卷(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如11＝2(mod 3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于A ．21B ．22C ．23D ．2418．在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD ＝4，BC ＝8，AB ＝6，∠APD ＝∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是A ．直线的一部分B ．半圆的一部分C ．圆的一部分D ．球的一部分答题卡二、填空题：本大题共19．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F (x )＝f (x )－20172018的所有零点之和为________三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本题满分10分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中．(Ⅰ)求证：AC ⊥BD 1；(Ⅱ)是否存在直线与直线 AA 1，CC 1，BD 1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由)；若不存在，请说明理由．平面直角坐标系中，在x轴的上方作半径为1的圆Γ，与x轴相切于坐标原点O.平行于x轴的直线l1与y轴交点的纵坐标为－1，A(x，y)是圆Γ外一动点，A与圆Γ上的点的最小距离比A到l1的距离小1.(Ⅰ)求动点A的轨迹方程；(Ⅱ)设l2是圆Γ平行于x轴的切线，试探究在y轴上是否存在一定点B，使得以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)．(Ⅰ)若f (x )＋f (x －1)＞0成立，求x 的取值范围；(Ⅱ)若定义在R 上奇函数g (x )满足g (x ＋2)＝－g (x )，且当0≤x ≤1时，g (x )＝f (x )，求g (x )在[－3，－1]上的解析式，并写出g (x )在[－3，3]上的单调区间(不必证明)；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g (x )，若关于x 的不等式g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2x8＋2x ＋3≥g ⎝⎛⎭⎫－12在R 上恒成立，求实数t的取值范围．湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017－2018学年度高一第一学期期末考试 数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.C 2．D 【解析】由题知(a ＋2)a ＋1＝0 a ＋2a ＋1＝(a ＋1)＝0， ∴a ＝－1.也可以代入检验． 3．A 【解析】①正确．4．D 【解析】点A (1，2，3)在xOz 坐标平面内的射影为B (1，0，3)，∴|OB |＝12＋02＋32＝10.5．B 【解析】将两圆化成标准方程分别为x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，可知圆心距d ＝5，由于2<d <4，所以两圆相交．6．C 【解析】当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.7．D 【解析】化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9，过点P (1，2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC ＝－1，由k PC ＝－2得k l ＝12，进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.8．C 【解析】将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为正方体ABDC －A 1B 1D 1C 1, 则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于BA 1与BD 1所成的角，为60°.9．B 【解析】当圆心到直线距离最短时，可得此时切线长最短．d ＝322，切线长＝⎝⎛⎭⎫3222－12）＝142.10．B 【解析】对A 来说，DE ⊥平面A ′GF ，∴DE ⊥A ′F ；对B 来说，∵E 、F 为线段AC 、BC 的中点，∴EF ∥AB ，∴∠A ′EF 就是异面直线A ′E 与BD 所成的角，当(A ′E )2＋EF 2＝(A ′F )2时，直线A ′E 与BD 垂直，故B 不正确；对C 来说，因为DE ⊥平面A ′GF ，DE 平面BCDE ，∴平面A ′GF ⊥平面BCDE ，故C 正确；对D 来说，∵A ′D ＝A ′E ，∴DE ⊥A ′G ，∵△ABC 是正三角形，∴DE ⊥AG ，又A ′G ∩AG ＝G ，∴DE ⊥平面A ′GF ，从而平面ABC ⊥平面A ′AF ，且两平面的交线为AF ，∴A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上，正确．二、填空题11．12 【解析】△OAB 为直角三角形，两直角边分别为4和6，S ＝12.12．50π 【解析】三棱锥A －BCD 的外接球就是长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球，所以外接球的半径R 满足：2R ＝32＋42＋52＝5 2.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积S ＝4 πR 2＝50 π.13. a >6 【解析】由P A ⊥平面AC ，PE ⊥DE ，得AE ⊥DE .问题转化为以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，所以a2>3，解得a >6.三、解答题 14．【解析】(Ⅰ)3x ＋4y －14＝0 (Ⅱ)(x －5)2＋(y －6)2＝25 15．【解析】(Ⅰ)由题意，得|MA ||MB |＝5. （x －26）2＋（y －1）2（x －2）2＋（y －1）2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0.即(x －1)2＋(y －1)2＝25.∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25， 轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆． (Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段的长为252－32＝8， ∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0.即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2，或5x －12y ＋46＝0.16．【解析】(Ⅰ)证明：连接OE ，如图所示． ∵O 、E 分别为AC 、PC 中点，∴OE ∥P A .∵OE 面BDE ，P A 平面BDE ，∴P A ∥平面BDE .(Ⅱ)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC .又∵BD 平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE .(Ⅲ)取OC 中点F ，连接EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ， ∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3. 17．C18．C 【解析】因为AD ⊥平面P AB ，BC ⊥平面P AB ，所以AD ∥BC ，且∠DAP ＝∠CBP＝90°.又∠APD ＝∠CPB ，AD ＝4，BC ＝8，可得tan ∠APD ＝AD P A ＝CB PB ＝tan ∠CPB ，即得PB P A ＝CB AD＝2，在平面P AB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (－3，0)、B (3，0)．设点P (x ，y )，则有|PB ||P A |＝（x －3）2＋y 2（x ＋3）2＋y2＝2，整理得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0.由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个圆，但要去掉二个点，选C.19．【解析】∵当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1）；1－|x －3|，x ∈[1，＋∞）； 即x ∈[0，1)时，f (x )＝log 12(x ＋1)∈(－1，0]； x ∈[1，3]时，f (x )＝x －2∈[－1，1]；x ∈(3，＋∞)时，f (x )＝4－x ∈(－∞，－1)；画出x ≥0时f (x )的图象，再利用奇函数的对称性，画出x ＜0时f (x )的图象，如图所示；则直线y ＝20172018，与y ＝f (x )的图象有5个交点，则方程f (x )－20172018＝0共五个实根， 最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，∵x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1)，∴f (－x )＝log 12(－x ＋1)， 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 12(－x ＋1)＝log 12(1－x )－1＝log 2(1－x )， ∴中间的一个根满足log 2(1－x )＝20172018， 即1－x ＝220172018，解得x ＝1－220172018， ∴所有根的和为1－220172018.20．【解析】(Ⅰ)证明：如图，连结BD .∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，∴D 1D ⊥平面ABCD .∵AC 平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC .∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵BD ∩D 1D ＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1.∵BD 1 平面BDD 1，∴AC ⊥BD 1.(5分)(Ⅱ)存在．答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面ACC 1A 1中，且过BD 1的中点并与直线A 1A ，C 1C 相交．下面给出答案中的两种情况，其他答案只要合理就可以给满分．(10分)21．【解析】(Ⅰ)设圆Γ的圆心为O 1，显然圆Γ上距A 距离最小的点在AO 1上，于是依题意知AO 1的长度等于A 到l 1的距离．显然A 不能在l 1的下方，若不然A 到l 1的距离小于AO 1的长度， 故有（y －1）2＋x 2＝y －(－1)，即y ＝14x 2 (x ≠0)．(5分) (Ⅱ)若存在这样的点B ，设其坐标为(0，t )，以AB 为直径的圆的圆心为C ，过C 作l 2的垂线，垂足为D .则C 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y ＋t 2，于是CD ＝|y ＋t －4|2， AB ＝x 2＋（y －t ）2＝4y ＋（y －t ）2设所截弦长为l ，则l 24＝⎝⎛⎭⎫AB 22－CD 2＝4y ＋（y －t ）24－（y ＋t ）2－8（y ＋t ）＋164， 于是l 2＝(12－4t )y ＋8t －16，(10分)弦长不变即l 不随y 的变化而变化，故12－4t ＝0，即t ＝3.即存在点B (0，3)，满足以AB 为直径的圆截直线l 2所得的弦长不变．(12分)22．【解析】(Ⅰ)由f (x )＋f (x －1)＞0得log 2(x ＋1)＋log 2x ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＞1x ＞0x ＋1＞0， 解得x ＞5－12，所以x 的取值范围是x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞5－12(5分)； (Ⅱ)当－3≤x ≤－2时，g (x )＝－g (x ＋2)＝g (－x －2)＝f (－x －2)＝log 2(－x －2＋1)＝log 2(－x －1)， 当－2＜x ≤－1时，g (x )＝－g (x ＋2)＝－f (x ＋2)＝－log 2(x ＋3)，综上可得g (x )＝⎩⎨⎧log 2（－1－x ），（－3≤x ≤－2）－log 2（3＋x ），（－2＜x ≤－1）， g (x )在[－3，－1]和[1，3]上递减；g (x )在[－1，1]上递增；(9分)(Ⅲ)因为g ⎝⎛⎭⎫－12＝－g ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－log 232， 由(Ⅱ)知，若g (x )＝－log 232，得x ＝－32或x ＝52， 由函数g (x )的图象可知若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2x 8＋2x ＋3≥g ⎝⎛⎭⎫－12在R 上恒成立． 设u ＝t －2x 8＋2x ＋3＝－18＋t ＋18（1＋2x ）， 当t ＋1≥0时，u ＝－18＋t ＋18（1＋2x ）∈⎝⎛⎭⎫－18，－18＋t ＋18， 则u ∈⎝⎛⎭⎫－18，－18＋t ＋18 ⎝⎛⎭⎫－12，52，则－18＋t ＋18≤52， 解得－1≤t ≤20.当t ＋1＜0时，u ＝18＋t ＋18（1＋2x ）∈⎝⎛⎭⎫－18＋t ＋18，－18， 则u ∈⎝⎛⎭⎫－18＋t ＋18，－18 ⎝⎛⎭⎫－12，52，则－18＋t ＋18≥－12， 解得－4≤t ＜－1.综上，故－4≤t ≤20.(13分)。