圆综合的八大模型PPT课件
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圆的综合应用.完整版PPT资料
解：(1)证明：连接 OC，
∵OD⊥BC， 正多边形和圆的关系（ 增加的必学 ）
(2)无交点，作垂直，证半径．当此线与圆无交点时，过圆心向此线作垂线段，证明此垂线段长等于半径．
∴OC＝OB，CD＝BD， 圆的切线的判定为中考常考的考点之一，证明思路为：
②证明一角为90°，经常通过证明两个直角三角形全等或是利用平行的性质得到．
考点变化 ：圆与圆的位置关系（删减内容） 正多边形和圆的关系（ 增加的必学 ）
三年考点分析
年份 2010
题号
考点
①切线的性质定理 ②相似三角形的性质与判定 ③勾股定理
①圆周角定理；
2011
②切线的性质定理 23 ③三角形函数
2012
①矩形的性质与判定 ②全等三角形的性质与判定 ③切线的性质定理 ④勾股定理
尝试用列方程的思想方法解决几何的计算问题 是一种重要的思想方法．
独立 作业
1.对圆的综合应用知识进 一步完善,做到查漏补缺.
2.完成《中考内参》
P123 3 ,4，5题
圆的切线的判定为中考常考的考点之一，证明思路为： (1)有交点，连半径，证垂直．这是最常见的类型，这 类证明又常分为两种情况： ①证明两个以上的角之和为90°，经常利用圆的有关 性质(半径相等，圆周角定理等)进行等角代换； ②证明一角为90°，经常通过证明两个直角三角形全 等或是利用平行的性质得到． (2)无交点，作垂直，证半径．当此线与圆无交点时， 过圆心向此线作垂线段，证明此垂线段长等于半径．
∴△CDO≌△BDO， ②全等三角形的性质与判定
①证明两个以上的角之和为90°，经常利用圆的有关性质(半径相等，圆周角定理等)进行等角代换；
∴∠COD＝∠BOD. ①证明两个以上的角之和为90°，经常利用圆的有关性质(半径相等，圆周角定理等)进行等角代换；
圆的认识PPT课件
理解圆的基本概念和性质
通过学习，学生应能理解并掌握圆的基本概念和性质，如圆上各点到圆心的距 离相等、直径是半径的两倍等。
培养空间观念和推理能力
通过观察、操作和推理，培养学生的空间观念和推理能力，为后续学习奠定基 础。
02
圆的基本性质
圆的定义
总结词
圆的定义是平面内到定点距离等种非常有用的几何图形，它在日常生 活和工业生产中有着广泛的应用。例如，轮 胎的设计就是利用了圆的旋转不变性，使得 车辆能够平稳地行驶；钟表的设计也是利用 了圆的知识，才能够准确地计量时间；餐具 中的盘子、碗等也是利用了圆的知识来设计
，使得它们能够方便地使用和清洗。
05
圆的切线和半径的关系
生活品质。
圆在日常生活中的应用还体现在 艺术和装饰方面，如圆形图案的 运用，增添了物品的美感和时尚
感。
圆在科学实验中的应用
圆在科学实验中具有广泛的应用，如物理学中的圆周运动、化学中的分子结构、生 物学中的细胞结构等。
圆在科学实验中的应用能够简化实验设计和数据分析过程，提高实验的准确性和可 靠性。
圆在科学实验中的应用还体现在工程技术和科学研究方面，如航天器轨道的设计、 天体运行规律的探索等。
切线的定义和性质
切线的定义
切线是一条与圆只有一个公共点的直 线，这个公共点叫做切点。
切线的性质
切线与半径垂直，切线与半径相交于 切点。
切线和半径的关系
切线与半径垂直
切线与经过切点的半径垂直，这是切线的基本性质。
切线与半径相交于切点
切线与半径在切点处相交，这是切线的另一个重要性质。
切线定理的应用
圆的认识ppt课件
• 引言 • 圆的基本性质 • 圆的周长和面积 • 圆的对称性和旋转不变性 • 圆的切线和半径的关系 • 圆的综合应用
通过学习，学生应能理解并掌握圆的基本概念和性质，如圆上各点到圆心的距 离相等、直径是半径的两倍等。
培养空间观念和推理能力
通过观察、操作和推理，培养学生的空间观念和推理能力，为后续学习奠定基 础。
02
圆的基本性质
圆的定义
总结词
圆的定义是平面内到定点距离等种非常有用的几何图形，它在日常生 活和工业生产中有着广泛的应用。例如，轮 胎的设计就是利用了圆的旋转不变性，使得 车辆能够平稳地行驶；钟表的设计也是利用 了圆的知识，才能够准确地计量时间；餐具 中的盘子、碗等也是利用了圆的知识来设计
，使得它们能够方便地使用和清洗。
05
圆的切线和半径的关系
生活品质。
圆在日常生活中的应用还体现在 艺术和装饰方面，如圆形图案的 运用，增添了物品的美感和时尚
感。
圆在科学实验中的应用
圆在科学实验中具有广泛的应用，如物理学中的圆周运动、化学中的分子结构、生 物学中的细胞结构等。
圆在科学实验中的应用能够简化实验设计和数据分析过程，提高实验的准确性和可 靠性。
圆在科学实验中的应用还体现在工程技术和科学研究方面，如航天器轨道的设计、 天体运行规律的探索等。
切线的定义和性质
切线的定义
切线是一条与圆只有一个公共点的直 线，这个公共点叫做切点。
切线的性质
切线与半径垂直，切线与半径相交于 切点。
切线和半径的关系
切线与半径垂直
切线与经过切点的半径垂直，这是切线的基本性质。
切线与半径相交于切点
切线与半径在切点处相交，这是切线的另一个重要性质。
切线定理的应用
圆的认识ppt课件
• 引言 • 圆的基本性质 • 圆的周长和面积 • 圆的对称性和旋转不变性 • 圆的切线和半径的关系 • 圆的综合应用
六种圆周运动模型 ppt课件
F合
mg
tan
F心
F心
mv2 r
mw2r
解得：
v gr
tan
w g
tan r
规律：稳定状态下，小球所处的位置越高，半径r越
大，角速度越小，线速度越大，而小球受到的支持
力和向心力并不随位置六的种圆变周运化动而模型变化。
4
三、火车转弯模型：
六种圆周运动模型
5
四、汽车过桥模型：
F向
ma
ห้องสมุดไป่ตู้
mv2 R
F向
ma
mv2 R
FN
G mv2 R
六种圆周运动模型
6
五、轻绳模型
1、安全通过最高点的临界条件:
v临 = gR
2、对最高点分析：
v＞
gR
：绳子或外轨道对物体的弹力:
v2 F m G
R
方向竖直向下
v = g R :绳子或外轨道对物体的弹力:F=0
v＜ gR:物体不能过最高点！！！
v = g R 是物体所六种受圆周弹运力动模方型 向变化的临界速度。 7
六种圆周运动模型分析
六种圆周运动模型
1
一、圆盘模型：
F合f F心mr2vm2w r
当f最大值时： f mg 线速度有最大值：v gr
g
角速度有最大值：w r
六种圆周运动模型
2
二、圆锥摆模型： 由拉力F和重力G的合力提供向心力
六种圆周运动模型
3
倒置圆锥摆模型:
1.如果内壁光滑，由重力和支持力的合力提供向心力
《圆的综合问题》课件
弦切角定理
总结词
弦切角定理是圆的另一个重要性质， 它描述了弦切角与相邻的圆心角之间 的关系。
详细描述
弦切角定理指出，弦切角等于它所夹 的弧所对的圆心角的一半。这个定理 在证明和解决与弦、切线和圆相关的 几何问题时非常有用。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重 要定理。
详细描述
切线长定理指出，从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。这个 定理在解决与切线和圆相关的几何问 题时非常有用，因为它提供了一种计 算切线长度的方法。
05
CATALOGUE
圆的实际应用
生活中的圆
总结词
无处不在，形状规则，美感十足
详细描述
从自然界中的太阳、月亮、星球到人类创造的各种物品，如车轮、餐具、建筑等，圆的身影无处不在 。它具有独特的形状和美感，给人以和谐、完美的感觉。
圆在几何作图中的应用
总结词
基础工具，简化作图，提高精度
VS
详细描述
圆规是几何作图的基本工具之一，利用它 可以轻松地画出各种大小的圆。在复杂的 几何图形中，圆可以作为基础元素，帮助 简化作图过程，提高作图的精度和效率。
04
CATALOGU
当直线与圆只有一个公共点时， 称为相切关系。此时，直线称为 圆的切线，切点是与圆最近的点
。
相交
当直线与圆有两个公共点时，称为 相交关系。此时，直线称为圆的割 线。
相离
当直线与圆没有公共点时，称为相 离关系。
圆与圆的位置关系
内含
一个圆完全位于另一个 圆内，称为内含关系。
《圆的综合问题》 课件
contents
目录
• 圆的定义与性质 • 圆的方程 • 圆的几何性质 • 圆的综合问题 • 圆的实际应用
奥数几何-圆形五大模型带解析
奥数几何-圆形五大模型带解析模型一：圆- 定义：圆是由一个确定的点叫做圆心，到这个圆心距离相等的点的集合。
- 特点：圆的直径是两个相对的点在圆上的最远距离，圆周是圆的边界。
- 公式：- 圆的周长：C = 2πr （其中r为圆的半径）- 圆的面积：A = πr²模型二：切线- 定义：切线是与圆相切于圆上某一点的直线。
- 特点：切线和半径垂直，并且在切点处与半径的夹角为90度。
- 公式：- 切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去半径的平方。
- 等腰三角形的底边等于等于切点在圆上的切线。
模型三：弦- 定义：弦是圆上任意两点连线所得的线段。
- 特点：从圆心到弦的垂线分割弦成两段，这两段的乘积等于从圆心到弦中点的垂线与弦的乘积。
- 公式：- 弦长= 2r * sin(θ/2) （其中r为圆的半径，θ为圆心角的度数）模型四：弧- 定义：弧是圆上两个端点之间的一段弧线。
- 特点：弧长等于半径乘以弧所对的圆心角的弧度。
- 公式：- 弧长= r * θ （其中r为圆的半径，θ为圆心角的弧度）模型五：扇形- 定义：扇形是由圆心、弧和两条辐射连线围成的图形。
- 特点：扇形的面积等于圆心角所对的弧长与圆的面积的比值乘以圆的面积。
- 公式：- 扇形的面积= (θ / 360) * πr² （其中θ为圆心角的度数，r为圆的半径）以上是奥数几何中与圆形相关的五大模型及其解析。
在解题过程中，可以借助这些模型来简化问题、找到关联关系、求解未知量。
希望对您有所帮助！。
专题9圆的综合题ppt课件
(1)试判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理 由．
(2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE＝3 3，DF＝3，求图 中阴影部分的面积．
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
专题九 圆的综合题
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
专题九 圆的综合题
数学
典题剖析
(2017·呼和浩特)如图，点 A，B，C，D 是
︵
直径为 AB 的⊙O 上的四个点，C 是劣弧BD 的中点， AC 与 BD 交于点 E.
专题九 圆的综合题
数学
(2)∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥
BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3.∵BE＝3 3，∴
BD＝ 32＋3 32＝6.∵sin∠DBF＝36＝12，∴∠
DBA＝30°.∴∠DOF＝60°.∴sin 60°＝DDOF＝D3O
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
专题概述 典题剖析 真题演练
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
专题九 圆的综合题
数学
专题概述
圆的综合题在中考中主要有三个方面的考查点：一是圆的基本元 素的考查，包括运用垂径定理的有关计算，运用圆周角定理及推论的 有关证明及计算，还可能与三角形的相似和解直角三角形相联系；二 是切线的证明与计算，也往往与三角形的相似和锐角三角函数相联 系；三是与面积相关的计算，注意扇形的面积计算公式的熟练应 用．解决此类问题的方法灵活，三角形的全等与相似、中位线等等都 是在题目中常用的方法，在解题时要学会抓解题的线索，层层深入来 解决题目．
(2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE＝3 3，DF＝3，求图 中阴影部分的面积．
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专题九 圆的综合题
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专题九 圆的综合题
数学
典题剖析
(2017·呼和浩特)如图，点 A，B，C，D 是
︵
直径为 AB 的⊙O 上的四个点，C 是劣弧BD 的中点， AC 与 BD 交于点 E.
专题九 圆的综合题
数学
(2)∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥
BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3.∵BE＝3 3，∴
BD＝ 32＋3 32＝6.∵sin∠DBF＝36＝12，∴∠
DBA＝30°.∴∠DOF＝60°.∴sin 60°＝DDOF＝D3O
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专题概述 典题剖析 真题演练
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专题九 圆的综合题
数学
专题概述
圆的综合题在中考中主要有三个方面的考查点：一是圆的基本元 素的考查，包括运用垂径定理的有关计算，运用圆周角定理及推论的 有关证明及计算，还可能与三角形的相似和解直角三角形相联系；二 是切线的证明与计算，也往往与三角形的相似和锐角三角函数相联 系；三是与面积相关的计算，注意扇形的面积计算公式的熟练应 用．解决此类问题的方法灵活，三角形的全等与相似、中位线等等都 是在题目中常用的方法，在解题时要学会抓解题的线索，层层深入来 解决题目．
《认识圆》PPT课件整理.ppt
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13
用 圆 规 画 圆
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14
画一个半径为2厘米的圆。
一、定长（半径） 二、定点（圆心） 三、一只脚旋转一周
2厘米
012345
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15
（1）今天我学习了圆的知识。我知
道用O表示（圆心），用r表示
（ 半）径，用d表示（ 直）径。直 径和半径的关系是（ d＝2r或）r ＝。d2
（2）我还学会了画圆。画
直径 d
圆时圆规两脚分开的距离是 （ 半径），针尖一脚固定的 一点是（ ）圆。心
我的收获
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返回 16
指出下面各圆的半径和直径。
直径d
半径r
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17
填一填
1 2
3
（1）（ 2 ）号线段表示直径。
（2）（ 3 ）号线段表示半径。
（3）两端都在圆上的线段中， （直径）最长。
29
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30
.精品课件.
31
.精品课件.
32
.精品课件.
33
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34.精Βιβλιοθήκη 课件.35.精品课件.
36
.精品课件.
37
.精品课件.
38
学校田径运动会即将举行，你有办法 帮学校在操场上画出一个半径为10米的 圆吗？
.精品课件.
39
谢谢
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40
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18
（1）半径是射线，直径是直线。( × ) （2）圆的直径都相等。(× )
（3）直径是圆内最长的线段。( √ )
对的打“√” （4）圆心决定圆的位置，半径决定圆 错的打“×” 的大小。( √ )
2024版《圆的认识》圆PPT优秀教学课件
描点法
在坐标系中描出满足圆的方程的若 干个点，然后用平滑的曲线连接这 些点，即可得到圆的图形表示。
03
圆的性质定理与证明
切线长定理及证明
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
证明
设点P为圆外一点，PA、PB为圆的两条切线，切点分别为A、B。连接圆心O到A、B、 P三点，由于OA、OB为半径，所以∠OAP和∠OBP均为直角。根据HL全等条件，可 证△OAP≌△OBP，从而PA=PB。
04
圆的综合应用举例
求解切线方程问题
切线定义及性质
典型例题解析
回顾切线定义，阐述切线与半径垂直 的性质。
选取具有代表性的切线方程问题，详 细解析求解过程。
切线方程求解方法
通过圆心坐标和切线斜率，利用点斜 式或斜截式求解切线方程。
求解切线长问题
切线长定义及性质
回顾切线长定义，阐述切线与半 径、切线长与弦长的关系。
THANKS
感谢观看
求解割线性质问题
割线性质概述
总结割线的性质，如割 线与半径的关系、割线 定理等。
割线性质应用
利用割线性质解决与圆 相关的角度、长度等问 题。
典型例题解析
选取具有代表性的割线 性质问题，详细解析求 解过程。
05
与圆相关的数学问题拓展
点到直线距离公式推导及应用
点到直线距离公式推导
通过构造直角三角形，利用勾股定理 和相似三角形性质推导出点到直线距 离公式。
半径
03
一般方程中，半径$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
圆的参数方程
01 02
定义
以点$O(a,b)$为圆心，$r$为半径的圆的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x=a+rcostheta y=b+rsintheta end{array} right.$，其中$theta$为参数。
在坐标系中描出满足圆的方程的若 干个点，然后用平滑的曲线连接这 些点，即可得到圆的图形表示。
03
圆的性质定理与证明
切线长定理及证明
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
证明
设点P为圆外一点，PA、PB为圆的两条切线，切点分别为A、B。连接圆心O到A、B、 P三点，由于OA、OB为半径，所以∠OAP和∠OBP均为直角。根据HL全等条件，可 证△OAP≌△OBP，从而PA=PB。
04
圆的综合应用举例
求解切线方程问题
切线定义及性质
典型例题解析
回顾切线定义，阐述切线与半径垂直 的性质。
选取具有代表性的切线方程问题，详 细解析求解过程。
切线方程求解方法
通过圆心坐标和切线斜率，利用点斜 式或斜截式求解切线方程。
求解切线长问题
切线长定义及性质
回顾切线长定义，阐述切线与半 径、切线长与弦长的关系。
THANKS
感谢观看
求解割线性质问题
割线性质概述
总结割线的性质，如割 线与半径的关系、割线 定理等。
割线性质应用
利用割线性质解决与圆 相关的角度、长度等问 题。
典型例题解析
选取具有代表性的割线 性质问题，详细解析求 解过程。
05
与圆相关的数学问题拓展
点到直线距离公式推导及应用
点到直线距离公式推导
通过构造直角三角形，利用勾股定理 和相似三角形性质推导出点到直线距 离公式。
半径
03
一般方程中，半径$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
圆的参数方程
01 02
定义
以点$O(a,b)$为圆心，$r$为半径的圆的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x=a+rcostheta y=b+rsintheta end{array} right.$，其中$theta$为参数。
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• 【练习2】（2013年全国初中数学联合竞赛试题本题满分25分）已
知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连
AC，若
，求 的值。
OP 9 AC
PB
2
AC
• 【例2】．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D 作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.
• (1)求证：OB丄OC; • (2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1与半⊙O 外切，并与BC、CD 相切，
求⊙O1的面积.
• 【练习2】如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE， 点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.
• （1）求证：AD是⊙O的切线； • （2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.
• （1）求证：△ABC∽ΔOFB； • （2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长； • （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.【解决问题
的思维方法是】
• 【练习1】（2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD中，AB//CD， ∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切.
• （1）求证：DE=DF；
• （2）连结AE，若OF =1，BF =3，求
的值.
• 【解决问题的思维方法是】
tan A
C
A
FB
D
O
E
• 【练习1】（2011四川乐山24，10分）如图，D为 O上一点，点C在直径BA
的延长线上，且∠CDA=∠CBD.
• (1)求证:CD是⊙O的切线; • (2)过点B作 O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA= ,求BE的长
• 【练习1】（2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线 交⊙O于A、B两点， AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作 ，垂足为D.
• (1) 求证：CD为⊙O的切线； • (2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.
• 【练习2】直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于 E，连OC、BD交于F.
2 3
• 【练习2】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，D是弧AC的 中点，，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.
• （1）求证：EF为⊙O的切线； • （2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.
F D
C
E
A
O
B
模型三：过直径的端点作圆的两条切线问题
• 【例3】．（2011山东潍坊，23，11分）如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、 BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线 OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点 Q.
• 【练习1】（2011•广安）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是 切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相
交于点Q．
• （1）求证：PB是⊙O的切线；
• （2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；
• （3）设∠AOQ=α，若
，OQ=15，求AB的长．
A
O
C
E
D
F B
• 【练习】（2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD 交BC于点E，AE=2，ED=4，
• 求证：（1）△ABE∽△ADB；
• (2)求AB的长； • (3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并
C E D
F
A
O
B
• 【例4】．如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F 是BE的中点．
• （1）求证：DF是⊙O的切线． • （2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长
• 【解决问题的思维方法是】
A
O
E F
B
D
C
• 【练习1】（2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC， 以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
圆综合的八大模型
模型一：从圆外作圆的两条切线问题
• 【例1】．（2012•襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线 PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A， 延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
• （1）求证：直线PA为⊙O的切线； • （2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明； • （3）若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
• 【例5】．（2012•西宁）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若 直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．
• （1）求证：△ADC∽△ACB；
• （2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C、G两点， 若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求tan∠DAC的值．
• ⑴求证：CD为⊙O的切线
• ⑵若 ，求 的值
BE 3
BF
AB 5
DF
A
D
O F
B
EC
模型六：和切线平行的弦的问题
• 【例6】．（2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相 垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，
cos∠BCD=
• （1）求证：CD∥BF； • （2）求⊙O的半径；3 • （3）求弦CD的长.4
• （2）△BEC∽△ADC； • （3）AB•CE=2DP•AD．
• 【练习3】如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作 • ⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E. • （1）求证：DE为⊙O的切线； • （2）若BC= ，AE=1，求 的值.
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cos AEO
C D
E
A
O
B
模型五：过直径的端点作一条或两条垂 线于圆的切线问题
• ⑴求证：点D是A结论； • ⑶若⊙O的直径为18，cosB = ，求DE的长．
1 3
• 【练习2】（2012•肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC 于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：
• （1）D是BC的中点；