2014高考数学限时训练 第1篇 第3讲简单的逻辑联结词.

第3讲简单的逻辑联结词
分层A级基础达标演练
(时间：30分钟满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·北京朝阳二模)如果命题“p∧q”是假命题，“綈q”也是假命题，则
()．A．命题“綈p∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题
C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“p∧綈q”是真命题
解析由“綈q”为假命题得q为真命题，又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，綈p为真命题．所以命题“綈p∨q”是真命题，A错；命题“p∨q”是真命题，B错；命题“p∧綈q”是假命题，D错；命题“綈p∧q”是真命题，故选C.
答案 C
2．(2013·长春模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则()．A．綈p：有的三角形不是等边三角形
B．綈p：有的三角形是不等边三角形
C．綈p：所有的三角形都是等边三角形
D．綈p：所有的三角形都不是等边三角形
解析命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D.
答案 D
3．(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()．A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．答案 B
4．(2013·潍坊模拟)已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2
a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12＜0的解集是{x |3＜x ＜4}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．其中正确的是
( )．
A ．②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④ 解析 因为命题p 和命题q 都是真命题，所以命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧綈q ”是假命题，命题“綈p ∨q ”是真命题，命题“綈p ∨綈q ”是假命题． 答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0成立”的否定是________． 答案 对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0
6．(2012·南通调研)存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b <0成立，则b 的取值范围是________．
解析 要使x 2－4bx ＋3b <0成立，只要方程x 2－4bx ＋3b ＝0有两个不相等的
实根，即判别式Δ＝16b 2
－12b >0，解得b <0或b >34. 答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，＋∞ 三、解答题(共25分)
7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈q ”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；
(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；
(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．
解 (1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p ∧q ：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
綈q ：2不是4的约数，假命题．
(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
綈p ：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题； p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题； 綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号不同，真命题．
8．(13分)(2012·绍兴一中二模)已知a >0，命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实根x 0满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．
解 方程a 2x 2＋ax －2＝0即(ax ＋2)·
(ax －1)＝0， ∴x ＝－2a 或x ＝1a .
不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0只有一个实数解，
即Δ＝(2a )2－8a ＝0，∵a >0，所以a ＝2.
∵“p 或q ”为假命题，∴p 假且q 假，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a >1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a >1，a ≠2，
解得0<a <1，即a 的取值范围是(0,1)．
分层B 级 创新能力提升
1．(2012·广州二模)给出如下几个结论： ①命题“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ＝2”的否定是“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ≠2”；
②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x <2”；
③对于∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2；
④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2.
其中正确的为
( )．
A ．③
B ．③④
C ．②③④
D ．①②③④
解析 根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①
不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－
2，2]知④正确．
答案 C
2．(2012·江西六校联考)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ”．命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是
( )．
A ．(－∞，－2]
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2]∪{1}
D ．[1，＋∞) 解析 若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p ∧q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1. 答案 C
3．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＜0，
Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.
答案 [－8,0]
4．(2013·长沙调研)下列结论：
①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝33；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p
∧綈q ”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝
－3；
③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋
2≠0”．其中正确结论的序号为________．
解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
5．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．
解 由⎩⎨⎧
Δ1＝4m 2－4＞0，
x 1＋x 2＝－2m ＞0得m ＜－1.∴p ：m ＜－1； 由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，
知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.
由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假，
当p 真q 假时，⎩⎨⎧ m ＜－1，
m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；
当p 假q 真时，⎩⎨⎧
m ≥－1，
－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3.
∴m 的取值范围是{m |m ≤－2，或－1≤m ＜3}．
6．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．
解 由命题p 为真知，0<c <1，
由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，
要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，
若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，
则p 、q 中必有一真一假，
当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；
当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1. 综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.。