高一00班培优教案

§1三角、向量的拓展一、公式1、二倍角、三倍角和万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+；2222221tan cos2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+； 22tan tan 21tan ααα=-；3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；αααα23tan 31tan tan 33tan --= 2、半角公式21cos sin 22αα-=；21cos cos 22αα+=；1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+ 3、积化和差与和差化积公式1sin cos [sin sin ]2αβαβαβ=++-（）（）；1cos sin [sin sin ]2αβαβαβ=+--（）（）；1cos cos [cos cos ]2αβαβαβ=++-（）（）；1sin sin [cos cos ]2αβαβαβ=-+--（）（）；sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cos sin22αβαβαβ+--=； cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=- 4、其它βαβαβα22sin sin )sin()sin(-=-+；βαβαβα22cos cos )cos()cos(-=-+；)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )60sin(sin )60sin(43sin αααα+︒-︒=；)60cos(cos )60cos(43cos αααα+︒-︒=；)60tan(tan )60tan(3tan αααα+︒-︒=5、不常用的公式（运用时先作简单证明）（1）α-β=β-α=β-αβ+α2222cos cos sin sin sin sin ）（）（；（2）β-α=β-αβ+α22sin cos cos cos ）（）（；（3））（）（θ+︒θ-︒θ=θ60cos 60cos cos 43cos ； （4））（）（θ+︒θ-︒θ=θ60sin 60sin sin 43sin ；（5）22sin sin sin 033ππααα+++-=（）（）；（6）222223sin sin sin 332ππααα+++-=（）（）； （7）333223sin sin sin sin3334ππαααα+++-=-（）（）；（8）333223cos cos cos cos3334ππαααα+++-=（）（）；（9）sin sin sin sin 4sin sin sin222αββγγααβγαβγ+++++-++=（）； （10）cos cos cos cos 4cos cos cos222αββγγααβγαβγ++++++++=（）； （11）1sin cos 22cos cos cos 2cos sin 2n nd d x x x d x d x nd d +++++++++=（）（）（）（）； （12）1sin sin 22sin sin sin 2sin sin 2n nd d x x x d x d x nd d +++++++++=（）（）（）（） ； （13）11sin2cos cos2cos4cos22sin n nn x x x x x x++=二、三角形中的三角变换在ABC ∆中，若a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对应的边，R ，r 分别为ABC ∆外切圆和内切圆的半径，则有： （1）A+B+C=π；（2）a +b >c ,a +c >b ,b +c >a ；（3）正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===； （4）余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=（a ，b ，c 可轮换）；2222cos a b c bc A =+-（a ，b ，c 可轮换）（5）三角形的面积公式：ABC S ∆=21×底×高；111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ca B ∆===；海伦公式：ABC S ∆，其中p =12(a +b +c )；ABC S ∆=rp ；ABC S ∆=4abcRABC S ∆=22R ·sinA·sinB·sinC （6）B A b a B A sin sin >⇔>⇔>；（7）tannA+tannB+tannC=tannA·tannB·tannC ；以下公式运用时先作简单证明（8）sin sin sin 4sin cos cos cos 2222n nA nB nCnA nB nC π++=（n 为奇数）；sin sin sin 4cos sin sin sin2222n nA nB nCnA nB nC π++=-（n 为偶数）； cos cos cos 14sin sin sin sin2222n nA nB nCnA nB nC π++=+（n 为奇数）； cos cos cos 14cos cos cos cos2222n nA nB nCnA nB nC π++=-+（n 为偶数）； （9）222sin sin sin 2(1cos cos cos )A B C A B C ++=+；222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-；（10）cot cot cot cot cot cot222222nA nB nC nA nB nC++=（n 为奇数） （11）1CcotA t tanBcotC tanAcotB =++an （12）2Ccot 2B cot 2A cot 2C cot 2B cot 2A cot=++12A tan 2C t 2C tan 2B t 2B tan 2A t =++an an an （13）1cos cos cos 2sin 2sin 2sin 4-++==C B A CB A R r （R r ,为三角形的内切圆、外接圆的半径） 三、常见的一些结论： (1)重心： 11()3PG PA PB PC G =++⇔为ABC ∆的重心，特别的P ⇔++=为ABC ∆的重心；2),0[),(+∞∈+λλAC AB 是边BC 上的中线AD 上的任意向量，过重心； 3⇔=+AD AC AB )(21已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线. (2)垂心：1：⇔⋅=⋅=⋅PA PC PC PB PB PA P 为ABC ∆的垂心；2(),[0,)||cos ||cos AB AC AB B AC Cλλ+∈+∞是ABC ∆的边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心. (3)内心10=++OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的内心.2向量()(0)||||AB ACAB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心（是BAC ∠的角平分线所在直线）. （4）OB n OA m OP +=，若B A P n m ,,1⇔=+三点共线（5）若,0=++OC p OB n OA m 则BO C AO C AO B S S S ∆∆∆::=_________例题讲解1、求函数2()24f x x x x =--的值域，变题：求函数221y x x x =+-的值域提示：因04x ≤≤，设22c o s x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 4)4y αααϕ=-+=++（其中c o s 5ϕ=，sin 5ϕ=，ϕ为锐角），所以当0α=时，m a x 8y =，当αϕπ+=时，m i n 4y =-，故425,8y ⎡⎤∈-⎣⎦.2、求cos1cos2cos3cos89...sin 46sin 47sin 48sin134++++的值 解： cos cos cos((45)45)22tan(45)sin(45)cos(45)cos(45)ααααααα-+===--+--∴cos1cos2cos3cos89...sin 46sin 47sin 48sin134++++=2289(tan(44)tan(43)...tan 44)⨯--+-++ =892， 另解：（利用诱导公式配对求和）0cos cos(90)cos sin sin(45)sin(135)sin(45)sin(45)αααααααα-+=++-++sin cos 2sin(45)ααα+==+ cos1cos2cos3cos89...sin 46sin 47sin 48sin134++++cos1cos89cos44cos46cos4589()...()2sin 46sin134sin89sin91sin902=+++++= 3、已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值． 解令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．令θθsin cos +=x ，则]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin cos 2-=x θθ． 于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ．因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．因此，m 的最小值为2423)2(-=f ．4、实数,x y 满足224545,x xy y -+=设22s x y =+，求maxmin11S S +的值 解：易知220s x y =+>，设x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入224545,x xy y -+=得810sin 25s s θ-=.于是810||15s s -≤，得1010133s ≤≤，故max min 1010,313S S ==，故max min 11313810105S S +=+=． 5、证明：对于一切正整数n ,函数sin3sin5sin(21)()sin 3521x x n xf x x n -=++++- 在(0,)x π∈上恒为正6、已知函数222sin 2(,,0)2cos 2a a y a a a a θθθ++=∈≠++R .那么对于任意的,a θ，求函数y 的最大值与最小值 7、在ABC ∆中，,3,2==AC AB 角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若),,(R y x y x ∈+=则y x +的值如图，G 是OAB ∆的重心，Q P ,分别是边OA ,OB 上的动点，且Q G P ,,三点共线.(1)设y x ==,，证明：y x 11+是定值. (2)记OAB ∆与OPQ ∆的面积为T S ,.求ST的取值范围.向量典型问题：(1)共线与垂直、运算1已知,2,),2,1(),3,4(+=-=-==λ则当=λ_______时，n m //，则当=λ_______时，n m ⊥. 2三角形ABC 的外接圆圆心为O 且半径为1，若0543=++OC OB OA ，则⋅=_________ (2)向量的几何意义：1.已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是_________2.在ABC ∆中，若对任意的实数m ，有||||AC BC m BA ≥-，则三角形ABC 的形状为_________ （3）向量与函数、不等式1.在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+ 的最小值是______________ 2.在ABC ∆中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交AB,AC 于M,N 两点，设)0(,≠==xy AC y AN AB AM λ， 则y x +4的最小值_______3.已知),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x ，O 为坐标原点，),4,3(A 则AOP ∠cos ||的最大值为：______（4）综合1.在ABC RT ∆中，斜边AB 长为1，E 为AB 的中点，AB CD ⊥,则)()(⋅⋅⋅的最大值为_______.§2自主招生问题选讲系列1、求函数y =(x +1)(x +2)(x +3)(x +4)+5在［-3,3］上的最小值 解：∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5=(x 2+5x+4)(x 2+5x+6)+5=(x 2+5x+5-1)(x 2+5x+5+1)+5=(x 2+5x+5)2+4设Z=x 2+5x+5，则y=Z 2+4，对Z=x 2+5x+5=(x+5/2)2-5/4，x ∈[-3,3]，易知Z min =-5/4，Z max =29∴y=Z 2+4，Z ∈[-5/4,29]抛物线开口向上，对称轴Z=0∈[-5/4,29]，∴y min =4 故y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在［-3,3］上的最小值是42、（2012北大保送）已知1210,,,a a a 为正实数，且满足：10101130,21i i i i a a ===<∑∏，求证：1210,,,a a a 中必有一数在区间(0,1)内3、已知f (x )＝x 2＋ax ＋b (－1≤x ≤1)，若|f (x )|的最大值为M ，求证：M≥12解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ⑴若|－2a|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|}而f ⑴＝1＋a ＋b ， f(－1)＝1－a ＋b |f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2 ∴ M≥2＞21 ⑵|－2a|＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4a 2＋b|}≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a 2＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a 2＋b)]＝)2a 2(412+≥21综上所述，原命题正确.4、（清华自主招生）已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=12{,,,}(1)n a a a n > 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21,*)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-.当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a 当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a 由3332a a +=,解得.33=a 综上可知,}.3,2,1{=A5、记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T 3124234{|,1,2,3,4},7777i a a a a M a T i =+++∈=将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2016个数是_________解:用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈=M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396.而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++6、对于正整数a , b , c (a ≤b ≤c )和实数x , y , z , w ，若a x =b y =c z =70w ，且wz y x 1111=++，求证：a +b =c .【证明】由a x =b y =c z =70w 取常用对数得xlga =ylgb =zlgc =wlg 70. 所以w 1lga =x 1lg 70, w 1lgb =y1lg 70, w 1lgc =z 1lg 70，相加得w 1(lga +lgb +lgc )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++z y x 111lg 70，由题设w z y x 1111=++， 所以lga +lgb +lgc =lg 70，所以lgabc =lg 70.所以abc =70=2×5×7.若a =1，则因为xlga =wlg 70，所以w =0与题设矛盾，所以a >1. 又a ≤b ≤c ，且a , b , c 为70的正约数，所以只有a =2, b =5, c =7. 所以a +b =c .7、关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为__________可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数． 由2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得2y ≤11616.577≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求． 当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-； 当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==． 所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩223,4;x y =-⎧⎨=⎩331,4;x y =⎧⎨=-⎩443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 8、设a 、b 均为大于1的自然数，函数x a ab x f sin )(+=，b x x g +=cos )(，若存在实数k ，使得)()(k g k f =，求a b +9、（2011西部奥林匹克）求所有的实数0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得(2sin 2)sin()14x x π-+= 10、（2011北大保送）设函数2(),f x x px q =++若(())0f f x =只有一个实数根，求证：,0p q ≥ 11、设函数()sin 1f x x x =+， （I ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值；（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求acb cos 的值． 解：（I ）由条件知()2sin()13f x x π=++，由02x π≤≤知，5336x πππ≤+≤，于是1sin()123x π≤+≤ 所以2x π=时，()f x 有最小值12122⨯+=； 当6x π=时，()f x 有最大值2113⨯+=．（II ）由条件可知2sin()2sin()133a xb xc a b ππ+++-++=对任意的x R ∈恒成立，∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333a xb xc b x c a b πππ+++⋅-+⋅++-= ∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033a b c x b c x a b ππ+⋅+-⋅+++-=∴cos 0sin 010a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩, 由sin 0b c =知0b =或sin 0c =。