一道竞赛试题的进一步探究
一道数学竞赛试题法探究
该 题 到 此 已 经 圆 满 解 决 了 ， 我 们 总 感 觉 但 有 一 些 疑 问 ， 如 ： 类 函 数 一 定 具 有 单 调 性 比 此
吗 ？ 如 果 没 有 单 调 性 该 如 何 解 决 呢 ？ 对 于 一
般 形 式 的 函数 ｆ（ 一 ￣。 ） ／ ｚ＋ｂ＋ ￣ｃ ｄ的 值 ／ｚ＋
（ｏ ｓ 一２ｊ－ ｓ ０ ） ｃ ｓ＋ ｉ ） ｎ ， ｃ （－ ３ｏ ．
一
２ √二 兰
．
・
二
（≤… ≤８ ， ５ ） 一
・
・
。ｏ 号 号 －６ ≤ ≤ 一 ≤ 一３＜ －
￣
：ｚ ｓ．ｈｎｊｕｎｌｎ ｔｃ ｘ ｓｃ ｉａ ｒａ， ｅ． ｎ ｏ
令 ｆ （ ＞ Ｏ ，２ ｚ） ／ ４— ３ 一 ３ ｚ一 ５ ０ ＞
竟 赛
— 睁
这 虽 然 是 一 道 竞 赛 题 ， 是 考 的 是 中 学 数 但
学 的 基 本 问 题 和 方 法 ， 这 个 问 题 的 研 究 和 解 对
５ ｚ 罕； ≤＜
Ｓ （ ） ０ 、 ＜ ， 一３ 二 ＜ ０
域该 如何 确定 ？ 我 们 不 妨 做 如 下 探 究 ： 函 数 ＿ ｚ）＝ 求 厂（
，
即 √
ｃ
，
可 考 虑用 三 角 代 换 解 决 ．
ｆ－ 由 ｔ ｌ ｛ ￣
。 ㈢ ， ㈢ ｓ ≤
／ ７—５９ ２ —３ 的值 域 ． － ４ ｘ
分 析 一 显 然 ， 函 数 不 具 有 明 显 的 单 调 该
・
３ ● 邮ｚ ｏ．ｎ ３ 电箱ｓｉｒｅ 子 ：Ｃａａ． ｘｈｕｎ ｓｎｎｔ ４ｊ１ｃ ｃ
中 学 生 数 学 ・ ０ １ ８月 上 ・ ４３期 （ 中 ） ２１ 年 第 ２ 高
高中数学竞赛题目解析与解题技巧
高中数学竞赛题目解析与解题技巧引言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它的应用不仅限于解决实际问题，还包括在数学竞赛中展示才华。
高中数学竞赛是对学生数学能力的综合考验，不仅需要深厚的数学知识，还需要良好的解题技巧和思维能力。
本文将介绍高中数学竞赛题目的一些常见类型，并提供解题技巧，帮助读者更好地应对数学竞赛。
数列与序列等差数列等差数列是高中数学竞赛中经常出现的题型之一。
对于给定的等差数列，求解其中某一项或求解前n项和是常见的考点。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式来快速求解。
此外，还需要注意将等差数列问题转化为已知条件，利用已知条件推导出所求的未知量。
等比数列等比数列是另一个常见的数列类型。
与等差数列类似，求解等比数列的通项或前n项和也是考点之一。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式进行求解。
此外，还需要注意等比数列的特点，如首项、公比以及递推关系等，利用这些特点进行解题分析。
数列极限数列极限是高中数学竞赛中较为复杂和抽象的题目之一。
要求求解数列的极限值，需要运用极限的定义和性质进行分析。
解题技巧包括使用夹逼定理和数列收敛性的判定方法，以及灵活运用数列极限的性质，如极限运算法则、极限不等式和极限的唯一性等。
几何与三角形平面几何平面几何是高中数学竞赛中的一个重要部分。
常见的几何题目包括线段、角度、三角形、四边形和圆等。
解题技巧包括使用几何图形的性质和定理进行分析，灵活运用平行线、垂直线、相似三角形、角平分线和圆的性质等。
此外，还需要注意对等式和不等式进行推导和证明。
三角函数三角函数是高中数学竞赛中的另一个重要内容。
常见的三角函数题目包括求解三角方程、三角恒等式、三角函数图像和三角函数性质等。
解题技巧包括运用三角函数的定义和性质进行分析，灵活运用三角函数的周期性、奇偶性和对称性，以及运用三角函数的图像进行推导和求解。
三角形三角形是几何学的基本要素之一，也是高中数学竞赛中的重要内容。
常见的三角形题目包括求解三角形的面积、周长、角度和边长等。
小学五年级数学奥赛题解题策略
小学五年级数学奥赛题解题策略数学奥赛对于小学生来说是一项重要的挑战，而在这项挑战中，解题策略则起着至关重要的作用。
正确的解题策略能够帮助学生更好地理解题目，提高解题速度和准确性。
本文将介绍一些适用于小学五年级数学奥赛题的解题策略。
一、理解题意理解题目的意思是解决问题的基础，小学五年级的数学奥赛题通常会伴随着一些文字描述，需要学生仔细阅读并提取问题的关键信息。
在读题时，可以用铅笔标记关键词，将问题进行拆解，明确自己需要找到的答案。
二、分析题型数学奥赛题种类繁多，掌握各种题型的解题思路对于获得高分至关重要。
在解题之前，学生应该首先分析题目所属的题型，然后通过归纳总结各种题型的解题方法。
例如，在解决加减法题时，可以通过列竖式或使用分解法来计算。
而在解决乘法题时，可以运用快速乘法的方法，简化计算步骤。
三、掌握基本运算技巧基本运算是数学奥赛题中常出现的部分，因此，熟练掌握基本的计算技巧是解题的关键。
小学五年级的学生应该熟练掌握加减乘除四则运算，包括口算和竖式运算两种方式。
同时，还需要了解运算法则，如乘法分配律、结合律等，以及使用圆规和尺子绘制几何图形等技巧。
四、准确运用知识点数学奥赛题目往往涉及到一些特定的数学知识点，掌握这些知识点并能够准确运用在解题过程中能够事半功倍。
小学五年级的数学知识点很多，如分数、小数、百分数、几何图形等。
学生需要通过课堂学习和习题训练，深入理解这些知识点，并在解题过程中巧妙运用。
五、多做奥赛模拟题通过多做奥赛模拟题，可以帮助学生熟悉奥赛题的解题思路和考察点，提高解题的能力和答题的速度。
在做题时，可以注意时间的控制，尽量以较短的时间内完成解答，然后检查答案的正确性。
通过反复练习，学生能够提高自己的解题技巧和答题水平。
六、培养良好的心态在参加数学奥赛时，良好的心态是非常重要的。
学生要对待奥赛题目抱着积极的态度，相信自己的能力，并且在面对困难时保持冷静与耐心。
解题过程中，如果遇到难题，不要轻易放弃，可以多思考、求助他人、寻找解题突破口。
2023年山东省德州市中考物理竞赛试题及解析
2023年山东省德州市中考物理竞赛试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．现有橡皮、玻璃、条形磁铁、盐水、纯水、铅笔芯六种物质，小明将它们分成两类，如右下表所示，则小明是按照物质的哪种物理属性进行分类的 ......................................... （ ）A ．密度B ．磁性C ．导电性D ．比热容2．下列实例中属于机械能转化为内能的是 ................................................................... （ ） A ．内燃机的活塞在燃气推动下运动B ．点燃的火箭飞向太空C ．夏天，广场上的石凳被晒得发烫D ．陨石坠入地球大气层成为流星 3．将10ml 的水与10ml 的酒精相混合，混合后水和酒精的总体积小于20ml ，这表明（ ）。
A ．分子之间存在着相互作用的引力B ．分子之间存在着相互作用的斥力C ．分子之间有空隙D ．分子是在不停地做无规则运动的4．如图所示，航母上的舰载机群飞离后，航母受到的浮力F 及其底部受到水的压强p 的变化情况是 ................................................................................................................................ （ ）A ．F 减小，p 增大B ．F 增大，p 减小C ．都减小D ．都增大 5．下列措施中，为了减小摩擦的是（ ） A ．鞋底上做有花纹 B ．往自行车轴承上加润滑油C ．雪后，汽车上山时，车轮上绕有防滑铁链D ．在皮带传动的机器中，张紧皮带6．如图所示，飞机空中加油时，受油机与加油机以同样速度向同一方向水平飞行，下列说法正确的是................................................................................................................................. （ ）A ．以加油机为参照物，受油机是运动的B ．以受油机为参照物，加油机是静止的 第一类 第二类 橡皮、玻璃、纯水 盐水、铅笔芯、条形磁铁C．以地面为参照物，受油机是静止的D．以地面为参照物，加油机是静止的7．用已调节好的托盘天平测铜块的质量，当天平平衡时，右盘中砝码有50g、20g的各一个，游码位置如图所示，该铜块的质量为 g。
一个数学竞赛试题的证法探究
内接 四边形；凰 是 △Ａ Ａ Ａ 的垂 心，日１ １２４ 是
一
２ ２
数 学教 学
２１ 年第 ７ ０１ 期
而 Ｈ２ Ｈ４＋ Ｈ２ Ｈ４： １ ０ ．所 Ｈｌ Ｈ３ ８ｏ
同理可证 ４ ＝ 日１ 日４ Ａ ． ２
以， 四边形 日１ 日３ 是 圆内接 四边形， 日ｌ 日２ 凰 即 、 ／２ － 、凰 日４ ／ 四点共 圆． 将几何问题代数化， 由坐标的语 言来获得 再 问题 的求解， 这是平面解析几何 的解题 思想． 这 方法的尝试， 可以绕开作辅助线这样的巧思灵 动， 与此同时让解题变得规范．
的外接 圆半径． 日１ 过 作 ３ 和 ２ 的垂线， ４ ４ 垂足分别为 １ ２ 则在四边形 ４ 日１ 中， 、 ． １ ４ Ｈ１＝ Ａ４ １ Ｈ１＝ ９ 。 则 ０，
皿 Ｋ１ ＋
’
．
同理设 日１ 、 则 由对称性可得：
、凰 的坐标分别为
ｒ（ｌｉ） ｔ（２Ｙ） － （３Ｙ） １ ，１、ｔ２ ，２、Ｉ３ ，３， ｆ Ｉ
证 明： 图６ 连结 １ 、Ａ２ ； 如 ， Ｈ１ 我们想证 Ａ１ 丝 Ａ ＨＩ 考虑在 △ ２ ３ 由正 弦定 ２ ； ４ 中，
Ａ１ ｆ ２ ． Ｈ２ Ａ Ｈ１
由平行四边形判定定理可知： 四边形 Ａ１ Ａ 是平行四边形． ２
设 Ａ１ 与Ａ２ 交点为 ， 研 则 日１ 与Ａ１ 关于点Ｍ 成中心对称． ２ 同理可证， 日３ Ａ２ ， 凰 与 ３ ， 与 ３ Ｈ３ ４
．
Ａ２ Ａ４ Ａ１ ＋ Ａ２ Ａ４： １ ０ ， 日３ ８。
Ａ３＝ ＺＡ２ Ａ４ ．
’
．
这是 １９ 年 的全 国高 中数 学联赛 中的一个 ９２ 试题． 们在教 育实习期 间与之邂逅， 我 觉得很 有
高中物理竞赛题教学中力学解题技巧探索
高中物理竞赛题教学中力学解题技巧探索发布时间：2022-08-25T16:19:01.036Z 来源：《基础教育参考》2022年8月作者：颜驹[导读] 在高中物理的多种学习途径中，物理竞赛是较为重要的学习途径，我们参与物理竞赛，不仅能够充分实现竞争意识的调动，而且还能够在参赛过程中明确自身的不足之处，从而在短时间内形成物理水平的提升。
由于在物理竞赛中，力学是较为常见的题型，所以我们若是想要提升竞赛成绩，那么就应当紧跟教师的教学步伐，实现对于力学解题方法的探索，并且将其应用在竞赛中，从而取得更好的成绩。
颜驹四川省绵阳中学实验学校摘要：在高中物理的多种学习途径中，物理竞赛是较为重要的学习途径，我们参与物理竞赛，不仅能够充分实现竞争意识的调动，而且还能够在参赛过程中明确自身的不足之处，从而在短时间内形成物理水平的提升。
由于在物理竞赛中，力学是较为常见的题型，所以我们若是想要提升竞赛成绩，那么就应当紧跟教师的教学步伐，实现对于力学解题方法的探索，并且将其应用在竞赛中，从而取得更好的成绩。
关键词：高中物理；竞赛题；力学教学；解题技巧中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）08-262-01经济的进步，需要更多有核心素养的人才。
而物理的核心素养，是学生逐渐形成的满足个人与社会发展的品格与能力。
但是目前高中物理教学方式已经无法满足，并且开始出现了诸多的问题。
这种只适合大部分学生的教学模式，非常容易压制其特长，不能释放出潜力，无法满足社会发展的需要。
因此，需要基于核心素养下，在实际教学中，反思这种情况，可以运用物理竞赛法，使具有特殊能力的学生有一个释放的平台。
一、力学在高中物理竞赛体系中的意义人们在工农业生产中和日常生活中都要接触各种力，如摩擦力、浮力、重力、弹力等,应用各种力的工具,如杠杆、滑轮等，力学是最早发展的学科之一。
随着知识的不断丰富与积累,力学所涵盖的范围越来越广，扩充到力、速度、加速度、惯性、质量、功、能等概念。
对一道竞赛试题的解答和探究
譬 故心的径为 内 ，路长
＋ ＝
筝．
２
＝ ，
这道题 的解题方 法非常巧妙 ， 动态弦转化 为定 弦 ， 过 通
这样一转化， 就解决 了这个问题． 再经过深入分析， 不管
故径即弧０长 的 ＝ 丌 ＝ 路长为＾的， 长丽 × 字 ９ ０
２ 困惑与思考 在上 面的解答 过 程 中 ， 思维 很 是精 妙 ， 果 又耐 人 寻 结
所 以 Ｏ ／ ３ 。 Ｃ ＝０ ，
＝
个角度不变 ， 所对 的一 条边 的长度不变 ， 经过 画图 、 考 ， 思
图５
发现 ， 经过的路 径可 以看作 以 ２ｍ为 弦 ， 所 ｃ 且所 含 圆周 角
为 １５ 的一段弧． Ｐ从点 Ａ运动到 点 Ｂ， 图 ３ Ｊ 经过 ３。 点 如 ，所 的路径就 是 以 Ａ Ｏ为 弦 ， ／ＭＯ＝１５ 的一 段 弧 Ａ Ｏ， 且＿ ３。 Ｉ 则
［］ 中等数 学，０ ８ ２ ：４３ ． Ｊ． ２０ （ ） ２ ．０ 故弦Ａ Ｂ平 行于点 Ｐ的轨迹． 综 上所述 ， 当点 Ｍ是 弦 Ａ Ｂ的 中点时 ， Ａ 弦 Ｂ平行 于点
Ｐ的轨迹．
［ ］ 袁 京 生． 心 圆锥 曲线 切 线 的性 质 ［ ］ 数 学通 报 ， ２ 有 Ｊ．
Ｏ Ｂ的 弧他 上有一 运 动的点 Ｐ 从 点 Ｐ向半径 ｏ Ａ ． Ａ引垂 线 朋 交Ｏ Ａ于点 １ － － ￣ＡＯ Ｈ的内心为 ， 当点 Ｐ在 弧 上从 １ ． Ｐ ， 点 Ａ运动到 点 曰时 ， 内心 ， 求 所经过 的路径 长．
／／
。
图３
图４
３ 将 问题推广 。 探究 问题 的一般化
Ｃ
又 ， ， ０ 分别平分 ＬＨ Ｏ， Ｏ 所 以 Ｐ ＬＨ Ｐ，
居高临下看本质 小试“牛刀”妙解题——对一道竞赛题的再探究
总 步 数 为 Ｉ一２ ＋ Ｉ ｌ Ｘ一４ ＋ Ｉ Ｉ Ｘ一６ ＋ Ｉ Ｙ Ｉ Ｉ一７＋ｌ 一４＋ Ｙ Ｉ Ｙ一８ Ｉ ．
ｌ Ｘ一１ ＋ Ｉ一２ ＋ ｊ 一４ ＋ ｌ一３ ＋ Ｉ Ｉ Ｉ Ｙ Ｉ Ｉ Ｙ一５＋ ｌ Ｉ Ｙ一７． Ｉ
由绝 对 值 的几 何 意义 ， 得
曲线 ． 图 ２ ， Ｏ与 ＧＯ 内切， ￣Ｏ 外切 ； 如 ① Ｇ ｌ 与 ２ 如 图２ ，三 ） ￣Ｏ 外切， ￣Ｏ 内切． 们 ② （二与 ） （ １ 与 ２ 它 的 圆心 轨 迹 分 别 是 双 曲线 的一 支 ． ２ ．与 已知 两 圆都 内切 ， 都 外 切 或
ｏ（ 与 ｏ（ 、ｏ二 都 内切 ， 都外切 的圆 ＝ ） 二 ） １ （ ） ２ 或 有 无 数 个， 圆心 轨 迹 是 “ 定 点 Ｏ１ ２ 其 到 、Ｏ 的 距 离 之 差 等 于 定 长ｒ １一 ｒ” 双 曲 线 ．如 ２的
我 们 不 禁 要 问， 少 步 数 到 底 是几 ？ 最
图２
下 面 看 另 一种 情 形 ．
Ｂ＝（， ２， １－ ）ＤＣ＝（ ３ 一 ） 一 ， １，
・ －－－－－ －
其实 ， 决本题 的关键是两 个方面：定形 解 和 定位．所 谓 “ 定形” 就是判 断能否组成 三角 ， 形 以及 三 角 形 的 形 状 ； 谓 “ 所 定位 ” ，二 与 ￣Ｏ 外 在 ④（ ） １ ２ 离， ｒ 且 】＞ ？” ＿ 的条件下 ， 已知两 圆都相切 ２ 与 的圆， 以下几种情况 ： 有 １ 与 已知两 圆一 圆外切， 圆内切 ． 一 ＧＯ与 ￣Ｏ１ 、￣Ｏ２ 圆 外 切 ，一 圆 内 切 ， 一 这 样 的 圆可 以作无 数个， 圆心 轨迹 是 “ 定 其 到 点 （ｌ 二 的距离 之差 等于 定长 ｒ ＋ｒ” ＝ 、（ ｝ ） ２ １ ２的双
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江苏省常熟市中学(215500)钱春兰赛题呈现已知a,b,c是正实数，求证：a3c(a2+bc)+b3a(b2+ca)+c3b(c2+ab)≥32。
这是2009年韩国数学奥林匹克竞赛的一道不等式证明题，文\[1\]给出了这道试题的一个证明和推广。
笔者对这个结构优美、内涵丰富的齐次分式不等式再作进一步探究，供参考。
1.试题变形根据不等式是齐次的特点可将上述待证不等式作适当变形，得ac2ac+ba+ba2ba+cb+cb2cb+ac≥32。
令ba=x，cb=y，ac=z，则上述不等式等价于下列结论：若正实数x,y,z满足xyz=1，则x2x+y+y2y+z+z2z+x≥32。
2.解法荟萃证明1：x2x+y+y2y+z+z2z+x≥32 (2x)2x+y+(2y)2y+z+(2z)2z+x≥6。
由基本不等式a2+b2≥2ab在b>0时变形，得a2b≥2a－b，因此(2x)2x+y+(2y)2y+z+(2z)2z+x≥\[4x－(x+y)\]+\[4y－(y+z)\]+\[4z－(z+x)\]≥2(x+y+z)≥63xyz=6。
证明2：由a－b22≥0在b>0时变形，得a2b≥a－b4，于是x2x+y+y2y+z+z2z+x≥x－x+y4+y－y+z4+z－z+x4=x+y+z2≥33xyz2=32。
证明3：利用简单的均值不等式a2a+b+a+b4≥a，得x2x+y+x+y4≥x，y2y+z+y+z4≥y，z2z+x+z+x4≥z。
上述三式相加，得x2x+y+y2y+z+z2z+x≥x+y+z2≥33xyz2=32。
证明4：利用柯西不等式，得x2x+y+y2y+z+z2z+x≥(x+y+z)2x+y+y+z+z+x=x+y+z2≥33xyz2=32。
3.追根溯源在上述证明中我们获得了一个中间不等式x2x+y+y2y+z+z2z+x≥x+y+z2,由此自然联想到一道友谊杯国际邀请赛不等式试题：已知x,y,z是正数，则x2y+z+y2z+x+z2x+y≥x+y+z2。
（1998年第二届友谊杯国际数学邀请赛）由对称性不妨设x≥y≥z，则有x2≥y2≥z2，1y+z ≥1z+x≥1x+y。
由排序不等式，得x2y+z+y2z+x+z2x+y≥x2x+y+y2y+z+z2z+x,故本题是对友谊杯邀请赛不等式的一个加强。
另外，注意到x2y+z+y2z+x+z2x+y≥x+y+z2 xy+z+yz+x+zx+y ≥32。
而后一个不等式就是著名的nesbitt不等式：已知x,y,z∈r+，求证xy+z+yz+x+zx+y ≥32。
（nesbitt1903。
1963莫斯科数学竞赛）因此2009年韩国数学奥林匹克竞赛不等式的本质是nesbitt不等式一个加强版。
4.探究拓展采用上述证明方法，同样可证得x2x+y+y2z+x+z2y+z≥32。
由排序不等式，得x2x+y+y2y+z+z2z+x≥x2x+y+y2z+x+z2y+z；x2y+z+y2z+x+z2x+y≥x2x+y+y2z+x+z2y+z；x2z+x+y2x+y+z2y+z≥x2x+y+y2z+x+z2y+z；x2y+z+y2x+y+z2z+x≥x2x+y+y2z+x+z2y+z；x2z+x+y2y+z+z2x+y≥x2x+y+y2z+x+z2y+z。
将ba=x，cb=y，ac=z回代,可得到这个赛题的四个类似不等式和一个加强不等式：若a,b,c是正实数，则b3ca2(c2+ab)+c3b(c2+ab)+a3bc2(b2+ca)≥32;a2bc(c2+ab)+b2ca(a2+bc)+c2ab(b2+ca)≥32;a3c(a2+bc)+b3ca2(c2+ab)+c2ab(b2+ca)≥32;c3b(c2+ab)+a3bc2(b2+ca)+b2ca(a2+bc)≥32;b3a(b2+ca)+ac3b2(a2+bc)+a2bc(c2+ab)≥32。
另外，可将这一问题推广至n元情形：命题已知xi∈r+(i=1,2,…,n)，求证：x31x2(x21+xnx2)+x32x3(x22+x1x3)+x33x4(x23+x2x4)+…+x3n－1xn(x2n－1+xn－2xn)+x3nx1(x2n+xn－1x1)≥n2。
证明：利用柯西不等式的变式，得x1x22xnx1+x1x2+x2x32x1x2+x2x3+…+xnx12xn－1x1+xnx1≥x1x2+x2x3+…+xnx122x1x2+x2x3+…+xnx1=x1x2+x2x3+…+xnx12≥nnx1x2·x2x3·…·xnx12≥n2。
参考文献\[1\]查正开。
一个竞赛不等式的简证和推广\[j\]。
福建中学数学，2012（12）47-48。