湖南师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试文科数学试题

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2017-2018学年湖南师大附中高二上学期期末考试化学(文) PDF版

湖南师大附中学年度高二第一学期期末考试
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为了维持我们的中! 文科试题%# " # $ % ! " # &学年度高二第一学期期末考试化学
下列物质既可以作防腐剂% 又可以作调味剂的是 & 味精食盐 ./ 亚硝酸钠苯甲酸 )0金属材料一直发挥着重要的作用& 人类历史上使用最早的金 5 属是铜铁铝钛 ./ )0下列有关硅及其化合物的描述中% 不正确的是 # " .6 7 8 ! 可用于制造光导纤维 / ( 6 7 8 ! 1 可以用二氧化硅和水反应制得普通玻璃是以纯碱$ 石灰石和石英为原料制成的 )盛装 * 09 8( 溶液的试剂瓶不用玻璃塞的原因是因为玻璃塞与* 9 8( 溶液反应在垃圾分类处理和利用的标志中% 右图属于 # # 厨余垃圾标志 .危险废物标志 / 可回收物标志 )其他垃圾标志 0发展) 绿色食品 * 是提高人类生活质量的重要措施& 绿色食品 # ! 是指绿颜色的营养食品 .含叶绿素的营养食品 / 植物类营养食品 )安全无公害的营养食品 0下列说法正确的是 # 1 为了使婴儿对食品有更浓厚的兴趣% 应在婴儿食品中加入大 .量的着色剂为了使火腿肠颜色更鲜红% 可多加入一些亚硝酸钠 / 蛋白质在人体内经消化后生成碳酸 $ 硫酸 $ 尿酸等 % 故属于酸 )性食物常用的抗酸药有氢氧化铜$ 氢氧化铝$ 柠檬酸钠$ 碳酸钙等 0油脂能增加食物的滋味% 增进食欲% 保证机体的正常生理功能& # + 但摄入过量脂肪% 可能引起肥胖$ 高血脂$ 高血压等& 下列食品中富含油脂的是苹果大米白菜花生 ./ )0中国有句名言 # 药补不如食补& 碘是人体必需的微量元素% 有 # , ) 智力元素* 之称&下列食物中含碘较多的是鸡蛋橙汁葡萄海带 ./ )0为防止碳素钢菜刀生锈% 在使用后特别是切过咸菜后% 应将其 # ' 洗净 $ 擦干浸泡在水中 ./ 浸泡在食醋中 )直接置于空气中 0-

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试语文试题答案

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试语文参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试语文参考答案1．A(被看作中国最早的“环保法”的应为《田律》，而不是《秦律十八种》。

)2．C(山虞所辖当为山林之事，而“伐崇令”所言不局限于山林之事。

且“虞”是山林川泽资源保护的监督机构，而不是执行机构。

)3．B(“虞官们制定的种种环保条款对当时的生态环境保护都起到非常积极的作用”的说法过于绝对。

)4．BE(A项，“心平气和，毫不在乎”有误，“丝毫不抱希望”太绝对。

C项，“目的就是为了体现善良的村民们对马小菊的同情和关心”有误。

D项，“她一定会原谅丈夫，过上幸福生活”太绝对。

)(答对一项给3分，答对两项给6分)5．①善良孝顺。

在丈夫有外遇长期不归家的情况下，马小菊仍然毫无怨言、无微不至地照顾婆婆，表现了善良和孝顺的本性。

②坚强隐忍。

面对丈夫的出轨和众人的闲言碎语，马小菊外表平静，内心其实非常痛苦，但她隐忍不发，用柔弱的双肩担起家庭的责任，表现出坚强隐忍的一面。

(每点2分，意思对即可。

如有其他答案，只要言之成理，可酌情给分) 6．①设置背景，渲染氛围。

“下雨”为故事的发生提供了特定的自然环境，通过反复描写“下雨”交代故事发生的背景，渲染人物活动的氛围。

②烘托人物复杂的内心世界。

面对向午的出轨，马小菊内心极其痛苦，密集的雨滴看似打在她的身上，其实是在敲打着她的心。

作者借下雨来烘托人物复杂的内心世界，刻画人物性格。

③推动情节发展。

“下雨”与小说情节的发展密切关联，起到了推动情节发展的作用。

④深化小说主题。

自然界的“雨”与马小菊婚姻中的“雨”互相交织，隐喻主人公的生活进入“雨季”，进一步表现小说主题。

(以上四点，答出一点给2分，任答出其中的三点即给6分)7．B(祭祀用的牲畜。

)8．D(凯旋：古今义都是胜利归来。

A项，人事：古义指人之作为，今义为工作人员的录用、培养、调配等工作。

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)Word版含答案

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试数学(文科)时量：120分钟满分：150分得分：______________一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是 A ．－ 3 B.3i C ．±3i D ．±3 2．命题“若p ，则q 或r ”的否命题是A ．若p ，则綈q 或綈rB ．若p ，则綈q 且綈rC ．若綈p ，则綈q 或綈rD ．若綈p ，则綈q 且綈r 3．tan 690°＝A ．－33 B.33 C. 3 D ．－ 34．利用演绎推理的“三段论”可得到结论：函数f (x )＝lg 1－x1＋x的图象关于坐标原点对称．那么，这个三段论的小前提是A ．f (x )是增函数B ．f (x )是减函数C ．f (x )是奇函数D ．f (x )是偶函数5．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 A ．2 B.13 C ．－3D ．－126．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能的是7.若抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝－1，则实数a 的值是 A.14 B.12 C ．－14 D ．－128．设0＜x ＜1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是A ．aB ．bC ．cD ．不能确定9．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝ A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋16AB → C.16AC →＋12AB → D.16AC →＋32AB → 10．已知命题p ：直线l 1：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0与直线l 2：x ＋my ＋6＝0平行，命题q ：方程x 2＋y 2－22x ＋my ＋(m ＋2)＝0表示圆，则命题p 是命题q 成立的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．对数列{a n }，如果k ∈N *及λ1，λ2，…，λk ∈R ，使a n ＋k ＝λ1a n ＋k －1＋λ2a n ＋k －2＋…＋λk a n 成立，其中n ∈N *，则称{a n }为“k 阶递归数列”．给出下列结论：①若{a n }是等比数列，则{a n }为“1阶递归数列”； ②若{a n }是等差数列，则{a n }为“2阶递归数列”；③若{a n }的通项公式为a n ＝n 2，则{a n }为“3阶递归数列”．其中正确的结论的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．若直线l ：y ＝－x 2＋m 与曲线C ：y ＝12|4－x 2|有且仅有三个交点，则m 的取值范围是A ．(2－1，2＋1)B ．(1，2)C ．(1，2＋1)D ．(2，2＋1)选择题答题卡二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．)13．过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程为____________．14．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为________．15．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2 cm ，AD ＝1 cm ，则异面直线A 1C 1与BD 1所成角的余弦值为____________．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－kx 有零点，则实数k 的取值范围是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)湖南师大附中的科技节中有一个传统挑战项目——“奇思妙想闯七关”．为了调查参加此活动的学生情况，现从我校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名学生中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图所示．(Ⅰ)根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下认为(Ⅱ)，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率．参考数据：18．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在单位圆上，∠xOA＝α，∠AOB＝π3，且α∈⎝⎛⎭⎫π6，π3.(Ⅰ)若x1＝277，用α表示x2并求其值；(Ⅱ)过点B作x轴的垂线，垂足为C，记△BOC的面积为S，设S＝f(α)，求函数f(α)的值域．已知三棱锥P－ABC的直观图及其三视图如图所示．(Ⅰ)求三棱锥P－ABC的体积；(Ⅱ)求二面角P—AB—C的平面角的正切值．已知等差数列{}a n 的首项a 1＝1，公差d ＞0，且其第2项、第5项、第14项成等比数列． (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝2a n ＋1a n ＋2，求数列{}b n 的前n 项和T n ，并证明：215≤T n <13.21．(本小题满分12分)设椭圆C 的中心在原点，两焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 的坐标为(2，1)，已知F 1P →·F 2P →＝3，且椭圆C 的离心率为22.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如图，设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点M 是椭圆C 上位于x 轴上方的一个动点，直线AM ，BM 分别与直线x ＝3相交于点D ，E ，求|DE |的最小值．22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a (x －1)2＋ln x ＋1.(Ⅰ)若函数f (x )在区间[2，4]上是减函数，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当x ∈[1，＋∞)时，函数y ＝f (x )图象上的点都在⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y －x ≤0所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试数学(文科)参考答案一、选择题1．D 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知a ＝1，∴1＋b 2＝4，∴b 2＝3，∴b ＝±3.故选D.2．D 【解析】否命题既要否定条件，又要否定结论. 同时，“或”的否定是“且”，选D.3．A 4．C5．D 【解析】对应于计数变量i 的S 呈周期性，最小正周期为4，前4个数依次是：－3，－12，13，2，而2 018＝4×504＋2，故选D.6．B 【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，故选B.7．A 【解析】将抛物线y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，由条件知14a ＝1，∴a ＝14，故选A.8．C 【解析】由于0＜x ＜1，所以b ＝1＋x >21·x ＝2x ＝2·2x ＝2a >a ，又b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x<0b <c ，所以c 最大；故选C.9．C 【解析】如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →，故选C. 10．B 【解析】因为两直线平行，所以(m －2)·m －1×3＝0，∴m ＝3或m ＝－1，经检验m ＝3时，两直线重合，∴m ＝－1，方程表示圆，所以(22)2＋m 2－4(m ＋2)>0，∴m >4或m <0.故命题p 是命题q 成立的充分条件．故选B. 11．D 【解析】对于①：若k ＝1，因为{a n }是等比数列，则有a n ＋1＝λ1a n 满足条件，故①正确；对于②：若k ＝2，因为{a n }是等差数列，则有a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，存在λ1＝2，λ2＝－1满足a n ＋2＝λ1a n ＋1＋λ2a n ，故②正确；对于③：若k ＝3，因为数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，a n ＋3＝(n ＋3)2＝3(n ＋2)2－3(n ＋1)2＋n 2，故存在λ1＝3，λ2＝－3，λ3＝1满足a n ＋3＝λ1a n ＋2＋λ2a n＋1＋λ3a n ，故③正确．故选D.12．B 【解析】由题意得，曲线C 是由椭圆x 24＋y 2＝1上半部分和双曲线x 24－y 2＝1上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为y ＝－12x ，与直线l ：y ＝－12x ＋m 平行；当直线l 过右顶点时，直线l 与曲线C 有两个交点，此时，m ＝1；当直线l 与椭圆相切时，直线l 与曲线C 有两个交点，此时m ＝2；由图象可知，m ∈(1，2)时，直线l 与曲线C 有三个交点，故选B.二、填空题13．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 【解析】设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)或y －⎝⎛⎭⎫－18＋1＝⎝⎛⎭⎫34－2⎝⎛⎭⎫x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.14.13 【解析】在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，要使cos x 的值介于0到12之间，需使－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，区间长度为π3，由几何概型知cos x 的值介于0到12之间的概率为π3π＝13.15.55【解析】设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE ∥D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角．在△C 1OE 中，OC 1＝12A 1C 1＝52，OE＝12BD 1＝12·22＋22＋1＝32， C 1E ＝B 1C 21＋B 1E 2＝12＋12＝2，所以cos ∠C 1OE ＝OC 21＋OE 2－C 1E 22OC 1·OE＝55.16.⎝⎛⎦⎤－∞，1eln 2 【解析】由f (x )－kx ＝0得f (x )＝kx ，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝kx 的图象，易知当k <0时，两函数图象有两个交点，当k ≥0时，考察由原点引f (x )的图象的切线，设切点是(x 0，log 2x 0)，f ′(x )＝1x ln 2，则1x 0ln 2＝log 2x 0x 0x 0＝e ，故切线的斜率等于1eln 2，即k ∈⎣⎡⎦⎤0，1eln 2时，两图象恰有一个公共点，综上k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，1eln 2. 三、解答题17．【解析】(Ⅰ)2×2列联表(2分)K 2＝100（15×20－20×45）235×65×60×40≈6.593<6.635.(3分)所以，不能在犯错误的概率不超过1%的情况下认为“愿意接受挑战与性别有关”．(5分) (Ⅱ)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的学生中选取7名挑战者，故男生抽取7×1535＝3名，女生7×2035＝4名，(7分)从中抽取2人参加挑战，共有6＋5＋4＋…＋1＝21种方法，全是女生的方法有3＋2＋1＝6种，(9分)所以，抽取的2人中至少有一名男生的概率为P ＝1－621＝57.(10分) 18．【解析】(Ⅰ)由三角函数定义，得x 1＝cos α，x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.(2分)由已知，cos α＝277，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3，则sin α＝1－cos 2α＝217.(4分) 所以x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12cos α－32sin α＝2714－3714＝－714.(6分)(Ⅱ)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3，则α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3，故x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3<0，y 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3>0，所以S ＝12|x 2|y 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3.即f (α)＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3.(9分)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3，则2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3<32，(10分)所以f (α)＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－38，0.(12分)19．【解析】(Ⅰ)由俯视图知，点P 在底面ABC 内的射影在BC 边上，所以平面PBC ⊥平面ABC .作PD ⊥BC ，垂足为D ，则PD ⊥平面ABC .由侧视图知，PD ＝2.(2分) 在底面ABC 内作AE ⊥BC ，垂足为E ，由正视图知，E 为BC 的中点．由侧视图知，AE ＝4.(4分)由正视图知，BC ＝4，则三棱锥P －ABC 的体积 V ＝13×12×BC ×AE ×PD ＝16×4×4×2＝163.(6分)(Ⅱ)在底面ABC 内作DF ⊥AB ，垂足为F ，则AB ⊥平面PDF ，所以∠PFD 为二面角P －AB －C 的平面角．(8分) 因为AE ＝4，BE ＝2，则AB ＝AE 2＋BE 2＝2 5.(9分)因为Rt △BFD ∽Rt △BEA ，则DF BD ＝AEAB.由俯视图知，BD ＝1. 所以DF ＝AE ×BD AB ＝4×125＝25.(11分)在Rt △PDF 中，tan ∠PFD ＝PDDF＝ 5. 故二面角P －AB －C 的平面角的正切值为 5.(12分) 20．【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，()a 1＋d()a 1＋13d ＝()a 1＋4d 2()d >0.(3分)整理：3d 2＝6a 1d ()d >0，∴d ＝2a 1＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(5分) ∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(6分)(Ⅱ)b n ＝2a n ＋1·a n ＋2＝2（2n ＋3）（2n ＋1）＝12n ＋1－12n ＋3，(8分)∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝13－12n ＋3<13.(10分) ∵T n ＋1－T n ＝b n ＝2()2n ＋1()2n ＋3>0，数列{T n }是递增数列．∴T n ≥T 1＝b 1＝215.(11分)∴215≤T n <13.(12分) 21．【解析】(Ⅰ)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(1分)则F 1P →＝(2＋c ，1)，F 2P →＝(2－c ，1)．(2分)因为F 1P →·F 2P →＝3，则(2＋c )(2－c )＋1＝3，即c 2＝2，所以c ＝ 2.(3分) 因为c a ＝22，则a ＝2c ＝2，从而b ＝a 2－c 2＝ 2.(4分)故椭圆C 的标准方程是x 24＋y 22＝1.(5分)(Ⅱ)法一：由题设，点A (－2，0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)．联立x ＝3，得点D (3，5k )．(6分)将y ＝k (x ＋2)代入x 24＋y 22＝1，得x 2＋2k 2(x ＋2)2＝4，即(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(7分)设点M (x 0，y 0)，则x 0和－2是方程的两根，所以－2x 0＝8k 2－42k 2＋1，即x 0＝2－4k 22k 2＋1，从而y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋2＝4k2k 2＋1，所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.(9分)又点B (2，0)，则直线BM 的方程为y －04k 2k 2＋1－0＝x －22－4k 22k 2＋1－2，即y ＝－12k(x －2)．联立x ＝3，得点E ⎝⎛⎭⎫3，－12k .(11分) 所以|DE |＝5k ＋12k≥25k ·12k ＝10，当且仅当5k ＝12k >0，即k ＝1010时取等号．故|DE |的最小值为10.(12分)法二：由题设，点A (－2，0)，点B (2，0)，设点M (x 0，y 0)，则x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4. 所以(x 0－2)(x 0＋2)＝－2y 20，即y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－12，所以k AM ·k BM ＝－12.(8分)设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)，则直线BM 的方程为y ＝－12k (x －2)．分别联立x ＝3，得点D (3，5k )，点E ⎝⎛⎭⎫3，－12k .(11分) 所以|DE |＝5k ＋12k≥25k ·12k ＝10，当且仅当5k ＝12k >0，即k ＝1010时取等号．故|DE |的最小值为10.(12分)22．【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝2a (x －1)＋1x，∵函数f (x )在区间[2，4]上单调递减，∴f ′(x )＝2a (x －1)＋1x ≤0在区间[2，4]上恒成立，即2a ≤1－x 2＋x在[2，4]上恒成立，只需2a 不大于1－x 2＋x 在[2，4]上的最小值即可．(2分)而1－x 2＋x ＝1－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(2≤x ≤4)，则当2≤x ≤4时，1－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤－12，－112， ∴2a ≤－12，即a ≤－14，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－14.(5分) (Ⅱ)因f (x )图象上的点在⎩⎨⎧x ≥1，y －x ≤0所表示的平面区域内，即当x ∈[1，＋∞)时，不等式f (x )≤x恒成立，即a (x －1)2＋ln x －x ＋1≤0恒成立，设g (x )＝a (x －1)2＋ln x －x ＋1(x ≥1)，只需g (x )max ≤0即可．由g ′(x )＝2a (x －1)＋1x －1＝2ax 2－（2a ＋1）x ＋1x，(7分)(ⅰ)当a ＝0时，g ′(x )＝1－xx ，当x ≥1时，g ′(x )≤0，函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，故g (x )≤g (1)＝0成立．(8分)(ⅱ)当a >0时，由g ′(x )＝2ax 2－（2a ＋1）x ＋1x ＝2a （x －1）⎝⎛⎭⎫x －12a x，令g ′(x )＝0，得x 1＝1或x 2＝12a， ①若12a <1，即a >12时，在区间[1，＋∞)上，g ′(x )≥0，函数g (x )在[1，＋∞)上单调递增，函数g (x )在[1，＋∞)上无最大值g (x )≥g (1)＝0，不满足条件；(10分)②若12a ≥1，即0<a ≤12时，函数g (x )在⎣⎡⎭⎫1，12a 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，同样g (x )在[1，＋∞)上无最大值，且g ⎝⎛⎭⎫1＋1a =a ⎝⎛⎭⎫1＋1a －12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1a －⎝⎛⎭⎫1＋1a ＋1＝1a ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1－1a＋1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1a >0，不满足条件．(11分) (ⅲ)当a <0时，由g ′(x )＝2a （x －1）⎝⎛⎭⎫x －12a x ，因x ∈[1，＋∞)，故g ′(x )<0，则函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，故g (x )≤g (1)＝0成立．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0]．(12分)。

2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) word版含解析

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.在所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos600°=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：cos600°=cos=cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．2．设集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则A∩B=（）A．B． C． D．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，3），故选：C．3．复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（2，﹣2）B．（2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）【解答】解：==2﹣2i（i是虚数单位）的共轭复数2+2i在复平面内对应的点（2，2）．故选：B．4．已知数列，则a2016=（）A．1 B．4 C．﹣4 D．5【解答】解：数列，∴a3=a2﹣a1=4，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣5，a6=﹣4，a7=1，a8=5，…，21·世纪*教育网可得an+6=an．则a2016=a335×6+6=a6=﹣4．故选：C．5．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段长度都不小于1.5m的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：记“两段的长都不小于1.5m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1.5，所以事件A发生的概率P（A）=．6．已知==2，且它们的夹角为，则=（）A． B． C．1 D．2【解答】解：根据条件：==12；∴．故选A．7．给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③|a|＞b⇒a2＞b2；④a＞b⇒a3＞b3其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】解：①a＞b⇒ac2＞bc2在c=0时不成立，故①错误；②a＞|b|⇒|a|＞|b|⇒a2＞b2，故②正确；③a=﹣2，b=1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故③错误；④y=x3在R上为增函数，故a＞b⇒a3＞b3，故④正确；故选：D8．如图所示的程序的输出结果为S=1320，则判断框中应填（）A．i≥9 B．i≤9 C．i≤10 D．i≥10【解答】解：首先给循环变量i和累积变量S赋值12和1，判断12≥10，执行S=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10，执行S=12×11=132，i=11﹣1=10；判断10≥10，执行S=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9＜10，输出S的值为1320．故判断框中应填i≥10．故选：D．9．定义在R上的函数f（x）在（6，+∞）上为增函数，且函数y=f（x+6）为偶函数，则A ．f （4）＜f （7）B ．f （4）＞f （7）C ．f （5）＞f （7）D ．f （5）＜f （7）【解答】解：根据题意，y=f （x+6）为偶函数，则函数f （x ）的图象关于x=6对称， f （4）=f （8），f （5）=f （7）；故C 、D 错误；又由函数在（6，+∞）上为增函数，则有f （8）＞f （7）；又由f （4）=f （8），故有f （4）＞f （7）；故选：B ．10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=×2=，故体积V==，故选：C ．11．气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，现在甲、乙、丙三地连续五天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）：21教育名师原创作品甲地：五个数据的中位数是24，众数为22；乙地：五个数据的中位数是27，平均数为24；丙地：五个数据中有一个数据是30，平均数是24，方差为10．则肯定进入夏季的地区有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解答】解：气象意义上的春季进入夏季的标志为：“连续五天每天日平均温度不低于22℃”，由此得到：甲地肯定进入夏季，∵五个数据的中位数是24，众数为22，∴22℃至少出现两次，若有一天低于22℃，中位数就不是24℃，故甲地进入夏季；乙地不一定进处夏季，如13，23，27，28，29，故乙地不一定进入夏季；丙地不一定进入夏季，10×5﹣（30﹣24）2≥（24﹣x ）2， ∴（24﹣x ）2≤14，x=21时，成立，故丙地不一定进入夏季．故选：B ．12．已知圆O 的半径为2，PA 、PB 为圆O 的两条切线，A 、B 为切点（A 与B 不重合），则的最小值为（）2·1·c ·n ·j ·yA ．﹣12+4B ．﹣16+4C ．﹣12+8D ．﹣16+8【解答】解：设PA 与PO 的夹角为α，则|PA|=|PB|=，y=•=||||cos2α=•cos2α=•cos2α=4记cos2α=μ．则y=4=4[（﹣μ﹣2）+]=﹣12+4（1﹣μ）+≥﹣12+8．当且仅当μ=1﹣时，y 取得最小值：8．即•的最小值为8﹣12．故选：C ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f （x ）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a= 0 ．【解答】解：∵f （x ）为偶函数 ∴f （﹣x ）=f （x ）恒成立即x2﹣|x+a|=x2﹣|x ﹣a|恒成立即|x+a|=|x ﹣a|恒成立所以a=0故答案为：0．14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 5 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43 b=34第二圈k=4 a=44 b=44第三圈k=5 a=45 b=54此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．15．若平面向量，满足||≤1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是．【解答】解：∵以向量，为邻边的平行四边形的面积为，∴．∵平面向量，满足||≤1，||≤1，∴，∵θ∈（0，π），∴．∴与的夹角θ的取值范围是．故答案为：．16．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．【解答】解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BA C=θ，a=4．（1）求bc的最大值；（2）求函数的值域．【解答】解：（1）∵=bc•cosθ=8，由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc•cosθ=b2+c2﹣16，∴b2+c2=32，又b2+c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16，当且仅当b=c=4，θ=时取得最大值；（2）结合（1）得，=bc≤16，∴cosθ≥，又0＜θ＜π，∴0＜θ≤，∴=2sin（2θ+）﹣1∵0＜θ≤，∴＜2θ+≤，∴sin（2θ+）≤1，当2θ+=，即θ=时，f（θ）min=2×，当2θ+=，即θ=时，f （θ）max=2×1﹣1=1，∴函数f （θ）的值域为[0，1]18．已知函数的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若存在，使f （x0）=0，求λ的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）=sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣λ=2sin （2ωx ﹣）﹣λ，∵函数f （x ）的图象关于直线x=π对称，∴解得：2ωx ﹣=kπ+，可得：ω=+（k ∈Z ），∵ω∈（，1）．可得k=1时，ω=，∴函数f （x ）的最小正周期T==…6分（2）令f （x0）=0，则λ=2sin （﹣），由0≤x0≤，可得：﹣≤﹣≤，则﹣≤sin （﹣）≤1，根据题意，方程λ=2sin （﹣）在[0，]内有解，∴λ的取值范围为：[﹣1，2]…12分19．向量与的夹角为θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t ），||在t0时取得最小值，当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围是．【解答】解：由题意可得=2×1×co sθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t ）﹣t，∴||2==（1﹣t ）2+t2﹣2t （1﹣t ）=（1﹣t ）2+4t2﹣4t （1﹣t ）cosθ =（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜故答案为：20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，PD ⊥DC ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD= （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设Q 为棱PC 上一点，=λ，试确定 λ的值使得二面角Q ﹣BD ﹣P 为60°．【解答】（1）证明：∵AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PDC ，图1所示．∴AD ⊥PD ，AD ⊥DC ，在梯形ABCD 中，过点作B 作BH ⊥CD 于H ，在△BCH 中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB 中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°， ∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC ⊥BD ． ∵PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，AD ∩DC=D ． AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，∵BD ∩PD=D ，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ． ∴BC ⊥平面PBD ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）解：过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ，过点M 作MN ⊥BD 于点N ，连QN ．由（1）可知BC ⊥平面PDB ，∴QM ⊥平面PDB ，∴QM ⊥BD ， ∵QM ∩MN=M ，∴BD ⊥平面MNQ ，∴BD ⊥QN ，图2所示． ∴∠QNM 是二面角Q ﹣BD ﹣P 的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．21教育网（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．22．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．。

湖南师大附中20172018学年度高二第1学期期末考试

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试物理(理科)时量：90分钟总分值：150分得分____________第Ⅰ卷(总分值100分)一、单项选择题(每题5分，共50分)1．以下物理量是矢量的是A．电流 B．电势差 C．磁通量 D．电场强度2．关于磁感应强度，以下说法中正确的选项是A．依照磁感应强度概念式B＝FIL可知，磁感应强度B与F成正比，与IL成反比B．一小段通电直导线放在磁感应强度为零的地址，它所受到的磁场力必然为零C．一小段通电直导线在某处不受磁场力作用，那么该处的磁感应强度必然为零D．磁场中某处磁感应强度的方向，与通电导线在该处所受磁场力的方向相同3．如下图，在真空中把一绝缘导体向带电(负电)的小球P缓慢地靠近(不相碰)，以下说法中正确的选项是A．B端感应出正电荷B．导体内电场强度愈来愈大C．导体的感应电荷在M点产生的电场强度恒大于在N点产生的电场强度D．导体的感应电荷在M、N两点的电场强度相等4．在真空中，两个等量异种点电荷电荷量数值均为q，相距r，两点电荷连线中点处的电场强度为A．05．如下图，a、b、c、d是四根长度相同，等间距地被竖直固定在同一平面上的通电长直导线，当它们通以大小相等、方向如图的电流时，各导线所受磁场力的合力是A．导线a受力方向向右B．导线b受力方向向左C．导线c受力方向向右D．导线d受力方向向右6．如下图，回旋加速器是用来加速带电粒子使它取得专门大动能的装置．其核心部份是两个D形金属盒，置于匀强磁场中，两盒别离与高频电源相连．那么以下说法正确的选项是A．带电粒子从磁场中取得能量B．带电粒子加速所取得的最大动能与加速电压的大小有关C．带电粒子加速所取得的最大动能与金属盒的半径有关D．带电粒子做圆周运动的周期随半径增大7．如下图，用静电计能够测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，静电计指针张角会随电势差U的变大而变大，现使电容器带电并维持总电量不变，以下哪次操作能让静电计指针张角变大A．仅将A板略微上移B．仅减小两极板之间的距离C．仅将玻璃板插入两板之间D．条件不足无法判定8．如下图，质量为m的铜质小闭合线圈静置于粗糙水平桌面上．当一个竖直放置的条形磁铁切近线圈，沿线圈中线由左至右从线圈正上方等高、快速通过时，线圈始终维持不动．那么关于线圈在此进程中受到的支持力N和摩擦力f的情形，以下判定正确的选项是A．N先小于mg，后大于mgB．N一直大于mgC．f一直向左D．f先向左，后向右9．如下图，一段长方体形导电材料，左右两头面的边长都为a和b，内有带电量为q的某种自由运动电荷．导电材料置于方向垂直于其前表面向里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为B.当通以从左到右的稳恒电流I时，测得导电材料上、下表面之间的电压为U，且上表面的电势比下表面的低．由此可得该导电材料单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负别离为，正，负，正，负10．矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直．规定磁场的正方向垂直于纸面向里，磁感应强度B随时刻t转变的规律如下图．假设规定顺时针方向为感应电流i的正方向，那么以下i－t图象中正确的选项是答题卡题号12345678910得分答案11．(6分)读出以下游标卡尺和螺旋测微器的示数：游标卡尺的示数为________mm；螺旋测微器的示数为________mm.12．(15分)在“测定金属的电阻率”的实验中，用螺旋测微器测量金属丝直径，用米尺测出金属丝的长度L，金属丝的电阻大约为5 Ω，先用伏安法测出金属丝的电阻R，然后依照电阻定律计算出该金属材料的电阻率．为此取来两节新的干电池、开关和假设干导线及以下器材：A．电压表0～3 V，内阻10 kΩB．电压表0～15 V，内阻50 kΩC．电流表0～0.6 A，内阻ΩD．电流表0～3 A，内阻ΩE．滑动变阻器，0～10 ΩF．滑动变阻器，0～100 Ω(1)要求较准确地测出其阻值，电压表应选______，电流表应选______，滑动变阻器应选______．(填序号)(2)实验中某同窗的实物接线如下图，请指出该同窗实物接线中的两处明显错误．错误1：________________________________________________________________________；错误2：________________________________________________________________________.三、计算题(共29分．解许诺写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分)13．(9分)用绝缘细线将质量m＝4×10－3 kg的带电小球P悬挂在O点，空间有方向为水平向右，大小E＝1×104N/C的匀强电场，小球偏转θ＝37°后处于静止状态．(g取10 m/s2，sin 37°＝，cos 37°＝求：(1)分析小球的带电性质；(2)小球的电荷量q的大小；(3)细线的拉力F的大小．14. (10分)如下图，MN、PQ为滑腻金属导轨(金属导轨电阻忽略不计)，MN、PQ相距L＝50 cm，导体棒AB在两轨道间的电阻为r＝1 Ω，且能够在MN、PQ上滑动，定值电阻R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，整个装置放在磁感应强度为B＝ T的匀强磁场中，磁场方向垂直于整个导轨平面，现用外力F拉着AB棒向右以v ＝5 m/s的速度做匀速运动．求：(1)导体棒AB产生的感应电动势E和AB棒上的感应电流方向；(2)导体棒AB两头的电压U AB.15. (10分)如图，一个质子和一个α粒子从容器A下方的小孔S，无初速地飘入电势差为U的加速电场．然后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向外，MN为磁场的边界．已知质子的电荷量为e、质量为m，α粒子的电荷量为2e、质量为4m.求：(1)质子进入磁场时的速度v；(2)质子在磁场中运动的时刻t；(3)质子和α粒子在磁场中运动的轨道半径之比r H∶rα.第Ⅱ卷一、多项选择题(每题6分，共30分，每题给出的四个选项中，有多个选项正确，全数选对的得6分，部份正确的得3分，选错或不选的得0分)16．位于同一水平面上的两根平行导电导轨，放置在斜向左上方、与水平面成60°角范围足够大的匀强磁场中，现给出这一装置的侧视图．一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动，在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的进程中，金属棒始终维持匀速运动，那么磁感应强度B 的大小转变可能是A ．始终变大B ．始终变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大17．如下图，一个电荷量为＋Q 的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O 点，电荷量为－q 、质量为m 的点电荷乙从A 点以初速度v 0沿它们的连线向甲运动，到B 点时速度最小且为v. 已知静电力常量为k ，点电荷乙与水平面的动摩擦因数为μ，AB 间距离为L.那么A ．OB 间的距离为kQqμmgB ．从A 到B 的进程中，电场力对点电荷乙做的功为W ＝μmgL＋12mv 20－12mv 2C ．从A 到B 的进程中，电场力对点电荷乙做的功为W ＝μmgL＋12mv 2－12mv 2D ．在点电荷甲形成的电场中，AB 间电势差U AB ＝μmgL＋12mv 2－12mv 2q18．如下图电路中，电源内电阻为r ，R 1、R 3、R 4均为定值电阻，电表均为理想电表．闭合开关S ，将滑动变阻器R 2的滑片向左滑动，电流表和电压表示数转变量的大小别离为ΔI 、ΔU ，以下结论中正确的选项是A ．电流表示数变大，电压表示数变小B ．电阻R 1被电流表短路＜r＞r19．用一段截面半径为r 、电阻率为ρ、密度为d 的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环，圆环竖直向下落入如下图的径向磁场中．圆环的圆心始终在N 极的轴线上，圆环所在的位置的磁感应强度大小均为B ，当圆环在加速下落时某一时刻的速度为v ，则A ．现在整个环的电动势为E ＝2Bv πRB ．现在圆环的加速度a ＝B 2vρdC ．忽略电感的阻碍，现在圆环中的电流I ＝2B πRvρD ．若是径向磁场足够长，那么圆环的最大速度v m ＝ρgdB220．如下图，EF 和MN 两平行线将磁场分割为上、下两部份，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里．现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子(不计重力)从EF 线上的A 点以速度v 斜向下射入EF 下方磁场，速度与边界成30°角，通过一段时刻后正好通过C 点，通过C 点时速度方向斜向上，与EF 也成30°角，已知A 、C 两点间距为L ，两平行线间距为d ，以下说法中正确的选项是A ．粒子不可能带负电B ．磁感应强度大小可能知足B ＝mvqLC ．粒子抵达C 点的时刻可能为7πm 3Bq ＋4dvD ．粒子的速度可能知足v ＝（L －23nd ）Bqm(n ＝0，1，2，3，…)答题卡题号 16 17 18 19 20 得分答案二、填空题(每空221．某爱好小组要精准测定电源的电动势和内阻，他们找来了如下器材： A ．电流表G(量程为30 mA 、内阻未知) B ．电阻箱R(0～ Ω)C ．滑动变阻器R 1(0～20 Ω)D ．滑动变阻器R 2(0～1 k Ω)E ．开关、导线假设干F ．电源E(电动势约10 V)(1)要完成实验，第一需测量电流表G 的内阻．测量电流表G 内阻的实验电路如图甲所示： ①将下述实验进程补充完整．a ．选择器材，滑动变阻器R′应该选取______(选填“R 1”或“R 2”)；b ．连接好电路，R ′的滑片应调到______(选填“a”或“b”)端；c ．断开S 2，闭合S 1，调剂R′，使电流表G 满偏；d ．维持R′不变，闭合S 2，调剂电阻箱R 的阻值，当R ＝10 Ω时，电流表G 的示数为20 mA ； ②若是以为闭合S 2前后干路上电流不变，那么电流表G 的内阻R g ＝________Ω.(2)在测出电流表内阻R g 后，测定该电源的电动势和内阻的电路如图乙所示．闭合开关S ，调整电阻箱R ，读取相应的电流表示数I ，记录多组数据(R ，I)，取得如图丙所示的1I －R 图线，那么电源的电动势E＝________V ，内阻r ＝________Ω.三、计算题(共10分．解许诺写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分)22．如下图，一面积为S 单匝圆形金属线圈与阻值为R 的电阻连结成闭合回路，不计圆形金属线圈及导线的电阻．线圈内存在一个方向垂直纸面向内、磁感应强度均匀增加且转变率为k的磁场B t.电阻两头并联一对平行金属板M、N，N板右边xOy坐标系(坐标原点O在N板的下端)的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OA和y轴的夹角∠AOy＝45°，AOx区域为无场区．在靠近M板处的P点由静止释放一质量为m，带电量为＋q的粒子(不计重力)，通过N板的小孔，从Q(0，a)点垂直y轴进入第Ⅰ象限，经OA上某点离开磁场，最后垂直x轴离开第Ⅰ象限．求：(1)平行金属MN取得的电压U；(2)yOA区域匀强磁场的磁感应强度B；(3)假设只改变Ⅰ象限内磁感应强度的大小，带电粒子进入磁场偏转后能打到N板的右边，设粒子与N 板碰撞前后电量维持不变并以相同的速度反弹，不计粒子与N板碰撞的作历时刻，那么带电粒子在磁场中运动的极限时刻是多少？湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试物理(理科)参考答案第Ⅰ卷一、单项选择题(每题5分，共50分)二、填空题11． ±(都可) 12．(1)A C E(2)导线连接在滑动变阻器的滑片上采纳了电流表内接法【解析】(1)因两节新的干电池的电动势为3 V ，电压表应选0～3 V ，应选A ；因金属丝的电阻大约为5 Ω，流过电流表金属丝的电流大约I ＝U R x ＝35 A ＝0.6 A ，电流表应选C ；由I ＝ER ＋r ，结合电流表读数原理，应知足13I A ≤E R ＋r ≤23I A ，可求得15 Ω≤R ≤30 Ω，可见滑动变阻器能够用限流式，应选E ；(2)因R V R x >R xR A，因此电流表应用外接法，因此该同窗实物接线中的两处明显错误1采纳了电流表内接法，2导线连接在滑动变阻器的滑片上．三、计算题(共29分．解许诺写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分)13．(9分)(1)正(3分) (2)3×10－6C(3分) (3)5×10－2 N(3分)14．(10分)【解析】(1)导体棒AB 产生的感应电动势E ＝BLv ＝ V(2分) 由右手定那么，AB 棒上的感应电流方向向上，即沿B →A 方向(2分) (2)R 并＝R 1×R 2R 1＋R 2＝2 Ω(2分)I ＝E R 并＋r ＝56 A(2分) U AB ＝I·R 并＝53V(2分)15．(10分)【解析】(1)质子在电场中加速，依照动能定理得 eU ＝12mv 2(2分)v ＝2eUm(1分)(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动evB ＝m v2r (2分)T ＝2πr v (1分)t ＝12T ＝πmeB (1分) (3)r ＝mv eB ＝1B2mUe(2分) r H r α＝12(1分) 第Ⅱ卷一、多项选择题(每题6分，共30分)16．AD 【解析】以金属棒为研究对象，受重力、安培力、弹力和摩擦力．安培力F ＝BIL两角的关系θ＝90°－α f ＝μN由平稳条件得：G ＝N ＋BILsin θ，f ＝BILcos θ 解得：B ＝μG IL （cos θ＋μsin θ）在B 转过30°的进程中，安培力与沿顺时针转动，因此θ从30°减小到0°，由数学知识可知：磁感应强度可能始终变大，也可能先变小后变大，故AD 对．17．AC 【解析】当速度最小时有：μmg＝F 库＝k Qqr2，因此解得：r ＝kQqμmg，A 正确，点电荷从A 运动B 进程中，依照动能定理有：U AB q －mgμL 0＝12mv 2－12mv 20，解得，W ＝μmgL＋12mv 2－12mv 20，B 错误，C 正确，U AB ＝μmgL＋12mv 2－12mv 2－q，电荷带负电，D 错误．18．AC 【解析】设R 1、R 2、R 3、R 4的电流别离为I 1、I 2、I 3、I 4，电压别离为U 1、U 2、U 3、U 4.干路电流为I 总，路端电压为U ，电流表电流为I.当滑动变阻器R 2的滑动触头P 向左滑动时，R 2变小，外电路总电阻变小，I 总变大，由U ＝E －I总r 知，U 变小，那么电压表示数变小．U 变小，I 3变小，由I 总＝I 3＋I 4且I 总变大知，I 4变大，U 4变大，而U 1＝U －U 4，U 变小，则U 1变小，I 1变小，I 总变大，又I 总＝I ＋I 1，I 变大，故A 正确；由图可知电阻R 1与R 2并联后再与R 4串联，然后再与R 3并联，明显R 1未被电流表短路，B错误；电源的内电阻r ＝ΔU ΔI 总，I 总＝I ＋I 1，I 总变大，I 变大，I 1变小，因此ΔI 总＜ΔI ，则ΔU ΔI 总＞ΔUΔI ，故C 正确；D 错误，应选AC.19．AD 【解析】圆环落入径向磁场中，垂直切割磁感线，磁感应强度为B ，那么产生的感应电动势E ＝Blv ＝B·2πRv ，选项A 正确；圆环的电阻为R 电＝ρ2πR πr 2，圆环中感应电流为I ＝E R 电＝B πr 2vρ，选项C 错误；圆环所受的安培力大小为F ＝BI·2πR ，现在圆环的加速度为a ＝mg －F m ，m ＝d ·2πR ·πr 2，得a＝g －B 2vρd ，选项B 错误；当圆环做匀速运动时，安培力与重力相等时速度最大，即有mg ＝F ，那么得d·2πR ·πr 2g ＝B·B πr 2v m ρ·2πR ，解得v m ＝ρgdB2，选项D 正确．20．BCD 【解析】假设粒子带负电，粒子可沿图甲轨迹通过C 点，因此选项A 错误；若是粒子带正电，且直接偏转通过C 点，如图乙所示，则R ＝L ，由Bqv ＝mv 2R 得B ＝mvqL ，因此选项B 正确；在图丙所示情形中粒子抵达C 点所历时刻正好为7πm 3Bq ＋4dv ，那么选项C 正确；由于带电粒子能够多次偏转通过C 点，如图丁所示，由几何知识可得，L ＝2ndtan 60°＋2Rsin 30°，则R ＝L －23nd ，依照R ＝mvBq可得，v ＝（L －23nd ）Bqm(n ＝0，1，2，3，……)，选项D 正确．二、填空题(每空2分，共10分) 21．(1)①R 2 a ②5 (2)9 40【解析】(1)电源的电动势约为10 V ，电流表的满偏电流为30 mA ，那么电路总电阻的最小值为R min＝EI ＝错误! Ω＝ Ω，那么滑动变阻器应选择R 2；闭合开关S 1前，应将滑动变阻器接入电路的电阻值调到最大，因此连接好电路后，滑动变阻器的滑片应调到a 端；闭合S 2后，由并联电路的特点可知，(I g －I)R ＝IR g ，则R g ＝5 Ω.(2)依照题图乙，由闭合电路欧姆定律可知E ＝I(R ＋r ＋R g )，则1I ＝1E R ＋r ＋R gE ，那么图象的斜率k ＝1E ，图象的截距为b ＝r ＋R g E ，又由图象可得k ＝19、b ＝5，由以上可解得E ＝9 V 、r ＝40 Ω.22．【解析】(1)依照法拉第电磁感应定律，知感应电动势为 E ＝ΔΦΔt ＝ΔBΔtS ＝kS ①1分(2)因平行金属板M ，N 与电阻并联，故M 、N 两板间的电压为 U ＝E ＝kS ②1分带电粒子在M 、N 间做匀加速直线运动，有 qU ＝12mv 2③1分带电粒子进入磁场区域的运动轨迹如下图，有 qvB ＝m v2r ④1分由几何关系可得r ＋rcot 45°＝a ⑤1分联立②③④⑤得B ＝2a 2mkSq⑥1分 (3)设粒子运动圆周半径为r′，r ′＝mvqB ，当r′越小，最后一次打到N 板的点的越靠近O 点，在磁场中圆周运动积存路越大，时刻越长，当r′为无穷小，通过n 个半圆运动，最后一次打到O 点，有：n ＝a2r′⑦1分圆周运动周期：T ＝2π·r ′v ⑧1分最长的根限时刻：t m ＝n T2 ⑨1分由②③⑦⑧⑨式得：t m ＝π·a 2v ＝π·a2m2qkS⑩1分。

湖南师大附中高二上学期考试试题(数学文)

湖南师大附中高二第一学期数学(文科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷(共100分)一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分) 1．已知sin α＝52，则cos 2α＝ A.257 B ．－257 C.2517 D ．－25172．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝c ＝2a ，则cos B ＝ A.81 B.41 C.21D ．14．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b c<cos A ，则△ABC 为 A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形5．已知点(a ，b ) 在函数y ＝－x ＋1的图象上，则a 1＋b 4的最小值是A ．6B ．7C ．8D ．96．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则从上往下数第6节的容积为A.3337B.6667C.1110D.33237．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和， 27a 4＋a 7＝0，则S2S4＝A ．10B ．9C ．－8D ．－58．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，则数列{a n }的前20项的和为 A ．－100 B ．100 C ．－110 D ．1109．若x ，y 满足约束条件x －2y ≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．已知0<x <1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为 A.31 B.21 C.32 D.4311．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n ，若对所有的n (n ∈N *)，都有S n ≥S 10，则A ．a n ≥0B ．a 9·a 10<0C ．S 2<S 17D ．S 19≤0二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12．在等比数列{a n }中，a 4·a 6＝2 018，则a 3·a 7＝ ________ . 13．在△ABC 中，a ＝，b ＝1，∠A ＝3π，则cos B ＝________．14．对于实数a 、b 、c ，有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则c －a a >c －b b ；⑤若a >b ，a 1>b 1，则a >0，b <0.其中正确的是________．(填写序号)三、解答题(本大题共3小题，共30分) 15．(本小题满分8分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求角C ；(2)若c ＝，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．16.(本小题满分10分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在A 、B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h ，2 h ，加工一件乙产品所需工时分别为2 h ，1 h ，A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400 h 和500 h ，分别用x ，y 表示计划每月生产甲、乙产品的件数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．17.(本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列{a n }满足：a 3＋a 8＝20，且a 5是a 2与a 14的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝anan ＋11，求数列{b n }的前n 项和S n .第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18．(本小题满分6分) 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若→FP ＝4→FQ，则|QF|等于( )A .27B .25C ．3D ．2 二、填空题19．(本小题满分6分)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：4x2＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是__________．三、解答题20．(本小题满分12分)在等腰梯形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AD ＝BC ＝.沿EF 将梯形AFED 折起，使得∠AFB ＝60°，如图．(1)若G 为FB 的中点，求证：AG ⊥平面BCEF ； (2)求二面角C －AB －F 的正切值．21.(本小题满分13分)已知二次函数f(x)＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数q 的取值范围； (2)是否存在常数t(t ≥0)，当x ∈[t ，10]时，f(x)的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t(视区间[a ，b]的长度为b －a)．22.(本小题满分13分)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e ＝21.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足→OM ＋→ON ＝λ→OC，求实数λ的取值范围．湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(文科)参考答案第Ⅰ卷(共100分)一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CBBADAAABBD1.C 【解析】cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×52＝2517.故选C .2．B 【解析】由数列前几项可知a n ＝，令a n ＝＝3得n ＝23.故选B . 3．B4．A 【解析】由正弦定理可得sin C<sin B cos A ，sin (A ＋B)<sin B cos A ，即sin A cos B<0，所以∠B 是钝角，选A .5．D 【解析】a ＋b ＝1，∴a 1＋b 4＝b 4(a ＋b)＝5＋b 4a ≥9，当且仅当b ＝2a ＝32时取等号．故选D .6．A 【解析】根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n }，设其公差为d ，且d ＞0，由题意可得：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，则4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解可得a 1＝2213，d ＝667，则第6节的容积a 6＝a 1＋5d ＝6674＝3337. 故答案为A .7．A 【解析】由27a 4＋a 7＝0，得q ＝－3，故S2S4＝1－q21－q4＝1＋q 2＝10.故选A .8．A 【解析】由a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，得a 2＋a 1＝－1，a 3＋a 4＝－3，a 5＋a 6＝－5，…，a 19＋a 20＝－19.∴a n 的前20项的和为a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝－1－3－…－19＝－21＋19×10＝－100，故选A .9．B 【解析】由x ，y 满足约束条件x －2y ≥0.x ＋y －3≤0，作出可行域如图，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－21x ＋2z.要使z 最大，则直线y ＝－21x ＋2z的截距最大，由图可知，当直线y ＝－21x ＋2z过点A 时截距最大．联立x ＋y ＝3x ＝2y ，解得A(2，1)， ∴z ＝x ＋2y 的最大值为2＋2×1＝4.故答案为B .10．B 【解析】∵0<x<1,∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3·2x ＋1－x ＝43，当且仅当x ＝21时取等号． ∴x(3－3x)取最大值43时x 的值为21. 故选B .11．D 【解析】由 n ∈N *，都有S n ≥S 10, ∴a 10≤0，a 11≥0， ∴a 1＋a 19＝2a 10≤0， ∴S 19＝219（a1＋a19）≤0，故选D. 二、填空题 12．2 01813.23 【解析】∵a ＝，b ＝1，∠A ＝3π，∴由正弦定理可得：sin B ＝a bsin A ＝2＝21，∵b <a ，B 为锐角，∴cos B ＝＝23.故答案为：23.14．②③④⑤ 【解析】当c ＝0时，若a >b ，则ac ＝bc ，故①为假命题；若ac 2>bc 2，则c ≠0，c 2>0，故a >b ，故②为真命题；若a <b <0，则a 2>ab 且ab >b 2，即a 2>ab >b 2，故③为真命题；若c >a >b >0，则a c <b c ，则a c －a <b c －b ，则c －a a >c －b b，故④为真命题；若a >b ，a 1>b 1，即ab b >ab a，故a ·b <0，则a >0，b <0，故⑤为真命题．故答案为②③④⑤. 三、解答题15．【解析】(1)∵在△ABC 中，0<C <π，∴sin C ≠0，已知等式利用正弦定理化简得：2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，整理得：2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，即2cos C sin(π－(A ＋B ))＝sin C ， 2cos C sin C ＝sin C ， ∴cos C ＝21， ∴C ＝3π.4分(2)由余弦定理得7＝a 2＋b 2－2ab ·21，∴(a ＋b )2－3ab ＝7， ∵S ＝21ab sin C ＝43ab ＝23， ∴ab ＝6，∴(a ＋b )2－18＝7， ∴a ＋b ＝5，∴△ABC 的周长为5＋.8分16．【解析】(1)设甲、乙两种产品月产量分别为x ，y 件，约束条件是y ≥0，x ≥0，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分.5分 (2)设每月收入为z 千元，目标函数是z ＝3x ＋2y ，由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－23x ＋21z ，截距最大时z 最大．结合图象可知，直线z ＝3x ＋2y 经过A 处取得最大值由x ＋2y ＝4002x ＋y ＝500，可得A (200，100)，此时z ＝800.故安排生产甲、乙两种产品的月产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元.10分17．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 3＋a 8＝20，且a 5是a 2与a 14的等比中项，∴（a1＋4d ）2＝（a1＋d ）（a1＋13d ），2a1＋9d ＝20，解得a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.6分 (2)b n ＝（2n －1）（2n ＋1）1＝212n ＋11，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝212n ＋11＝212n ＋11＝2n ＋1n. 12分第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18．C 【解析】∵→FP ＝4→FQ， ∴|→FP |＝4|→FQ |，∴|PF||PQ|＝43.如图，过Q 作QQ′⊥l ，垂足为Q′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF|＝4，∴|AF||QQ ′|＝|PF||PQ|＝43，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3，故选C . 二、填空题19. 【解析】|F 1F 2|＝2.设双曲线的方程为a2x2－b2y2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a. 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2， ∴a ＝，∴e ＝a c ＝23＝26. 三、解答题20．【解析】(1)因为AF ＝BF ，∠AFB ＝60°，△AFB 为等边三角形．又G 为FB 的中点，所以AG ⊥FB.2分在等腰梯形ABCD 中，因为E 、F 分别是CD 、AB 的中点，所以EF ⊥AB.于是EF ⊥AF ，EF ⊥BF ，则EF ⊥平面ABF ，所以AG ⊥EF.又EF 与FB 交于一点F ，所以AG ⊥平面BCEF.5分 (2)连接CG ，因为在等腰梯形ABCD 中，CD ＝2，AB ＝4，E 、F 分别是CD 、AB 中点，G 为FB 的中点，所以EC ＝FG ＝BG ＝1，从而CG ∥EF. 因为EF ⊥平面ABF ，所以CG ⊥平面ABF.过点G 作GH ⊥AB 于H ，连结CH ，据三垂线定理有CH ⊥AB ，所以∠CHG 为二面角C －AB －F 的平面角.8分因为Rt △BHG 中，BG ＝1，∠GBH ＝60°，所以GH ＝23. 在Rt △CGB 中，CG ⊥BG ，BG ＝1，BC ＝，所以CG ＝1.在Rt △CGH 中，tan ∠CHG ＝33，故二面角C －AB －F 的正切值为33.12分21．【解析】(1)∵函数f(x)＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f(x)在区间[－1，1]上是减函数．∵函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有f （－1）≥0，f （1）≤0，即1＋16＋q ＋3≥0，1－16＋q ＋3≤0，∴－20≤q ≤12.6分(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且对称轴是x ＝8. ①当0≤t ≤6时，在区间[t ，10]上，f(t)最大，f(8)最小， ∴f(t)－f(8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝217，∴t ＝217；9分②当6<t ≤8时，在区间[t ，10]上，f(10)最大，f(8)最小， ∴f(10)－f(8)＝12－t ，解得t ＝8；11分③当8<t<10时，在区间[t ，10]上，f(10)最大，f(t)最小， ∴f(10)－f(t)＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0，解得t ＝8，9， ∴t ＝9.综上可知，存在常数t ＝217，8，9满足条件.13分22．【解析】(1)设椭圆的标准方程为a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得：c2＝a2－b2，，解得b2＝6，a2＝8，所以椭圆的标准方程为8x2＋6y2＝1.4分(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以1＋k2|t ＋k|＝1 2k ＝t 1－t2(t ≠0)，6分把y ＝kx ＋t 代入8x2＋6y2＝1并整理得：(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－3＋4k28kt， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝3＋4k26t， 8分因为λ→OC＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C （3＋4k2）λ6t，又因为点C 在椭圆上，所以，（3＋4k2）2λ28k2t2＋（3＋4k2）2λ26t2＝1 λ2＝3＋4k22t2＝＋11，11分因为t 2＞0，所以t21＋t21＋1＞1，所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为(－，0)∪(0，).13分。

湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x＝y＝1，则|x+yi|＝|1+i|＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．【分析】∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈R．且f（a）不在区间[1，2]内．f′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈Rf′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．x＝a时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（a）＝lna﹣1．∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），可得f（a）不在区间[1，2]内．∴a∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．【分析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ﹣ρcosθ＝1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l与圆C公共点的极坐标．【解答】解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，∴ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG 为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。