湖南师大附中攀登杯七年级数学竞赛复习资料 (无答案)

攀登杯竞赛考试数学复习要点第一节：绝对值第一类题型:去绝对值符号化简.【例1】(1) 若x ＜﹣2，则|1﹣|1+x||= ．(2)已知1=a ，2=b ，3=c ，且c b a >>，那么c b a -+＝ ．(3)非零整数m 、n 满足05=-+n m ，所有这样的整数组),(n m 共有______组．(4)已知d d =-，化简12d d ---所得的结果是________．(5) 若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，则x 取值范围是 ．【例2】(1) 如果是非零有理数，且0=++c b a ，那么abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或1-C ．2或2-D ．0或2-(2)若c b a 、、为整数，且19919=-+-a c ba ，求cb b a ac -+-+-的值．c b a 、、【例3】化简 (1)12-x (2)31-+-x x (3)1331++--x x第二类题型:含绝对值式子求最值问题.【例4】（1）整数a,b,c,d 满足28,318,510,a b b c c d =+=-=+则7d a +的最小值为（2）设由1到8的自然数写成的序列12,,,,n a a a ⋅⋅⋅则1223347881a a a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-++的最大值为【例5】已知36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++的最大值和最小值．【例6】（1）代数式131211++-++x x x 的最小值为_____．（2）代数式4321-+-+-+-a a a a 的最小值为 ．（3）If a ＜b ＜c ，ac ＜0 and ＜＜，then the minimum of is ．【例7】(1) 代数式122015x x x -+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少? 并求此时x 的范围；(2) 求当12131201x x x x -+-+-+⋅⋅⋅+-取最小值时x 的范围?【例8】已知|x|≤1，|y|≤1，设M=|x+y|+|y+1|+|2y ﹣x ﹣4|，求M 的最大值与最c b a c x b x a x ++-+-小值．【例9】已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y 的最大值．第二节： 实数运算【例1的平方根是 .【例2】已知实数a 满足21999,1999a a a -=-=则 .【例3】已知22(4)0,x y -++=求()y xz 平方根.变式：1.已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab -+=满足则的算术平方根是 .2.=在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是 .3.已知4,1x y y x +=+则= .4.若,,x y m试求4m-的算数平方根.【例4a，小数部分为b，求2-16ab-8b的立方根．+++⋅⋅⋅+【例5】计算：【例6】由下列等式：===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是 ．第三节： 方程及方程组【例1】已知()()063922=+---x m x m 是以x 为未知数的一元一次方程，如果m a ≤，那么m a m a -++的值为_________【例2】已知⎩⎨⎧=-=12y x 是方程⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解，则______________==n m【例3】解方程：（1）()()b x a x a 3512+-=- （2）8453=+-x【例4】解下列方程组（1）()⎩⎨⎧=+=++22422y x y x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-++441511y x y x【例5】m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？【例6】已知关于x ，y 的方程组111456ab bc ca a b b c c a ===+++，，分别求出当a 为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．【例7】已知a 、b 、c 为实数，且求a+b+c 的值.【例8】解方程组12233420152016201620171220162017...1...2017x x x x x x x x x x x x x x +=+=+==+=+=⎧⎨++++=⎩.【例9】已知正数f e d c b a ,,,,,满足41,16,9,4====d abcef c abdef b acdef a bcdef ，161,91==f abcde e abcdf .求()()f d b e c a ++-++的值.【例10】（1） 设，则 .（2） 已知882210322)2()1()1()7()1(++⋅⋅⋅+++++=-+x a x a x a a x x ,则7654321a a a a a a a +-+-+-= .【例11】（1）,12=+x x 求200522234+--+x x x x 的值.（2）如果05-2=+x x ，则3223++x x = ．【例12】(1)[]x 表示不大于x 的最大整数，若5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，则x 的取值范围是 (2)解方程：[]21213-=+x xf ex dx cx bx ax x +++++=+23455)13(=-+-+-f e d c b a【例13】（河南省竞赛题）若关于x 的方程9x －17＝kx 的解为正整数，则k 的值为k ＝第四节： 不等式及不等式组【例1】关于x 的不等式06>+--x k 的正整数解为1，2，3，那么k 的取值范围是 ．变式1．不等式03≤-a x 的正整数解为1，2，3，那么a 的取值范围是 ．2．关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩ 有四个整数解，则a 的取值范围是 ．3．已知关于x 的不等式组302x a b x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩的整数解有且只有4个：-1, 0, 1, 2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对（a,b ）共有多少个？【例2】关于x 的不等式05)2(>-+-b a x a b 的解为710<x ，试求032)4(>-+-b a x b a 的解．【例3】若不等式组841x x x m+<-⎧⎨≥⎩的解是x>3，则m 的取值范围是 ．变式：若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+++01456m ＜x x ＞x的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 ．【例4】已知不等式125-+x ＞22+ax 的解是x ＞21-的一部分，试求a 的取值范围．【例5】若x+y+z=30,3x+y -z=50,x,y,z 均为非负数，求M=5x+4y+2z 的最大值和最小值．【例6】已知非负数a ，b ，c 满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1，若m=3a+b-7c ， 求m 的最小值和最大值．【例7】若不等式a x x ≤-+-3312有解，求实数a 的最小值【例8】若方程019971997=--x x a 只有负数根，求a 的取值范围.【例9】若b a ,满足b a s b a 32,75322-==+，求s 的取值范围.【例10】求证：2222111171234n ++++<L【例11】已知19911198311982119811198011+⋅⋅⋅++++=S ，求 S 的整数部分.第五节：应用题【例1】一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？【例2】有一水库，在单位时间内有一定量的水流进，同时也向外放水，按现在的进出水量，水库中的水可使用40天，因最近在水源的地方降雨，流入水库的水量增加20%，如果放水量增加10%，则仍可使用40天，如果按原来的放水量放水，可使用多少天？【例3】有一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差，所得的商为11，余数为5，求这个两位数.【例4】甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水。

若从甲、乙、丙中各取出重量相等的盐水，将它们混合后就成为含盐10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为2：3来取，混合后就成为含盐7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为3：2来取，混合后就成为含盐9%的盐水.求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数.【例5】某人下午6点多外出时，看手表上两指针的夹角为110°，下午7点前回家时发现两指针的夹角仍为110°，他外出多少时间？【例6】甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，它们分别从直径AB两端同时相向起跑．第一次相遇时离A点100米，第二次相遇时离B点60米，求圆形跑道的总长．【例7】组装甲、乙、丙3种产品，需用A、B、C3种零件．每件甲需用A、B 各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A和1个C．用库存的A、B、C3种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品、r件丙产品，则剩下2个A和1个B，C恰好用完．求证：无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数，也不能把库存的A、B、C3种零件都恰好用完．【例8】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？第六节：几何初步【例1】已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．（2）如图2中，∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m的代数式表示写出∠M= ．【例2】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，求证：∥BPD=∥B﹣∥D；（2）将点P移到AB、CD内部，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则∥BPD、∥B、∥D之间有何数量关系？不必说明理由；（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∥BPD、∥B、∥D、∥BQD之间有何数量关系？并证明你的结论；（4）在图4中，若∥A+∥B+∥C+∥D+∥E+∥F+∥G=n×90°，试求n的值．【例3】已知：如图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”ADOCB.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：(1) 在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）在图2中，试探究∠P与∠D、∠B之间的数量关系.【例4】如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证:AB∥GF.【例5】如图所示．在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线交于D ，且∠D =30°．求∠A 的度数．思考：若∠DBE 角平分线与∠BCD 的外角相交于点G ，你能求出∠G 的大小吗？ 你能发现什么规律？【例6】如图已知，AB ∥CD .一组折线,BE DE 交于点： ,E 且：(1)1ABM ABE n ∠=∠，1CDM CDE n ∠=∠ （其中n 是正整数），,BM DM 交于点,M那么M ∠与E ∠（即BED ∠）的比值等于(2)1n ABN ABE n ∠=∠+,1n CDN CDE n ∠=∠+（其中n 是正整数）,,BN DN 交于点N ,那么N ∠与E ∠（即BED ∠）的比值等于 .EM N ACD B【例7】已知，点E、F分别在直线AB，CD上，点P在AB、CD之间，连结EP、FP，如图1，过FP上的点G作GH∥EP，交CD于点H，且∥1=∥2．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分∥EJF，且JK∥AB，则∥BEP与∥EPF之间有何数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，折叠后的两射线交于点M，当EM∥FM时，求∥EPF的度数．【例8】（1）如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°, ∠F=56°,求∠BDC 的度数．（2）如图，点E 在CD 的延长线上，∠BAD 与∠ADE 的平分线交于点F ，试问∠F 、∠B 和∠C 之间有何数量关系？为什么？1.（1）如图，点E 是AB 上方一点，MF 平分∠AME ，若点G 恰好在MF 的反向延长线上，且NE 平分∠CNG ，2∠E 与∠G 互余，求∠AME 的大小；（2）如图，在（1）的条件下，若点P 是EM 上一动点，PQ 平分∠MPN ，NH 平分∠PNC ，交AB 于点H ，PJ//NH ，当点P 在线段EM 上运动时，∠JPQ 的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，请说明你的理由.AAAD2.如图，已知MA//NB ，CA 平分∠BAE ，CB 平分∠ABN ，点D 是射线AM 上一动点，连DC ，当D 点在射线AM （不包括A 点）上滑动时，∠ADC+∠ACD+∠ABC 的度数是否发生变化？若不变，说明理由，并求出度数.【例4】如图，△ABC 的面积为1，D 、E 为AC 的三等分点，F 、G 为BC 的三等分点． 求：(1)四边形PECF 的面积；(2)四边形PFGN 的面积．DN AD【例3】根据图中绘出的小三角形面积的数据，求△ABC的面积．3．如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若ABDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是平方厘米．4．如图，若长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是．(“五羊杯”竞赛题)。