计算电磁学
介绍计算电磁学基础知识及数值方法汇总
介绍计算电磁学基础知识及数值方法汇总
一。
计算电磁学的重要性
在现代科学研究中，“科学试验，理论分析，高性能计算”已经成为三种重要的研究手段。
在电磁学领域中，经典电磁理论只能在11 种可分离变量坐标系中求解麦克斯韦方程组或者其退化形式，最后得到解析解。
解析解的优点在于：
①可将解答表示为己知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果;
②可以作为近似解和数值解的检验标准;
③在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。
这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。
当遇到不规则形状或者任意形状边界问题时，则需要比较复杂的数学技巧，甚至无法求得解析解。
20 世纪60 年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法也迅速发展起来，并在实际工程问题中得到了广泛地应用，形成了计算电磁学研究领域，已经成为现代电磁理论研究的主流。
简而言之，计算电磁学是在电磁场与微波技术学科中发展起来的，建立在电磁场理论基础上，以高性能计算机技术为工具，运用计算数学方法，专门解决复杂电磁场与微波工程问题的应用科学。
相对于经典电磁理论分析而言，应用计算电磁学来解决电磁学问题时受边界约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。
原则上来讲，从直流到光的宽广频率范围都属于该学科的研究范围。
近几年来，电磁场工程在以电磁能量或信息的传输、转换过程为核心的强电与弱电领域中显示了重要作用。
二。
电磁问题的分析过程
电磁工程问题分析时所经历的一般过程为：
三。
计算电磁学的分类
（1）时域方法与谱域方法。
计算电磁学就业方向
计算电磁学就业方向
计算电磁学是电磁学的一个分支，它应用电磁场理论和数学方法来解决电磁场问题。
在当今科技日新月异的时代，计算电磁学已经成为各个领域中不可或缺的一部分。
因此，计算电磁学也是一个广阔的就业方向。
一、电子行业
随着电子行业的发展，计算电磁学在电子行业中的应用越来越广泛。
比如，在芯片设计中，计算电磁学可以用来模拟和分析电磁场的分布，从而帮助设计师优化芯片性能。
另外，在电子产品的生产和测试中，计算电磁学也可以用来预测设备的电磁兼容性和电磁干扰，从而提高产品的质量和可靠性。
因此，在电子行业中，计算电磁学的就业前景非常良好。
二、通信行业
计算电磁学在通信行业中也有着广泛的应用。
比如，在无线通信系统中，计算电磁学可以用来模拟和分析信号传输的路径和衰减情况，从而优化通信系统的性能。
此外，在雷达和卫星通信系统中，计算电磁学也可以用来模拟和分析电磁波的传播和反射情况，从而帮助设计师提高系统的信号强度和覆盖范围。
因此，在通信行业中，掌握计算电磁学技能的人才非常有市场竞争力。
三、能源行业
在能源行业中，计算电磁学可以用来模拟和分析电磁场对电力设备的影响，从而预测电力设备的损耗情况和寿命。
此外，在电力系统
的设计和维护中，计算电磁学也可以用来优化电力设备的布局和参数设置，从而提高电力系统的效率和可靠性。
因此，在能源行业中，掌握计算电磁学技能的人才也非常受欢迎。
总之，计算电磁学是一个非常有前途的学科，在各个领域中都有广泛的应用。
因此，如果有志于从事科技研发和工程技术的人们，可以选择学习和掌握计算电磁学技能，以此来开拓自己的职业发展前景。
计算电磁学
计算电磁学计算电磁学是指对一定物质和环境中的电磁场相互作用的建模过程，通常包括麦克斯韦方程计算上的有效近似。
计算电磁学被用来计算天线性能，电磁兼容，雷达散射截面和非自由空间的电波传播等问题。
计算电磁学的主要思想有，基于积分方程的方法，基于微分（差分）方程的方法，及其他模拟方法。
1.基于积分方程的方法1.1 离散偶极子近似（discrete dipole approximation，DDA） DDA是一种计算电磁波在任意几何形状物体上散射和吸收的方法，其表达式基于麦克斯韦方程的积分形式。
DDA用有限阵列的可极化点来近似连续形式的物体。
每个点通过对局部电场的响应获得对应的偶极子矩量，然后这些偶极子通过各自的电场相互作用。
因此，DDA 有时也被认为是耦合偶极子近似。
这种线性方程的计算一般采用共轭梯度迭代法。
由于离散矩阵的对称性，就可能在迭代中使用FFT计算矩阵的向量乘法。
1.2 矩量法（Method of Moments，MoM ），边界元法（Boundary Element Method，BEM ）MoM和BEM是求解积分形式（边界积分形式）的线性偏微分方程的数值计算方法，已被应用于如流体力学，声学，电磁学等诸多科技领域。
自从上世纪八十年代以来，该方法越来越流行。
由于只计算边界值，而不是方程定义的整个空间的数值，该方法是计算小表面（体积）问题的有效办法。
从概念上讲，它们在建模后的表面建立网格。
然而对于很多问题，此方法的效率较基于体积离散的方法（FEM，FDTD）低很多。
原因是，稠密矩阵的生成将意味着存储需求和计算时间会以矩阵维数的平方律增长。
相反的，有限元矩阵的存储需求和计算时间只会按维数的大小线性增长。
即使可以采用矩阵压缩技术加以改善，计算成功率和因此增加的计算复杂性仍强烈依赖问题的本质。
BEM可用在能计算出格林函数的场合，如在线性均匀媒质中的场。
为了能使用BEM，需要对问题有很多限制，使用上不方便。
计算电磁学
电磁学：电磁学是研究电磁现象的规律和应用的物理学分支学科，起源于18世纪。
广义的电磁学可以说是包含电学和磁学，但狭义来说是一门探讨电性与磁性交互关系的学科。
主要研究电磁波、电磁场以及有关电荷、带电物体的动力学等等。
计算电磁学：《计算电磁学》是2002年03月科学出版社出版的图书，作者是王秉中。
内容简介：本书在论述计算电磁学的产生背景、现状和发展趋势的基础上，系统地介绍了电磁仿真中的有限差分法、人工神经网络在电磁建模中的应用，遗传算法在电磁优化中的应用等。
图书目录：第一章绪论1.1 计算电磁学的产生背景1.1.1 高性能计算技术1.1.2 计算电磁学的重要性1.1.3 计算电磁学的研究特点1.2 电磁场问题求解方法分类1.2.1 解析法1.2.2 数值法1.2.3 半解析数值法1.3 当前计算电磁学中的几种重要方法1.3.1 有限元法1.3.2 时域有限差分法1.3.3 矩量法1.4 电磁场工程专家系统1.4.1 复杂系统的电磁特性仿真1.4.2 面向CAD 的复杂系统电磁特性建模1.4.3 电磁场工程专家系统第一篇电磁仿真中的有限差分法第二章有限差分法2.1 差分运算的基本概念2.2 二维电磁场泊松方程的差分格式2.2.1 差分格式的建立2.2.2 不同介质分界面上边界条件的离散方法2.2.3 第一类边界条件的处理2.2.4 第二类和第三类边界条件的处理2.3 差分方程组的求解2.3.1 差分方程组的特性2.3.2 差分方程组的解法2.4 工程应用举例2.5 标量时域有限差分法2.5.1 瞬态场标量波动方程2.5.2 稳定性分析2.5.3 网格色散误差2.5.4 举例第三章时域有限差分法I——差分格式及解的稳定性3.1 FDTD 基本原理3.1.1 Yee 的差分算法3.1.2 环路积分解释3.2 解的稳定性及数值色散3.2.1 解的稳定条件3.2.2 数值色散3.3 非均匀网格及共形网格3.3.1 渐变非均匀网格3.3.2 局部细网格3.3.3 共形网格3.4 三角形网格及平面型广义Yee 网格3.4.1 三角形网格离散化3.4.2 数值解的稳定性3.4.3 平面型广义Yee 网格3.5 半解析数值模型3.5.1 细导线问题3.5.2 增强细槽缝公式3.5.3 小孔耦合问题3.5.4 薄层介质问题3.6 良导体中的差分格式第四章时域有限差分法Ⅱ——吸收边界条件4.1 Bayliss-Turkel 吸收边界条件4.1.1 球坐标系4.1.2 圆柱坐标系4.2 Engquist-Majda 吸收边界条件4.2.1 单向波方程的泰勒级数近似4.2.2 Mur 的差分格式4.2.3 Trefethen-Halpern 近似展开4.2.4 Higdon 算子4.3 廖氏吸收边界条件4.4 梅-方超吸收边界条件4.5 Berenger 完全匹配层（PML）4.5.1 PML 媒质的定义4.5.2 PML 媒质中平面波的传播4.5.3 PML-PML 媒质分界面处波的传播4.5.4 用于FDTD的PML4.5.5 三维情况下的PML4.5.6 PML 的参数选择4.5.7 减小反射误差的措施4.6 Gedney 完全匹配层4.6.1 完全匹配单轴媒质4.6.2 FDTD 差分格式4.6.3 交角区域的差分格式4.6.4 PML 的参数选取第五章时域有限差分法Ⅲ——若干实用技术5.1 激励源技术5.1.1 强迫激励源5.1.2 总场/散射场体系5.2 集总参数电路元件的模拟5.2.1 扩展FDTD方程5.2.2 集总参数电路元件举例5.3 近区场到远区场的变换5.4 数字信号处理技术5.4.1 极点展开模型与Prony算法5.4.2 线性及非线性信号预测器模型5.4.3 系统识别方法及数字滤波器模型5.5 应用举例5.5.1 均匀三线互连系统5.5.2 同轴线馈电天线5.5.3 多体问题5.5.4 同轴-波导转换器5.5.5 波导元件的高效分析5.5.6 传输线问题的降维处理第六章基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法——ADI-FDTD 方法6.1 ADI-FDTD 基本原理6.1.1 ADI-FDTD 差分格式I6.1.2 ADI-FDTD 差分格式Ⅱ6.2 解的稳定性与数值色散6.2.1 二维问题的稳定性6.2.2 三维问题的稳定性6.2.3 增长矩阵6.3 吸收边界条件6.3.1 Gedney的PML媒质中的ADI-FDTD格式6.3.2 Berenger的PML媒质中的ADI-FDTD格式6.4 应用举例6.4.1 有耗平行板传输线6.4.2 有耗平行板传输线——降维处理6.4.3 用混合网格二维FDTD算法分析传输线第二篇人工神经网络在电磁建模中的应用第七章人工神经网络模型7.1 生物神经元7.2 人工神经元模型7.2.1 单端口输入神经元7.2.2 活化函数7.2.3 多端口输入神经元7.3 多层感知器神经网络7.3.1 单层前传网络7.3.2 多层前传网络7.4 多层感知器的映射能力7.5 多样本输入并行处理第八章用回传算法训练多层感知器8.1 神经网络的学习能力8.1.1 受控学习方式8.1.2 误差校正算法8.2 误差回传算法8.2.1 初始化8.2.2 delta法则8.2.3 计算的两个过程8.3 训练模式8.4 回传算法的改进8.4.1 带矩量修正的广义delta法则8.4.2 学习速率参数自适应算法“指南”8.4.3 delta-delta 学习规则8.4.4 delta-bar-delta 学习规则8.4.5 Matlab 中的学习参数自适应算法8.5 将受控学习看做函数最优化问题8.5.1 共轭梯度法8.5.2 牛顿法8.5.3 Levenberg-Marquardt 近似8.6 网络推广8.6.1 训练集合大小的确定8.6.2 网络结构的优化第九章神经网络与电磁建模9.1 正交试验设计9.1.1 全组合正交试验设计9.1.2 方螺旋电感的神经网络模型9.1.3 微带协同馈电系统的神经网络模型9.1.4 带状线间隙不连续性的神经网络模型9.1.5 部分组合正交试验设计9.2 中心组合试验设计9.2.1 中心组合试验设计9.2.2 单层间互连结构的神经网络模型9.2.3 带状线双层间互连结构的神经网络模型9.2.4 同轴-波导转换器的神经网络模型9.3 随机组合试验设计9.3.1 高速互连结构的神经网络模型9.3.2 例子第十章知识人工神经网络模型10.1 外挂式知识人工神经网络模型10.1.1 差值模型和PKI 模型10.1.2 输入参数空间映射模型10.1.3 主要元素项分析10.1.4 稳健的知识人工神经网络模型10.2 嵌入式知识人工神经网络模型10.2.1 知识人工神经元10.2.2 知识人工神经元三层感知器10.2.3 应用实例第三篇遗传算法在电磁优化中的应用第十一章遗传算法基本原理11.1 基本的遗传算法11.1.1 基本遗传算法的描述11.1.2 应用遗传算法的准备工作11.1.3 遗传操作11.2 遗传算法的特点及数学机理11.2.1 遗传算法的特点11.2.2 遗传算法的数学机理第十二章遗传算法在电磁优化中的应用12.1 天线及天线阵的优化设计12.1.1 天线的优化设计12.1.2 微带天线的优化设计12.1.3 天线阵的优化设计12.2 平面型带状结构的优化设计12.2.1 稀疏化带状栅的优化设计12.2.2 带状电阻栅加载导体带的优化设计12.2.3 多层周期性导体带状栅的优化设计参考文献。
计算电磁学就业方向
计算电磁学就业方向计算电磁学是电磁学与计算机科学相结合的学科领域，它主要研究电磁场的计算方法和应用。
随着计算机技术的飞速发展，计算电磁学在电磁学领域的应用日益广泛。
在当今信息时代，计算电磁学的就业方向也变得越来越多样化。
计算电磁学在电磁场仿真与优化方面有着广泛的应用。
随着电子产品的不断更新换代，对电磁场的仿真与优化要求越来越高。
计算电磁学可以通过数值计算方法，快速准确地模拟和优化电磁场的分布情况，从而指导电子产品的设计与制造。
在电子通信、雷达、微波等领域，对电磁场的仿真与优化需求非常迫切，因此，相关企业和科研机构对计算电磁学人才的需求量也非常大。
计算电磁学在电磁兼容性方面也有着重要的应用。
电磁兼容性是指电子设备在共同电磁环境下能够正常工作而不产生互相干扰的能力。
计算电磁学可以通过电磁场仿真与优化的方法，对电子设备的电磁兼容性进行评估与改进，以确保设备在电磁环境中的正常运行。
在电子设备制造、电磁环境监测等领域，对计算电磁学人才的需求也越来越大。
计算电磁学在电磁波传播与天线设计方面也发挥着重要作用。
电磁波传播与天线设计是无线通信领域的核心技术之一。
计算电磁学可以通过数值计算方法，对电磁波在不同环境中的传播特性进行模拟与分析，从而指导天线的设计与布置，提高无线通信系统的性能和覆盖范围。
在无线通信、卫星通信等领域，对计算电磁学人才的需求也非常迫切。
计算电磁学在电磁辐射与防护方面也有着重要的应用。
随着电子设备的普及和电磁辐射对人体健康的影响越来越受到关注，电磁辐射与防护成为一个热门的领域。
计算电磁学可以通过电磁场仿真与优化的方法，对电磁辐射的强度和分布进行评估与预测，从而指导电磁辐射防护的设计与实施。
在电磁辐射监测、电磁辐射防护设施设计等领域，对计算电磁学人才的需求也越来越大。
计算电磁学作为电磁学与计算机科学的交叉学科，具有广泛的应用前景和就业方向。
在电磁场仿真与优化、电磁兼容性、电磁波传播与天线设计、电磁辐射与防护等领域，计算电磁学的专业人才将会得到越来越多的机会和挑战。
介绍计算电磁学基础知识及数值方法汇总
介绍计算电磁学基础知识及数值方法汇总计算电磁学是研究电磁场与电磁波的产生、传播和相互作用规律的一门学科。
它在现代科学和工程领域中具有广泛的应用，包括电子、通信、雷达、天气预报和医学成像等领域。
为了解决电磁学中的复杂问题，人们发展了许多数值方法来模拟和分析电磁场。
电磁学基础知识包括静电学、静磁学和电磁波学。
静电学研究静止电荷与电场之间的关系，电场的产生和性质。
其中包括库仑定律、高斯定律和电势等基本概念。
静磁学研究静止电流和磁场之间的关系，包括安培定律、毕奥-萨伐尔定律和洛伦兹定律等内容。
电磁波学研究电磁场的传播和相互作用，包括法拉第电磁感应定律、麦克斯韦方程组和电磁辐射等内容。
在研究和应用电磁学问题时，数值方法起到了重要的作用。
数值方法是指使用计算机计算和模拟电磁场的技术手段。
其中最常用的数值方法包括有限差分法（Finite Difference Method，FDM）、有限元法（Finite Element Method，FEM）和边界元法（Boundary Element Method，BEM）。
有限差分法是一种基于离散化方法的数值方法，它将电磁场方程中的微分方程转化为离散的代数方程。
通过在空间上取离散的点和在时间上取离散的时间步长，可以逐步求解方程组，得到电磁场的数值解。
有限差分法适用于各种电磁场问题，特别是在二维和三维空间中。
有限元法是一种将连续问题离散化为有限个简单子区域的数值方法。
它通过将电磁场区域划分为有限个单元，利用单元的形状函数和节点的数值解，近似求解电磁场方程。
有限元法可以处理任意形状的几何体，适用于复杂的电磁学问题。
边界元法是一种基于边界条件的数值方法。
它将电磁边界上的边界积分方程转化为离散的代数方程，通过求解边界上的电荷密度或矢量势，得到电磁场的数值解。
边界元法适用于边界形式简单的电磁问题，例如无限大平面和球面问题。
除了这些传统的数值方法，还有一些其他的数值方法被广泛应用于电磁学中，例如有限时域差分法（Finite Difference Time Domain，FDTD）和有限元时域法（Finite Element Time Domain，FETD）。
计算电磁学就业方向
计算电磁学就业方向电磁学是物理学的一个重要分支，研究电荷、电流和电磁场之间的相互作用。
在现代科学和技术的发展中，电磁学扮演着重要的角色。
计算电磁学作为电磁学的一个分支，运用计算机技术来模拟和解析电磁现象，为现代科学技术的发展提供了强有力的支持。
在计算电磁学领域，有许多就业方向值得我们关注。
一、电磁场模拟与仿真工程师电磁场模拟与仿真工程师是计算电磁学领域中的重要岗位之一。
他们利用计算机软件，进行电磁场分析和模拟，为各个行业提供解决方案和技术支持。
比如，在电子工程领域，他们可以模拟电子器件的电磁场分布，优化电路设计，提高电子设备的性能。
在通信工程领域，他们可以模拟无线信号的传播特性，优化天线设计，提高通信系统的覆盖范围和传输质量。
在电力工程领域，他们可以模拟电力系统中的电磁场分布，评估电力设备的安全性和稳定性。
二、电磁兼容性工程师电磁兼容性工程师是计算电磁学领域中的另一个重要岗位。
他们主要负责评估和改善电子设备之间的电磁兼容性，确保各种设备能够在同一环境下正常工作，而不会相互干扰。
电磁兼容性工程师需要运用计算电磁学的方法，对设备的辐射和敏感性进行分析和模拟，通过优化设备的结构和电磁屏蔽措施，降低设备之间的电磁干扰。
三、电磁波传播和天线工程师电磁波传播和天线工程师是计算电磁学领域中的另一个重要岗位。
他们主要研究电磁波在不同介质中的传播特性，设计和优化天线系统，提高无线通信的覆盖范围和传输质量。
电磁波传播和天线工程师需要利用计算电磁学的方法，模拟和分析电磁波在不同环境中的传播路径和衰减情况，通过优化天线的结构和布局，提高天线的增益和方向性，提高通信系统的性能。
四、电磁辐射安全工程师电磁辐射安全工程师是计算电磁学领域中的另一个重要岗位。
他们主要负责评估和控制电磁辐射对人体健康的影响，设计和优化电磁辐射防护措施。
电磁辐射安全工程师需要利用计算电磁学的方法，模拟和分析电磁辐射的分布和强度，评估辐射对人体的影响，通过优化设备的结构和工作方式，减少电磁辐射对人体的影响。
各种计算电磁学方法比较和仿真软件
各种计算电磁学方法比较和仿真软件计算电磁学方法是基于电磁理论和数值计算方法的电磁场分析方法，广泛应用于电磁设备的设计和分析中。
在电磁场计算中，常见的方法包括有限差分法(Finite Difference Method, FDM)、有限元法(Finite Element Method, FEM)、边界元法(Boundary Element Method, BEM)和时域积分方程法(Time Domain Integral Equation Method, TDIE)等，每种方法都有其特点和适用范围。
有限差分法是一种有限差商逼近的数值求解方法，将连续域中的偏微分方程转化为差分方程，然后通过离散化求解得到电磁场分布。
有限差分法具有简单、易于理解和实现的优点，适用于处理规则的几何体和均匀介质的场问题。
然而，当处理复杂几何体和非均匀介质问题时，有限差分法的计算效率较低。
有限元法是一种通过分割计算域为有限个简单形状单元，并在每个单元上采用多项式近似的方法。
有限元法可以较好地处理任意形状的几何体和非均匀介质问题，并且对于大型复杂结构也具有较好的可扩展性。
有限元法在电磁场计算中广泛应用，例如在电感、电容和波导等领域。
边界元法是一种基于位势-势流理论的计算方法，将电磁场分析问题转化为求解边界上的积分方程。
边界元法可以处理复杂几何边界的问题，并且相对于有限元法，边界元法中的待求解变量的数目较少，计算量较小。
边界元法在电磁场计算中常用于处理表面波和边界散射等问题。
时域积分方程法是一种基于麦克斯韦方程组的数值计算方法，通过将时间导数和空间导数分开进行求解，可以用来描述电磁波在时域中的传播。
时域积分方程法可以处理电磁散射、辐射和天线等问题，并且对于时间反演分析也具有优势。
除了上述传统的计算电磁学方法，现代仿真软件也广泛用于电磁场计算和设计。
一些常见的电磁场仿真软件包括Ansys、COMSOL Multiphysics、CST Microwave Studio、FEKO和HFSS等。
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计算电磁学－有限差分法 (2011版)
cem@
介绍
有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年代以来得到 了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简单，直观。虽然其 与变分法相结合所形成的有限元法更有效，但有限差分还是 以其固有特点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一 种数值方法。 为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分 法是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并 以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏 微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方 程组解出各离散点处的待求函数值——离散解。
cem@
龙格-库塔法
选取αβω系数，使两式项的系数相等
1 f n , 2 f n' , 3 f n'' , 4 f n''' ,
如果该关系式能够一直维持到第m阶仍能成立，但m＋1阶不再 成立，就称为m阶龙格-库塔法
j f n( j 1) , j 1, 2, , m
hn yn 1＝yn f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ) 2
cem@
梯形近似
一般梯形近似法不能一步计算得到所要求的精度，需要采用多 次迭代才能够得到积分精度要求
[0] yn 1 yn hf ( xn , yn ) [ s 1] hn [ yn 1 ＝yn f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yns]1 ) , 2
d2 f 1 df 2 dx x dx
df dx x x x
前向差分
后向差分
1 f ( x h) f ( x ) f ( x ) f ( x h) h h h f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) 都采用中心差分？ 2 h
梯形近似
可以看出方程两边都包含n＋1步的待求未知量，是隐式格式， 如何求解？
hn yn1 yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) 2 yn1 yn hf ( xn , yn )
先用欧拉折线法计算出0到n＋1步的未知值的预估计值，然后， 再用梯形近似法计算。就是‚预估计-校正法‛。该方法截断 误差仍然为O（h3）。
中心差分
df f ( x) f ( x h) f ( x h) dx x 2h
cem@
差分与差商
通过泰勒公式分析上面差分精度，在点上的一阶导数的逼近度 可由泰勒公式展开
1 2 '''' f ( x0 h) f ( x0 ) hf ( x0 ) h f ( x0 ) 0 2! 1 2 '''' ' f ( x0 h) f ( x0 ) hf ( x0 ) h f ( x0 ) 0 hf ( xn r h, yn r1K1 r 2 K2 ... r ,r 1Kr 1 )
yn 1 yn K＝yn 1K1＋2 K 2＋.. r K r .+
右端(xn,yn)处做泰勒展开,重新按h幂整理得
'
两式相减
2 3 ''''' f ( x0 h) f ( x0 h) 2hf ( x0 ) h f ' ( x0 ) 3!
'
cem@
差分与差商
2 '' 前向、后向差分截断于 h f ( x0 ) / 2! ，具有h的一阶精度，而 3 ''' 中心差分法截断于 2h f ( x0 ) / 3!，具有h的二阶精度，中心差 分的精度比较高。 二阶导数的差分格式
Poisson差分格式
1 2 (1 0 ) (3 0 ) ( h1 h3 ) 2 ( h12 h32 ) 2! x 0 x 0
一阶偏导数差分格式，忽略h3以上的高次幂的项，并且令 2 / x 2 项的系数为零，这样处理可以保证得到的差分格式误差为h3量 级。系数为零的条件
s 0,1, 2,...
[ [ max{ yns1] yns]1 } 时， 当迭代到一定的次数时，即满足精度n[0, N ] 1 就认为获得所要求的精度积分。
cem@
2. 龙格-库塔法
采用预估计-校正法的梯形近似法，只计算一次就能得到的截 断误差为O（h3）结果，但当期望一步到达R阶精度，就发展了 龙格-库塔法 设K作为yn+1到yn的增量，得到n+1步长处的结果
作业报告5，两级偏导数都采用中心差分，其差 分格式，精度? 写出采用这种离散方式的 Possion方程离散格式。
差分与差商
对偏导数，可仿照上述方法，将表示为：
u u ( x h, y, z ) u ( x h, y, z ) x 2h
2u u ( x h, y, z ) 2u ( x, y, z ) u ( x h, y, z ) 2 x h2
x0
x
cem@
欧拉近似
y( x) y0 f (t , y(t )dt
x0
x
欧拉近似法在函数图上用阶梯的折线代替曲线
f(x) y(x)
yn+1 y(xn+1) yn
a x1 x2 ...xn xn+1 ... b
x
xn
xn+1
x
yn 1 yn hf ( xn , yn ) xn x0 nh
2 , 21 , 3 , 31 , 32 ,..., r , r1 , r 2 ,..., r ,r 1及1, 2 ,...r
选取与函数f无关又与步长数n无关的常数 这些与计算函数无关的常数如何去确定？这也是龙格-库塔法 的关键，思路是：即要计算函数的增量，就要想到泰勒展开方 法，上式中每个K值就是在处附近的值。
1 1 2 yn1 yn 1h 2 h 3h3 2! 3!
同样对微分方程的解y(x)在点(xn,yn)进行泰勒展开
1 ' 2 1 '' 3 y( xn1 ) y( xn ) f n h f n h f n h 2! 3!
比较上面两式，只要它们前面项的系数尽可能多的相等，就保 证了截断精度。
f ( x) f ( x h) f ( x) x h
cem@
差分与差商
前向差分
df f ( x) f ( x h) f ( x) dx x h
后向差分
df f ( x) f ( x) f ( x h) dx x h
首先是空间离散，采用什么样离散？ 通常采用完全有规律的分布方式，这样可使每个离散点上得到 相同形式的差分方程，有效的提高解题速度。对能填满平面域 的三种规则网格（正方形，正三角形和正六边形）的划分方式， 经常采用的是矩形网格划分，
cem@
Poisson差分格式
h3
2
h1
一阶偏导数差分格式
yn 1 yn K1 / 2 K 2 / 2 二阶龙格-库塔法(m=2)的系数方程组 K ＝hf ( x , y ) 1 n n 1 2＝1 K ＝hf ( x h, y K ) 1 n n 1 2 22＝ 212＝
这是一个不定方程组，也就是方程的变量的数目多于方程个数， 因而方程的解有多个。上式如果取α2=β21=1，ω1=ω2=1/2 ,这就是梯形近似的预估计-校正法。其他阶的龙格-库塔法可 以类推
cem@
2
3.Poisson方程差分格式
二维Poisson方程
2 2 2 ( x, y ) 2 2 F ( x, y ) x y
2u u ( x h, y, z ) 2u ( x, y, z ) u ( x h, y, z ) 如何离散方程的有限差分格式？ x 2 h2
yn 1 yn f ( xn , yn ) h
cem@
梯形近似
y( x) y0 f (t , y(t )dt
x0
x
改善数值分析的精度关键是如何更好地近似曲边梯形的面积。 用函数曲线的端点连线代替曲线，而不是用矩形的平行线
hn yn1 yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) 2
yn 1 yn K
K是用ω常数对K1,K2,…进行线性组合构造函数
K＝1 K1＋2 K 2＋...+r K r
cem@
龙格-库塔法
K＝1 K1＋2 K 2＋...+r K r
K1,K2,…用α,β常数及K构造的自变量表示的函数f一系列值
K1 hf ( xn , yn ) K 2 hf ( xn 2 h, yn 21 K1 ) K3 hf ( xn 3h, yn 31K1 32 K 2 ) K r hf ( xn r h, yn r1 K1 r 2 K 2 ... r ,r 1 K r 1 )
cem@
2、欧拉近似、梯形法则和龙格-库塔法
除了用最简洁差分去代替微分外，还可以从微分方程解为积 分形式出发，利用数值积分计算的手段处理差分格式，通过 直观图形法去分析。 设有初值问题