题型一规律探究题
中考数学专题复习：规律探索题
中考链接 观察“田”字中各数之间的关系：
，…， ，则 的值为
．
七、学业检测
一．选择题（共4小题，每题10分，共40分） 1．教材上“阅读与思考”曾介绍“杨辉三角”（如图），
利用“杨辉三角”展开（1﹣3x）5＝ a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么a1+a2+a3+a4+a5＝（ ）
“★”按一定规律组成的．已知第1个图形中有8个“●” 和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第 3个图形中有24个“●”和9个“★”，…，则第 个图 形中“★”的个数是“●”的个数的2倍．
类型三 图形变化类规律探索
针对训练4 4.我们将如图所示的两种排列形式的点
的个数分别称作“三角形数”（如1，3， 6，10…）和“正方形数”（如1，4，9， 16…），在小于200的数中，设最大 的“三角形数”为m，最大的“正方形数 ”为n，则m+n的值为 ．
中考链接
将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
第1行
1
第2行
234
第3行
56789
第4行
10 11 12 13 14 15 16
第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25
若有序数对（n,m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3,2） 表示6,则表示99的有序数对是 .
中考链接
如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作 B1A1⊥l ， 交x轴于点A1 ， 以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1 ， 延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2 ， 延 长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3 ， 延长 B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形 AnBnBn+1Cn的边长为 ________（结果用含正整数n的代数式表 示）．
四年级规律探究推倒公式题型
四年级规律探究推倒公式题型以下是一些四年级规律探究推倒公式题型的例子:1. 找出一个三位数，让它的个位数字是这个三位数的百位数，十位数字是这个三位数的个位数，千位数字是这个三位数的十位数。
请问这个三位数是多少？解决方案：设这个三位数的百位数为 a，个位数为 b，十位数为c，则这个三位数的位数为 a + b + c = 100 + a + b + c = 100a + 10b + c。
因此，要求这个三位数的个位数字是 a，十位数字是 b，千位数字是 c，则需要有以下等式:100a + 10b + c = 个位数字 (b) + 十位数字 (a) + 千位数字(c)解这个方程可以得到:c = (100a + 10b) - 100b - 个位数字 (b)= 100a + 10b - 个位数字 (b)= 99a + 个位数字 (b)因此，这个三位数是:100a + 10b + c = 100a + 10b + (99a + b) = 199a + b2. 一个三位数，它的个位数字是这个三位数的百位数，十位数字是这个三位数的个位数，千位数字是这个三位数的十位数。
请问这个三位数是多少？解决方案：设这个三位数的百位数为 a，个位数为 b，十位数为c，则这个三位数的位数为 a + b + c = 100 + a + b + c = 100a +10b + c。
因此，要求这个三位数的个位数字是 a，十位数字是 b，千位数字是 c，则需要有以下等式:100a + 10b + c = 个位数字 (b) + 十位数字 (a) + 千位数字(c)解这个方程可以得到:c = (100a + 10b) - 100b - 个位数字 (b)= 100a + 10b - 个位数字 (b)= 99a + 个位数字 (b)因此，这个三位数是:100a + 10b + c = 100a + 10b + (99a + b) = 199a + b3. 已知一个两位数，它的十位数字是 a，个位数字是 b，请问这个两位数的十位数字应该是多少？解决方案：设这个两位数的十位数字是 a，则它的个位数字是 b。
(完整)七年级数学专题规律探究题
七年级数学专题-----规律探究题题型一：数字变化类问题1 •观察下列按顺序排列的等式：引二1-*，2誌-書，巧€ 一+，4冷一+ 试猜想第n个等式（n为正整数）：a n= ______________________ .2. 下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是____ .1 2 3 5 8 13 a-2 3 5 8 13 21 34 …3. ___ 观察下面的单项式：a,- 2a2, 4a3,- 8a4, ••根据你发现的规律，第8个式子是.4. 有一组等式：1222 3232,22326272,32 42 122132,4252202212……请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为__________5. 把奇数列成下表，13113213L59152333111725h-itn! ■ b ■2737—39——根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是5.在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。
已知二进十进位制0123456• • •请将二进制数10101010（二）写成十进制数为_______ .6 •观察下列各数，它们是按定规律排列的，则第n个数是15 3116?眈'7.观察一列单项式：1x, 3x2, 5x2, 7x, 9x2, 11x2,…，则第2013个单项式是8•有这样一组数据a i, a2, a3, •• a,满足以下规律：且I三・❻尸—-—3 勒二 ~-—j …，且—-------- （n多且n为正整数）,贝U宠。
1312 1 _ J1 _a2n1 - a n_ L的值为________ （结果用数字表示）.9. 观察下列各式的计算过程：5X 5=0X 1 X 100+25,15X 15=1X 2X 100+25,25X 25=2X 3X 100+25,35X 35=3X 4X 100+25,请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为_____________________________ 10. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M与m、n的关系是A. M=mnB. M=n（m+1）C. M=mn+1D. M=m（n+1）11. 观察下列等式：31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 37=2187… 解答下列问题：3+32+33+3仃+32013的末位数字是（）A. 0B. 1C. 3D. 712. ____________________________________________ 如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是_______________________________ .13. 将连续正整数按以下规律排列，则位于第 7行第7列的数x 是85篦一如邕二苑董三列策囚列篝三到邕七扪・・・第一行 136 10 1521 n 重二行 2 5 9 14 20 27 :第三行 413 15--- ■策四行712 1$25■・■11 17 2415 23 ■ ■•2215•电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个 方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数 字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标,此WORD 中为方便大家识别与印刷，我还是把图乙中的0都标出来吧，以示与未掀开者的 区别），如图甲中的“ 3”表示它的周围八个方块中仅有 3个埋有雷.图乙第一行 从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 ___________________________ .（请填入方块上的字母）16. 如图，在△ ABC 中，/ A=m°，/ ABC 和/ACD 的平分线交于点 A,得/ A;/ ABC 和/ACD 的平分线交于点 A ，得/ A;…/A2012BC 和/A 2012CD 的平分线交于 点 A ?013，贝 A 2013= ______ 度。
难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)(解析版)-初中数学北师大版7年级上册
第10讲难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)目录【类型一有理数中新定义型的有关运算】......................................................................................................1【类型二一列数中的规律探究问题】..............................................................................................................5【类型三计算中的规律探究问题】..................................................................................................................8【类型四数轴上的规律探究问题】. (12)【类型一有理数中新定义型的有关运算】1．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）设a ，b 为自然数，定义22a b a b ab ∆=+-，则()()3445∆+-∆的值（）A ．34B ．58C ．74D ．98【答案】C【分析】由22a b a b ab ∆=+-，可知()()()()2222343445453445∆+-=+-⨯+∆+---⨯，计算求解即可．【详解】解：∵22a b a b ab ∆=+-，∴()()()()222243343445474545=+-⨯+-∆+--⨯+=∆-，【类型二一列数中的规律探究问题】【类型三计算中的规律探究问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则202221-的个位数字是（）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到202221-的个位数字．【详解】解：由1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……可知计算结果中的个位数字以1375、、、为一个循环组依次循环，∵202245052÷=⋯，∴202221-的个位数字是3，故选：B ．【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．【变式训练】1．（2022秋·山东枣庄·七年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，…．通过观察，用你发现的规律确定20232的个位数字是（）A ．2B ．4C ．8D ．6【答案】C【分析】由题意得，2为底的幂的个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，找到规律后即可求得结果．【详解】解：继续计算：5678232, 264, 2128, 2256====，…，显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，而202345053=⨯+，所以20232的个位数字是8；故选：C ．【点睛】本题数字规律探索问题，考查了乘方的计算，关键是由特殊到一般找到规律．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（）A ．3B ．9C ．7D ．1【答案】A【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】解：已知31=3，末位数字为3，32=9，末位数字为9，33=27，末位数字为7，34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3，36=729，末位数字为9，37=2187，末位数字为7，38=6561，末位数字为1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，【类型四数轴上的规律探究问题】例题：（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）一电子跳蚤落在数轴上的某点k 0处，第一步从k 0向左跳一个单位到k 1，第二步从k 1向右跳2个单位到k 2，第三步由k 2处向左跳3个单位到k 3，第四步由k 3向右跳4个单位k 4…按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则k 0表示的数是（）A ．0B ．100C ．50D ．﹣50【答案】D【分析】根据题意写出数字并总结出变化规律，然后计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可知：10210320(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)k k k k k k k k =+-=++=+-++=+-=+-+++-……0(1)(2)(3)...(1)n nk k n=+-+++-++-当n =100时，1000000(1)(2)(3) (100)(12)(34)...(9910015050k k k k k =+-+++-+++=+-++-+++-+=+⨯=+=）∴050k =-故选D ．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握相关知识，找到数字的变化规律，同时注意解题中需注意的相关事项是本题的解题关键．【变式训练】【答案】1516-【答案】1027。
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析初中数学中，规律探究问题广泛存在于各种数学题型中，包括数列、几何、方程等多个方面。
解决这类问题需要灵活运用数学知识和思维方法，下面将就规律探究问题的类型及解题技巧进行分析。
（一）数列型规律探究问题1. 根据已知的数列前几项，找出数列的通项公式。
首先观察数列的前几项，如果发现相邻两项之间的差或比具有规律性，那么可以尝试构建通项公式。
对于等差数列，可以通过计算相邻两项的差值来确定数列的公差，从而得到通项公式。
同理，对于等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来确定数列的公比，从而得到通项公式。
2. 根据数列的规律，推断数列中某一位置上的数值。
有时候，问题并没有直接给出数列的前几项，而是给出了数列的规律，并要求求解数列中某一位置上的数值。
这时候，可以根据已知的规律，通过迭代或递推的方式来推断数列中任意位置上的数值。
1. 根据已知的图形形状，找出图形的特点。
有时问题给出了一个图形，需要根据图形的特点找到规律。
这时可以通过观察图形的边数、角度等特征来确定规律。
正多边形的内部角度和是固定的，可以根据这个规律，计算某个正多边形的内部角度和。
2. 根据图形的特点，求解未知的参数。
有时问题给出了一个图形的部分信息，需要求解图形的某些未知参数。
问题给出了一个三角形的三个角度，需要求解这个三角形的形状。
根据三角形的内角和等于180°的性质，可以得到这个三角形的剩余角度，从而确定三角形的形状。
1. 根据已知的关系式，建立方程解决问题。
有时问题给出了一个数学关系，需要找到满足这个关系的解。
问题可能给出了两个数的和或差，需要求解这两个数。
可以通过设一元方程，利用方程的解来求解这个问题。
在解决规律探究问题时，可以运用以下一些技巧：1. 观察法：通过观察题目给出的信息或图形，找出规律，再推测未知的信息或图形。
2. 假设法：根据已知条件进行一些假设，然后进行推理、计算，最后验证假设的结果是否符合题目要求。
探索规律问题题型及解题方法探究
n2 n2
１３、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼 41 接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_________。
14、根据下列图形的排列规律，第2008个图形 是 （３）(填序号即可). (①；②；③；④.)
4、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比 赛．如图所示：
按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需要火柴棒的根数为（ A
）
A、2+6n ,B、8+6n , C、4+4n , D、8n
二、填空题
1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构 成规律，用你发现的规律确定第8个数为 50 ． 2、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列： 1 2，3， 4，5，6，7， 8，9，10，11，12，13，14，15，
从第二项开始每一项与 前一项之比的常数为 , q a1q n1 用含a1 , q, n的代数式表示),如果这个 则an _______(
2、学习投影后，小明、小慧利用灯光下自己的影子长度来测量一 路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如图，在同一时间，身 高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小慧（EH）刚好在 路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m。 （1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置 G； G （2）求路灯灯泡的垂直高度GH； 解：（2）由题意得： △ABC∽GHC
序号 周长 ① 6 ② 10 ③ 16 ④ 26
若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿ 466 ＿＿＿。
7、如图6，∠AOB=450，过OA到点O的距离分别 为1，3，5，7，9，11，----的点作OA的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1、S2、S3、S4--观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积 76 S10=__________
专题03 规律探究之数式【考点精讲】(解析版)
题型一：数列数字问题【例1】（2021·山东济宁市）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ） A ．23B ．511C ．59D ．12【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案． 【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102= 故选：D ．【例2】（2020·牡丹江）一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（ ） A ．37B ．41C ．55D ．71【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n 个数的表示方法，从而得出结果． 【详解】1＝1×2﹣1， 5＝2×3﹣1， 11＝3×4﹣1， 19＝4×5﹣1，专题03 规律探究之数式知识导航题型精讲第n 个数为n （n +1）﹣1， 则第7个数是：55． 故选：C ．1．（2021·贵州铜仁市）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知： 第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+， 第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +． 2．（2020玉林）观察下列按一定规律排列的n 个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000， 则n 等于（ ） A ．499B ．500C ．501D ．1002【分析】观察得出第n 个数为2n ，根据最后三个数的和为3000，列出方程，求解即可． 【详解】由题意，得第n 个数为2n ， 那么2n +2（n ﹣1）+2（n ﹣2）＝3000， 解得：n ＝501， 故选：C ．题型训练3．（2021·湖北）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（ ）A ．100B ．121C ．144D ．169【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可． 【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =， ∵2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去) ∵2=121p n =， 故选：B ．题型二：图型数字问题【例3】（2021·江苏扬州市）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可． 【详解】解：第∵个图形中的黑色圆点的个数为：1，第∵个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第∵个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第∵个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【例4】（2021·四川）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．1．（2021·四川）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第题型训练___ 个图形共有210个小球．【答案】20 【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得． 【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1， 第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2， 第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3， 第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4， ……∵第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)， ∵第20个图形共有210个小球． 故答案为：20．2．（2020重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第∵个图案中有1个黑色三角形，第∵个图案中有3个黑色三角形，第∵个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第∵个图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．10B ．15C ．18D ．21【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n ，据此可得第∵个图案中黑色三角形的个数． 【解析】∵第∵个图案中黑色三角形的个数为1，第∵个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第∵个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∵第∵个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．3．（2020山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．题型三：指数型数字问题【例5】（2020铜仁市）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝（结果用含m的代数式表示）．【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m代入即可求解．【详解】∵220＝m，∵220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m （2m ﹣1）．【例6】（2021·湖南怀化市）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-．∵1002=m∵23991000222222=2m m +++++==，∵22991001012222222+++++=-，∵10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=．……∵1999922m =． 故10010110110199992222222m m m ++++=+++．令012992222S ++++=①12310022222S ++++=②∵-∵，得10021S -= ∵10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=-故答案为：2m m -．1．（2021·浙江嘉兴市）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可． 【详解】解：∵22110=-，22321=-， 22532=-，题型训练…∵第n 个等式为：()22211n n n -=--故答案是：()221n n --．2．（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S ，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S 的式子表示这组数据的和． 【解析】∵2100＝S ，∵2100+2101+2102+…+2199+2200 ＝S +2S +22S +…+299S +2100S ＝S （1+2+22+…+299+2100） ＝S （1+2100﹣2+2100） ＝S （2S ﹣1） ＝2S 2﹣S ． 故选：A ．3．（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，34，37，3﹣11，318，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是 ．【分析】首项判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，每个数的指数都是前两数指数之差；可得这列数中的连续三个数，满足a ﹣b ＝c ，据此解答即可．【解析】∵3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，1﹣2＝﹣1，2﹣（﹣1）＝3，﹣1﹣3＝﹣4，3﹣（﹣4）＝7，﹣4﹣7＝﹣11，7﹣（﹣11）＝18，…，∵a ，b ，c 满足的关系式是a ﹣b ＝c ． 故答案为：a ﹣b ＝c ．题型四：排列型数字问题【例7】把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：1 2，3， 4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，… … … …按此规律，可知第n 行有 个正整数 【答案】：12-n【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。
规律探索--图形规律(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
规律探索-中考数学重难点题型专题汇总图形规律1.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．2.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．3.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．4.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．5.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．Y Y-=（）6.观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用n Y表示，则94A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．8.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,2-B．()202120212,2C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．9.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．10.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．11.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．12.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是32=n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：1255,22n n +-==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．13.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．15.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n 个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．16.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．17.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OB OA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC =，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x 轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（17510555，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键18.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20203【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A∴111=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴2112=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：2020)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.19.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴3sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．20.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．21.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究22.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．23.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n ，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n ．故答案为：2n +12n ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型一 规律探究题
类型一、数式规律探索（2013年15题） 典例精讲：
例1.（2013山西15题3分）一组按规律排列的式子：2
a ，34a ，56a ，7
8
a ，…，则第n 个式
子是 （n 是正整数）
【变式】1.一组按规律排列的式子：2
a ，34a ，58a ，7
16
a ，…，则第n 个式子是
【变式】2.一组按规律排列的式子：2
a —，34a ，58a —，7
16
a ，则第n 个式子是
【变式】3.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187… 解答下列问题：32016的末位数字是 例2.（2015郴州）请观察下列等式的规律：
）—（31121311=×，）—（513121531=×，）—（715121751=×，）—（9
1
7121971=×，... 则
=×+×+×+×101
991.......751531311 跟踪练习：
1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187… 解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32016的末位数字是（ ） A ．0
B ．1
C ．3
D ．7
2. 按一定规律排列的一列数依次为414252117,,,,…,按此规律，
这列数中的第10个数与第16个数的积是 .
3.观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是 ．
4.观察下面的单项式：a ，-2a 2，4a 3，-8a 4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ．
5.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 (1)
2
3
4
5
… 输出
…
21 52 103 174
265
…
那么，当输入数据是8时，输出的数据是（ ）
A.618
B.638
C.658
D.67
8
6.（2015娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为.
第一行 1
第二行 2 3
第三行 4 5 6
第四行7 8 9 10
7.（2015安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测x、y、z满足的关系式是.
8.（2015武威）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21,…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…,依此类推，那么第9个三角形数是，2016是第个三角形数.
9.（2015遵义）按一定规律排列的一列数依次为4142
52117
,,,
,…,按此规律，这列数中的第10个数与第
16个数的积是.
10.（2015孝感）观察下列等式：1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,则1+3+5+7+…+2015=.
类型二、图形规律探索（2015年12题，2012、2011年16题，2009、2008年10题）
典例精讲：
例3.（2015山西12题3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三
角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案
有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）
例4.（2012山西16题3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有
规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是（用含有n的代数式表示）.
跟踪练习：
1.如图一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗.
第1题图
2.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）
A ．51
B ．70
C ．76
D ．81
3.如下左图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 枚棋子.
4.如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了 块石子
第4题
5.如下图是用棋子摆成的“上”字：
第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子；（2）第n 个“上”字需用 枚棋子。
6.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式_____________________。
7.用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是_______________cm （用含n 的代数式表示）
图①
图②
图③
···
……
……
①1=12
； ②1+3=22；
③1+3+5=32
；
④ ；
⑤ ；
(1)
(2)
(3)
第3题
第1次 第2次 第3次 第4次 ···
···
⑴ ⑵ ⑶
(1)
(2)
(3)
(4)
8.如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位,依此规律,则第（5）个图形的表面积 个平方单位
9.图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）
A 25
B 66
C 91
D 120
10.如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体，图⑴中有1个立方体，图⑵中有4个立方体，图⑶中有9个立方体，……按这样的规律叠放下去， 第8个图中小立方体个数是 .
11.观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图
1中：共有1 个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有 个。
12.下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的．
（1）观察图形，填写下表： 图形
1
2 3 正方形的个数 8
图形的周长
18
(2)推测第n 个图形中，正方形的个数为________，周长为__________(含n 的代数式表示)．
下一讲：题型二 阴影部分图形面积的计算
(1)
(2)
(3)。