题型四规律探索题

类型1数与式的规律探索1.[2019安徽中考]下面两个多位数1248624…、6248624…,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位;若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第一位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是A.495B.497C.501D.5032.[2019合肥蜀山区二模]观察下列等式:① 1=12;② 2+3+4=32;③ 3+4+5+6+7=52;④ 4+5+6+7+8+9+10=72;请根据上述规律判断下列等式正确的是()A.1 008+1 009+…+3 025=2 0162B.1 009+1 010+…+3 026=2 0172C.1 009+1 010+…+3 027=2 0182D.1 010+1 011+…+3 028=2 01923.[2019安徽中考]观察下列关于自然数的等式:32-4×12=5;①52-4×22=9;②72-4×32=13;③根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:92-4×()2=();(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.4.[2019合肥包河区二模]观察下列式子:①2×0+1=12;②4×2+1=32;③8×6+1=72;④16×14+1=152;(1)请按规律写出第⑤个式子: ;(2)根据你发现的规律写出第个式子(n为正整数),并验证其正确性.5.[2019芜湖二模]观察下列各个等式的规律:第1个等式:=1;第2个等式:=2;第3个等式:=3;请用上述等式反映出的规律解决下列问题:(1)直接写出第4个等式;(2)猜想第n个等式(用含n的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.6.[2019合肥45中三模]已知一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形,古希腊科学家把数1,3,6,10,15,21,…称为“三角形数”,把1,4,9,16,25,…称为“正方形数”.同样,可以把数1,5,12,22,…称为“五边形数”.将“三角形数”、“正方形数”、“五边形数”按从小到大的顺序依次填在下面表格里:三角形数136101521a…正方形数1491625b49…五边形数151222c5170…(1)按照规律,表格中a=,b=,c=;(2)观察表中规律,第n(n为正整数)个“五边形数”是.7.[2019安庆模拟]特殊两位数乘法的速算——如果两个两位数的十位数字相同,个位数字相加为10,那就能立即说出这两个两位数的乘积.如果这两个两位数分别写作AB和AC(即十位数字为A,个位数字分别为B,C,且B+C=10,A>3),那么它们的乘积是一个四位数,前两位数字是A和(A+1)的乘积,后两位数字是B和C的乘积.如47×43=2 021,61×69=4 209.(1)请你直接写出83×87的值;(2)设这两个两位数的十位数字为x(x>3),个位数字分别为y和z(y+z=10),通过计算验证这两个两位数的乘积为100x(x+1)+yz;99 999=.(3)99 991×8.[2019宣城模拟]阅读下列材料,并解决相关的问题.按照一定顺序排列着的一列数称为数列,排在第一位的数称为第1项,记为a1,依此类推,排在第n 位的数称为第n项,记为a n.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),如:数列1,3,9,27,…为等比数列,其中a1=1,公比q=3.(1)等比数列3,6,12…的公比q为,第4项是;(2)如果一个数列a1,a2,a3,a4,…是等比数列,且公比为q,那么根据定义可得到=q,=q,=q,…,=q,所以a2=a1q,a3=a2q=a1q·q=a1q2,a4=a3q=a1q2·q=a1q3,由此可得a n=(用含a1,n和q的代数式表示);(3)若一个等比数列的公比q=,第2项a2=,求它的第1项与第4项.9.[2019合肥高新区模拟]我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;发现:这些勾股数的勾都是奇数,从3起就没有间断过,而且股和弦是两个连续整数.(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:;(2)若第一个数用字母n(n为奇数,且n≥3)表示,写出后两个数(用含n的代数式表示),并用所学知识说明它们是一组勾股数.类型2图形中的规律探索10.[2019六安地区二模]观察下列n×n的点阵与等式的关系,并填空:(1)根据你发现的规律,在(n×n)图的后面的横线上填上所对应的等式,并证明等式成立.(2)根据等式的性质,将上图所对应的前4个已知等式的左侧和右侧式子分别相加,等式依然成立,即(22-12)+(32-22)+(42-32)+(52-42)=(1+2×1)+(1+2×2)+(1+2×3)+(1+2×4).经化简,变形后得到52-12=4+2×(1+2+3+4),即1+2+3+4=,这种方法叫等式叠加法.如果将上图(2×2)到(n×n)所对应的(n-1)个等式进行叠加,经化简,变形后可以得到1+2+3+…+(n-1)=.11.[2019合肥瑶海区二模](1)观察下面的图案与等式的关系,并填空.(2)通过猜想,写出第n个图案相对应的等式.12.[2019安徽中考]【阅读理解】我们知道1+2+3+…+n=,那么12+22+32+…+n2的结果等于多少呢?在图(1)所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22……第n行n个圆圈中数的和为,即n2.这样,该三角形数阵中共有个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2.图(1)【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图(2)所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)=.因此,12+22+32+…+n2=.图(2)【解决问题】根据以上发现,计算的结果为.13.[2019安徽中考]在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数 f.(1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:m n m+n f123213432354257347猜想:当m,n互质时,在m×n的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n的关系式是(不需证明);(2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否仍然成立.参考答案1.A2.D【解析】由①~④的等式规律可知,第n个等式的结果为(2n-1)2,故A,C中的等式错误.第n 个等式中等号左边的项数为2n-1,故B中的等式错误,D中的等式正确.3.(1)417(2)第n个等式为(2n+1)2-4×n2=4n+1.∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边,∴第n个等式成立.30+1=3124.(1)32×(2)第个等式为:2n(2n-2)+1=(2n-1)2.验证:左边=2n×2n-2n×2+1=(2n)2-2×2n+1=(2n-1)2=右边,故2n(2n-2)+1=(2n-1)2是成立的.5.(1)第4个等式是=4.(2)第n个等式是=n.证明:∵===n=右边,∴第n个等式是=n.6.(1)283635解法提示:第n(n为正整数)个“三角形数”为,故a==28;第n(n为正整数)个“正方形数”为n2,故b=62=36;第n(n为正整数)个“五边形数”为n2-n,故c=×25-=35.(2)n2-n7.(1)7 221.(2)验证:(10x+y)(10x+z)=100x2+10xz+10xy+yz=100x2+10x(y+z)+yz=100x2+100x+yz=100x(x+1)+yz.(3)9 999 000 009解法提示:由题中规律可得,如果两个n位数分别写作AB和AC(即前n-1位数字部分均可表示为A(A>3),个位数字分别为B,C,且B+C=10),那么它们的乘积是一个2n位数,前2n-2位数字是A和(A+1)的乘积,后两位数字是B和C的乘积. 故99 991×99 999=9 999 000 009.8.(1)224(2)a1q n-1(3)第1项a1==÷=,第4项a4=a1·q3=×()3=.9.(1)11,60,61(2),说明:∵n2+()2=n2+===()2,∴由勾股定理的逆定理可知,n,,是一组勾股数.10.(1)n2-(n-1)2=1+2(n-1).证明:∵左边=n2-n2+2n-1=2n-1,右边=1+2n-2=2n-1=右边,∴左边=右边,即n2-(n-1)2=1+2(n-1).(2)11.(1)22323242(2)1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=n2+(n+1)2.12.2n+1 1 34513.(1)6 6f=m+n-1注:若猜想出的是其他关系式,只要这个关系式对表中5种情况都成立即可.(2)当m,n不互质时,f与m,n的关系式f=m+n-1不成立.例如:当m=2,n=2时,图形如图.对角线所穿过的小正方形的个数f=2,而m+n=4,等式f=m+n-1不成立.。