高一数学下学期末总复习测试题
河南省新乡市2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题
河南省新乡市2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，E ，F 分别在棱11A B ，11A D ，11B C ，11C D 上，且平面AMN ∥平面EFDB ，下列结论正确的是（ ）三、填空题(1)该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；(2)若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在[)50,70和[)110,130内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在[)110,130内的概率.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ^底面ABCD ，E 是PC 的中点，点F 在棱BP 上，且EF BP ^，四边形ABCD 为正方形，2PD CD ==.(1)证明：BP DF^；(2)求三棱锥F BDE -的体积；(3)求二面角F DE B --的余弦值.19．在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的,DA MF 是交线，所以DA MF∥，而1111,DA D A DA D A =∥，所以11MF D A ∥，又因为11D F MA ∥，所以四边形11D FMA 是平行四边形，所以11MF D A =，MF DA =，所以四边形DAMF 是平行四边形，所以DF AM ∥，因为AM AN A =I ，所以AN 与DF 不平行，故C 错误；如图，连接NE ，由长方体性质得面11BCC B ∥面11AA D D，此时平面NEBA与这两个平面的都相交，,NA EB是交线，所以BE AN∥，又因为ANÌ面AMN，BEË面AMN，所以BE∥平面AMN，故D正确.故选：ABD10．ABC【分析】由饼状统计图的实际含义逐一验算各个选项即可求解.【详解】对于B，2023年Z国从A国进口天然气2480吨，全部为气态天然气，所以2023年Z国没有从A国进口液化天然气，B正确.对于A，2023年Z国从B国进口天然气2435吨，其中气态天然气1630吨，液化天然气805吨，所以2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多，A正确.对于C，假设2023年Z国气态天然气其余部分全部来自C国，共---=吨，486524801630340415则Z国从C国进口液化天然气24164152001-=吨，仍然大于从D国进口的天然气的总量，所以2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多，C正确.对于D，2023年Z国从B国进口液化天然气24351630805-=吨，2023年Z国从D国进口的天然气总量为1666吨，若全部为液化天然气，则2023年Z国从B国进口的液化天然气比从D国进口的少，D错误.故选：ABC.11．BCD【分析】根据勾股定理可判定A;根据三角形面积公式可判定B;根据向量运算可判定C;结合正余弦定理可判定D.答案第151页，共22页。
2024届湖南省宁乡县第一高级中学数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析
2024届湖南省宁乡县第一高级中学数学高一第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）＝sin （x 6π+）﹣1 B ．f （x ）＝2sin （x 6π+）﹣1 C ．f （x ）＝2sin （x 3π+）﹣1D ．f （x ）＝2sin （2x 3π+）+12．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ） A ．52kmB ．3kmC ．5kmD ．10km3．设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ，其中0ω＞,ϕπ＜.若()26f π=，5()06f π=且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．34ω=,58πϕ=-B ．34ω=,38πϕ= C ．94ω=,8πϕ=-D ．94ω=,8πϕ=42,3,6，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π5．已知函数41()x f x e-=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+ 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-7．若，则向量的坐标是（ ）A ．（3，－4）B ．（－3，4）C ．（3，4）D ．（－3，－4）8．已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．A ，B ，DB ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D9．若实数x ，y 满足211x y y x -≥⎧⎨≥+⎩，则z ＝x +y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是 （ ）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行 C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年山东省青岛市莱西市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省青岛市莱西市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数13z i =-+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A ．13i + B ．13i - C ．13i -- D ．3i -〖解 析〗13z i =-+，∴13z i =--．〖答 案〗C2．一支野外科学考察队有男队员56人，女队员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么下面说法正确的为( )A ．男队员应抽取12人B ．男队员应抽取16人C ．女队员应抽取6人D ．女队员应抽取14人〖解 析〗由分层抽样的定义可知，男队员应抽取5628165642⨯=+人，女队员应抽取281612-=人．〖答 案〗B3．若||2a =，(1,1)b =-，a 与b 共线，则向量a 的坐标可能为( )A ．(1,1)a =-B ．(1,1)a =C ．2(,2a = D ．2(,2a =-〖解 析〗设(,)a x y =，||2a =，(1,1)b =-，且a 与b 共线，则2220x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(1,1)a =-或(1,1)a =-（舍去）． 〖答 案〗A4．下列命题正确的为( ) A ．两条直线确定一个平面 B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点D ．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线〖解 析〗在A 中，由平面基本性质的推论2，3得到：两条相交直线能确定一个平面，两条平行直线能确定一个平面，故A 错误；在B 中，一条直线和这条直线外一个点可以确定一个平面，故B 错误；在C 中，若直线在平面外，包括直线和平面平行和直线和平面相交，若直线和平面相交，则这条直线与这个平面有一个公共点，故C 错误；在D 中，若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线，故D 正确． 〖答 案〗D5．下列说法正确的为( )A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大C ．事件A 与事件B 中同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小D ．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -〖解 析〗对A ，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A 错误； 对B ，当事件A 与事件B 为对立事件时，事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率和A 与B 中恰有一个发生的概率相等，故B 错误；对C ，当A B =时，事件A 与事件B 中同时发生的概率等于A 与B 中恰有一个发生的概率，故C 错误；对D ，设A ，B 是一个随机试验中的两个事件， 则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -正确，故D 正确．〖答 案〗D6．要得到()sin(4)3g x x π=+的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象( )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 〖解 析〗22()cos 2sin 2cos4sin(4)sin 4()sin 4[()]282412f x x x x x x x ππππ=-==+=+=++，又()sin(4)sin 4()312g x x x ππ=+=+，故要得到函数()sin(4)3g x x π=+的图象，只需将函数()sin 4[()]2412f x x ππ=++的图象向右平移24π个单位长度即可． 〖答 案〗B7．为了普及环保知识，某学校随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分（十分制，单位：分）的统计数据如表：设这30名学生得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x ，则下列选项正确的为( ) A ．m n x ==B ．m n x =<C ．m n x <<D ．n m x <<〖解 析〗这30名学生得分的中位数为565.52m +==，众数为5n =， 平均数1(324351066738292102) 5.9630x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故n m x <<． 〖答 案〗D8．已知球O 是正三棱锥A BCD -（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是( ) A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π〖解 析〗如图，1O 是A 在底面的射影，由正弦定理得，BCD ∆的外接圆半径131sin602r =⨯=︒；由勾股定理得棱锥的高13AO ==；设球O 的半径为R ，则22(3)R R =-，解得2R =，所以11OO =；在△1BO E 中，由余弦定理得2113211O E =+-⨯=，所以11O E =；所以在1OEO ∆中，OE ；当截面垂直于OE =2π． 〖答 案〗A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，下面说法正确的为( ) A ．两次均正面朝上的概率为12 B ．两次均反面朝上的概率为14C ．两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为14D ．两次中，至少一次正面朝上的概率为34〖解答〗对A ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故A 错误；对B ，两次均反面朝上的概率为111224⨯=，故B 正确；对C ，两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为1111122222⨯+⨯=，故C 错误；对D ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故两次中，至少一次正面朝上的概率为13144-=，故D 正确． 〖答 案〗BD10．已知三个不同的平面α，β，γ和三条不同的直线m ，n ，l ，下列命题中为真命题的是( )A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥B ．若//m n ，//m α，则//n αC ．若m αβ=，n α⊂，l β⊂，//n l ，则////m n lD ．若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥〖解 析〗选项A ，由线面垂直的性质定理知，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，即A 正确； 选项B ，若//m n ，//m α，则//n α或n α⊂，即B 错误； 选项C ，因为l β⊂，//n l ，n β⊂/，所以//n β，又m αβ=，n α⊂，所以//n m ，由平行线的传递性知，////m n l ，即C 正确；选项D ，由面面垂直的性质定理知，若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥，即D 正确． 〖答 案〗ACD11．给出以下24个数据：148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0 158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0 对于以上给出的数据，下列选项正确的为( ) A ．极差为24.0B ．第75百分位数为164.0C ．第25百分位数为155.2D ．80%分位数为164.1〖解 析〗对于A ，由题意可得，极差为17214824-=，故A 正确， 对BCD ，25%246⨯=，75%2418⨯=，80%2419.2⨯=，∴样本数据的第25，75，80百分位数为第6，7为的平均数，第18，19的平均数，第20项数据，即分别为155155.2155.12+=，163164163.52+=，164.1，故BC 错误，D 正确． 〖答 案〗AD12．在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =D 为BC 边上的一点，且D 到A ，B 距离相等，则下列结论正确的为( )A．sin ABC ∠=B．BD =C ．ABC ∆外接圆的面积为45πD ．18ABC S ∆=〖解 析〗在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =由余弦定理可得2222cos 90BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=，BC ∴=由正弦定理可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，sin ACin BAC ABC BC ∠∴∠===，由角B为锐角知cos B A 错误； 过点D 作AB 的垂线DE ， 如图，由AD BD =得cos cos DAE B ∠=，132AE AB ==， Rt ADE ∆，3cos cos AE AD DAE B ====∠BD AD ∴==B 正确；由正弦定理可知，ABC ∆外接圆的直径2sin BC R A ==，R = ABC ∴∆外接圆的面积为245S R ππ==，故C 正确；由三角形面积公式可得11sin 6922ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯=，故D 错误． 〖答 案〗BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足46z i zi +=+，其中i 为虚数单位，则复数z = ． 〖解 析〗设z a bi =+，a ，b R ∈，46z i zi +=+，46()6a bi i a bi i b ai ∴++=++=-+，即64a bb a =-⎧⎨+=⎩，解得5a =，1b =， 故5z i =+． 〖答 案〗5i +14．已知1sin cos 5αα+=，0απ，则cos 2α= ．〖解 析〗由1sin cos 5αα+=，两边平方得：112sin cos 25αα+=，可得242sin cos 25αα=-，0απ，∴2παπ<，则sin 0α>，cos 0α<，7sin cos 5αα∴-． 解得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴cos2α．〖答 15．已知(12,1)a k =-，(3,)b k =-，若a 与b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为 ． 〖解 析〗由已知条件可得，0a b ⋅<且,a b 不共线， 则3(12)0(12)3a b k k k k ⎧⋅=--<⎪⎨-≠-⎪⎩，解得37k <且1k ≠-，故实数k 的取值范围为(-∞，31)(1,)7--．〖答 案〗(-∞，31)(1,)7--16．（3分）某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为910，89，34，13，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ． 〖解 析〗该参赛者能进入第二轮答题的概率为98311109435⨯⨯⨯=； 该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率：198311831913198119832257()510943109431094310943109431800⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=． 〖答 案〗15，2571800四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知复数22(710)(56)z m m m m i =-++-+，i 为虚数单位，m R ∈． （Ⅰ）若z 为纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）若在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，求m 的取值范围； （Ⅲ）若在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，求m 的值． 解：(I)z 为纯虚数，∴225607100m m m m ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得5m =． (II)在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，则225607100m m m m ⎧-+>⎨-+<⎩，解得35m <<，故m 的取值范围为(3,5)．(III)在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，则222(710)(56)140m m m m -+--+-=，解得0m =或9． 18．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）已知||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=，求向量a 与b 的夹角θ； （Ⅱ）已知3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=，α是第三象限角，求3tan(2)4πα+的值． 解：（Ⅰ）由已知，||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=， 所以22648a b a b --⋅=-，将||6a =，||4b =，代入上式得12a b ⋅=-， 故1cos 2||||a b a b θ⋅==-，[0θ∈，]π，故23πθ=；（Ⅱ）由3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=， 得3sin[()]sin()5βαβα--=-=，故3sin 5α=-，因为α为第三象限角，故4cos 5α=-，所以3tan 4α=，所以22tan 24tan 217tan ααα==-， 所以2413177tan(2)244311(1)7πα-+==-⨯-． 19．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其它差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，事件B = “第二次摸出球的标号小于3”，试判断事件A 与事件B 是否相互独立？请写出判断过程；（Ⅱ）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点，求证：平1//NBD 平面MAC ．(I)解：因为样本空间{(,)|m n m Ω=，{1n ∈，2，3，4}，且}m n ≠， {(1,2)A =，(1.3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}， {(1,2)B =，(2.1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，由题意可知，P （A ）P =（B ）61122==，21()126P AB ==， 此时()P AB P ≠（A ）P （B ），因此事件A 与事件B 不相互独立； (II)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OM ，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，可知ABCD 是平行四边形， 所以O 是BD 的中点，因为M 为1DD 的中点，所以1//MO D B ， 又MO ⊂平面MAC ，1BD ⊂/平面MAC ，所以1//BD 平面MAC ， 又因为M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点， 所以四边形1MCND 为平行四边形，所以1//ND CM ，又CM ⊂平面MAC ，1ND ⊂/平面MAC ，所以1//ND 平面MAC ， 又111BD ND D =，1BD ，1ND ⊂平面1BND所以平面1//NBD 平面MAC ．20．（12分）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标值的检测数据进行整理，发现这些数据均在区间[1，15]内，现将这些数据分成7组：第1组，第2组，第3组，⋯，第7组对应的区间分别为[1，3)，[3，5)，[5，7)，⋯，[13，15]，绘成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数和85%分位数（结果保留两位小数）；（Ⅲ）现从第2组A 指标值对应的家禽中抽取4只，分别记为1R ，2R ，3R ，4R ，从第5组A 指标值对应的家禽中抽取3只，分别记为1E ，2E ，3E ，然后将这7只家禽混在一起作为一个新的样本Ω，从Ω中任取2只家禽进行δ指标值的检测，求从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率．解：（Ⅰ）由题意可得：2(0.020.060.180.050.030.02)1a ⨯++++++=，则0.14a =； （Ⅱ）由题意，每组的频率依次为：0.04，0.12，0.28，0.36，0.10，0.06，0.04， 0.040.120.280.440.50++=<，0.040.120.280.360.700.50+++=>，∴中位数位于[7，9)内，设为m ，则0.440.18(7)0.50m +⨯-=，7.33m ∴≈，0.040.120.280.360.800.85+++=<，0.040.120280.360.100.900.85++++=>， 85%∴分位数为[9，11)的中点10.00；（Ⅲ）从Ω中任取2只，共2721C =个基本事件，记“从Ω中取到的两只家禽的a 指标值的差的绝对值小于2”为事件B ，则事件B 共9个基本事件，∴从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率P （B ）93217==． 21．（12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，现把平行四边形11AA C C 沿1CC 折起如图②所示．在图②中，连接1AB ，11A B ，若1AB =（Ⅰ）求证：平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小． （1）证明：取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，1ACC ∴∆，△11B CC 为正三角形，则1AO CC ⊥，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，2AC ∴=，1OA OB ==1AB =22211OA OB AB +=，则三角形1AOB 为直角三角形，则1AO OB ⊥， 又1OB ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，11OB CC O =，AO ∴⊥平面11BB C C ，又AO ⊂平面11AA C C ，∴平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；(II)解：以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1C ，0，0)，1(0B0)，1(1C -，0，0)，(0A ，0， 则1(2CC =-，0，0)，则11(2AA CC ==-，0，0)，1(0AB =，(1AC =，0，， 设平面11AB A 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则113020n AB y n AA x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则1y =，0x =，∴平面11AB A 的一个法向量为(0n =，1，1)，(0OA ∴=，0为平面11BB C C的一个法向量，则cos OA <，3||||3OA n n OA n ⋅>===⋅⨯OA <，45n >=︒，∴平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小45︒．22．（12分）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3OA km =，OB =，90AOB ∠=︒．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中M ，N 都在边AB 上(M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且30MON ∠=︒．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点M ，N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN ∆的面积最小，并求出最小面积．解：（Ⅰ）在ABO ∆中，因为3,90OA OB AOB ==∠=︒，所以60OAB ∠=︒，在OAM ∆中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-⋅=，所以OM所以222cos 2OA OM AM AOM AO AM +-∠==⋅， 在OAN ∆中，sin sin()sin(90)cos ONA A AON AOM AOM ∠=∠+∠=∠+︒=∠= 在OMN ∆中，由sin30sin MN OMONA =︒∠，得1724MN ==； （Ⅱ）解法1：设AOM θ∠=，060θ︒<<︒， 在OAM ∆中，由sin sin OM OAOAB OMA=∠∠，得OM =， 在OAN ∆中，由sin sin ON OAOAB ONA=∠∠，得ON =，所以111sin 222OMN S OM ON MON ∆=⋅∠=2716sin(60)cos θθ==+︒=60θ=<<︒．当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMNS∆所以应设计15AOM∠=︒，可使OMN∆2.解法2：设AM x=，03x<<．在OAM∆中，由余弦定理得22222cos39OM AO AM AO AM A x x=+-⋅⋅=-+，所以OM222cos2OA OM AMAOMOA OM+-∠==⋅，在OAN∆中，sin sin()ONA A AON∠=∠+∠sin(90)cosAOM AOM=∠+︒=∠=由sin sinON OAOAB ONA=∠∠，得36ONx==-，所以1sin2OMNS OM ON MON∆=⋅⋅∠1122==03x<<，令6x t-=，则6x t=-，36t<<，则：27339)9)4OMNS tt∆=-+⋅=当且仅当27tt=，即t=，6x=-OMNS∆所以M的位置为距离A点6-处，可使OMN∆的面积最小，最小面积是2．。
福建省三明市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷
福建省三明市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷一、单选题1．已知复数 21iz =+，则（ ） A ．z 的实部为 1- B ．z 的虚部为 iC．z =D ．1i z =- 2．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 345：：，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为96的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）A ．32B ．40C ．64D ．723．如图，ABC '''V 是水平放置的 ABC V 在斜二测画法下的直观图. 若 1BO OC ='='，OA ''则 ABC V 的面积为（ ）A ．2 B．C ．4 D．4．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（ ）A ．都是蓝球B ．都是黄球C ．恰有一个蓝球D ．至少有一个蓝球 5．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则（ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 6．福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 6m 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．27．如图，在直三棱柱 111ABC A B C -中，13AA AC BC ===，90ACB ∠=o ，点 D 是线段 1AA 上靠近 1A 的三等分点，则直线 1C D 与 1B C 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．CD 8．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（ ） A ．6% B ．12% C ．14% D ．28%二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．已知向量 a b c r r r ，，，若 a b b c r r r r //，//，则 //a c r rB ．已知非零向量a b r r ，，“a b ⊥r r ”是“ 0a b ⋅=r r ”的充要条件C ．若 A B P ，，是直线 l 上不同的三点，点O 在直线 l 外，()()2R OP mAP m OB m =+-∈u u u r u u u r u u u r ，那么 32m = D ．已知非零向量a b r r ，，“0a b ⋅>r r ”是“a b r r ，夹角为锐角”的必要不充分条件10．如图，在棱长为4的正方体 1111ABCD A B C D -中，E 为 1AA 的中点，F 为 AE 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线 CE 与 11AC 为异面直线B ．//CE 平面 BDFC ．三棱锥 E ABD -外接球的体积为 36π D ．二面角 F BDE --的余弦值为 11．如图，在ABC V 中，已知4,10,60AB AC BAC ∠===o ，BC 边上的中点为M AC ，边上的中点为,N AM 、BN 相交于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．BC =B ．ABC VC ． AM u u u u r 与BN u u u rD ．过点P 作直线交线段AB 和BC 于点EF ，则BE BF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是162,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知 (4,3),||8a b ==r r ，且 a r 与 12a b -r r 互相垂直. 则向量b r 在向量a r 上的投影向量的坐标为.13．从长度为1，3，6，9，10的线段中任取一条，能与长度分别为7和8的两条线段构成锐角三角形的概率为.14．某校高一年段成立了A B ，两个数学培优班，A 班10人，B 班30人，经过一段时间的强化训练后进行了一次测试，在该测试中，A 班的平均成绩为135分，方差为105，B 班的平均成绩为115分，方差为225. 则在这次测试中两个培优班全体学生方差为.四、解答题15．已知向量a b r r , .(1)若,,(11)(12),a b ==r r ，求(2)()a b a b -⋅+r r r r ；(2)若 a b r r , 为单位向量，对任意实数||x a xb +≥r r ，求向量a b r r , 的夹角的取值范围. 16．5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理. 现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组 [)45,55，第二组 [)55,65，第三组 [)65,75，第四组[)75,85，第五组 [)85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求 a 和 b 的值；(2)估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(3)根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为 7%，请估算被录取至少需要多少分.17．在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且向量)()sin sin sin //m b a c n A C B m n =--=+r r r r ，，，，. (1)求角 C ；(2)若 ABC V sin 1cos B A =+，点D 为边AC 的中点，求BD 的长.18．目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 P ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为()q p q >，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 310，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为1120. (1)求 p 和 q 的值；(2)三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率.19．阅读数学材料：“设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为 ()12233411112πk k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ --∠+∠+∠++∠+∠L ，其中 ()123i Q i k k =≥L ，，，，为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面 23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体M 的所有以P 为公共点的面. ”已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形.1AA AB =. （角的运算均采用弧度制）(1)若AC BD =，求四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率；(2)若四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为13，求1BC 与平面1ACC 的夹角的正弦值；(3)截取四面体1A ABD -，若该四面体在点1A 处的离散曲率为1712AC ，与平面1A BD 交于点G ，证明：113AG AC =.。
河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．复数312i 1iz +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知α，β是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=I ，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥3．已知向量()2,m λ=r ，()2,4n λ=--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数λ的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或44．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为Z 甲，Z 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．Z Z =甲乙，22s s >乙甲B ．Z Z =甲乙，22s s <甲乙C ．Z Z >甲乙，22s s >乙甲 D ．Z Z <甲乙，22s s >乙甲5．已知函数π())(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移(0)θθ>个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ）A ．π8B ．π4C ．3π8 D ．π26．已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3cos cos cos αβαβ+=，则()tan αβ+的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．38．已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足3BE EC =u u u r u u u r ，12AE BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AF BE ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．0B ．23C ．43D ．3二、多选题9．一个平面截正方体所得的截面图形可以是（ ） A ．等边三角形B ．正方形C ．梯形D ．正五边形10．若1b c >>，01a <<，则下列结论正确的是（ ）A ．a a b c <B ．log log b c a a >C ．a a cb bc <D ．log log c b b a c a >11．在锐角ABC V 中，设a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对边，1a =，cos cos 1b A B -=，则下列选项正确的有（ ）A ．2B A =B ．b 的取值范围是)C ．当32b =时ABC VD ．若当,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围为⎛ ⎝⎭三、填空题12．若函数tan y x ω=在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格增函数，则实数ω的取值范围是.13．已知函数()f x 是偶函数，对任意x ∈R ，均有()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则函数()()()5log 1g x f x x =-+的零点有个.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2．以11A D 为半径的球面与侧面11B BCC 的交线长为．四、解答题15．已知()()4,3,23213a b a b a b ==-⋅+=r r rr r r ．(1)求a r 与b r的夹角；(2)若a r 在b r 方向上的投影向量为c r，求()c a b ⋅+r r r 的值．16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为S ，已知2c =，且224a b +=+． (1)求C ；(2)a -的取值范围．17．为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[]40,100内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间[)70,80内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间[]80,100内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在[]70,100内的所有学生测试成绩的平均数和方差．18．已知函数()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+，求：（1）()f x 的最小正周期及最大值；（2）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=，求α的值；（3）若()210f x m -+=，在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不等的实数根，求m 的取值范围.19．在直角梯形ABCD 中，,22AD BC BC AD AB ===∥90ABC ∠=︒（如图1），把△ABD 沿BD 翻折，使得A ∉平面BCD ，连接AC ，M ，N 分别是BD 和BC 中点（如图2）．(1)证明：平面BCD ⊥平面AMN ；(2)记二面角A —BC —D 的平面角为θ，当平面BCD ⊥平面ABD 时，求tan θ的值； (3)若P 、Q 分别为线段AB 与DN 上一点，使得()R AP NQPB QDλλ==∈（如图3），令PQ 与BD 和AN 所成的角分别为1θ和2θ，求12sin sin θθ+的取值范围．。
2024届重庆市字水中学数学高一第二学期期末达标测试试题含解析
2024届重庆市字水中学数学高一第二学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，1AB BC ==，120ABC ∠=.若四面体ABCD 的体积的最大值为34，则这个球的表面积为（ ） A ．50081πB ．4πC ．259πD ．1009π2．设等差数列{}n a 的前项的和为n S ，若60a <，70a >，且76a a >，则（ ） A ．11120S S +<B ．11120S S +>C ．11120S S ⋅<D ．11120S S ⋅>3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A ．B ．C ．D ．4．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4和2，则输出v 的值为（ ）A ．32B ．64C ．65D ．1305．在等比数列{}n a 中，1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（） A ．140B ．120C ．100D ．806．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．7167．已知函数log (2)a y ax =-在(1,1)-上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞8．甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下： 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8根据以上数据估计（ ） A ．甲比乙的射击技术稳定B ．乙.比甲的射击技术稳定C ．两人没有区别D ．两人区别不大9．已知(,4),(3,2)a x b ==，a ∥b 则x =（ ） A ．6B ．38-C ．-6D ．3810．已知三角形ABC ，如果222sin sin sin A B C +<，则该三角形形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上选项均有可能二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届湖北省十堰市北京路中学高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
2024届湖北省十堰市北京路中学高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，13AB CD ==则球心O 到平面ABC 的距离是（ ）A ．152B ．153C ．154D ．1562．在中，如果，，，则此三角形有（ ） A ．无解B ．一解C ．两解D ．无穷多解3．若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,23,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）. A ．323πB ．16πC ．253πD ．312π5．已知点()1,2A -，()5,4B 则向量BA =（ ） A ．()6,2B ．()9,4-C ．()9,4-D ．()6,2--6．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b <B ．22ac bc <C ．11a b< D ．c c a b< 7．在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，若610a =，则11S =( ) A ．150B ．165C ．110D ．2208．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=DE|=则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）A ．3πB ．23π C ．34πD ．56π10．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：显然所减分数y 与模拟考试次数x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（ ） A ．y=0.7x+5.25B ．y=﹣0.6x+5.25C ．y=﹣0.7x+6.25D ．y=﹣0.7x+5.25二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
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高一数学下学期末总复习测试题
班级 姓名 学号
一，选择题（5分*10=50分）
1， 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方 图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有（ ）
A .30辆
B .40辆
C .60辆
D .80辆
2，若sin2α<0，且tan α·cos α<0，则角α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3，已知函数,),2
cos(R x x y ∈+
=π
（ ）
A ．是偶函数
B ．是奇函数
C ．不是奇函数也不是偶函数
D ．有无奇偶性不能确定
4，在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个。
用系统抽样法从中抽取
容量为20的样本.则每个个体被抽取到的概率是 （ ）
A ．
61 B ．241 C ．36
1 D ．
60
1
5，已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3|b a +等于 （ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ． 4
6，若角α满足sin α
αα
cos 1cos 1+-+cos α
α
α
sin 1sin 1-+=―sin α―cos α，则α为 （ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限
7，已知向量a 与b 的夹角为120
，若向量c a b =+ ，且⊥a （ ）
A ．2
B
C ．1
2
D
8，已知向量,32==，且3=∙b a ，则a 与b 的夹角为 （ ）
A ，
4π B ，3π C ，6π D ，2
π 9，把函数y =cos(x +
3
π
4)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y 轴对称，则
φ的最小正值为 （ ） A.
3
π B.
6
π C.
65π D.3
π4 10，已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若＋＋＝0，
则O 是△ABC 的 （ ） A ，内心 B ，外心
C ，垂心
D ，重心
二，填空题（5分*6=30分） 11，若)4sin(,21cos sin π
ααα+=
+则的值是 ；
12，已知1
sin cos 5
θθ-=,则sin 2θ的值是 ；
13，在△ABC 中，若a=2, b=22, c=6+2，则∠A 的度数是 ，
14，函数3sin 2
y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象的对称轴方程是 ． 15，248cos cos
cos cos 17
171717
π
πππ＝ ．
16，函数)26
sin(
2x y -=π
的单调递减区间是 ；
三，解答题（10分+12分*5=70分）
17，已知函数2
2
sin 2sin cos 3cos y x x x x =++，
①，求其最小正周期； ②，求其最大值； ③，求其单调增区间；
18，把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的
点数为b ，向量=（―1，－2），
①，若向量=（―a ，b ），求当 ⊥ 时的慨率；
②，若向量=（a ，b ），又∥n , 时,求向量的坐标;
19，设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =，则求点P 的坐标
20，从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为5
4
，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为
5
3
.试求： （I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；
（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两
个乙品牌元件同时通过测试的概率.
21，设函数x x x x f ωωωcos )cos sin 3()(+=，（其中20<<ω） （Ⅰ）若f (x )的最小正周期为π，求当3
6
π
π
≤
≤-
x 时，f (x )的值域； （Ⅱ）若函数f (x )的图象的一条对称轴方程为3
π
=x ，求ω的值.
22，已知.)(,)sin 2,sin cos (),sin ,sin (cos 且
→
-→-→-→-⋅=-+=+=b a x f x x x b x x x a （1）求)(x f 的解析式，并用)sin()(ϕ+=wx A x f 的形式表示；（6分） （2）求方程)(x f ＝1的解. （6分）
高一下学期末总复习测试题答案
一，C D B A C B C B A D 二，11，
42
； 12， 2425； 13， 30°； 14，()x k k π=∈Z ； 15，116； 16，Z k k k ∈++-],3
,6[ππ
ππ 三，
17，y=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+
4
π
)+2; ①， T=π； ②， 当x= k π+8
π
(k ∈Z) 时，max y =22+；
③， [k π―
83π，k π+8
π
] ，k ∈Z 18,解: 点数对（a ，b ）共有6×6=36对，
①,由⊥ 得 a ―2b = 0，即a = 2b ，
∴数对（a ，b ）只有三对：（1，2）、（2，4）、（3，6），
∴向量m =（―1，2）、（―2，4）、（―3，6）只有3个，
此时的慨率P =
363=12
1
;
②, =5， =22b a +=25，2a +2b =20，
又p ∥n ，∴b = 2 a ， 得2
a =4，点数a=2，b=4， ∴向量 =( 2 , 4 )
19, 解法一： 设分点P （x,y ），∵P 1=―22PP
，λ=―2 ∴ (x ―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),
x ―4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(―8,15)
解法二：设分点P （x,y ），∵P P 1=―22PP
， λ=―2
∴ x=
21)
2(24---=―8,
y=2
16
23-⨯--=15, ∴ P(―8,15)
解法三：设分点P （x,y ），
= ∴ ―2=
24x
+, x=―8, 6=2
3y
+-, y=15, ∴ P(―8,15)
20, 解：（Ⅰ）事件A ：选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件；
则P （A ）=31036C C ， ∴P （A ）= 1－6
5
3103
6=C C ；
答：随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为
6
5
； （Ⅱ）事件B ：选出的三个均为乙品牌元件，至少有两个乙品牌元件通过测试
P （B ）= +-⋅⋅)531()53(223C 3
33)5
3(⋅C =
125
81； 答：至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为125
81
；
21, 解：x x x x f ωωω2cos cos sin 3)(+=2
2cos 12sin 23x
x ωω++
=
（2分） 2
1
)6
2
s i n (+
+=π
ωx
（4分） （Ⅰ）122)(=∴=∴ωπω
π
π的最小正周期为
x f （6分）
6
56263621)62sin()(π
πππππ≤
+≤-∴≤≤-++=∴x x x x f 2
3)(01)62sin(21≤≤∴≤+≤-∴x f x π
（8分） （Ⅱ）)(262Z k k x ∈+
=+
π
ππ
ω令
（10分）
,20)
(2
1
33),(26:=∴∈<<∈+==∈+=k Z k Z k k x Z k k x 且时得当得ωωπππω
2
1=
∴ω （12分）
22, 解：（1）→
-→-⋅=b a x f )(
＝)sin 2 ,sin (cos )sin ,sin (cos x x x x x x -+⋅+
＝x x x 22sin 2)sin (cos -+ ………………4分 ＝x x x x 22sin cos sin 2cos -+＝x x 2sin 2cos + ＝)4
2sin(2π
+x ………………8分
（2）由1)(=x f 得
)4
2sin(2π
+
x ＝1
2
2
)4
2sin(=
+π
x ………………9分 ∴ ππ
π
k x 24
4
2+=
+
(K ∈Z) ………10分
或 ππ
π
k x 24
34
2+=
+
(K ∈Z) ………………11分 所以方程的解为. {x ∣ππ
πk x k x ＋或
4
==，K ∈Z } ……12分。