高一数学 期末复习试卷

高一数学 期末复习试卷（二）一、单选题1．下列计算正确的是（ ） A ．(x +y )2=x +y 2 B ．(x −y )2=x 2−2xy −y 2 C ．(x +1)(x −1)=x 2−1 D ．(x −1)2=x 2−1【答案】C 【解析】选项A 中，(x +y )2=x 2+y 2+2xy ，故此选项错误；选项B 中，(x −y )2=x 2−2xy +y 2，故此选项错误；选项C 中，(x +1)(x −1)=x 2−1，正确；选项D 中，(x −1)2=x 2−2x +1，故此选项错误. 故选C. 2．已知3sin()35x π-=，则7cos()6x π+等于( ) A ．35B ．45 C ．35D ．45-【答案】C 【解析】7πcos x 6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝-π cos x 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin[26x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭]＝π3sin x 35⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选C＝3．若不等式组2142x a x a⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >【答案】A 【解析】原不等式组等价于2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩,由题意不等式组解集非空可得22124230a a a a +<+⇒--<13a ⇒-<<，故选：A ． 4．已知10a b<<，且M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 、N 的大小关系是（ ）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不能确定【答案】A 【解析】 ＝10a b<<，＝1＋a ＞0，1＋b ＞0，1－ab ＞0， 又M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，M －N ＝11a a -+＋11b b -+＝()()22>011ab a b -++. 所以M ＞N . 故选：A.5．已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（ ）A ．2(0,)3B ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12(,]33D ．25(,36]【答案】D 【解析】由题意，定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，可得120a a -+=，解得13a =， 即函数()f x 的定义域为22[,]33-， 又由函数当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减， 则不等式()()123f x f x a ->-可化为()()123fx f x a ->-，可得不等式组12322133222133x x a x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤，即不等式的解集为25(,36].故选：D.6．若()f x 为偶函数，满足()()32020f x f x ⋅+=，()11f -=，则()2020f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1010 D ．2020【答案】D【解析】函数为偶函数，＝(1)(1)1f f =-=，又2020(3)()f x f x +=， ＝20202020(6)()2020(3)()f x f x f x f x +===+，＝()f x 同周期函数，且周期为6， 又2020(4)2020(1)f f ==， ＝()()()20206336442020f f f =⨯+==． 故选：D ．7．下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．如图，C 选项中，在x 允许的取值范围内取x ＝x 0，此时函数y 与之对应的有2个值，y ＝y 1，y ＝y 2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.故选：C ．8．设ln3a =，1log 3eb =，23c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】ln3ln 1a e =>=， 11log 310eeb log =<=，2139c -==， a c b ∴>>．故选:C . 二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则11a b b a+<+ C ．若0a b c <<<，则b b ca a c+<+D ．若0a >，0b >，则22b a a b a b+≥+【答案】BCD 【解析】 对于A 选项，当0c 时，则22ac bc =，A 选项错误；对于B 选项， ()()()111111a b a b a b a b a b b a b a ab ab -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0a b <<，0a b -<，0ab >，110ab ∴+>，则110a b b a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确；对于C 选项，()()()()()b ac a b c c b a b b c a a c a a c a a c +-+-+-==+++，0a b c <<<，则0b a ->，0a c +<，则0b b ca a c+-<+，C 选项正确； 对于D 选项，()()()()222222222211b a b a b a b a a b a b b a a b a b a b ab --⎛⎫--⎛⎫+-+=+=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2b a b a ab+-=，0a >，0b >，则()()()2220b a a b b a b a ab b a +-=⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥+，D 选项正确.故选：BCD.10．定义一种运算：,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，设()2()52|1|f x x x x =+-⊗-，则下面结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称B ．函数()f x 的值域是[2,)+∞C ．函数()f x 的单调递减的区间是(,1]-∞-和[1,3]D ．函数()f x 的图象与直线6y =有三个公共点. 【答案】ABCD 【解析】由题意，()2252,13()521=1,13x x x f x x x x x x x ⎧+--≤≤⎪=+-⊗-⎨--⎪⎩或，作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，A 正确； 函数()f x 的值域是[2,)+∞，B 正确；函数()f x 的单调递减的区间是(,1]-∞-和[1,3]，C 正确； 函数()f x 的图象与直线6y =有三个公共点，D 正确.故选：ABCD11．定义一种运算：,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，设()2()52|1|f x x x x =+-⊗-，则下面结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称B ．函数()f x 的值域是[2,)+∞C ．函数()f x 的单调递减的区间是(,1]-∞-和[1,3]D ．函数()f x 的图象与直线6y =有三个公共点. 【答案】ABCD 【详解】由题意，()2252,13()521=1,13x x x f x x x x x x x ⎧+--≤≤⎪=+-⊗-⎨--⎪⎩或，作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，A 正确； 函数()f x 的值域是[2,)+∞，B 正确；函数()f x 的单调递减的区间是(,1]-∞-和[1,3]，C 正确； 函数()f x 的图象与直线6y =有三个公共点，D 正确. 故选：ABCD12．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23πϕ=-B ．函数()f x 图象的对称轴为直线()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象D ．若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ⎡-⎣，则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD 【解析】对于A 选项，由图可知2A =， 设函数()f x 的最小正周期为T ，则73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，T π∴=，22Tπω∴==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，由772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()7262k k ππϕπ+=+∈Z ，解得()223k k πϕπ=-+∈Z ，又ϕπ<，23πϕ∴=-，()22sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，A 正确； 对于B 选项，由()2232x k k πππ-=+∈Z ，得()7212k x k ππ=+∈Z ，B 正确； 对于C 选项，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，C 错误； 对于D 选项，由2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由2sin y t =的图象可知，要使函数()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣， 则3272233a πππ≤-≤，解得133122a ππ≤≤，D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．已知函数1(2)(3)y m x m x m =-++，21y x =-，若它们同时满足条件：＝x ∀∈R ，10y <或20y <；＝{4}x x x ∃∈<-∣，120y y <．则m 的取值范围是________． 【答案】()4,2-- 【解析】由210y x =-<可解得1x <，x ∀∈R ，10y <或20y <，故当1≥x 时，()0f x <，0m ∴<，此时1(2)(3)0y m x m x m =-++=的根为122,3x m x m ==--，所以2131m m <⎧⎨--<⎩，142m -<<，又0m <，所以40m -<<；又{4}x xx ∃∈<-∣，120y y <， 0m <，34m --<-， 所以24m <-，2m <-， 综上所述，(4,2)m ∈--.故答案为: ()4,2--14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()23log 1f x x x =++，若()5f m ≥，则m的取值范围是______. 【答案】](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣ 【解析】由题意，当0x >时，()()23log 1f x x x =++，根据对数函数的性质，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，且()25f =，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()25f -=-， 又由()5f m ≥，即()5f m ≥或()5f m ≤-，所以2m ≥或2m ≤-. 即实数m 的取值范围是](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣.15．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 【答案】-3 【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x -<，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 16．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______.＝()f x 的一个周期为2π-； ＝()f x 的图象关于712x π=-对称； ＝76x π=是()f x 的一个零点； ＝()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；【答案】＝＝＝ 【解析】解：函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位后与函数()f x 的图象重合， ()sin 2sin 2333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的一个周期为2π-，故＝正确； ()y f x =的对称轴满足：232x k ππ-=π+，k Z ∈， ∴当2k =-时，()y f x =的图象关于7πx 12=-对称，故＝正确； 由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，23x k ππ-=得26k x ππ=+， 76x π∴=是()f x 的一个零点，故＝正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故＝错误．故答案为：＝＝＝．四、解答题17．已知集合{|22}A x a x a =-+，{}2|41270B x x x =+-.（1）求集合B 的补集B R；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）7{|2RB x x =<-或1}2x >；（2）112a 【解析】（1）271{|41270}{|}22B x x x x x =+-=-， 7{|2R B x x ∴=<-或1}2x >．（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，∴722122a a⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得：112a， 即a 的取值范围是112a． 18．已知函数()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-（0a >，且1a ≠）. （1）当2a =时，若()0f x >，求x 的取值范围；（2）设函数()()()F x f x g x =-，试判断()F x 的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）0x >（2）()F x 为奇函数；详见解析 【解析】（1）2a =时，()()2log 1f x x =+， 若()0f x >，即()2log 10x +>， 则110x x +>⇒>. （2）由题101110x x x +>⎧∴-<<⎨->⎩ ，关于原点对称又()()()()()()1log 1log 1log 111a a ax F x f x g x x x x x+=-=+--=-<<-， ()()()111log log log 111aa a x x xF x F x x x x-+-+-===-=---+-，＝()F x 为奇函数.19．已知函数()2cos2f x x x =+； （1）求()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期为π；对称中心为(),0,212k k z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭；（2）最小值为1-；最大值为2.【解析】解：（1）()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭＝()f x 的最小正周期为22T ππ== 令sin 206π⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，则()212k x k z ππ=-∈ ＝()f x 的对称中心为(),0,212k k z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ （2）5,,263666x x πππππ⎡⎤∈-∴-≤+≤⎢⎥⎣⎦，()1sin 21,1226x f x π⎛⎫∴-≤+≤∴-≤≤ ⎪⎝⎭ ＝当ππ266x，即6x π=-时，()f x 的最小值为1-；当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为2.20．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足520t ≤≤，t N ∈．经测算，该路无人驾驶公交车载客量()p t 与发车时间间隔t 满足：()()26010,51060,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈．（1）求()5p ，并说明()5p 的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益()62410p t y t+=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．【答案】（1）()535p =，发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元． 【解析】（1）()()256051035p =--=，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）()62410p t y t+=-，∴当50t l ≤<时，()236061024216101106t y t t t --+⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，任取1256t t ≤<≤，则12121221621611061106y y t t t t ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+--+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()()122112212121121221663621621666t t t t t t t t t t t t t t t t ---=-+-=-+=， 1256t t ≤<≤，所以，210t t ->，122536t t <<，120y y ∴-<，所以，函数2161106y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间[]5,6上单调递增，同理可证该函数在区间[)6,10上单调递减，所以，当6t =时，y 取得最大值38； 当1020t ≤≤时，660243841010y t t⨯+=-=-，该函数在区间[]10,20上单调递减， 则当10t =时，y 取得最大值28.4．综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元． 21．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),A a b ，若函数()y f x =满足:[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，则称这个函数是点A 的“界函数”.（1）若函数y x =是点(),A a b 的“界函数”，求,a b 需满足的关系； （2）若点(),B m n 在函数212y x =-的图象上，是否存在m 使得函数212y x =-是点B 的“界函数”? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）a b =（2）存在，11[,]22m ∈-【解析】（1）由函数y x =是点(),A a b 的“界函数”，且函数为增函数， 当[]1,1x a a ∀∈-+时，值域为[1,1]a a -+， 因为[]1,1y b b ∈-+，所以[1,1][ 1.1]a a b b -+⊆-+，1111b a a b -≤-⎧∴⎨+≤+⎩ a b ∴=（2）(,)B m n 在函数212y x =-的图象上， ∴212n m =-，[1x m ∴∀∈-，1]m +，都有22[11122,1]y m m --∈-+， ①10m +，即1m -时，212y x =-在[1m ，1]m +上单调递增，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈---+，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m ---+⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧----⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩，解得12m -，又1m -，∴这种情况不合题意；②1010m m +>⎧⎨-<⎩，即11m -<<时， 由[1x m ∈-，1]m +可得21[(1),0]2y m ∈--或21[(1),0]2y m ∈-+，∴222111[(1),0][1,1]222m m m --⊆---+且222111[(1),0][1,1]222m m m -+⊆---+，∴2222211(1)12211(1)1221102m m m m m ⎧----⎪⎪⎪-+--⎨⎪⎪-+⎪⎩，解得1122m -，③10m -，即1m 时，212y x =-在[1m ，1]m +上单调递减， ∴2211[(1),(1)]22y m m ∈-+--，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m -+--⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧-+--⎪⎪⎨⎪---+⎪⎩，解得12m ，又1m ，∴这种情况不合题意，综上得，m 的取值范围是11[,]22-．22．定义：对于定义在1D 上的函数()y f x =和定义在2D 上的函数()y g x =满足：存在012x D D ∈，使得()()000f x g x ≥，我们称函数()h x =()f x 和函数()g x 的“均值函数”.（1）若()()23,f x x g xa x =+=-，函数()f x 和函数()g x 的均值函数是偶函数，求实数a 的值. （2）若()f x =()232g x x x =-+-，且不存在函数()f x 和函数()g x 的“均值函数”，求实数k 的取值范围； （3）若()tan 1cos 222f x x x ππ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，()g x 是()f x 和()1f x -的“均值函数”，求()g x 的值域.【答案】（1）32a =；（2）2k ≥；（3）[)0,2. 【解析】 （1）()h x==所以()()h x h x -=，32a =，此时()h x =. （2）由题设可知，当 ()0g x ≥，12x ≤≤ 无意义，即当12x ≤≤时，2340kx kx -+≤恒成立， 若0k = 不成立，若0k < ，因为对称轴[]31,22x =∈ ，所以23334022k k ⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎝⎭，169k ≥ （舍）； 若0k > ，221314023240k k k k ⎧⨯-⨯+≤⎨⨯-⨯+≤⎩，2k ≥综上，实数2k ≥（3）()22222sin tan 1cos 22sin sin cos x f x x x x x =-==+222tan 1tan xx=+ 所以()[)2222220,211x f x x x==-∈++ ， 同理()()()[)222110,211x f x x --=∈+-，()0g x =≥，又()g x == 当x →+∞ 时，()2g x → 综上，()g x 的值域为[)0,2。