第十一章 函数项级数

n
5n2 x n sin x 例 2. 讨论 f n ( x ) 2 2 2n x
假定{ f n ( x )} 在 X 上逐点收敛于 f ( x ) . 我们将讨论下列问题 (1) 如果 n , f n ( x ) 在 x0 连续, 那么 f ( x ) 是否 在x0 连续? (2) 如果 n , f n ( x ) 在 [a , b] 可积, 那么是否 f ( x ) 也可积, 并有
Sn p ( x ) Sn ( x ) uk ( x ) .
k n1
推论. 若 un ( x ) 在 X 一致收敛, 则 un ( x )在 X 上
n 1

一致收敛于0 .
例3. 证明: (0,1), x n 在 [ , ] 一致
n0

收敛, 但在 ( 1,1) 不一致收敛.
的一致收敛性.
若 0, N , 使得当 n N 时, x X , 都有 fn ( x ) f ( x )
则当 n 时,{ f n ( x )} X 上一致收敛于 f ( x ) . 在
{ f n ( x )}在 X 上不一致收敛于 f ( x )
0 0 , N , nN N , xnN X ，使得
N
N
(3) 如果 uk ( x ) 在 x 可导, 那么和函数也在 x 可导, 并有
N / k 1 uk ( x ) k 1 uk ( x ). N /
2.函数项级数的一致收敛性
定义. 设 un ( x )( n 1, 2,), S ( x ) 都是定义在 X
f n p ( x ) f n ( x ) .
定义. 设 f n ( x ), f ( x ) 是定义在 X 上函数, 令
f n f sup f n ( x ) f ( x ) : x X
定理 1.6. { f n ( x )}在 X 一致收敛于 f ( x ) 的充要条 件是: lim f n f 0 .
n 1

敛点集.
设 E 是 un ( x ) 的收敛点集. 则x E , 记
n 1
S ( x ) un ( x ) .
n 1

S ( x )是 E 上函数, 称为和函数.
例1. 讨论 x n 1 x x 2
n0

1 例 2. 讨论 x n 1 n
lim a f n ( x )dx a lim f n ( x )dx a f ( x )dx ?
n n b b b
(3) 如果 n , f n ( x ) 在 x0 可导, 那么 f ( x ) 是否 x0 可导, 并有 f / ( x0 ) lim f n / ( x0 ) ? 在 n
则 { f n ( x )} 在 X 上一致收敛于 f ( x ) .
x , n 1, 2,. 证明:{ f n ( x )} 例 11. 设 f n ( x ) 2 2 1 n x 在( , )一致收敛.
nx , n 1, 2,. 讨论{ f n ( x )} 例 12. 设 f n ( x ) 2 2 1 n x
注. 在定理条件下,可推出 a f n ( t )dt 在[a , b]一致 收敛于 a f ( t )dt .
x

x

注. 若 f n ( x )( n 1, 2,) 在 [a , b] 可积, 且
{ f n ( x )} 在 [a , b] 一致收敛于 f ( x ) , 则 f ( x )
第十一章
函数项级数
通项为函数的级数称为函数项级数.
考虑 un x . 若 x I , 这样的级数收敛, 则
n 1
和也是函数，
S ( x ) un ( x ) lim S n ( x ) , n
n 1
xI .
§1 函数序列的一致收敛性
1.概念 定义. 设 f n ( x )( n 1, 2,) 是定义在 X 上的函
的一致收敛性.
定理1.2. 设 X 是一个开区间或半开半闭区间. 若 { f n ( x )} 在 X上一致收敛于f ( x ) , 且 f n ( x ) ( n 1, 2,) 在 X 连续, 则 f ( x ) 在 X 连续 .
推论. 设 X 是一个开区间或半开半闭区间. 若{ f n ( x )}在 X 上内闭一致收敛于 f ( x ) , 且 f n ( x ) ( n 1, 2,)在 X 连续, 则 f ( x ) 在 X 连续 .
2.函数序列的一致收敛性
定义. 给定{ f n ( x )} . n , f n ( x ) 是定义在 X 上的
函数, 又设 f ( x )也是 X 上函数. 若 0, N ,
使得当n N 时, x X , 都有
fn ( x ) f ( x )
则称当 n 时, f n ( x ) 在 X 上一致收敛于
f nN ( xnN ) f ( x N 0 n )
0 0 , n , x n X ，使得 f n ( xn ) f ( x 0 n )
则{ f n ( x )}在 X 上不一致收敛于 f ( x )
nx , n 1, 2,. 讨论{ f n ( x )} 例 12. 设 f n ( x ) 2 2 1 n x
上函数. 若
S n ( x ) uk ( x )
k 1 n
在 X 上一致收敛于 S ( x ), 则称 un ( x ) 在 X
n 1
上一致收敛于 S ( x ) .
定理2.1.(Cauchy收敛原理)
n 1
un ( x )在 X 一致收敛的充要条件是:
n p

0, N , 当 n N 时, p ¥ , x X ,
在 [a , b] 可积, 且
lim a f n ( x )dx a lim f n ( x )dx a f ( x )dx
n n b b b
定理1.4. 若 f n ( x ) 在 (a , b)可导, f n / ( x )(n 1, 2,)
在 (a , b) 连续, 且{ f n / ( x )} 在 (a , b) 内闭一致收 敛于连续函数 g( x ) , 而 { f n ( x )} 在 (a , b) 收敛于
n
例 13. 证明: f n ( x ) 2n xe 收敛, 但内闭一致收敛.
2
n2 x 2
在(0,1) 不一致
§2 函数项级数
1.概念 定义. 设 un ( x )是定义在 X 上的函数序列.
n 1
un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x )
S n ( x ) uk ( x )
定义. 设 X 是一个开区间或半开半闭区间.
若 un ( x ) 在 X 中的任意一个闭子区间上一致
n 1
收敛, 则称 un ( x ) 在 X 中内闭一致收敛.
n 1

例 4. 讨论 (1 x ) x n 在[ , ](0 1)和
n 1

( 1,1)的一致收敛性.
f ( x ) , 则 f ( x ) 在 (a , b) 可导, 且
f / ( x ) g( x ) lim f n / ( x ) .
n
定理1.5.(Cauchy收敛原理) { f n ( x )} 在 X 一致收敛的充要条件是: 0, N , 当 n N 时, p ¥ , x X ,
n
称作函数项级数.
k 1
称为 un ( x )的部分和函数.
n 1

若 x0 X 使得 un ( x0 ) 收敛, 则称 x0 为收
敛点; 而若 un ( x0 ) 发散, 则称 x0 为发散点.
n 1 n 1

全体收敛点的集合称为 un ( x ) 的收敛域或收
定理1.1.(M-判别法或Weierstrass判别法)
设 { f n ( x )} 是定义在 X 上函数序列. 又设 f ( x )
是定义在 X 上函数. 若存在数列 { M n } , 满足
M n 0( n 1, 2,), lim M n 0,
n
且使得
f n ( x ) f ( x ) M n , x X , n,
f ( x) .
例 8. 证明: x n 在(0,1)不一致收敛于 f ( x ) 0 .
例 9. 设 f n ( x ) x n (1 x )n . 证明: f n ( x ) 在 (0,1) 一 致收敛于0 .
例 10.设 f n ( x ) x ,[a , b] ( 1,1) . 证明: f n ( x ) 在 [a , b]一致收敛于0 .
定理2.2.(M-判别法或Weierstrass判别法)
设 un ( x )( n 1, 2,) 定义在 X 上, 又设存在
N 0 使得
un ( x ) an , x X , n N 0 .
若 an 收敛, 则 un ( x ) 在 X上一致收敛. n 1
n 1

例 3. f n ( x ) x n
1 例 4. f n ( x ) (1 x 2 )n
1 例 5. f n ( x ) 0
2
k x ,k Z n! 其它
n2 x 2
例 6. f n ( x ) 2n xe
例 7. f n ( x )
sin nx n

定义. 若 un ( x ) 在 X 一致收敛, 则称 un ( x ) 在