第十二讲函数列与函数项级数
函数列与函数项级数
法
2021/6/21
n=2y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
2021/6/21
19
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1 2.
0 ，
2021/6/21
7
所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 {xn}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对定义在区间 I 上的函数列{ fn (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { fn (x0 ) } 收 敛，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 收敛， x0 称为函数列{ fn (x) }收敛点；若数列 { fn (x0 ) }发散，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 发散。
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
函数项级数和函数列的区别
函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。
函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。
具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。
在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。
函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。
函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。
函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。
逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。
它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。
函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。
此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。
函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。
函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。
它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。
函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。
函数表示列数
函数表示列数函数表示列数 1函数表示列数 1函数列指的是 { S n ( x ) } \{S_n(x)\} {Sn(x)} 这样的序列，等价于数列，而函数项级数指的是将函数列 { u n ( x ) } \{u_n(x)\} {un(x)}进行累加得到的∑ u n ( x ) \sum u_n(x) ∑un(x) ，等价于数项级数。
虽然我们一般都有等式S n ( x ) = ∑ n u k ( x ) S_n(x)=\sum^n u_k(x) Sn(x)=∑nuk(x)，讨论收敛性，或者是收敛后的分析性质时，描述的东西本质上是一样的，但是在处理方法上大有区别。
比如说对于函数列的一致收敛，我们一般用β \beta β上界判别法，或者用柯西收敛原理。
对于函数项级数的一致收敛，我们一般用Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进行判定，如果判定不了，还可以对函数项级数进行求和转化成函数列（这点尤为重要）。
所以区分函数列和函数项级数是很有必要的。
1.2 逐点收敛应该意识到最重要的事情：逐点收敛是数的收敛，一致收敛是函数的收敛。
但是即使这么说也要强调，收敛、绝对收敛、条件收敛描述的都是数项级数，也就是说描述的是逐点收敛，而不是一致收敛。
再详细的说，收敛就是逐点收敛，千万不能产生概念辨析上的困难。
要想学好这一章，最重要的就是区分这些概念的辖域。
在逐点收敛中，自变量x不再是一个自变量，而是数项级数中一个参量，就像 1 n p \frac{1}{n^p} np1 中的p一样。
对于逐点收敛的处理，其实就是对数项级数的处理，方法也是沿用数项级数的处理方法。
在逐项收敛中，有一个重要的概念就是和函数，对应的还有和函数的收敛域。
注意这两个概念都是逐点性质。
所谓的逐点，就是在一开始就给出了自变量x的值，比如求S n ( x ) = n α x e − n x S_n(x)=n^\alpha x e^{-nx} Sn(x)=nαxe−nx若要求 S ( x ) S(x) S(x) ，不能令 x = 1 n x=\frac{1}{n} x=n1 ，因为 x x x 在n之前取值，所以不能写作n的函数。
一致收敛函数列与函数项级数的性质
1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:
13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质
因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ， 因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时， 对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证 要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt
又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |
? lim
x x0
n1
un ( x)
n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|
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第十二讲函数列与函数项级数12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列（一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈∀，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞→,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为()()()I x n x f x f n ∈∞→→,2 ．逐点收敛的N -ε定义对I x ∈∀ ，及 0>∀ε，()0,>=∃εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>∃>∀N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→⇒, . 4 ．非一致收敛00>∃ε，对N n N >∃>∀0,0，及I x ∈∃0，使得()()0000ε≥-x f x f n例 12 . 1 证明()nn x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛．证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞→∞→nx n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞→n n f ，即极限函数为()[)⎩⎨⎧=∈=1,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取0310>=ε。
对0>∀N ，取N N n >+=10，取()1,021010∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x · 此时()()00002100ε>==-nx x f x f n ，即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛⇔对 0,0>∃>∀N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，恒有()()ε<-x mn f x f6 ．非一致收敛的柯西准则函数列(){}x f n 在 I 上非一致收敛00>∃⇔ε，对N n m N >∃>∀00,,0，及I x ∈∃0，使得()()00000ε≥-x f x f m n例12 . 2 用柯西准则证明：()()()1...2,1sin==n nxx f n 在[]l l ,-上一致收敛； ( 2 )在 ()+∞∞-,上非一致收敛．证明： ( 1 ）对0>∀ε，取02>=εlN ，当 N n m >>时 ·对一切[]l l x ,-∈ 有ε<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤-≤-mlm n x m x n x m x n x 211sin sin即()nxx f n sin =在[]l l x ,-∈上一致收敛 · ( 2 ）取0410>=ε，对 0>∀N ，取0002,1n m N N n =>+=，取()+∞∞-∈=,200πn x ，则有()()000000000412114sin2sinsin sin εππ=>-=-=-=-m xn x x f x f m n即()nxx f n sin =在()+∞∞-∈,x 上非一致收敛 · 7 ．充要条件函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛于()()()0sup lim =-⇔∈∞→x f x f x f n Ix n ·注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷．例 12.3 讨论函数列()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++≤≤++-=111,0110,11x n n x x n x f n 的一致收敛性’解： ① 求极限函数．当(]1,0∈x 时，()()0lim ==∞→x f x f n n ，当0=x 时．()()10lim 0==∞→n n f f ，即极限函数为()(]⎩⎨⎧∈==1,0,00,1x x x f②[]()()()()()∞→≠=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-∈n n f n f x f x f n n x 021211121121sup 1,0即 ()()()∞→≠>n x f x f n（二）极限函数的性质1 ．连续性 若满足：( 1 ）对每一个n ，()x f n 在区间 I 上都连续； ( 2 ) ()()()I x n x f x f n ∈∞→⇒,;则 ()x f 在 I 上连续，即 ()()()()0000lim lim lim lim lim x f x f x f x f n x x n n n x x x x ===→∞→∞→→→注：其逆否命题：若n f 都连续，但极限函数f 不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例 12 . 3 进行判断． 2 ．可积性 若满足：（ 1 ）对每一个 n , ()x f n 在区间[]b a ,上都连续； ( 2 ）()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒； 则()x f 在[]b a ,上可积，且()()()⎰⎰⎰∞→∞→==bab a ban n n n dx x f dx x f dx x f lim lim3 ．可微性 若满足：( 1 ）对每一个 n ，()x f n 在区间[]b a ,上都连续； ( 2 ）[]b a x ,0∈∃使()()()∞→→n x f x f n ; ( 3 ）()()()[]b a x n x g x fn,,'∈∞→⇒.则()x f 在[]b a ,上可导，且()()x g x f ='，即 ()()()()x f x f dx dx f n n n n ''lim lim ∞→∞→==注：以上三个定理的条件仅为充分条件．4 ．狄尼定理若函数列(){}x f n 对每一个 n , (){}x f n 都在[]b a x ,∈上连续，对每一点[]b a x ,∈，(){}x f n 为单调的，且()()[]b a x x f x f n n ,,lim ∈=∞→，则()x f 在[]b a ,连续的充要条件是()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒．证明：充分性显然，下证必要性．（反证法）假设()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→≠>．由定义，00>∃ε，对0>∀N ，N n >∃0及[]b a x ,0∈，使得()()0000ε≥-x f x f n ．特别地，当取,...,...,2,1k N =k 时，分别存在k n k >，及[]b a x k ,∈使得()()0ε≥-k k nk x f x f （ * )并且不妨设......21<<<<k n n n 由已知，(){}x f n 对固定的x 是单调的，不妨设为单调递增．且()()[]b a x x f x f n n ,,lim ∈=∞→，即()()()()x f x f x f x f n ≤≤≤≤≤......21．于是式（ * )可写为()()0ε≥-k n k x f x f k （ ** )由于{}[]b a x k ,⊂为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为{}k x ，即[]b a x x k n ,lim '∈=∞→.因 ()()''lim x f x f n n =∞→，对上述的0,00>∃>N ε，当N n > 时．恒有()()0''ε<-x f x f n .特别地，有()()0'1'ε<-+x f x f N （*** )当N N n k >+≥1时，由单调性及式（ ** )有()()()()01ε≥-≥-+k n k k N k x f x f x f x f k注意到 ()x f 及()x f N 1+的连续性，令∞→k 取极限得 ()()0'1'ε≥-+x f x f N ．此与（*** )式矛盾，即n f 必一致收敛于f.二、函数项级数（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛(){}x u n 为定义在区间 I 上的函数列，称()∑∞=∈1,n n I x x u 为函数项级数．若对I x ∈∀，级数()∑∞=1n nx u 都收敛．则称函数项级数()∑∞=1n nx u 在区间I 上逐点收敛，称()()∑∈=I x x u x f n ,为和函数．称 ()()∑==nk k n x u x S 1为部分和函数，()()∑∞==1n k n x u x R 为第n 项余项函数 ·()∑∞=1n n x u 逐点收敛于 ()()()I x x f x S x f nn ∈=⇔∞→,lim2 ．一致收敛若()()()I x n x f x S n ∈∞→⇒,，则称函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛于和函数()x f ．()∑∞=1n nx u 一致收敛于()()()I x n x R x f n∈∞→⇒⇔,03 ．一致收敛柯西准则 函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛⇔对0,0>∃>∀N ε，当N n >时，对任意的自然数p ，及对一切I x ∈，恒有()()()ε<++++++x u x u x u p n n n ...21 注：由此可得到函数项级数()∑∞=1n nx u 在区间 I 上一致收敛的必要条件：一般项(){}x u n一致收敛于零．逆否命题：若一般项(){}x u n 不致收敛于零．则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上必不一函数项级数收敛。
4 ．非一致收敛柯西准则 函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上非一致收敛,00>∃⇔ε对N n N >∃>∀0,0及 0p 和I x ∈0 ，使得()()()0000020010...ε≥++++++x u x u x u p n n n例 12 . 4 讨论函数项级数∑∞=0n nx在下列区间上的一致收敛性： ①[]()101,0<<a ; ②[)1,0.解法 l （用定义）：显然()x x x S n n --=11当10<≤x 时，()()x x S x f n n -==∞→11lim 则① []()()[]()∞→→-=-=-∈∈n a a xx x f x S nn a x n a x 011supsup ,0,0②[]()()[]()∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-=--∈∈n n n n nn n n x x x f x S n nn a x n a x 1,0,011111sup sup .所以，函数项级数∑∞=0n nx在 ① 一致收敛；在 ② [)1,0上非一致收敛．解法 2 （用柯西准则）： ① 因为0lim ,10=<<∞→nn a a ，对0,0>∃>∀N ε，当N n >.时，()εa a n -<1于是对任意的自然数 p ，有ε<-<--=+++≤+++++++++++aa a a aa a a x x x n p n p n n n p n n n 111 (1)12121由柯西准则，∑∞=0n nx在 ① []a ,0上一致收敛．② 因 e n n n n 11lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→，所以0>∃N ，当N n >时，en n n 2111>⎪⎭⎫⎝⎛++．取0210>=e ε对0>∀K ，取 {}K N n ,m ax 0>，取[)1,1,01000=∈+=p n n x ，则 0100121100εε=>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++n n nn x 由柯西准则知，∑∞=0n nx在[)10，上非一致收敛． （二）函数项级数一致收敛判别法1 . M 判别法若()()I x ,,...2,1n M x u n n ∈∀=≤，而∑nM收敛，则()∑x u n在区间 I 上一致收敛，且绝对收敛． 2 ．阿贝尔判别法 若满足： ( l ）()∑x u n在区间 I 上一致收敛； ( 2 ）对固定的(){}x v ,I x n∈单调，且一致有界：即存在常数 M ，使()(),,...2,1n I x M x v n =∀∈∀≤，，则()()x v x u nn∑在 I 一上一致收敛．3 ．狄利克雷判别法若满足： ( 1 )()();,...2,1n ,I x M x u n1k k=∀∈∀≤∑=; ( 2 ) (){}x v n单调且在I 上一致收敛于零，则()()x v x u nn∑在 I 上一致收敛例 12 . 5 讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性：( 1 ）()()∑+∞∞-∈>,,1sin x p x nx p; ( 2 ）()()[]1,0,11∈+-∑+x n n x n nn解： ( 1 ）因()()+∞∞-∈∀≤,1sin x n x nx p p ，而()∑>11p np收敛，由 M 判别法， ()()∑+∞∞-∈>,,1sin x p n nxp 一致收敛( 2 ）记()()()[]1,0,1,1∈⎪⎭⎫⎝⎛+=-=x n x x v nx u n n nn ，则()∑-nn 1收敛．，从而关于[]b a x ,∈ 一致收敛，对固定[](){}x v b a x n ,,∈单调递增且有界：()e x v n ≤≤1，对[]1,0,...,2,1∈∀=∀x n ．由阿贝尔判别法知，()()[]1,0,11∈+-∑+x n n x n n n 一致收敛．（三）和函数的性质 1 ．连续性()()∑∈=I x x u x f n ,．若满足： ( 1 ）对每一个()x u n n ,在区间 I 上连续； ( 2 ）函数项级数卜致收敛的，则和函数()x f 在 I 上连续，即 ()()()∑==→0lim x f x u x f nx x .注：逆否命题：若()x u n 都连续，而和函数 f 不连续，则必不一致收敛． 2 ．可积性()()[]b a x x u x f n ,,∈=∑条件同上，则()x f 在[]b a ,上可积，且()()⎰∑⎰=baban dx x u dx x f3 ．可微性()()∑∈=I x x u x f n ,．满足： ( l ）对每一个()()x u x u n n ',,在区间 I 上连续； ( 2 ）存在I x ∈0，使()∑0x u n收敛； ( 3 ）()∑x u n'在 I 上一致收敛．则 ()x f 可导，且()I x x u n∈∑,'注：以上条件仅为充分条件． 4 ．狄尼定理若对每一个()x u n n ,在区间 I 上连续且非负，()()∑∈=I x x u x f n,，则()x f 连续()∑⇔x u n 在 I 上一致收敛．证明：充分性显然，下面证明必要性．由于对每一个()x u n n ,在区间 I 上连续且非负，所以 ()()∑==nk k n x u x S 1在I 上连续，且关于n 是单调递增．则由前面证明的函数列的狄尼定理立即可得。