复变函数项级数

§4.2 复变函数项级数

教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用

判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级

数的收敛半径；能用

1

(1)1n n z z z ∞

==<-∑将简单函数表示为级数．

教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间

接法和

01

(1)1n n z z z ∞

==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用

1

(1)1n n z z z ∞

==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：

§4.2.1 复变函数项级数

设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为

1

()n

n f

z ∞

=∑.

【定义】※设1

()n

n f

z ∞

=∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E

的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()()

n n S z S z →∞

=存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数

1

()n

n f

z ∞

=∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称

1

()n

n f

z ∞

=∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1

()n n f z ∞

=∑在E 上的

和函数.记为1

()()n

n S z f

z ∞

==

∑或者()lim ()n n S z S z →∞

=, {}()n S z 称为

1

()n

n f

z ∞

=∑的部分和函数列.

§4.2.2 幂级数

1．【幂级数的定义】通常把形如：

20

010200

()

()()n

n

n C z z C C z z C z z ∞

=-=+-+-∑

0()n

n C z z ++-+L L

的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数

()

n

n

n C z z ∞

=-∑的系数与中心点.

若00z =, 则幂级数0

()

n n

n C z z ∞

=-∑可简化为

n n

n c

z ∞

=∑(标准幂级

显然, 通过作变换0z z ζ=-, 幂级数的上述两种形式可相互转化. 2. 阿贝尔（Abel ）定理 对于幂级数

()

n

n

n C z z ∞

=-∑, 显然当0z z =时,它是收敛的.下面,考

虑当0z z ≠时, 它的敛散性. 【定理4.5】 (阿贝尔定理) 若

()

n

n

n C z z ∞

=-∑在某点10z z ≠收敛,

则它必在圆域010:K z z z z -<-内绝对收敛. 【推论】 若

()

n

n

n C z z ∞

=-∑在某点20z z ≠发散, 则它必在圆周

020:C z z z z -=-的外部发散.

分析: 此定理的证明与高数中的阿贝尔第一定理的证明方法类似. 关于(1)可用正项级数的比较法则证明; 关于(2)可利用反证法以及 (1)的结论证明.(如图4.7)

证明 (1)设z 是圆域010:K z z z z -<-内的任意一点, 由题设

∞

10()n n C z z M -≤

于是 000101010

()()()n

n n n

n n z z z z C z z C z z M z z z z ---=-≤--. 由010z z z z -<-知, 0

10

1z z z z -<- ，

所以 00

10n

n z z M z z ∞

=--∑收敛, 从而

10

()n

n

n C z

z ∞

=-∑在圆域1:K z a z a -<-内绝对收敛. (2) (反证法) 假设存在3z (3020z z z z ->-), 使得

3

00

()n

n

n C z

z ∞

=-∑收敛, 由(1)知00

()n n n C z z ∞

=-∑必在20z z ≠收敛, 这

与题设它在20z z ≠发散矛盾, 故

()

n

n

n C z z ∞

=-∑在圆周2:C z a z a -=-的外部发散.

根据定理1, 我们可把幂级数

()

n

n

n C z z ∞

=-∑分成三类：

Ⅰ. 对任意0z z ≠, 幂级数

()

n

n

n C z z ∞

=-∑都发散

(例如:1

1n

n n n

z ∞

=+

∑,由0z ≠,lim 0n n n n z →∞≠,它总是发散的)；

∞

(例如:11n n n z n ∞

=+∑:11111

lim lim

11(1)n n n n

n C e R C n n

-+→∞→∞==?=++收敛)； Ⅲ. 既存在0z z ≠使得

()

n

n

n C z z ∞

=-∑收敛, 也存在0z z ≠使得

()

n

n

n C z z ∞

=-∑发散. 对Ⅲ ，可以证明存在正数R

使得

()

n

n

n C z z ∞

=-∑在圆周0z z R -=内部绝对收敛, 而在它的外

部发散, 此时我们把这个正数R 称为

()

n

n

n C z z ∞

=-∑的收敛半径,

而圆域0z z R -<和圆周0z z R -=分别称为

()

n

n

n C z z ∞

=-∑的收

敛圆域和收敛圆周. 另外,我们还规定: 对于Ⅰ, 0R =, 此时的收敛圆缩为一点0z ； 对于Ⅱ, R =+∞, 此时的收敛圆扩充成了整个复平面.显然, 由收敛半径的定义及规定： 任何幂级数的收敛半径都是存在的.

3．幂级数的收敛半径

由上面给出的收敛半径知,幂级数的敛散性基本上可由其收敛半径来确定. 下面, 我们给出收敛半径的计算公式. 【定理】(收敛半径的计算公式)若幂级数

()

n

n

n C z z ∞

=-∑的系数n

C

满足1

lim

n n n

C C λ+→∞

=(比值法) 或

n λ=（根值法）

则它的收敛半径 10;

;

0.

R λλλλ?<<+∞??

==+∞??+∞=??

.

证明 证明分三步：先证系数满足1

lim

n n n

C C λ+→∞

=时,公式成立. 因 1

1000()lim ()

n n n n n C z z z z C z z λ++→∞-=?--. 当0λ=时, 对任意z ,

01z a λ?-=<.

由正项级数的达朗贝尔判别法,

()

n

n

n C z z ∞

=-∑绝对收敛, 所以它的收敛半径R =+∞.

当λ=+∞时, 对任意0z z ≠,

01z z λ?-=+∞>. 由正项级数的

达朗贝尔判别法,

()

n

n

n C z z ∞

=-∑发散, 所以它的收敛半径0R =.

当0λ<<+∞时, 对任意满足01

z z λ

-<

的z ,

01z z λ?-<. 由

正项级数的达朗贝尔判别法, 此时

()

n

n

n C z z ∞

=-∑绝对收敛, 而对

任意满足1

z z ->

的z ,

1z z λ?->.

由正项级数的达朗贝尔判别法, 此时

()

n

n

n C z z ∞

=-∑发散,

所以它的收敛半径1

R λ

=

.

最后证系数满足n λ=时,公式成立.

例1 求幂级数20

1n

n n z

z z z ∞

==+++++∑L L 的收敛范围与和

函数.

解 级数的部分和为 1()(1)1n

n z S z z z

-=

≠- 当1z <时,因为 lim 0n

n z →∞

=, 1

lim ()(1)1n n S z z z

→∞

=

≠-, 此时幂级数收敛,且和函数为 1()1S z z

=

-. 当1z ≥时,因为 lim 0n

n z →∞

≠, 此时幂级数发散.

故由阿贝尔定理知 级数的收敛半径为1R =,且在1z <内

n

n z

∞

=∑收敛且绝对收敛；且有

20

111n n n z z z z z

∞

==+++++=

-∑L L . 例2 求下列幂级数的收敛半径，并讨论它们在收敛园上的敛散性

（1）0

n

n z ∞

=∑，（2）1n n z n ∞

=∑，（3）21n

n z n ∞

=∑

解： 对于这三个级数，都有 1

lim

11n n n

c R c +→∞

=?=， 0n

n z

∞

=∑在1z =上由于lim 0n

n z →∞

≠，故在1z =上级数处处发散.

1

n

n z n ∞

=∑在1z =上的1z =-处收敛，在1z =处发散. 2

1n

n z n

∞

=∑因为在1z =上处处绝对收敛，所以级数处处收敛. 例3 求幂级数0

(1)n

n z n ∞

=-∑的收敛半径：

解： 记1

n c n =

, 因为1lim lim

11

n n n n c n c n +→∞→∞==+, 所以收敛半径1R =, 此时它的收敛圆为11z -=.

当0z =时，级数0

(1)n

n n ∞

=-∑为收敛的交错级数

当2z =时，级数

01

n n

∞

=∑为调和级数，发散，即级数在收敛圆上的情况较复杂.

例4：求下列幂级数的收敛半径 解 (1)

1

!n

n n z

∞

=?∑：

1(1)!

lim

lim lim(1)!

n n n n n c n n c n λ+→∞→∞→∞+===+=∞，

1!n

n n z

∞

=?∑收敛半径为0R =.

(2) 0

(1)!n

n z n ∞

=-∑：

记 1

!n c n =

, 因为11lim lim 01

n n n n c c n +→∞→∞==+,

所以0

(1)!n

n z n ∞

=-∑收敛半径R =+∞,

此时它的收敛圆为1z -<+∞, 即整个复平面. 级数在收敛园周上处处收敛，且绝对收敛. (3) 记 12n n c =

,

因为12

n n ==, 所以12

n

n n z ∞

=∑收敛半径2R =,

此时它的收敛圆为2z <,收敛圆周为2z =.

（4）

21

1(1)n n n z n ∞

=+∑：

因为1

lim(1)n

n n e n

λ→∞

==+=，

所以21

1(1)n n n z n ∞

=+∑收敛半径为1

R e =.

(5)

1

(1)

n

n n i z ∞

=+∑：

因为n n λ===

所以

1

(1)

n

n n i z ∞

=+∑

收敛半径为R =

. （6）

1

i

n n

n e

z π∞

=∑：

因为1n n λ===，

所以

1

i

n n

n e

z π∞

=∑收敛半径为1R =.

§4.2.3 幂级数和的几个性质 1. 加减性：设有两个同类幂级数

()n

n n a

z a ∞

=-∑和0

()n

n

n b z a ∞

=-∑, 其收敛半径分别为1R 和2R ,记12min{,}R R R =, 则在z a R -<内,

()()()()n

n

n n

n n n n n n a

z a b z a a b z a ∞

∞∞

===-±-=±-∑∑∑.

2. 乘积性：设有两个同类幂级数

()n

n

a

z a ∞

-∑和()n n b z a ∞

-∑,

其收敛半径分别为1R 和2R ,记12min{,}R R R =, 则在z a R -<内,

()()

n

n

n

n

n n a z a b z a ∞∞

==-?-∑∑

1100

()()n n n n n a b

a b a b z a ∞

-==

+++-∑L .

例4 设有幂级数

n

n z

∞

=∑与

1

(01)1n n

n z a a

∞

=<<+∑,

求 级数01n n

n

n a z a

∞

=+∑的收敛半径. 提示：易验证幂级数

n n z ∞

=∑与01

(01)1n n

n z a a

∞

=<<+∑

的收敛半径均为 1.但级数01n n

n

n a z a

∞

=+∑的收敛半径为 1111

lim lim 1(1)n n n n n n

C a R C a a a ++→∞→∞+===>+.(注意三个级数的关系)

3. 连续性： 【定理】※设幂级数

()n n

n a

z a ∞

=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数

为()f z , 则()f z 在其收敛圆:K z a R -<内也连续. 4. 逐项积分性 ∞

数为()f z , C 为其收敛圆:K z a R -<内任一条以a 为起点z 为 终点的简单曲线, 则

()()()z z

n n C

a

a

n f d f d a a d ζζζζζζ∞

===-∑?

?

?

10()1

n n

n a z a n ∞

+==-+∑

.

幂级数逐项积分所得的级数仍为幂级数, 且它们的收敛半径相 同(从而收敛圆也相同) 在收敛圆内幂级数可以逐项积分任意次. 5 .和函数的解析性与逐项微分性 【定理5】※设幂级数

()n n

n c

z a ∞

=-∑的收敛半径为0R >, 其和函

数为()f z , 则

(1)()f z 在其收敛圆:K z a R -<内解析；

(2) ()f z 在其收敛圆:K z a R -<内可逐项求导至任意阶, 即

()1()!(1)2()p p p f z p c p p c z a +=++-+L L

(1)(1)()n p n n n n p c z a -+--+-+L L (1p =, 2, L ).

(3) ()

()

!

p p f

a c p =

, (0p =, 1, 2, L ) 结论:复合运算:如果当z r <时,0

()n

n n f z a z

∞

==

∑,又设在z R <

[()][()]n n n f g z a g z ∞

==∑.

此代换运算在函数展开为幂级数时有着广泛的应用.

例6 把函数 1z 表示成形如 0

(2)n

n n C z ∞

=-∑的幂级数.

解 1111

2

2(2)212

z z z ==?

-+---，由01(1)1n n z z z ∞

==<-∑知 当

2

12

z -<-时，有 2

12221222212

n

z z z z ---??????

=+++++ ? ? ?----??????--L L ， 故

()()()22311111122(1)22222

n

n n z z z z +=--+-++--+L L 且在

2

1222

z z -

1. 求下列幂级数的收敛半径, 并指出各自的收敛圆和收敛圆周.

(1) 1n n z n ∞

=∑; (2)1(2)2n n

n n z ∞=-∑; (3)1

(1)n n

n n z ∞

=-∑; (4)

22(1)

n

n z ∞

-∑.

解 (1) 记1

n c n =

, 因为1lim lim 11n n n n

c n c n +→∞→∞==+, 所以收敛半径

1

11

R ==, 此时它的收敛圆为1z <, 收敛圆周为1z =.

(2) 记2n n n

c =

, 因为1111lim lim 22n n n n

c n c n +→∞→∞+=?=,

2R =, 此时它的收敛圆为22z -<, 收敛圆周为22z -=.

(3) 记n

n c n =,

因为lim n n n →∞

==+∞, 0R =,

此时它的收敛圆为空集, 收敛圆周为空集.

(4) 记 0,

212,

2n n k c k n k

=-?=?

=?, 因为

0,212n k n k

=-??=?=??,

从而1n =, 所以收敛半径1

11

R =

=, 此时它的收敛圆为 11z -<, 收敛圆周为11z -=.

小结：1.幂级数求收敛半径时，常用方法：通项比值法或根值法； 需注意的是：比值的顺序是有要求的，根值法要开n 次方.

即

11

lim

,,n n n n C R C λλλ

+→∞

===.

2．幂级数的性质对幂级数的相关运算及证明很重要，要注意性

质成立的条件.

易犯错误：利用比值法求收敛半径时，比值的顺序写颠倒，或忘了

2.