复变函数项级数
§4.2 复变函数项级数教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级数的收敛半径；能用1(1)1n n z z z ∞==<-∑将简单函数表示为级数．教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间接法和01(1)1n n z z z ∞==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用1(1)1n n z z z ∞==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：§4.2.1 复变函数项级数设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为1()nn fz ∞=∑.【定义】※设1()nn fz ∞=∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()()n n S z S z →∞=存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数1()nn fz ∞=∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称1()nn fz ∞=∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1()n n f z ∞=∑在E 上的和函数.记为1()()nn S z fz ∞==∑或者()lim ()n n S z S z →∞=, {}()n S z 称为1()nn fz ∞=∑的部分和函数列.§4.2.2 幂级数1．【幂级数的定义】通常把形如：20010200()()()nnn C z z C C z z C z z ∞=-=+-+-∑0()nn C z z ++-+L L的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数()nnn C z z ∞=-∑的系数与中心点.若00z =, 则幂级数0()n nn C z z ∞=-∑可简化为n nn cz ∞=∑(标准幂级显然, 通过作变换0z z ζ=-, 幂级数的上述两种形式可相互转化. 2. 阿贝尔（Abel ）定理 对于幂级数()nnn C z z ∞=-∑, 显然当0z z =时,它是收敛的.下面,考虑当0z z ≠时, 它的敛散性. 【定理4.5】 (阿贝尔定理) 若()nnn C z z ∞=-∑在某点10z z ≠收敛,则它必在圆域010:K z z z z -<-内绝对收敛. 【推论】 若()nnn C z z ∞=-∑在某点20z z ≠发散, 则它必在圆周020:C z z z z -=-的外部发散.分析: 此定理的证明与高数中的阿贝尔第一定理的证明方法类似. 关于(1)可用正项级数的比较法则证明; 关于(2)可利用反证法以及 (1)的结论证明.(如图4.7)证明 (1)设z 是圆域010:K z z z z -<-内的任意一点, 由题设∞10()n n C z z M -≤于是 000101010()()()nn n nn n z z z z C z z C z z M z z z z ---=-≤--. 由010z z z z -<-知, 0101z z z z -<- ，所以 0010nn z z M z z ∞=--∑收敛, 从而10()nnn C zz ∞=-∑在圆域1:K z a z a -<-内绝对收敛. (2) (反证法) 假设存在3z (3020z z z z ->-), 使得300()nnn C zz ∞=-∑收敛, 由(1)知00()n n n C z z ∞=-∑必在20z z ≠收敛, 这与题设它在20z z ≠发散矛盾, 故()nnn C z z ∞=-∑在圆周2:C z a z a -=-的外部发散.根据定理1, 我们可把幂级数()nnn C z z ∞=-∑分成三类：Ⅰ. 对任意0z z ≠, 幂级数()nnn C z z ∞=-∑都发散(例如:11nn n nz ∞=+∑,由0z ≠,lim 0n n n n z →∞≠,它总是发散的)；∞(例如:11n n n z n ∞=+∑:11111lim lim11(1)n n n nn C e R C n n-+→∞→∞==⋅=++收敛)； Ⅲ. 既存在0z z ≠使得()nnn C z z ∞=-∑收敛, 也存在0z z ≠使得()nnn C z z ∞=-∑发散. 对Ⅲ ，可以证明存在正数R使得()nnn C z z ∞=-∑在圆周0z z R -=内部绝对收敛, 而在它的外部发散, 此时我们把这个正数R 称为()nnn C z z ∞=-∑的收敛半径,而圆域0z z R -<和圆周0z z R -=分别称为()nnn C z z ∞=-∑的收敛圆域和收敛圆周. 另外,我们还规定: 对于Ⅰ, 0R =, 此时的收敛圆缩为一点0z ； 对于Ⅱ, R =+∞, 此时的收敛圆扩充成了整个复平面.显然, 由收敛半径的定义及规定： 任何幂级数的收敛半径都是存在的.3．幂级数的收敛半径由上面给出的收敛半径知,幂级数的敛散性基本上可由其收敛半径来确定. 下面, 我们给出收敛半径的计算公式. 【定理】(收敛半径的计算公式)若幂级数()nnn C z z ∞=-∑的系数nC满足1limn n nC C λ+→∞=(比值法) 或n λ=（根值法）则它的收敛半径 10;;0.R λλλλ⎧<<+∞⎪⎪==+∞⎨⎪+∞=⎪⎩.证明 证明分三步：先证系数满足1limn n nC C λ+→∞=时,公式成立. 因 11000()lim ()n n n n n C z z z z C z z λ++→∞-=⋅--. 当0λ=时, 对任意z ,01z a λ⋅-=<.由正项级数的达朗贝尔判别法,()nnn C z z ∞=-∑绝对收敛, 所以它的收敛半径R =+∞.当λ=+∞时, 对任意0z z ≠,01z z λ⋅-=+∞>. 由正项级数的达朗贝尔判别法,()nnn C z z ∞=-∑发散, 所以它的收敛半径0R =.当0λ<<+∞时, 对任意满足01z z λ-<的z ,01z z λ⋅-<. 由正项级数的达朗贝尔判别法, 此时()nnn C z z ∞=-∑绝对收敛, 而对任意满足1z z ->的z ,1z z λ⋅->.由正项级数的达朗贝尔判别法, 此时()nnn C z z ∞=-∑发散,所以它的收敛半径1R λ=.最后证系数满足n λ=时,公式成立.例1 求幂级数201nn n zz z z ∞==+++++∑L L 的收敛范围与和函数.解 级数的部分和为 1()(1)1nn z S z z z-=≠- 当1z <时,因为 lim 0nn z →∞=, 1lim ()(1)1n n S z z z→∞=≠-, 此时幂级数收敛,且和函数为 1()1S z z=-. 当1z ≥时,因为 lim 0nn z →∞≠, 此时幂级数发散.故由阿贝尔定理知 级数的收敛半径为1R =,且在1z <内nn z∞=∑收敛且绝对收敛；且有20111n n n z z z z z∞==+++++=-∑L L . 例2 求下列幂级数的收敛半径，并讨论它们在收敛园上的敛散性（1）0nn z ∞=∑，（2）1n n z n ∞=∑，（3）21nn z n ∞=∑解： 对于这三个级数，都有 1lim11n n nc R c +→∞=⇒=， 0nn z∞=∑在1z =上由于lim 0nn z →∞≠，故在1z =上级数处处发散.1nn z n ∞=∑在1z =上的1z =-处收敛，在1z =处发散. 21nn z n∞=∑因为在1z =上处处绝对收敛，所以级数处处收敛. 例3 求幂级数0(1)nn z n ∞=-∑的收敛半径：解： 记1n c n =, 因为1lim lim11n n n n c n c n +→∞→∞==+, 所以收敛半径1R =, 此时它的收敛圆为11z -=.当0z =时，级数0(1)nn n ∞=-∑为收敛的交错级数当2z =时，级数01n n∞=∑为调和级数，发散，即级数在收敛圆上的情况较复杂.例4：求下列幂级数的收敛半径 解 (1)1!nn n z∞=⋅∑：1(1)!limlim lim(1)!n n n n n c n n c n λ+→∞→∞→∞+===+=∞，1!nn n z∞=⋅∑收敛半径为0R =.(2) 0(1)!nn z n ∞=-∑：记 1!n c n =, 因为11lim lim 01n n n n c c n +→∞→∞==+,所以0(1)!nn z n ∞=-∑收敛半径R =+∞,此时它的收敛圆为1z -<+∞, 即整个复平面. 级数在收敛园周上处处收敛，且绝对收敛. (3) 记 12n n c =,因为12n n ==, 所以12nn n z ∞=∑收敛半径2R =,此时它的收敛圆为2z <,收敛圆周为2z =.（4）211(1)n n n z n ∞=+∑：因为1lim(1)nn n e nλ→∞==+=，所以211(1)n n n z n ∞=+∑收敛半径为1R e =.(5)1(1)nn n i z ∞=+∑：因为n n λ===所以1(1)nn n i z ∞=+∑收敛半径为R =. （6）1in nn ez π∞=∑：因为1n n λ===，所以1in nn ez π∞=∑收敛半径为1R =.§4.2.3 幂级数和的几个性质 1. 加减性：设有两个同类幂级数()nn n az a ∞=-∑和0()nnn b z a ∞=-∑, 其收敛半径分别为1R 和2R ,记12min{,}R R R =, 则在z a R -<内,()()()()nnn nn n n n n n az a b z a a b z a ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑.2. 乘积性：设有两个同类幂级数()nnaz a ∞-∑和()n n b z a ∞-∑,其收敛半径分别为1R 和2R ,记12min{,}R R R =, 则在z a R -<内, 00()()nn n nn n a z a b z a ∞∞==-⋅-∑∑01100()()n n n n n a ba b a b z a ∞-==+++-∑L .例4 设有幂级数0n n z∞=∑与01(01)1n n n z a a ∞=<<+∑,求 级数01nn n n a z a ∞=+∑的收敛半径. 提示：易验证幂级数0nn z ∞=∑与01(01)1n n n z a a ∞=<<+∑的收敛半径均为 1.但级数01nn n n a z a ∞=+∑的收敛半径为 1111lim lim 1(1)n n n n n nC a R C a a a ++→∞→∞+===>+.(注意三个级数的关系) 3. 连续性：【定理】※设幂级数0()n n n az a ∞=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数为()f z , 则()f z 在其收敛圆:K z a R -<内也连续.4. 逐项积分性【定理4 】※设幂级数0()n n n az a ∞=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数为()f z , C 为其收敛圆:K z a R -<内任一条以a 为起点z 为 终点的简单曲线, 则0()()()z zn n C a a n f d f d a a d ζζζζζζ∞===-∑⎰⎰⎰ 10()1n n n a z a n ∞+==-+∑.幂级数逐项积分所得的级数仍为幂级数, 且它们的收敛半径相 同(从而收敛圆也相同) 在收敛圆内幂级数可以逐项积分任意次. 5 .和函数的解析性与逐项微分性【定理5】※设幂级数0()n n n cz a ∞=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数为()f z , 则(1)()f z 在其收敛圆:K z a R -<内解析；(2) ()f z 在其收敛圆:K z a R -<内可逐项求导至任意阶, 即()1()!(1)2()p p p f z p c p p c z a +=++-+L L(1)(1)()n p n n n n p c z a -+--+-+L L (1p =, 2, L ). (3) ()()!p p f a c p =, (0p =, 1, 2, L ) 结论:复合运算:如果当z r <时,0()n nn f z a z ∞==∑,又设在z R <内,()g z 解析且满足()g z r <,那么当z R <时,0[()][()]n n n f g z a g z ∞==∑.此代换运算在函数展开为幂级数时有着广泛的应用.例6 把函数 1z 表示成形如 0(2)n n n C z ∞=-∑的幂级数. 解 111122(2)212z z z ==⋅-+---，由01(1)1n n z z z ∞==<-∑知 当212z -<-时，有 212221222212n z z z z ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--L L ， 故 ()()()22311111122(1)22222n n n z z z z +=--+-++--+L L 且在21222z z -<⇒-<-内级数收敛. 练习：1. 求下列幂级数的收敛半径, 并指出各自的收敛圆和收敛圆周. (1) 1n n z n ∞=∑; (2)1(2)2nn n n z ∞=-∑; (3)1(1)n n n n z ∞=-∑; (4)212(1)n n n z ∞=-∑.解 (1) 记1n c n =, 因为1lim lim 11n n n nc n c n +→∞→∞==+, 所以收敛半径 111R ==, 此时它的收敛圆为1z <, 收敛圆周为1z =. (2) 记2n n n c =, 因为1111lim lim 22n n n nc n c n +→∞→∞+=⋅=, 2R =, 此时它的收敛圆为22z -<, 收敛圆周为22z -=.(3) 记n n c n =,因为lim n n n →∞==+∞, 0R =, 此时它的收敛圆为空集, 收敛圆周为空集.(4) 记 0,212,2n n k c k n k =-⎧=⎨=⎩, 因为0,212n k n k =-⎧⎪=⎨=⎪⎩,从而1n =, 所以收敛半径111R ==, 此时它的收敛圆为 11z -<, 收敛圆周为11z -=.小结：1.幂级数求收敛半径时，常用方法：通项比值法或根值法； 需注意的是：比值的顺序是有要求的，根值法要开n 次方. 即11lim ,,n n n n C R C λλλ+→∞===. 2．幂级数的性质对幂级数的相关运算及证明很重要，要注意性 质成立的条件.易犯错误：利用比值法求收敛半径时，比值的顺序写颠倒，或忘了加绝对值.利用根值法求收敛半径时 ,将根指数写为2.。
复变函数讲义第5章
规定为 , 0 , R .
因此， 幂级数
cn ( z z0 )
n
的收敛范围是
n0
以 z z 0 为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数 进行具体分析.
24
收敛半径的求法 设级数
.
说明
复数项级数的审敛问题
(定理2)
实数项级数的审敛问题
9
课堂练习
级数
n ( 1 n ) 是否收敛？
n 1
1
i
解 因为
a n n 发散 ;
n 1 n 1
1
b n n 2 收敛
n 1 n 1
1
.
所以原级数发散.
10
级数收敛的必要条件
因为实数项级数
n 2 n
n1
这类函数项级数称为幂级数.
20
2.幂级数的敛散性
定理4 (Abel定理) 处收敛，则当 若级数
若级数
c
n0
n
z
n
在 z1 0
z z1
时, 级数
cn z
n
绝对收敛;
n0
cn z
n
在 z 2 处发散，则当 z z 2 时, 级数
n0
cn z
n
发散.
n0
n
,
n1
n
1 2
n
n1
都收敛, 故原级数收敛. 但是级数
( 1) n
ch4_05复变函数的级数(1)
n0
zn
1 2
n0
1 2n
z n
(1
n0
1 )zn. 2n1
y 1
x O1
解: 首先将f(z)分解成部分分式: f (z) 1 1 .
z2 z1
(2) 在圆环1<|z|<2内, |1/z|<1, |z/2|<1, 故
f (z) 1 1 1 1 2 1 z / 2 z 11/ z
| z z0|<R时,
f (z)
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
,
且展开式是唯一的.
(2) 解析函数的泰勒展开式
上述定理中的
f (z)
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
称为f(z)在
点z0处的泰勒展式.
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
称为f(z)在
点z0处的泰勒级数.
(2) | zn | 收敛 zn收敛,此时称 zn为绝对收敛。
n1
n1
n1
二. 复函数项级数的基本概念
1. 设u1(z), u2(z), …, un(z), …是定义在区域D 上的复变函数序列, 则称
un (z) = u1(z) + u2(z) + …+ un(z) + …
n 1
为定义在区域D上的复函数项级数.
(1)n1(n 3n1
1)
(z
1)n
| z 1| 3
展开式的系数都是实数，为什么？
六 Laurent级数
1. 双边无穷级数
复变函数项级数
特殊函数
复变函数项级数可以用于定义和 计算一些特殊函数，例如贝塞尔 函数、傅里叶级数等。
在物理和工程中的应用
波动方程
在物理中，波动方程是一个非常重要的方程，而复变函数项级数 可以用于求解波动方程，例如在声学和电磁学等领域的应用。
量子力学
在量子力学中，波函数通常是通过复变函数项级数来定义 的，因此复变函数项级数在量子力学中有重要的应用。
对未来研究的展望
1
深入研究复变函数项级数的性质和变化 规律，进一步拓展其在各个领域的应用 范围。例如，在数学领域，可以研究复 变函数项级数的收敛性、可积性等性质 ，以及其在复分析、微分方程等领域的 应用。在工程领域，可以研究复变函数 项级数在信号处理、图像处理、控制系 统等领域的应用，并尝试将其应用于其 他领域。
控制工程
在控制工程中，系统传递函数通常可以通过复变函数项级数来 表示，因此复变函数项级数在控制工程中有广泛的应用。
05
结论
复变函数项级数的意义与价值
意义
复变函数项级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，它为解决复杂问题提供了有效的工具和方法。通 过研究复变函数项级数，可以深入了解函数的性质和变化规律，进一步推动相关领域的发展。
2
探索复变函数项级数的扩展和改进。例 如，可以尝试将复变函数项级数的概念 和方法应用于实数域或高维空间，或者 将其与其他数学工具和方法相结合，以 解决更复杂的问题。此外，也可以尝试 改进复变函数项级数的收敛速度和精度 ，以提高其实用性和可靠性。
3
加强复变函数项级数与其他数学分支的 交叉研究。例如，可以探索复变函数项 级数与调和分析、泛函分析、代数几何 等数学分支的交叉点，以及它们之间的 相互影响和应用。这样的交叉研究有助 于发现新的数学思想和理论，推动数学 的发展。
复变函数项级数
(M
z z0
n
)
n1
z1 z0
收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，
Cn(z z0 )n
n1
收敛， 从而级数 Cn(z z0 )n 绝对收敛. n0
8
定理1的几何意义
如 果 幂 级 数 在 点1z收 敛 ， 那 么 幂 级 数 在 以z0 为 圆 心 ， 以z1 z0 为 半 径 的 圆 周 内 部 的 任意 点z处收敛.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
z R R min( r1, r2 )
17
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
10
对于形如 Cn (z z0 )n的幂级数当, z z0时，可能 n1
出现如下的三种情况
(1)对 任 意 的z z0 , 级 数 Cn (z z0 )n均 发 散 n1
(2)对 任 意 的 z, 级 数 Cn (z z0 )n均 收 敛 。 n1
(3)存 在 一 点z1 z0 , 使 得 级 数 Cn (z1 z0 )n收 敛 . n1
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;
幂级数可逐项求导, 逐项积分.
(常用于求和函数)
22
例3 求幂级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn
1
z
z2
复变函数项级数
四 章
3. 幂级数的代换(复合)性质
解 性质 设级数 anzn 在 | z| R 内收敛，和函数为 f (z) anzn ,
析
n0
n0
函
又设函数 g(z) 在 | z | r 内解析，且满足 | g(z)| R , 则
数 的 级
当 | z | r 时，有 f [ g(z)] an[ g(z)]n .
四
章
阿贝尔只活了短短的 27 年，一生中命途坎坷。
解
他的才能和成果在生前没有被公正的承认。
析
函
为了纪念阿贝尔诞辰 200 周年，挪威政府于 2003 年设立
数
的
了一项数学奖 —— 阿贝尔奖。每年颁发一次，奖金高达
级
数
80 万美元，是世界上奖金最高的数学奖。
表
示
23
§4.2 复变函数项级数
第 附：人物介绍 —— 伽罗华
表 示
(利用正项级数的柯西判别法即可得到)
12
§4.2 复变函数项级数
第 四
例
求幂级数
n0
zn n2
的收敛半径与收敛圆。
P86 例4.3 部分
章 解
解
由 lim |an1 | n |an |
lim
n
n2 (n 1)2
1,
得
析
函
收敛半径为 R 1, 收敛圆为 | z | 1.
§4.2 复变函数项级数
第 四
§4.2
复变函数项级数
章 一、基本概念
解 析
二、幂级数
函 数
三、幂级数的性质
第四章复变函数级数
第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。
2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。
由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。
3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。
若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。
复变函数的级数
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
复变函数第四章级数
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、 幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成 立 ， 其 中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并 且 展 开 式 唯 一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论： 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆 心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
4.2复变函数项级数
如果在 z R 内, 函数 g(z)解析, 并且 g(z) r,
则当 z R时,
f [g(z)] cn[g(z)]n . n0
(3) 幂级数 cnzn的和函数 s(z) 在收敛圆内是 n0 解析的；且幂级数在其收敛圆内可以逐项求
导和逐项积分。
例3
把函数
1 zb
表示成形如
cn(z a)n
s(z) 称为该级数的和函数.
幂级数概念（一类特殊的复变函数项级数）
函数项级数
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
n0
cn(z a)n ,
或 a 0 的特殊情形
令 z-a =
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn ,
n0
称为幂级数 (power series) .
收敛半径的求法
设级数 cnzn 或 cn(z a)n
n0
n0
(比值法)
如果
lim cn1 c n
n
,
则收敛半径
R 1.
(根值法)
如果
lim n
n
cn
,
则收敛半径
R 1.
当 0时, 收敛半径 R ，级数在复平面内处处收敛.
当 时, 收敛半径 R 0，级数仅在 z=0 收敛.
例1 求级数 zn 的收敛范围与和函数.
n0
解： cn (2 i)n
比值法：lim cn1 c n
n
lim
n
(2 i)n1 (2 i)n
5,
或用根值法：lim n n
cn
lim n
(2 i)n
5
故幂级数的收敛半径为 5 5
幂级数的运算和性质