【华南师范大学】复变函数(级数、留数)含答案
2011/2012学年（一）学期月考试卷
《复变函数》试卷参考答案
专业 电子信息工程 年级2010班级 姓名 学号
一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、设),2)(32(i i z +--=则arg z =8arctan -π
2、设C 为正向圆周2ξ=，3sin()
() C f z d z π
ζζζ=-?，其中2z <，则1'()f =i 32π
3、积分
||7
11cos z z
dz z =+=-? .12i π 解：
11cos z
z
+-在圆周7z =内部有三个孤立奇点1230,2,2z z z ππ===-
24222111111
11cos ()
1(1)2!4!2!4!
z
z z z z z z z
z z z ?++++=
=?=?---++-+
因为2
12!4!
z -+ 为复平面内的收敛幂级数，和函数()z ?是解析的，并且在0z =处
不等于零，所以
1
()
z ?在0z =处解析，可以展开为0z =处的泰勒级数。又因为它是偶函数，泰勒级数中必不含z 的奇次幂项，所以可以写成24242c z c z +++ ，故
242422221122(2)1cos z z c z c z c c z z z z z ++=?+++=++++- ，
1Re [,0]21cos
z
s z
+=- 242
22211111
(2)(2)1(2)1cos 1cos(2)
(2)1[1]2!4!2!4!
1112(2)1(2)(2)(2)(2)
z z
z z z z z z z z z z z z z z ππππππππ?ππ?π++++==
=?
---------++-++++-=?=?----
令2u z π=-，得
2
1121
1cos ()
z u z u u π?+++=?-。 类似前面的讨论可得1Re [
,2]21cos z s z π+=-。同理可得1Re [,2]21cos z
s z
π+-=- 故||7
12(222)121cos z z
dz i i z ππ=+=++=-?
4、若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=, 那么)(z f = c ic z ,2+为实常数.
5、在01z <<内，函数1(2)(1)z z z -+的罗朗展式是101
(1)112362n n n n z z ∞
+=??--+- ???
∑
二、选择题（每小题3分，共15分）：
1、设)(z f 在点a 解析，点b 是)(z f 的奇点中离点a 最近的奇点，于是，使∑∞
=-=0)()(n n n a z c z f 成立的收敛圆的半径等于（C ）
． (A) 1++b a (B) 1+-a b
(C) b a - (D) b a +
2、若点a 为)(z f 的可去奇点，则Res((),)f z a =（C ）． (A) 21 (B) 2
1
- (C) 0 (D) i
3、设1:1=z c 为负向, 3:2=z c 为正向, 则?+=212
sin c c c dz z
x
= ( B ) (A) i π2-
(B) 0 (C) i π2
(D)i π4
4、幂级数()!()!n n z n n
+=∞
∑120
的收敛半径为（ D ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) +∞
5、若,sin 1
)(z z z f =
则0,Re [(),]k s f z k π≠=（ C ） (A) πk 1 (B) 0 (C) π
k k 1
)1(-
(D)k )1(-
三、计算题（15分）
（1）计算函数12)2)(1()(--+=z z z z f 在孤立奇点处的留数． 解：1()(2)
z
f z z z +=
-的孤立奇点有两个120,2z z ==，它们都是一级极点。
11Re [(),0]lim (2)2z z s f z z
z z →+==--，213
Re [(),2]lim(2)(2)2z z s f z z z z →+=-=- 。
（2）计算积分22
0i e d ()x
x a x a +∞-∞
>+?．
解：22
1
()f z z a =
+在上半平面内有一级极点ai ，故有 2Re [(),]lim()()()iz a
iz
z ai e e s f z e ai z ai z ai z ai ai
-→=-=
-+ 22
222i e d Re [(),]x a a iz
e e x i s
f z e ai i x a ai a
πππ--+∞-∞
===+?
。 （3）计算积分
2
421
d x x x x +∞-∞
++?
解：令4210z z ++=，即4222222221(1)(1)(1)z z z z z z z z z ++-=+-=-+++
(0z z z z =--=，则 242()1z f z z z =++
在上半平面有两个一级极点12
1122z z +-+==。
1
2
11Re [(),]lim()()z z z z s f z z z z f z →→=-=
2
==
2
2
2
22Re [(),]lim()()lim
z z z z s f z z z z f z →→=-=
2
==
所以
2
12
42
2
1
d{Re[(),]Re[(),]}
x
x i s f z z s f z z
x x
π
+∞
-∞
=+
++
?
3
2}2
3
iππ
===
四、（9分）将函数1
)]
2
)(
1
[(
)
(-
+
-
=z
z
z
f在点0
=
z展成幂级数．、
解：
11111111
()()
(2)(1)3123161
2
f z
z
z z z z z
==-=--
+--+-+
1
000
111(1)
(1)()[1]
36232
n
n n n n
n
n n n
z
z z
∞∞∞
+
===
-
=---=-+
∑∑∑
五、（9分）将函数
1
)
(
2
-
=
z
z
z
f在点1
=
z的去心邻域展成罗朗级数．
解：
22111
()2(1)
1111
z z
f z z
z z z z
-
==+=++-
----
六、（9分）试求函数1
2)]
1(
[
)
(-
-
=z
z
z
f的孤立奇点，并判定奇点的类别．
解：
1
()
(1)(1)
f z
z z z
=
-+
有三个孤立奇点
123
0,1,1
z z z
===-。显然
123
0,1,1
z z z
===-都是
1
(1)(1)
()
z z z
f z
=-+的一级零点，所以他们是()
f z的一级极点。
七、（9分）讨论函数
??
?
?
?
=
≠
+
-
+
=
,0
,
)
)(
(
)
(4
2
2
2
z
z
y
x
ix
y
y
x
x
z
f
在原0
=
z处的可导性.
解当点z沿直线kx
y=趋向0
=
z时,
)
)(
(
)
)(
(
lim
)
(
lim
)0(
)
(
lim
4
4
2
2
2
2
0ikx
x
x
k
x
ix
kx
x
k
x
x
z
z
f
z
f
z
f
x
kx
y
x
kx
y
x+
+
-
+
=
=
-
-
→
→
→
→
→
=.0)1)(1()
)(1(lim 243240=++-+→ik x k x i k k x x
当点z 沿曲线2y x =趋向0=z 时,
))(()
)((lim )(lim 0)0()(lim 2442242000iy y y y iy y y y y z
z f z f z f y z z ++-+==--→→→ =.21)(2)1)(1(lim 20i i y iy y y =+-+→
故0
)
0()(lim
--→z f z f z 不存在, 从而)(z f 在0=z 处不可导.
八、（9分）求幂级数∑∞
=12
n n
z n 的和函数, 并计算∑∞
=12
2
n n n 之值．
解: 易知幂级数的收敛半径,1=R 在收敛圆1|| =??? ??=∑∞ =' 1)(n n nz z z f ''1??????????? ??∑∞=n n z z z =.)1()1()1(13 '2' 'z z z z z z z z z z -+=??????-=??????? ???? ??- 此时 ∑∞ ===12.6)21 (2 n n f n 九、(10分) 计算积分 ?+∞ >>+0 2 22).0,0() (sin a m dx a x mx x 解 由题知 imz e a z z z f 2 22) ()(+=有两个二级极点, 其中仅有ai z = 在上半平面. 且 ma ai z imz e a m e ai z z dz d ai z f s -==??????+=4)(]),([Re 2 故有 ?? ????+=+=+??? ∞+∞-∞+∞-∞ +dx e a x x dx a x mx x dx a x mx x imx 2222220 222)(Im 21)(sin 21)(sin .4]}),([Re 2Im{21ma e a m ai z f s i -== ππ 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 自动化专业2013级教学培养方案 一、培养目标 自动化专业致力于培养适应社会发展和经济建设需要，具有多元人文知识、社会责任感、创新意识、环保节能意识和团队合作精神，知识、能力、素质协调统一，具有基础理论扎实、专业知识面广、实践能力强，具有分析问题和解决问题的综合能力，能够在生产、科研及其他相关部门，尤其是面向石油、化工、制药等相关流程工业领域从事自动化相关的科学研究、技术开发、工程设计与实施、组织管理等方面工作的高级工程技术人才。 二、培养要求 1、具有从事工程工作所需的相关数学、自然科学以及经济和管理知识，系统地掌握本专业所必需的自然科学和工程技术方面的基础知识，接受工程设计和科学研究的基本训练，具有控制工程设计、实验研究等基本技能。 2、掌握自动化的基本理论及相关技术，尤其是控制论、系统论和信息论的基本思想；具有控制系统分析、设计和开发的基本能力。 3、具有较强的计算机应用能力，具有创新意识，能利用现代技术手段解决自动化系统分析、开发与设计中的工程问题，掌握文献检索、资料查询及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法。 4、掌握一门外语，能熟练阅读和理解外文专业资料，具有较好的国际视野与跨文化交流能力。 5、了解自动化系统设计、研究与开发、环境保护等方面的方针、政策和法规，具备社会责任感和职业道德。 6、具有较强的适应性和终身学习的能力，并具备一定的组织管理和社会活动能力，具有团队合作精神。 三、学位及学分要求 本专业学生在学期间必须修满专业培养方案规定的179学分，其中，通识教育平台课程44学分，学科基础教育课程平台36学分，专业教育平台课程66.5学分，实践平台32.5学分。学生修满学分并达到《大学生体质健康标准》，可获得毕业证书。获准毕业并通过华东理工大学大学英语学位考试，且符合国家学位授予条例者，可获得工学学士学位。 四、课程设置 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = p269第六章习题(一) [ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ] 7.从 Ceiz /√zdz出发，其中C是如图所示之周线(√z沿正实轴取正值)，证明：(0, +)cosx/√xdx= (0, +)sinx/√xdx=√(/2)． 【解】| C(R)eiz /√zdz| C(R)| eiz |/R1/2 ds = [0,/2]| ei(cos+isin) |/R1/2 ·R d Ri = [0,/2]| e Rsin |R1/2 d R R1/2 [0,/2]e Rsin d． 由sin2/([0,/2] )，故R1/2 [0,/2]e Rsin d R1/2 [0,/2]e(2R/) d C r ri = (/(2R1/2 ))(1–e R )/(2R1/2 所以，| C(R)eiz /√zdz|0 (asR+)．rR而由| C(r)eiz /√zdz|(/(2r1/2 ))(1–e r ) 知| C(r)eiz /√zdz|0 (asr0+ )． 当r0+ ，R+时， [r,R]eiz /√zdz= [r,R]eix /√xdx= [r,R](cosx+isinx)/√xdx (0, +)cosx/√xdx+i (0, +)sinx/√xdx． [ri,Ri]eiz /√zdz= [r,R]ei(iy) /√(iy)idy= [r,R]e y ei/4 /√ydy． = (1 +i)/√2 · [r,R]e y /√ydy= 2(1 +i)/√2 · [√r,√R]e u^2 du (1 +i)√2 · (0, +)e u^2 du= (1 +i)√2 ·√/2 = (1 +i)√(/2)．由Cauchy积分定理， Ceiz 第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数 这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理 习题三 3.1计算积分 2C z dz ? ，其中C 是： （1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。 解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t ti t =+=+≤≤ ()2dz i dt =+ 于是 ()()()222 1 222113 C i i d z d t i z t +++== ? （2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z t t =≤≤， 2C 参数方程为()201z it t =+≤≤ ()()1 2 2 21 2 2 2 2 1 22113 C C C z dz z dz z dz t dt id it i t += +=+=+? ???? （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z it t =≤≤， 2C 参数方程为()02z t i t =+≤≤ ()()()1 2 2 1 2 2 2 22 1 2113 C C C z dz z dz z dz it idt dt t i i += +++==????? 3.2设C 是,i z e θ θ=是从π-到π的一周，计算： （1） ()Re C z dz ? ；（2）()Im C z dz ?；（3）C zdz ? 解：cos sin i z e i θ θθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+ （1）()()Re cos sin cos C z dz i d i π π θθθθπ-=-+=??； （2）()()Im sin sin cos C z dz i d π π θθθθπ-=-+=-? ?； （3） ()()cos sin sin cos 2C zdz i i d i π π θθθθθπ-=--+=? ? 3.3计算积分C z zdz ? ，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭 曲线。 解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=； 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 复变函数练习题 第五章 留数 系 专业 班 姓名 学号 §1 孤立奇点 孤立奇点类型的判别法 1、洛朗展开法 f(z)在点a 处的洛朗展式中， 若无负幂项，则点a 为可去奇点； 若负幂项最高次数为m ，则点a 为m 阶极点； 若负幂项为无穷多个，则点a 为本性奇点。 2、极限法 lim ()z a f z → 存在且有限，则点a 为可去奇点； 等于无穷，则 a 为极点（无法判断阶数）； 不存在且不等于无穷，则a 为本性奇点。 3、判断极点的方法 1 ()()()m f z g z z a = -，g(z)在点a 解析且g(a)不等于零； 1()()lim ()lim()()() m m z a z a f z g z g z z a f z z a →→= =--，存在且有限; 1 ()()() m z a h z f z =-， h(z)在点a 解析且h(a)不等于零 一、选择题 1．函数 cot 23 z z π-在||2z i -=内奇点的个数为 [ D ] （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 cot cos 3 (23)sin 0,()23(23)sin 2 z z z z z k k z z z ππππ=-=?=∈--Z ， 2．设()f z 与()g z 分别以z a =为可去奇点和m 级极点，则z a =为()()f z g z +的 [ C ] （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 (对f(z)和g(z)分别进行洛朗展开并求和) 3．0z =为函数2 41sin z e z z -的m 级极点，那么m = [ C ] （A ）5 （B ）2 （C ）3 （D ） 4 224 2 2455 32 01112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →??++ ?--?=?=?++ ? ? ?++= ?? ? L L L 利用方法， 4．z =∞是函数3 2 32z z z ++的 [ B ] （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点 32 22 32321=32=0z z z z z z ζζζζ??++++=++ ??? 以为一阶极点 5．1z =是函数1 (1)sin 1 z z --的 [ D ] （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）一级零点 （D ）本性奇点 （将函数在z=1洛朗展开，含无穷多个负幂项） 二、填空题 1．设0z =为函数3 3 sin z z -的m 级零点，那么m = 9 。 () () 3 5 3391563 3 3 3 91sin ()()3!5!3!5!3!5! z z z z z z z z z z -=--++=-+=-+L L L 2．设0z =为函数3sin z z 的n 级极点，那么n = 2 。 三、解答题 1．下列函数在有限点处有些什么奇点如果是极点，指出它的级： 电气工程及其自动化专业教学培养方案 一、培养目标 电气工程及其自动化专业致力于培养适应社会发展和经济建设需要，具有多元人文知识、社会责任感、创新意识、环保节能意识和团队合作精神，知识、能力、素质协调统一，具有扎实的电器、电力电子、电气传动、电气系统设计及应用等专业基础知识和工程实践能力，具有分析问题和解决问题的综合能力，能从事与电气工程有关的系统运行、自动控制、电力电子技术等相关领域科学研究、技术开发、工程应用与组织管理的高级工程技术人才。 二、培养要求 1、具有从事工程工作所需的相关数学、自然科学以及经济和管理知识，系统地掌握本专业所必需的自然科学和工程技术方面的基础知识，接受工程设计和科学研究的基本训练，具有电气工程及自动化系统设计、开发与工程应用的基本技能。 2、较好地掌握本专业领域的技术知识，包括电器、电力电子、电气传统、电气系统设计等。 3、具有较强的计算机应用能力，具有创新意识，能利用现代技术手段解决电气工程相关的系统分析、开发与设计中的问题，掌握文献检索、资料查询及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法。 4、掌握一门外语，能熟练阅读和理解外文专业资料，具有较好的国际视野与跨文化交流能力。 5、了解电气自动化系统设计、研究与开发、环境保护等方面的方针、政策和法规，具备社会责任感和职业道德。 6、具有较强的适应性和终身学习的能力，并具备一定的组织管理和社会活动能力，具有团队合作精神。 三、学位及学分要求 本专业学生在学期间必须修满专业培养方案规定的179学分，其中，通识教育平台课程44学分，学科基础教育课程平台36学分，专业教育平台课程66.5学分，实践平台32.5学分。学生修满学分并达到《大学生体质健康标准》，可获得毕业证书。获准毕业并通过华东理工大学大学英语学位考试，且符合国家学位授予条例者，可获得工学学士学位。 《复变函数》教学大纲 说明 1．本大纲适用数学与应用数学本科教学 2．学科性质： 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3．教学目的： 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4．教学基本要求： 通过本课程的学习，要求学生达到： 1．握基本概念和基本理论； 2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等）； 2．固和加深理解微积分学的有关知识。 5．教学时数分配： 本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表： 教学时数分配表 以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。 （一）教学内容 第五章 留数 留数（Residue ）理论是复积分理论和复级数理论相结合的产物，它既是复积分问题的延续，又是复级数应用的一种体现，它对复变函数论本身以及实际应用都有着重要的作用．例如，它能给复积分的计算提供一种有效的方法，能为解析函数的零点和极点的分布状况的研究提供一种有效的工具．另外，它还能为数学分析中一些复杂实积分的计算提供有效地帮助． 本章，我们首先引进孤立奇点处留数的定义，利用洛朗展式建立留数计算的一般方法——洛朗展式法，以及各类孤立奇点处留数计算的更细致的方法．在此基础上，再建立反映复变函数沿封闭曲线积分与留数之间密切关系的留数定理，从而有效地解决“大范围”积分计算的问题．其次，介绍留数定理的两个方面的应用．一方面建立利用留数定理计算数学分析中某些定积分和反常积分的计算方法，另一方面建立讨论区域内解析函数的零点和极点分布状况的有效方法，即幅角原理与儒歇定理． 一．学习的基本要求 1．掌握函数在其孤立奇点处的留数的概念以及函数在孤立奇点处的留数计算的一般方法，即洛朗展式法．注意函数在有限孤立奇点处的留数和孤立奇点∞处的留数在定义方面的差异以及罗郎展式法方面的差异．并能熟练地运用洛朗展式法求函数在其孤立奇点处的留数． 2．熟练掌握函数在各类有限孤立奇点处的留数的具体计算方法以及孤立奇点∞处留数的的两种具体计算方法： 洛朗展式法： 1Res ()z f z β-=∞ =-，其中1β-为()f z 在∞处的洛朗展式中1z 的系数． 化为有限点处的留数：2011Res ()Res ()z z f z f z z =∞==-． 3．了解有限可去奇点处的留数与可去奇点∞处的留数的差异，理解为什么函数在可去奇点∞处的留数一般不一定为零？ 4．掌握留数定理以及含∞的留数定理（即留数定理的推广），并能熟练地运用它们计算函 北交大考博辅导班：2019北交大应用数学考博难度解析及经验分享根据教育部学位与研究生教育发展中心最新公布的第四轮学科评估结果可知，在科教评价网版2017-2018数学与应用数学专业大学排名中，数学与应用数学专业排名第一的是复旦大学，排名第二的是北京师范大学，排名第三的是南开大学。 下面是启道考博辅导班整理的关于北京交通大学应用数学考博相关内容。 一、专业介绍 应用数学专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。 北京交通大学理学院的应用数学在博士招生方面，划分为1个研究方向： 070104 应用数学 研究方向：01 微分方程理论与应用 考试科目：①1101 英语②2272 代数学基础或 2290 分析学基础或 2617 概率论基础③3756 微分方程或 3762 分形与混沌及其应用或 3780 组合学或 3781 图论或 3782 随机分析与随机过程或 3783 运筹学 二、综合考核及分数 北京交通大学应用数学博士研究生招生考试分为五个阶段。其中，综合考核内容为 :（一）外国语水平考核 符合学校要求的英语考试成绩证明或在国外获得硕士或博士学位证明可免试外国语水平考核。 （二）基础水平测试 学院根据学科培养目标要求及高层次优秀人才选拔标准，制定申请考核制招生申请材料审核办法、评分标准及相关程序。学院材料审核专家组应结合考生学术研究经历、学科综述与研究设想、硕士学位论文（应届硕士毕业生论文目录、详细摘要和主要成果）、考生参与科研、发表论文、出版专著、获奖等情况及专家推荐意见按照学院制定的申请材料审核评分标准，给出对应成绩及书面评价，成绩满分100分。成绩低于60分的考生，不得录取。 （三）学科专业能力考核 学院对进入综合素质考核名单的考生进行学科专业能力考核。学科专业能力的考核形式、内容及评价标准由学院制定，成绩满分100分。主要测试考生的本学科博士研究生应具 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) ()1-=n n nz z '（n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→ 2210 0121lim lim ' ()()11210121----→=??????++-+= n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： ()()2000111111z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=??? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v = 26x x u =??，0=??y u ，0=??x v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 22+= 解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2= 第五章 留 数 一、选择题： 1．函数 3 2cot -πz z 在2=-i z 内的奇点个数为 ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( ) （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 3．设0=z 为函数 z z e x sin 14 2 -的m 级极点，那么=m ( ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数1 1 sin )1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点 5．∞=z 是函数2 3 23z z z ++的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点 6．设∑∞ == )(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,) ([ Re k z z f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k 7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],) () ([ Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ） （A ） 2 1)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1 sin )(-= （C ）z z z z f cos sin )(+= (D) z e z f z 1 11)(--= 9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)() ()(0z z z z f m ?--=，)(z ?在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为 )(z f 的m 级极点． （B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ） 若 0)(=?c dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点 10． =∞],2cos [Re 3 z i z s ( ) （A ）3 2- （B ）32 （C ）i 32 （D ）i 32- 11．=-],[Re 1 2 i e z s i z ( ) （A ）i +- 61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +6 5 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则) ()(],)() ([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若 0z 为 )(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则 复变函数习题总汇与参考答案 第1章 复数与复变函数 一、单项选择题 1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ） A （ac+bd, a ） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd ） D (ac+bd, bc-ad) 2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）} A |z| 分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。 三、计算题 1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。 解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|= 2、写出复数-i 的三角式。 解： 3、写出复数 的代数式。 解： 4、求根式 的值。 解： ππ4 5 |11| arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 π π2 3 sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 2 12312 1 21)1()1)(1()1(11--=--+-=?-+ +-+= -+ -i i i i -+-113 27 -)27arg(3 273π =-= 2011/2012学年（一）学期月考试卷 《复变函数》试卷参考答案 专业 电子信息工程 年级2010班级 姓名 学号 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、设),2)(32(i i z +--=则arg z =8arctan -π 2、设C 为正向圆周2ξ=，3sin() () C f z d z π ζζζ=-?，其中2z <，则1'()f =i 32π 3、积分 ||7 11cos z z dz z =+=-? .12i π 解： 11cos z z +-在圆周7z =内部有三个孤立奇点1230,2,2z z z ππ===- 24222111111 11cos () 1(1)2!4!2!4! z z z z z z z z z z z ?++++= =?=?---++-+ 因为2 12!4! z -+ 为复平面内的收敛幂级数，和函数()z ?是解析的，并且在0z =处 不等于零，所以 1 () z ?在0z =处解析，可以展开为0z =处的泰勒级数。又因为它是偶函数，泰勒级数中必不含z 的奇次幂项，所以可以写成24242c z c z +++ ，故 242422221122(2)1cos z z c z c z c c z z z z z ++=?+++=++++- ， 1Re [,0]21cos z s z +=- 242 22211111 (2)(2)1(2)1cos 1cos(2) (2)1[1]2!4!2!4! 1112(2)1(2)(2)(2)(2) z z z z z z z z z z z z z z z z ππππππππ?ππ?π++++== =? ---------++-++++-=?=?---- . .. . . 资料. 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1）1 32i +（2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i --（4）821 4i i i -+- 解：（1）1323213i z i -== +， 因此：32 Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310 i i i z i i i -+=== ---， 因此，31 Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122 i i i z i i i --=-=-+= -， 因此，35 Re , Im 32z z ==-， （4）821 41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+（3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ .. .. 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--（4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- （5 = （6 ） =4． 设12 ,z z i = =-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1 2cos sin , 2[cos()sin()]4 466 z i z i π π ππ =+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ =-+-=+， 5． 解下列方程： （1）5 () 1z i +=（2）440 (0)z a a +=> 解：（1 ）z i +=由此 25 k i z i e i π=-=-，(0,1,2,3,4)k = （2 ）z == 复变函数科普知识 1．简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现 了负数开平方的情况。在复变函数 复变函数很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。 2．历史复变函数 复变函数复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他 的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为 第一章习题详解 1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231 + 解： ()()()13 2349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：13 3 231= ??? ??+i Re 虚部：132231-=?? ? ??+i Im 共轭复数：1323231i i += ?? ? ??+ 模：131 1323231 2 22=+= +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3132 2231231+? ?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： ()()()2 532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：2 3131=??? ??--i i i Re 虚部：25131-=?? ? ??--i i i Im 共轭复数：253131 i i i i +=?? ? ??-- 模：2 34 4342531312 22= =+= --i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+???? ? ??-=+??? ??--=??? ??--arg 3) ()()i i i 25243-+ 解： ()()()2 26722672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=?? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292522627252432 2 =?? ? ??-+??? ??-=-+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ? ?--=??? ??-+ 4) i i i +-21 8 4 解：i i i i i i 3141421 8-=+-=+- 实部：( )1421 8=+-i i i Re 虚部：( )3421 8-=+-i i i Im 共轭复数：() i i i i 314218+=+- 模：103142221 8 =+=+-i i i 辐角：( )()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2321324421821 8 +-=+?? ? ??-=++-=+-arg 2． 当x 、y 等于什么实数时，等式 ()i i y i x +=+-++13531成立？ 解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ?? ?=-=+8321y x ? ??==?111 y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。复变函数试题与答案
培养方案-华东理工大学
复变函数课后习题答案(全)
复变函数习题解答(第6章)
(完整版)复变函数知识点梳理解读
复变函数习题三参考答案
复变函数经典习题及答案
第五章 留数(答案)
华东理工大学电气工程及其自动化培养方案
(完整版)《复变函数》教学大纲
复变函数第五章留数学习方法指导
北交大考博辅导班：2019北京交通大学应用数学考博难度解析及经验分享
复变函数习题答案第2章习题详解
复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案
复变函数习题总汇与参考答案
【华南师范大学】复变函数(级数、留数)含答案
复变函数课后习题答案全
复变函数科普知识
(完整版)第1章复变函数习题答案习题详解