03复变函数的幂级数展开
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03复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f
k 1
k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1
那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法
幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0
1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0
(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的
| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ敛的
n 1 n
n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法
复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式
复变函数的幂级数表示
一 复变函数项级数 1 定义：设 f k (z )是区域D中的复变函数 则
f
k 1
k
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f k ( z ) ...
称为复变函数项级数，称 Sn ( z) f k ( z) k 1 为级数的前n项和。
n
2 级数收敛和发散的定义：
f ( z)dz f
l l k 1
k
( z ) dz f k ( z )dz
k 1 l
3、幂级数在收敛圆内可逐项求导
f
(n)
( z) f
k 1
(n) k
( z)
3.2 解析函数的泰勒展开
一 定理表述及其证明
定理：设 f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析， 则对圆内的任意z点，f(z)可展为幂级数，
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。
ck 引入记号 R lim c k k 1
，称为收敛圆半径。
R，则（3.2.1)
意义： ck 若 | z z0 | lim c k k 1 绝对收敛。
另一方面，若 | z z0 | R 则
| ck 1 || z z0 |k 1 ck 1 lim lim R 1 k | c || z z |k k c k 0 k
五、例题
例1 求 1 z z 2 z k 的收敛圆。 z 为复数
(k!) 2 k z 的收敛半径。 例2 （习题4.1.b）求 k 1 (2k!!)
1 k2 k 例3（习题4.1.c）求 (1 ) z 的收敛半径。 k k 1
zk 例4（简明教程35页）求 的收敛半径。 k 0 k!
复变函数第三章
第三章：幂级数展开1. 一致收敛的复变项级数已知复变项级数： +++++=∑∞=)()()()()(2100z w z w z w z w z w k k k ，该级数的前1+n 项和)()()()()(2100z w z w z w z w z w n nk k ++++=∑= 称为级数的部分和。
把部分和序列∑=n k k z w 0)(表示为∑∑∑===+=nk k n k k n k k y x v i y x u z w 0),(),()(，则有：∑∑∑=∞→=∞→=∞→+=nk k n n k k n n k k n y x v i y x u z w 0),(lim ),(lim )(lim这样把复变项级数的收敛问题归结为两个实变项级数。
复变项级数的收敛性和一致收敛性：任给一个数0>ε，总可找出一个),(z N ε，使得当),(z N n ε>时，对于区域E （或曲线l ）上的所有点z 来说，部分和满足不等式ε<-∑=)()(0z w z w nk k ，则称级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上收敛于函数)(z w ，如果)(εN 只与ε有关，则称级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上一致收敛于函数)(z w 。
复变项级数在区域E （或曲线l ）上收敛和一致收敛的充要条件（柯西判据）： 对于区域E （或曲线l ）上的所有点z ，任给一个数0>ε，总可找出一个),(z N ε，使得当),(z N n ε>时，有不等式ε<∑++=pn n k kz w1)(（其中p 为任意正整数），则级数∑∞=0)(k kz w在区域E （或曲线l ）上收敛于函数)(z w ；如果)(εN 只与ε有关，则级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上一致收敛于函数)(z w 。
绝对收敛：如果复变项级数各项的模组成的级数∑∞=0)(k k z w 收敛，则称复变项级数∑∞=0)(k kz w绝对收敛。
复变函数的幂级数展开
复变函数的幂级数展开复变函数的幂级数展开是复数域中独有的一种展开形式。
与实函数不同，复变函数的幂级数展开能够将一个复变函数表示为一系列复数幂的和。
在复变函数理论中，幂级数展开具有广泛的应用，例如在复解析、函数论、物理学等各个领域。
首先，我们来了解一下复变函数的幂级数展开的定义和性质。
给定一个复变函数 f(z)，它可以在某个区域上进行幂级数展开。
设 z0 是该区域上的一个点，如果存在复数序列 c_n 和一个收敛半径 R，使得对于该区域内的每个点 z，有以下关系成立：f(z) = ∑(n=0 to ∞) c_n (z-z0)^n (1)其中，c_n 是函数 f(z) 的系数，R 是幂级数的收敛半径。
幂级数的收敛半径 R 可以通过柯西—阿达玛公式进行计算，该公式是根据幂级数的收敛性和发散性进行的。
下面我们来看一个具体的例子。
考虑以下函数：f(z) = 1/(1-z) (2)为了将 f(z) 展开为幂级数，我们需要找到该函数在某个点 z0 处的展开式，并计算出收敛半径 R。
对于函数 (2)，我们可以选择 z0=0。
然后，我们对函数 (2) 进行展开，在给定的收敛半径内，得到以下级数：f(z) = ∑(n=0 to ∞) z^n (3)这个级数是一个幂级数展开，它显示出函数 1/(1-z) 可以表示为一系列复数幂的和。
在这个例子中，收敛半径 R=1，因为幂级数 (3) 只在 |z| < 1 的区域内收敛。
复变函数的幂级数展开可以用来近似计算复解析函数在某个点附近的值。
一般来说，通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的近似结果。
但需要注意的是，幂级数展开的收敛性和收敛半径是限制近似精度的关键因素。
当所选择的展开点与函数的奇异点接近时，幂级数展开的收敛性可能会受到影响。
幂级数展开还经常用于计算多项式函数和三角函数的复函数版本。
例如，通过对复指数函数进行幂级数展开，我们可以得到欧拉公式：e^(iz) = ∑(n=0 to ∞) (iz)^n/n!，其中 i 是虚数单位。
第4章：复变函数的幂级数展开
| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性 设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分 设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述 任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数 逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内 解析，则对于圆 内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi
大学物理2.2 复变函数在解析区域中的幂级数展开
z
z
z2/1!
z3 /2!
z4/3!
z2
z2
z3 /1!
z4/2!
z5/3!
z3
z3
z4/1!
z5/2!
z6/3!
ez 1 (1 1 )z (1 1 1 )z2 (1 1 1 1 )z3
1 z
1!
1! 2!
1! 2! 3!
k
1 zk
k0 n0 n!
( z 1)
三、鞍点
我们来讨论复变函数的一阶导数为零的点的性质。
级数 于是
在 C 上一致收敛
逐项积分
其中 4. 展开式是唯一的
若 f (z) 能展开成另一种形式：
(1) 令 z = b： (2) 对 z 求导：
……
——展开式唯一
由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个 解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式
来求 ak 。 说明： (1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：
证明： 1. 从柯西公式出发
其中 z 为圆 | z – b | = R 内某一点，C 为包含 z 的圆，| – b| = (0 < < R)， 为 C 上的点。
2. 将被积函数用级数表示
利用
将
1
z
展开成以
b
为中心的级数
被积函数写成：
3. 将上式沿 C 积分
级数
在 C 上一致收敛 + f ( ) 在 C 上有界
我们知道，实变函数 f (x) 的一阶导数为零的点是它的极
值点 (只要二阶导数不为零)。然而，这一结论对于复变函数
f (z) 不成立 (因为 f (z) 无大小之分) 。此时应讨论它的实部和
复变函数的基本概念及运算
量子力学
复变函数在量子力学中用于描述 波函数，通过复数形式表达波函 数的实部和虚部。
电磁学
在电磁学中，复数形式的复变函 数被用于描述电场和磁场，以及 相关的波动现象。
光学
光学中的波动方程和麦克斯韦方 程组可以通过复数形式的复变函 数进行描述，解释了光的传播和 干涉等现象。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，复数形式的复变函数被用于描述交流电路中的电 压和电流，以及相关的频率响应和稳定性分析。
泰勒级数展开
01
泰勒级数展开是复变函数中一个重要的展开方法，它
可以将一个复杂的复变函数表示为一个无穷级数。
02
泰勒级数展开的一般形式为：f(z)=∑(n=0~∞)(z-
z0)^n/n!*f^(n)(z0)
03
其中，z0是展开点，f^(n)(z0)表示f(z)在z0点的n阶
导数。
洛朗兹级数展开
01
复变函数的复合运算
复合函数
设$f(z)$是一个复变函数，$g(w)$是一个 实变函数，且$g(w)$的值域包含在$f(z)$ 的定义域内，则复合函数$h(z) = f(g(w))$是定义在某个区间内的复变函数 。
VS
复合函数的导数
设$h(z) = f(g(w))$是复合函数，则复合 函数的导数定义为$(h'(z)) = (f'(g(w)) times g'(w))$。
除法
$frac{a + bi}{c + di} = frac{a+bi}{c+di} times frac{c-di}{c-di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$
复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为 为级数的前n项部分和.
f
k 1
k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数 若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数 若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开
补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
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1 z z0
R2
z0
R1
z0
|z-z0|<R2
R1<|z-z0|
R2
R1
z0
收敛环 R1<|z-z0|<R2
数学物理方法
Laurent定理
设函数 f(z) 在以z0为中心的圆环区域 R1<|z-z0|<R2 内解析，则f(z)可在该环域内展开为如下双边级数：
f ( z)
n
数学物理方法
收敛半径的求法
D'Alembert公 式
k a ( z z ) k 0 k 1
ak R lim k a k 1
R lim 1 ak
k k
Cauchy 公式
数学物理方法
例3.1
求
2
k k 2k ( 1 ) 2 z k 0
的收敛半径R。
1 2 k k 1 z z ... z ... z (收敛圆域为z 1) 解： 1 z k 0
1 ( ) 1 2 z ...kz k 1 ... z k 1 ( z 1) 1 z k 1
k 1
f1 ( z ) k z
f
( 2 m)
( z) (1) sin z, f
m
( 2 m)
(0) 0;
f ( 2m1) ( z) (1)m cos z, f ( 2m1) (0) (1)m ; (k ) m f (0) k (1) 2 m 1 f ( z ) sin z z z k! k 0 m 0 ( 2m 1)!
1 f ( z ) , f (0) 1; 1 z (k ) k 1 ( k 1)! (k ) k 1 f ( z ) (1) f (0) (1) (k 1)! k (1 z ) (k ) k 1 f (0) k (1) k f ( z) z z k! k k 0 k 0
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开
补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
第一篇 复变函数论 第三章 复变函数的幂级数展开
§3.1 复变函数项级数及其收敛性 §3.2 泰勒级数展开 §3.3 洛朗级数展开
数学物理方法
§3.1复变函数项级数及其收敛性
补充：复数项级数
形如 w1 w2 wn wn 的表达式被称为 n 1 复数项级数，其中wn是复数。
数学物理方法
收敛半径与收敛圆
根据阿贝尔定理，对于任意幂级数
a (z z )
k 1 k 0
k
总是存在一个圆周 z z0 R (0 R ) ， 使得幂级数在此圆域内处处收敛，在此圆域外则处处发 散。 圆域 z z0 R 称为幂级数的收敛圆，
R称为幂级数的收敛半径。
数学物理方法
例3.5 将 f(z)=sin z在z=0点的Taylor级数展开
解：f ( z ) sin z, f (0) 0;
f ( z ) cos z, f (0) 1; f ( z ) sin z, f (0) 0; f ( z ) cos z, f (0) 1;
(1)m 2 m1 arctan z a0 z (其中a0 arctan 0 0) m 0 2m 1
数学物理方法
举例
函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开
2 k k z z z z e 1 z ... ... 2! k! k 0 k!
f ( z)
2 i
C k 0
1
f ( )(z z0 ) k d k 1 ( z0 )
1 f ( ) k d ( z z ) 0 k 1 2 i ( z ) k 0 0 C f ( k ) ( z0 ) k ( z z ) 0 k ! k 0
1 3 1 5 1 7 (1) 2 m 1 z z z z ... z ... 3! 5! 7! ( 2m 1 )! 数学物理方法
m
例3.6 将 f(z)=ln(1+ z)在z=0点的Taylor级数展开
1 z), f (0) ln1 0; 解： f ( z ) ln(
k 1
z
1 (1 z ) 2
( z 1)
k z z z z 1 z 2 k dz 1 dz z dz z dz ... z 0 1 z 0 0 0 0 dz.... k 1 k
z zk 1 f 2 ( z) dz -ln(1- z) ( z 1) 0 (1 z ) k 1 k
n n a ( z z ) n 0
n 1
n a ( z z ) 被称为双边幂级数的负幂部分 n 0
n 0
n 被称为双边幂级数的正幂部分 a ( z z ) n 0
数学物理方法
收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R2；而负幂部分在变
换ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R1 ，则其在
|z-z0|>R1外收敛。 如果R1<R2，那么双边幂级数就在环状域 R1<|z-z0|<R2 内收敛，所以 R1<|z-z0|<R2给出了双 边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
如果R1>R2，那么双边幂级数处处发散。
数学物理方法
正幂部分
an ( z z 0 )
n 0
n
n a ( z z ) 负幂部分 n 0 n 1
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0
1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0
(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
阿贝尔定理
k a ( z z ) 若 k 0 在某点z1处收敛，则该幂级数在满足 k 0
z z 0 z1 z0 的圆域内将处处绝对收敛；
若
k 在某点z1处发散，则该幂级数在满足 a ( z z ) k 0 k 0
z z 0 z1 z0 的圆域外处处发散。
k 0
k
（ⅰ）解析性 （ⅱ）可导性，求导后收敛半径不变
f ( z ) ak k ( z z 0 ) k 1
k 0
（ⅲ）可积性，积分后收敛半径不变
f ( z)dz a ( z z
l k 0 k l
0
) dz
数学物理方法
k
k z 例3.4 分别求出幂级数 k z k 1 和 在 k 1 k k 1 收敛圆内的和函数。
若 wn 的前n项和 Sn w j有极限，则称该级数
收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称
n 1
n
j 1
为发散。
数学物理方法
收敛的充分必要条件
分必要条件是 皆为实数。
wn 收敛的充 设 wn un ivn (n 1,2,，则级数 )
u
n 1
n
和
v 都收敛，其中un和 vn
解：设 z t
(1)
k 0
k
2 z
k
2k
(1) 2 t
k k k 0
k
2 k a ( 1 ) 2 其系数 k
对于t而言，收敛半径 R klim k
1 对于z而言，收敛半径R 2
1
1 2 ak
数学物理方法
z 的收敛半径R。 例3.2 求 k 0 k!
f
k 1
k
( z)
f
k 1
k
( z ) 在 z0
f k ( z ) 收敛，则称级数 f k ( z ) 在z0处绝 若 k 1 k 1 对收敛。
点收敛
数学物理方法
若级数
f
k 1
k
( z ) 在区域D中所有点收敛，则称级数在
区域D中收敛。
区域收敛
对应于区域D中不同的点，级数 不同的值。
数学物理方法
§3.2泰勒级数展开
Taylor定理
设函数 f(z)以z0的领域U(z0,R)中解析，那么f(z)在该 领域中可展开为如下幂级数：
f ( z ) ak ( z z 0 )
k 0
k