复变函数项级数word版
§4.2 复变函数项级数
教学目的:1.理解复变函数项级数收敛的概念,掌握其收敛的常用
判别法,以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质. 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3.掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性,能灵活正确求出所给级
数的收敛半径;能用
1
(1)1n n z z z ∞
==<-∑将简单函数表示为级数.
教学重点:掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法;能用间
接法和
01
(1)1n n z z z ∞
==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点:正确利用
1
(1)1n n z z z ∞
==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合 教学过程:
§4.2.1 复变函数项级数
设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,(书上为其中各项在区域D 内有定义,)则式子: 12()()()n f z f z f z ++++
称
为E 上的复函数项级数,记为
1
()n
n f
z ∞
=∑.
【定义】※设1
()n
n f
z ∞
=∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E
上
的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()()
n n S z S z →∞
=存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数
1
()n
n f
z ∞
=∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称
1
()n
n f
z ∞
=∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1
()n n f z ∞
=∑在E 上的
和函数.记为1
()()n
n S z f
z ∞
==
∑或者()lim ()n n S z S z →∞
=, {}()n S z 称为
1
()n
n f
z ∞
=∑的部分和函数列.
§4.2.2 幂级数
1.【幂级数的定义】通常把形如:
20
010200
()
()()n
n
n C z z C C z z C z z ∞
=-=+-+-∑
0()n n C z z +
+-+
的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,n C ,.和0
z 都
是复常数, 分别称为幂级数
()
n
n
n C z z ∞
=-∑的系数与中心点.
若00z =, 则幂级数0
()
n n
n C z z ∞
=-∑可简化为
n n
n c
z ∞
=∑(标准幂级
数).
显然, 通过作变换0z z ζ=-, 幂级数的上述两种形式可相互转化.
2. 阿贝尔(Abel )定理 对于幂级数
()
n
n
n C z z ∞
=-∑, 显然当0z z =时,它是收敛的.下面,
考虑当0z z ≠时, 它的敛散性. 【定理4.5】 (阿贝尔定理) 若
()
n
n
n C z z ∞
=-∑在某点10z z ≠收敛,
则它必在圆域010:K z z z z -<-内绝对收敛. 【推论】 若
()
n
n
n C z z ∞
=-∑在某点20z z ≠发散, 则它必在圆周
020:C z z z z -=-的外部发散.
分析: 此定理的证明与高数中的阿贝尔第一定理的证明方法类似. 关于(1)可用正项级数的比较法则证明; 关于(2)可利用反证法以及 (1)的结论证明.(如图4.7)
证明 (1)设z 是圆域010:K z z z z -<-内的任意一点, 由题设
1
00
()n n
n C z
z ∞
=-∑收敛知它的各项必有界, 即存在正数M , 使得
10()n n C z z M -≤
于是 000101010
()()()n
n n n
n n z z z z C z z C z z M z z z z ---=-≤--. 由010z z z z -<-知, 0
101z z z z -<- ,所以 0010
n
n z z M
z z ∞
=--∑收敛, 从而
1
00
()n n
n C z
z ∞
=-∑在圆域1:K z a z a -<-内绝对收敛.
(2) (反证法) 假设存在3z (3020z z z z ->-), 使得
3
00
()n
n
n C z
z ∞
=-∑收敛, 由(1)知00
()n n n C z z ∞
=-∑必在20z z ≠收敛,
这
与题设它在20z z ≠发散矛盾,
故
()
n
n
n C z z ∞
=-∑在圆周2:C z a z a -=-的外部发散.
根据定理1, 我们可把幂级数
()
n
n
n C z z ∞
=-∑分成三类:
Ⅰ. 对任意0z z ≠, 幂级数
()
n
n
n C z z ∞
=-∑都发散
(例如:1
1n
n n n
z ∞
=+
∑,由0z ≠,lim 0n n n n z →∞≠,它总是发散的);
Ⅱ. 对任意0z z ≠, 幂级数
()
n
n
n C z z ∞
=-∑都收敛
(例如:11n n n z n ∞
=+∑:11111
lim lim
11(1)n n n n
n C e R C n n
-+→∞→∞==?=++收敛); Ⅲ. 既存在0z z ≠使得
()
n
n
n C z z ∞
=-∑收敛, 也存在0z z ≠使得
()
n
n
n C z z ∞
=-∑发散. 对Ⅲ ,可以证明存在正数R
使得
()
n
n
n C z z ∞
=-∑在圆周0z z R -=内部绝对收敛, 而在它的外
部发散, 此时我们把这个正数
R 称为00()n n n C z z ∞
=-∑的收敛半径, 而圆域0z z R -<和圆周
0z z R -=分别称为00
()n n n C z z ∞
=-∑的收敛圆域和收敛圆周. 另外,
我们还规定: 对于Ⅰ, 0R =, 此时的收敛圆缩为一点0z ; 对于Ⅱ, R =+∞, 此时的收敛圆扩充成了整个复平面.显然, 由收敛半径的定义及规定: 任何幂级数的收敛半径都是存在的. 3.幂级数的收敛半径
由上面给出的收敛半径知,幂级数的敛散性基本上可由其收敛半径来确定. 下面, 我们给出收敛半径的计算公式. 【定理】(收敛半径的计算公式)若幂级数
()
n
n
n C z z ∞
=-∑的系数n
C 满足1
lim
n n n
C C λ+→∞
=(比值法) 或
n λ=(根值法)
则它的收敛半径 10;
;
0.
R λλλλ?<<+∞??
==+∞??+∞=??
.
证明 证明分三步:先证系数满足1
lim
n n n
C C λ+→∞
=时,公式成立. 因 1
1000()lim
()n n n
n n C z z z z C z z λ++→∞-=?--.
当0λ=时, 对任意z , 01z a λ?-=<. 由正项级数的达朗贝尔判别法,
()
n
n
n C z z ∞
=-∑绝对收敛, 所以它的收敛半径R =+∞.
当λ=+∞时, 对任意0z z ≠, 01z z λ?-=+∞>. 由正项级数的达朗贝尔判别法,
()
n
n
n C z z ∞
=-∑发散, 所以它的收敛半径
0R =.
当0λ<<+∞时, 对任意满足01
z z λ
-<
的z , 01z z λ?-<.
由正项级数的达朗贝尔判别法, 此时
()
n
n
n C z z ∞
=-∑绝对收敛, 而
对任意满足01
z z λ
->
的z , 01z z λ?->.
由正项级数的达朗贝尔判别法, 此时
()
n
n
n C z z ∞
=-∑发散,
所以它的收敛半径1
R λ
=
.
最后证系数满足n λ=时,公式成立.
例1 求幂级数20
1n
n n z
z z z ∞
==+++++
∑的收敛范围与和
函数.
解 级数的部分和为 1()(1)1n
n z S z z z
-=
≠- 当1z <时,因为 lim 0n
n z →∞
=, 1
lim ()(1)1n n S z z z
→∞
=
≠-, 此时幂级数收敛,且和函数为 1()1S z z
=
-. 当1z ≥时,因为 lim 0n
n z →∞
≠, 此时幂级数发散.
故由阿贝尔定理知 级数的收敛半径为1R =,且在1z <内
n
n z
∞
=∑收敛且绝对收敛;且有
20
111n n n z z z z z
∞
==+++
++
=
-∑. 例2 求下列幂级数的收敛半径,并讨论它们在收敛园上的敛散性
(1)0
n
n z ∞
=∑,(2)1n n z n ∞
=∑,(3)21n
n z n ∞
=∑
解: 对于这三个级数,都有 1
lim
11n n n
c R c +→∞
=?=, 0n
n z
∞
=∑在1z =上由于lim 0n
n z →∞
≠,故在1z =上级数处处发散.
1n
n z n
∞
=∑在1z =上的1z =-处收敛,在1z =处发散. 21
n
n z n ∞
=∑因为在1z =上处处绝对收敛,所以级数处处收敛.
例3 求幂级数0
(1)n
n z n ∞
=-∑的收敛半径:
解: 记1
n c n =
, 因为1lim lim 11
n n n n c n c n +→∞→∞==+, 所以收敛半径
1R =, 此时它的收敛圆为11z -=.
当0z =时,级数0
(1)n
n n ∞
=-∑为收敛的交错级数
当2z =时,级数
1
n n ∞
=∑为调和级数,发散,即级数在收敛圆上的情况较复杂.
例4:求下列幂级数的收敛半径 解 (1)
1
!n
n n z
∞
=?∑:
1(1)!
lim
lim lim(1)!
n n n n n c n n c n λ+→∞→∞→∞+===+=∞,
1!n
n n z
∞
=?∑收敛半径为0R =.
(2) 0
(1)!n
n z n ∞
=-∑:
记 1
!n c n =
, 因为11lim lim
01
n n n n c c n +→∞→∞==+,
所以0
(1)!n
n z n ∞
=-∑收敛半径R =+∞,
此时它的收敛圆为1z -<+∞, 即整个复平面. 级数在收敛园周上处处收敛,且绝对收敛. (3) 记 12n n c =
,
因为12
n n ==, 所以12
n
n n z ∞
=∑收敛半径2R =,
此时它的收敛圆为2z <,收敛圆周为2z =.
(4)21
1(1)n n
n z n ∞
=+∑:
因为1
lim(1)n
n n e n
λ→∞
==+=,
所以
21
1(1)n n n z n ∞
=+∑收敛半径为1R e =. (5)
1
(1)
n
n n i z ∞
=+∑:
因为n n λ===
所以
1
(1)n n n i z ∞
=+∑
收敛半径为R =
.
(6)
1i
n n
n e z
π
∞
=
∑:
因为1
n n
λ===,
所以
1
i
n
n
n
e z
π
∞
=
∑收敛半径为1
R=.
§4.2.3 幂级数和的几个性质
1.加减性:设有两个同类幂级数
()n
n
n
a z a
∞
=
-
∑和
()n
n
n
b z a
∞
=
-
∑,
其收敛半径分别为
1
R和
2
R,记
12
min{,}
R R R
=, 则在z a R
-<
内,
000
()()()()
n n n
n n n n
n n n
a z a
b z a a b z a
∞∞∞
===
-±-=±-
∑∑∑.
2.乘积性:设有两个同类幂级数
()n
n
n
a z a
∞
=
-
∑和
()n
n
n
b z a
∞
=
-
∑,
其收敛半径分别为
1
R和
2
R,记
12
min{,}
R R R
=,
则在z a R
-<内,
00
()()
n n
n n
n n
a z a
b z a
∞∞
==
-?-
∑∑
0110
()()n
n n n
n
a b a b a b z a
∞
-
=
=+++-
∑.
例4 设有幂级数
n n z ∞
=∑与01
(01)1n n
n z a a
∞
=<<+∑
, 求 级数01n n
n
n a z a
∞
=+∑的收敛半径. 提示:易验证幂级数
n n z ∞
=∑与01
(01)1n n
n z a a
∞
=<<+∑
的收敛半径均为 1.但级数01n n
n
n a z a
∞
=+∑的收敛半径为 1111
lim lim 1(1)n n n n n n
C a R C a a a ++→∞→∞+===>+.(注意三个级数的关系)
3. 连续性: 【定理】※设幂级数
()n n
n a
z a ∞
=-∑的收敛半径为0R >, 其和函数
为()f z , 则()f z 在其收敛圆:K z a R -<内也连续. 4. 逐项积分性 【定理4 】※设幂级数
()n n
n a
z a ∞
=-∑的收敛半径为0R >, 其和函
数为()f z , C 为其收敛圆:K z a R -<内任一条以a 为起点z 为 终点的简单曲线, 则
()()()z z
n n C
a
a
n f d f d a a d ζζζζζζ
∞
===-∑?
?
?
10()1
n n
n a z a n ∞
+==-+∑
.
幂级数逐项积分所得的级数仍为幂级数, 且它们的收敛半径相 同(从而收敛圆也相同) 在收敛圆内幂级数可以逐项积分任意次. 5 .和函数的解析性与逐项微分性 【定理5】※设幂级数
()n n
n c
z a ∞
=-∑的收敛半径为0R >, 其和函
数为()f z , 则
(1)()f z 在其收敛圆:K z a R -<内解析;
(2) ()f z 在其收敛圆:K z a R -<内可逐项求导至任意阶, 即
()1()!(1)2()p p p f z p c p p
c z a +=++-+
(1)
(1)()n p n n n n p c z a -+--+-+
(1p =, 2,
).
(3) ()
()
!
p p f
a c p =
, (0p =, 1, 2, )
结论:复合运算:如果当z r <时,0
()n
n n f z a z
∞
==
∑,又设在z R <
内,()g z 解析且满足()g z r <,那么当z R <时,
[()][()]n n n f g z a g z ∞
==∑.
此代换运算在函数展开为幂级数时有着广泛的应用.
例6 把函数 1z 表示成形如 0
(2)n
n n C z ∞
=-∑的幂级数.
解 1111
2
2(2)212
z z z ==?
-+---,由01(1)1n n z z z ∞
==<-∑知 当
2
12
z -<-时,有 2
12221222212
n
z z z z ---????
??=+++++ ? ? ?----??????
--,
故
()()()2231
1111122(1)2222
2n
n
n z z z z +=--+-++--+
且在
2
1222
z z --<-内级数收敛. 练习:
1. 求下列幂级数的收敛半径, 并指出各自的收敛圆和收敛圆周.
(1) 1n n z n ∞
=∑; (2)1(2)2n n
n n z ∞=-∑; (3)1
(1)n n
n n z ∞
=-∑; (4)
21
2(1)
n
n n z ∞
=-∑.
解 (1) 记1
n c n =
, 因为1lim lim
11
n n n n c n c n +→∞→∞==+, 所以收敛半径
1
11
R ==, 此时它的收敛圆为1z <, 收敛圆周为1z =.
(2) 记2n n n
c =
, 因为1111lim lim 22
n n n n c n c n +→∞→∞+=?=, 2R =, 此时它的收敛圆为22z -<, 收敛圆周为22z -=.
(3) 记n
n c n =,
因为lim n n n →∞
==+∞, 0R =,
此时它的收敛圆为空集, 收敛圆周为空集. (4) 记 0,212,
2n n k c k n k
=-?=?
=?, 因为
0,212n k n k
=-??=?=??,
从而1n =, 所以收敛半径1
11
R =
=, 此时它的收敛圆为 11z -<, 收敛圆周为11z -=.
小结:1.幂级数求收敛半径时,常用方法:通项比值法或根值法; 需注意的是:比值的顺序是有要求的,根值法要开n 次方.
即
11
lim
,,n n n n C R C λλλ
+→∞
===.
2.幂级数的性质对幂级数的相关运算及证明很重要,要注意性
质成立的条件.
易犯错误:利用比值法求收敛半径时,比值的顺序写颠倒,或忘了
加绝对值.利用根值法求收敛半径时 ,将根指数写为 2.
(注:本资料素材和资料部分来自网络,仅供参考。请预览后才下载,期待您的好评与关注!)
复变函数项级数
§4.2 复变函数项级数 教学目的:1.理解复变函数项级数收敛的概念,掌握其收敛的常用 判别法,以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质. 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3.掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性,能灵活正确求出所给级 数的收敛半径;能用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑将简单函数表示为级数. 教学重点:掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法;能用间 接法和 01 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点:正确利用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合 教学过程: §4.2.1 复变函数项级数 设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,(书上为其中各项在区域D 内有定义,)则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为 1 ()n n f z ∞ =∑. 【定义】※设1 ()n n f z ∞ =∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E
的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()() n n S z S z →∞ =存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数 1 ()n n f z ∞ =∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称 1 ()n n f z ∞ =∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1 ()n n f z ∞ =∑在E 上的 和函数.记为1 ()()n n S z f z ∞ == ∑或者()lim ()n n S z S z →∞ =, {}()n S z 称为 1 ()n n f z ∞ =∑的部分和函数列. §4.2.2 幂级数 1.【幂级数的定义】通常把形如: 20 010200 () ()()n n n C z z C C z z C z z ∞ =-=+-+-∑ 0()n n C z z ++-+L L 的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数 () n n n C z z ∞ =-∑的系数与中心点. 若00z =, 则幂级数0 () n n n C z z ∞ =-∑可简化为 n n n c z ∞ =∑(标准幂级
复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注:两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 )模:z = 2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3)()arg z 与arctan y x 之间的关系如下: 当0,x > arg arctan y z x =; 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? ?<=-??; 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。 5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法: 1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++; ()()()()112211112121221 2222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2)若12 1122,i i z z e z z e θ θ==, 则 () 1 21212i z z z z e θθ+=; ()1211 22 i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根
(完整版)【工程数学】复变函数复习重点
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示 1) 模:z = 2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数); 主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3)()arg z 与arctan y x 之间的关系如下: 当0,x > arg arctan y z x =; 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? ?<=-?? ; 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+” 5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法: 1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++; ()()()()112211112121221 2222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2)若1 2 1122,i i z z e z z e θθ==, 则()1 2 1212i z z z z e θθ+=; ()1211 22 i z z e z z θθ-=
【华南师范大学】复变函数(级数、留数)含答案
2011/2012学年(一)学期月考试卷 《复变函数》试卷参考答案 专业 电子信息工程 年级2010班级 姓名 学号 一、填空题(每小题3分,共15分): 1、设),2)(32(i i z +--=则arg z =8arctan -π 2、设C 为正向圆周2ξ=,3sin() () C f z d z π ζζζ=-?,其中2z <,则1'()f =i 32π 3、积分 ||7 11cos z z dz z =+=-? .12i π 解: 11cos z z +-在圆周7z =内部有三个孤立奇点1230,2,2z z z ππ===- 24222111111 11cos () 1(1)2!4!2!4! z z z z z z z z z z z ?++++= =?=?---++-+ 因为2 12!4! z -+ 为复平面内的收敛幂级数,和函数()z ?是解析的,并且在0z =处 不等于零,所以 1 () z ?在0z =处解析,可以展开为0z =处的泰勒级数。又因为它是偶函数,泰勒级数中必不含z 的奇次幂项,所以可以写成24242c z c z +++ ,故 242422221122(2)1cos z z c z c z c c z z z z z ++=?+++=++++- , 1Re [,0]21cos z s z +=- 242 22211111 (2)(2)1(2)1cos 1cos(2) (2)1[1]2!4!2!4! 1112(2)1(2)(2)(2)(2) z z z z z z z z z z z z z z z z ππππππππ?ππ?π++++== =? ---------++-++++-=?=?----
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今,级数的理论已经发展的相当丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用,级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 (一)、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列,则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数,简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L
函数的幂级数的展开与技巧
1引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位,在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数,因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况,我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开,几乎不用积分型余项来讨论,今天我们的研究中就有着充分的体现。 2 泰勒级数 泰勒定理指出:若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数,则 ()()()()() () 2 0' ' 00002! x x f x f x f x x x f x -= + -+ () () ()) 00(! n n n x x f x R x n -+++ , (1) 这里()x R n =()()n x x o 0-称为皮亚诺型余项。如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”,那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()() () 1 101 ()1! n n n R x f x x n ξ++= -+ (拉格朗日余项) ()() 1 (1) 001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- (柯西余项) ()() (1) 1! x n n x f t x t dt n += -? , (积分型余项) 如果在(1)中抹去余项()x R n ,那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。 如果 f 在0x x =处有任意阶的导数,这时称形式为: ()()()()() () () () 2 0000000"'2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++ -+ (2) 的级数为函数f 在0x 的泰勒级数,对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ,或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ,这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子:
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注:两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 )模:z = 2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3)()arg z 与arctan y x 之间的关系如下: 当0,x > arg arctan y z x =; 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? ?<=-?? ; 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。 5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法: 1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++; ()()()()112211112121221 2222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2)若1 2 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 1 21212i z z z z e θθ+=;
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今,级数的理论已经发展的相当丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用,级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 (一)、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列,则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数,简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
幂级数求和函数方法概括与汇总
幂级数求和函数方法概括与汇总
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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今,级数的理论已经发展的相当丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用,级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 (一)、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列,则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数,简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今,级数的理论已经发展的相当丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用,级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 (一)、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列,则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数,简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
函数的幂级数展开
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1. 教学内容 函数的幂级数(Taylor 级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一,也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法,比较它们的优缺点,使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上,掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数,提高学生的计算与运算能力。 2.指导思想 (1)函数的幂级数(Taylor 级数)展开作为一个强有力的数学工具,在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论,而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法,这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论,但在实际计算中,即使对于一个很简单的函数,在求它的幂级数展开时也会感到很困难,这种状况必须加以改变。 (2)求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题,虽然我们有函数的幂级数展,但一般来说,直接利用(*)式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法,提高学生的实际计算能力, 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数: (*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。
复变函数级数泰勒级数和洛朗级数孤立奇点的分类本章讨论
第四章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类 本章讨论解析函数的级数性质,先介绍复变函数级数的基本概念特别是幂级数的有关概念;然后讨论解析函数展开为泰勒级数和洛朗级数的问题;最后讨论单值函数孤立奇点的分类这也是为第五章讨论定积分的计算作准备。 §4.1 复变函数级数和解析函数级数 复变函数级数的基本概念有很多地方与实变函数级数相同,这里仅作扼要的介绍,其中有关定理将不予证明。 一个复变函数级数 ∑∞ ==++++121)()()()(k k k z u z u z u z u (4.1) 如果它的部分和 ∑∞ ==1)()(k k n z u z S (4.2) 的极限)(lim z S n n ∞ →在一点z 存在,则称级数(3.1)在z 点收敛,而这个极限为级数在z 点的和;否则称级数在z 点发散。由于 )(Im )(Re )(z u i z u z u k k k += ),2,1( =k ,所以级数(3.1)的收敛和发散 问题就归结为两个实变函数级数∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞ =1 )(Im k k z u 的收敛和发散 问题;在一点z ,若∑∞ =1 )(Re k k z u 和∑∞ =1 )(Im k k z u 都收敛,则级数(3.1)在 此点收敛;若∑∞=1 )(Re k k z u 和∑∞ =1 )(Im k k z u 至少有一个发散,则级数(4.1) 在此点发散。 级数(4.1)收敛的必要条件是 0)(lim =∞ →z u n n (4.3) (4.1)式收敛的充要条件是:任意给定一个小的数ε>0,总存在充
分大的正整数N ,使当n>N 时,对于任何自然数p ,恒有 1|()()||()|p n p n n k k S z S z u z ε++=-=<∑ (4.4) 这称为柯西收敛判据。 如果级数 1|()|k k u z ∞ =∑ (4.5) 在z 点收敛,则称级数(4.1)在此点绝对收敛。设()(1,2,3,)k u z k =…定义在区域D(或曲线l)上,如果任意给定0ε>,存在与z 无关的正整数N ,使当n>N 时,对于任何自然数p ,(4.4)式恒成立,则称级数(4.1)在D (或l )上一致收敛。 现将复变函数级数的一些基本性质列于下,证明从略。 定理一 如果级数1()k k u z ∞ =∑是绝对收敛的,则级数收敛。 定理二 如果级数1 ()()k k u z U z ∞==∑和1 ()()l l v z V z ∞ ==∑都是绝对收敛 的,则它们的乘积 1 1 ,1 1112211322311211()()()() k l k l k l k l n n n u z z u z z u u u u u u u u u υυυυυυυυυυυ∞∞∞ ===-==++++++ +++++ ∑∑∑ (4.6) 也是绝对收敛的,级数(4.6)的和是u υ,它与(4.6)式中各项的排列次序无关。 定理三 如果()(1,2,3,)k u z k =在区域D 内是连续的,且1()k k u z ∞ =∑在 D 内一致收敛,则级数的和在D 内也是连续的。 定理四 如果()(1,2,3,)k u z k =在曲线l 上是连续的,且1()k k u z ∞ =∑在 l 上一致收敛,则级数的和S (z )在l 上也是连续的,而且有
(完整版)复变函数经典例题
第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线? (1)以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧; (2)倾角的直线; (3)双曲线。 解设,则 因此 (1)在平面上对应的图形为:以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周。(2)在平面上对应的图形为:射线。 (3)因,故,在平面上对应的图形为:直线。 例1.2设在点连续,且,则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续,则,只要,就有 特别,取,则由上面的不等式得 因此,在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限,从而在原点不连续。
证令变点,则 从而(沿正实轴) 而沿第一象限的平分角线,时,。 故在原点无确定的极限,从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时,极限不存在。因取实数趋于0时,起极限为1,取纯虚数而趋于零时,其极限为-1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件,但在不可微。 证因。故 但
在时无极限,这是因让沿射线随 而趋于零,即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立,必有,故只在可微,从而,处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立,必有,故只在直线上可微,从而,处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性,并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件,从而在平面上处处可微,也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且,试求之值。 解设,则
由代入得 解得:,从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解(a)作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子,发生了变化,可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0,1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0,1的简
学复变函数课件-洛朗级数
学复变函数课件-洛朗级数 洛朗级数第一节洛朗展式双边幂级数设级数()它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数; 考虑函数项级数()作代换则()即为,它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数,从而()在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数; 当且仅当时,()()有共同的收敛区域,此时,称为双边幂级数。 关于双边幂级数的性质,见p185 定理定理1 (洛朗定理)设函数f(z)在圆环:内解析,那么在H内其中,是圆是一个满足的任何数,并且展式是唯一的。 证明:,作圆周和使含于圆环内,于是在圆环内解析。由柯西积分公式,其中现考虑而沿,,(在上一致收敛)由于函数沿有界,所以故当:,其中展式的唯一性:设任意取某正整数,在上有界,,故,展式唯一。 注解:我们称为f(z)的解析部分,而称为其主要部分。 例1、求函数分别在圆环1|z|2及内的洛朗级数式。 解:如果1|z|2,那么利用当时的幂级数展式我们得如果,那么同样,我们有例2、及在内的洛朗级数展式是: 例3、在内的洛朗级数展式是: 。 例4、求函数在圆环1|z|3内的洛朗级数展式。 解:由于1|z|3,那么利用当时的幂级数展式我们得,而所以,有第二节解析函数的孤立奇点1.解析函数的孤立奇点的定义设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析,那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内,f(z)有洛朗展式其中是圆。 例如,0是的孤立奇点。
一般地,对于上述函数f(z),按照它的洛朗展式中含负幂的情况(主要部分的情况),可以把孤立奇点分类如下: ⑴如果在的主要部分为,那么我们说是f(z)的可去奇点,这时因为令,就得到在整个圆盘内的解析函数f(z); ⑵如果在的主要部分是有限多项:我们称是f(z)的阶极点; ⑶如果在的主要部分是无限多项,我们称是f(z)的本性奇点。 例如,0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。 2.孤立奇点的判定定理1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是: ,其中是一个复数。 证明:(必要性)。由假设,在内,f(z)有洛朗级数展式: 因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R,所以它的和函数在内解析,于是显然存在着。 (充分性)。设在内,f(z)的洛朗级数展式是由假设,存在着两个正数M及,使得在内,那么取,使得,我们有当n=-1,-2,-3,…时,在上式中令趋近于0,就得到。于是是f(z)的可去奇点。 推论1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是:存在着某一个正数,使得f(z)在内有界。 下面研究极点的特征。 设函数f(z)在内解析,是f(z)的阶极点,那么在内,f(z)有洛朗展式: 在这里则在这里是一个在内解析的函数,并且。反之,如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状,而是一个在内解析的函数,并且,那么可以推出是f(z)的m阶极点。 定理2 是f(z)的极点的必要与充分条件是:。 证明:必要性是显然的,我们只证明充分性。在定理的假设下,存在着某个正数,使得在内,,于是在内解析,不等于零,而且。因此是F(z)的一个可去奇点,从而在内,有洛朗级数展式: 我们有。由于在内,,可以设。由此得,其中在内解析,并且不等
高等数学复变函数与积分变换第五章 洛朗级数
第五章 洛朗级数 第一节 洛朗展式 双边幂级数 设级数()()() +-++-+=-∑∞ =n n n n n a z c a z c c a z c 100 (1*) 它在收敛圆R a z <-)0(+∞≤ ,)()(∑+∞ -∞ =-= n n n a z c z f 其中, ,...)2,1,0(,) () (211±±=-= ?+τζζζπn d a f i c n n τ是圆ρρ,||=-a z 是一个满足R r <<ρ的任何数,并且展式是唯一的。 证明:H z ∈?,作圆周11:ρτ=-a z 和22:ρτ=-a z 使z 含于圆环 21':ρρ<-