复变函数泰勒级数展开
复变函数 级数
+∞ ( zi ) n +∞ ( − zi ) n 1 = ∑ −∑ 2i n = 0 n! n! n=0
1 +∞ 2i 2 k −1 z 2 k −1 +∞ ( −1) k −1 z 2 k −1 = ∑ =∑ 2 i k =1 ( 2k − 1)!! k =1 ( 2k − 1)!! z z z ( − 1) z ∴ sin z = z − + − + L = ∑ 3! 5! 7! k = 1 ( 2 k − 1)! !
定理（泰勒展开定理） 定理（泰勒展开定理） 设 f ( z )在区域 D 内解析 , z 0 ∈ D , R 为 z 0 到 D 的边界
上各点的最短距离 f (z) =
∞
⇒ 当 z − z0 < R时 , (1 )
f ( z )在 z 0处 的 Taylor 级数
cn ( z − z0 )n ∑
n=0 (n)
( z − z0 )n + 2π i
f ( n ) ( z0 ) ( z − z0 ) n + L (4) = f ( z0 ) + f ' ( z0 ) + L + n! − −函数 f ( z )在 z 0处的 Talor 级数
为中心， 级数 ( 4 )的收敛范围是以 z 0为中心， r为半径 的圆域 ζ − z 0 < r ,圆 k的半径 r可以任意增大 , 只要圆 k及其内部包含在 D内即可 ,∴ f ( z )在 解析点 z 0处的 Taylor 级数收敛半径至少等于 从 z 0到 D的边界上各点的最短距 离.证毕 !
(不讲 两端乘以 f (ζ ) , 沿着 k逐项积分得 , 不讲) 不讲 2π i 1 f (ζ ) 1 f (ζ ) f (z) = ∫k ζ − z dζ = 2πi ∫k ζ − z0 dζ 2π i
复变函数泰勒级数和幂级数关系
复变函数泰勒级数和幂级数关系
复变函数泰勒级数和幂级数关系两者的思路想法是一致的，都是想用多项式函数来表示一个函数。
区别在于，泰勒展开是有限个幂函数之和再加一个拉格朗日余项，而幂级数是函数项级数，是无数个幂函数之和。
一个函数能否在某个区间展开成幂级数等价于，其泰勒展开的拉格朗日余项在这个区域内是否趋于零。
所以只要满足泰勒展开条件的函数都可以进行泰勒展开，并且保证两者是等价的。
但是由于不能保证其拉格朗日余项在n趋于无穷的时候一定趋于零，所以也就是说不能保证满足任意阶可导的函数一定能被幂级数表示。
这就是两者的联系和区别。
（这是我个人理解，可以去参考任意一本数学分析书上幂级数展开的证明过程）。
泰勒极数
2
i
f
(
(
) z0
)n1
(
z
z0
)n
f ( )
2 z0
n
z z0
z0
M
2
r
z z0 r
n
M qn,
2 r
其中,
q
z z0 r
1.
可知在C上是一致收敛
前面积分号下的级数可在C上逐项积分.
再根据 Cauchy导数公式
f (z)
1
2 i
c
定理f2.(6 n0 ( z0
2!
n!
并且收>>敛ta半yl径or(fR,z) %展. 开的默认值是6项
ans =
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.
间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
负实轴>>向sy左m的s z射; 线的区域内解析.
>> f=log(1+z);
y
因为
>> taylor(f)
R1
lna(n1s=z) 1 ,
1 z
1 o 1
x
z-1/2*z^2+1/3*z^3-1/4*z^4+1/5*z^5
1 1 z z2 (1)n zn
z 1 ,
1 z
所以
ln(1 z)
z 1 ,
1 z
逐项求导，得
1
(1 z)2
1 2z
3z2
(1)n(n 1)zn
z 1 .
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式
实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式【实验目的】1、熟悉Matlab运行环境，会在窗口操作和运行一些命令2、掌握求复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令3、熟练在计算机上操作复变函数极限、微分、积分、留数以及泰勒级数命令【实验仪器】一台电脑，要求安装matlab 软件【实验内容】MATLAB实现内容1、MATLAB求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式【实验步骤】1．打开matlab桌面和命令窗口，方式一，双击桌面快捷方式，方法二，程序里单击matlab图标，方式三，找到matlab文件夹，双击图标2．在matlab命令窗口输入命令3．运行，可以直接回车键，F5键【注意事项】1．命令的输入要细心认真，不能出错2．尤其是分号，逗号等符号的区别3. 注意数学上的运算和matlab中的不同，尤其是括号【实验操作内容】以下的例题都是在命令窗口输入源程序，然后运行，或回车就可以得到结果。
1、MATLAB 求复变函数极限用函数limit 求复变函数极限【Matlab 源程序】syms zf=;limit(f,z,z0) 返回极限结果例 1 求 在 的极限 解 【Matlab 源程序】syms zf=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(12、 MATLAB 求复变函数微分用函数diff 求复变函数极限【Matlab 源程序】zz z f sin )(=i z +=1,0f=（）;diff(f,z) 返回微分结果解 syms zf=exp(z)/((1+z)*(sin(z)));diff(f)ans =exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)3、 MATLAB 求复变函数积分用函数int 求解非闭合路径的积分.【Matlab 源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b) 返回积分结果解 syms zx1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：例 3 求积分 π60i i 0x1=ch3zdz; x2(1)d z z e z -=-⎰⎰例2 设()()z f z z e z f z'+=求,sin 1)(x2 = -i/exp(i)4、 MATLAB 求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式用函数residue 求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数【Matlab 源程序】[R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点说明：向量B 为f(z)的分子系数；向量A 为f(z)的分母系数；向量R 为留数；向量P 为极点位置；向量k 为直接项:例4 求函数 在奇点处的留数． 解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1])结果为：R= 2P = -1K = 1 -15、MATLAB 求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数taylor 求f(z)泰勒级数展开式【Matlab 源程序】112++z zf=Taylor(f,z0) 返回f(z)在点z0泰勒级数展开式例5 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项syms z a b;f=1/(z-b);taylor(f,z,a,4)ans =1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2-1/(a-b)^4*(z-a)^3（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数展开式.【Matlab源程序】syms x y; f=();F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,m) 返回在(0,0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=x0,y=y0]’,m) 返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,m) 返回对单变量在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.例6 求函数222==-z f x y x x e---(,)(2)x y xy在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式．【Matlab源程序】syms x y;f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4)在(0,0)点处的泰勒级数展开式：ans =-2*x+x^2+2*x^3+2*y*x^2+2*y^2*xmaple(‘mtaylor’,f,‘[x=1,y=a]’,2)在(1,a)点处的泰勒级数展开式：ans =-exp(-1-a-a^2)-exp(-1-a-a^2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a^2)*(-2*a-1)*(y-a)maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,2) 在x=a处泰勒级数展开式：ans =(a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)+((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)。
复变函数泰勒级数展开
理论意义
泰勒级数展开是复分析中的重要工具，它为研究函数的性 质提供了理论基础，有助于深入理解函数的性质和行为。
应用价值
泰勒级数展开在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 ，例如在信号处理、控制系统、量子力学等领域，泰勒级数展 开都发挥了关键作用。
指数函数e^z的泰勒级数展开
总结词
指数函数e^z在复平面上的泰勒级数展开 式为无限和的形式，可以表示为幂级数 的和。
VS
详细描述
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...，其中z为复数，n!表示n的阶 乘。这个级数是无限和的形式，可以用于 近似计算e^z的值。
对数学发展的推动
泰勒级数展开的发现和证明对数学的发展产生了深远的影响， 它不仅推动了复分析的兴起和发展，还为数学的其他分支提供 了新的思路和方法。
对未来研究的展望
深入研究泰勒级数展开的性质和特性
尽管泰勒级数展开已经得到了广泛的研究和应用，但关于其性质和特性的研究仍有许多值得深入探讨的问题，例如高 阶泰勒级数展开、非标准泰勒级数展开等。
值，并帮助理解函数的性质和行为。
04
泰勒级数展开的应用
在微积分中的应用
函数逼近
泰勒级数展开可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函 数表示为简单的多项式之和，可以更好地理解和分析函数 的性质。
无穷级数求和
泰勒级数展开可以用来求无穷级数的和，这对于解决一些 数学问题非常有用，例如求定积分等。
数值分析
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
泰勒级数与洛朗级数是两种常见的复变量函数级数求解方法，它们在日常生活
中有着广泛的应用。
两者之间有着着明显的区别和联系。
首先，从理论上来说，泰勒级数和洛朗级数之间有着显著的区别。
泰勒级数是
基于泰勒展开，可以采用数学递推的方式推出各系数，可以比较准确求出复变量函数的近似值；而洛朗级数则是基于洛朗展开，它以hessenberg行列式的方式利用
级数法进行估算导数，求出复变量函数的近似值。
其次，从实践应用上来说，两者之间也有着一定的联系。
尽管泰勒级数和洛朗
级数有着不同的理论基础，它们都在日常的数学中可以得到实际的应用。
例如，当求解相对较为简单的复变量函数时，通常可以采用泰勒级数，以较快的速度准确求解此函数；当复变量函数本身比较复杂时，可以采用洛朗级数，以较慢的速度求解，但是更精确。
总之，泰勒级数和洛朗级数都在日常的数学应用中占据了重要的地位，它们既
有着明显的区别，又有着紧密的联系，是复变量函数求解的重要方法。
大学物理2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
2. 将有理式分解为部分分式，再按 3. 利用两个绝对收敛级数的乘积。 4. 利用逐项求导或逐项积分。
展开。
例子：将
以 z = 0 中心展开成幂级数。
分析：展开中心 z = 0 不是 f (z) 的奇点，奇点为 –1、2。
解：
的三个解析区域 |z| < 1, 1< |z| <2, 2 < |z| <∞
2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
泰勒级数：在一个圆域内展开 收敛半径 R：若 R = 0，函数只在该点解析；若 R 为有限值， 函数在某一圆内解析； 若 R = ，函数在全平面解析。 例如：f (z) = 1/(1– z) 只能在 |z| < 1 展开成泰勒级数，因为
z = 1 是函数的奇点，不能在全平面把它展开成泰勒 级数，但是在 |z| > 1 区域，它又是解析的，那么能 否在 |z| > 1 的区域把 f (z) 展开成级数呢？
Jm (t)
l0
(1)l m
l !(l
1
( t )m2l m)! 2
(1)m Jm (t) (m 0,1, 2, )
Jn (t) 称为 n 阶贝塞尔函数 (参看§9-1)。
例：以 z = 0 为中心在 1 < |z| < 展开 解：
展开中心为 z = 0，故只需展开
[分子已为 z =(z–0)1 ]
有
第二个积分中： | b| < |z b|
令 –(n+1) = k，则 n = 0 时：k = –1；n = 时： k = – 上式变为：
其中：
说明：
(1) 洛朗级数中 ak 积分表达式与泰勒系数形式相同，但洛朗 系数无微分形式。因为：高阶导数公式要求 f (z) 解析才 成立。但在此 f (z) 仅在 R2 < | z – b | < R1 区域内解析；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n 0
f ( n ) (0) n z 称为麦克劳林 n!
【证明】 设函数 f ( z ) 在区域 D：
z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为 中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
z z0
C
R
由柯西积分公式知 1 f ( ) f ( z) d 2πi C z
1 因为 ln(1 z ) (1)n z n , ( z 1), 1 z n 0
所以
z 1 ln(1 z ) dz (1) n z n dz 0 1 z 0 n 0 z
z (1) , z 1 n 1 n 0
n
n
z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ，在 | z | 1 ( z 1)( z 2)
内展开成幂级数 .
解：
z 1 2 f ( z) ( z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z n ( z / 2) n 1 z 1 z / 2 n 0 n 0 1 n (1 n ) z 2 n 0
' 解： 函数 f1 ( z) sin z 的前四阶导数分别为 f1 ( z) cos z
f1'' ( z) sin z f1(3) ( z) cos z
f1(4) ( z) sin z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
'' f f (0) 1 且在 z0 0 有 1 (0) 0
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
f ( z ) an ( z z0 ) n
n 0
(3.3.3)
其中
1 an 2πi f ( n ) ( z0 ) f ( )d C ( z0 )n1 n! (0,1, 2, )
(3.3.4)
这样便得到了 f ( z ) 在圆 | z z0 | R 内的幂级数展 开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方 ( n) 法，即求出 f ( z0 ) 代入即可，这种方法称 为直接展开法 .
例3.3.1 在 z0 0 的邻域上把
f ( z) ez 展开。
(k ) z z f ( z ) e f ( z ) e 解：函数 的各阶导数 而
k 0
z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ，在 | z | 1 ( z 1)( z 2)
解：
内展开成幂级数 .
z 1 2 f ( z) ( z 1)( z 2) z 1 z 2
第二式中令 z
2t 即可
z 例 3.3.7 将函数 f ( z ) ，在 | z 1| 2 z 1
2 m 1 z (1) m (2m 1)!
2 m 1 z (1) m (2m 1)! m0
例 3.3.5 将函数 f ( z ) ln(1 z ) 在
z0 0 处展开成幂级数.
解 : 我们知道， ln(1 z) 在从 1 向左沿负实轴剪开的平面内 是解析的，而 1 是它的一个奇点，所以它在 z 1 内可以展 开成 z 的幂级数.
f ( k ) ( z0 ) f ( k ) (0) 1
z f ( z ) e 故 在 z0 0 领域上的泰勒级数写为
2 3 z z z ez 1 1! 2! 3!
易求收敛半径无限大
例3.3.2 在 z0 0 的邻域把 f1 ( z) sin z 和 f2 ( z) cos z 展开。
1 f '( z ) z
f ''( z ) 1! z2
f '(1) 1
f ''( z) 1!
f (3) ( z )
2! z3
f (3) ( z) 2!
……
于是可写成 z0 1 在邻域上的泰勒级数
1 1! 2! 2 ln z ln1 ( z 1) ( z 1) ( z 1)3 1! 2! 3! 2 3 4 ( z 1) ( z 1) ( z 1) n2 i ( z 1) 2 3 4
1 z n , z 1; 1 z n 0 1 n n (1) z , z 1; 1 z n 0
(3.3.7) (3.3.8) (3.3.9)
n z z e , z ; n 0 n ! (1)n z 2 n1 sin z , n 0 (2n 1)!
(3.3.2)
其中z在C的内部,，而 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z z0
从而
z0
z z0 1 z0
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 z z0 z0
1 z n , (| z | 1) 1 z n 0
正整数）。 解：先计算展开系数
f ( z) (1 z)
m
f (0) 1m
f '( z) m(1 z)
m1
m 2
f '(0) m1m
f ''(0) m(m 1)1m
f ''( z) m(m 1)(1 z)
f (3) ( z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3
因为
根据
2 ( z z )n z z0 z z0 1 1 0 1 n 1 z z0 z0 z0 ( z ) 0 n 0
以此代入(3.3.2)，并把它写成 1 f ( )d n f ( z) ( z z ) 0 C ( z ) n 1 2 i n 0 0
……
m m
f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m
m m m(m 1) m 2 (1 z ) 1 1 z 1 z 1! 2! m(m 1)(m 2) m 3 1 z 3!
易求其收敛半径为1，故
m m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 (1 z ) 1 {1 z z z }, ( z 1) 1! 2! 3!
可以求得上式的收敛半径为1。因此
( z 1) ( z 1) ln z n2 i ( z 1) 2 3
2 3
( z 1)
上式n＝0的那一个单值分支叫作 ln z 的主值。
m f ( z ) (1 z ) 例3.3.3 在 z0 0 的邻域把 展开（m不是
' 1
f1(3) (0) 1
f1(4) (0) 0
故有
z z z z sin z 1! 3! 5! 7!
3
5
7
同样的方法，可求得 cos z 在 z0 0 邻域上的泰勒级数
z z z cos z 1 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
m m
式中 1m (ei 2n )m ei 2nm 在许多的单值分支中，n＝0那一支即 1 1的那一个叫 作 (1 z)m 的主值。上式也就是指数为非整数的二项式 定理。
m
( n) f ( z0 ) 比较麻烦。根据泰勒展式 f ( z ) 二、当 较复杂时，求
的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及 幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展 开成幂级数，基本展开公式如下：
2
4
6
例3.3.3 在 z0 1 的邻域把 f ( z) ln z
展开。
解：多值函数 f ( z ) ln z 的支点在 z 0, z 现在展开中心 z0 1 并非支点，在它的邻域上，各个单 值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数 f ( z) ln z f (1) ln1 n2 i
补充 泰勒展开的方法
1、替换法 z 1 例 将函数 f ( z ) 3 ，以为 z 1 中心展开为幂
z
级数 .
解：令 z 1 即
z 1 2 3 3 z (1 )
m m k (1 z ) a 利用 k z 得到 k 0
(1 ) 3 ak3 ( ) k
f ( z ) an ( z z0 )n ,
n 0
(| z z0 | R)
(3.3.1)
1 其中 an 2 i
f ( n ) ( z0 ) f ( )d C ( z0 )n1 n!
(n 0,1, 2, ) ,
且展式是唯一的。
特别地，当 z0 0 时，级数 级数。
假设 f ( z ) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f ( z ) bn ( z z0 )
n 0
n
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
f n ( z0 ) bn an , (n 0,1, 2, ) n!
故展开式系数是唯一的。
(3.3.6)
(1)n1nz n1 , z 1
n 0
z 例 3.3.7 将函数 f ( z ) ，在 | z 1| 2 z 1
内展开成幂级数 . z 1 解： f ( z ) 1 z 1 1 z
1 1 ( z 1) 2