4-2函数展开成泰勒级数
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中一个非常重要的概念，它可以用来将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。
这种展开式在数学和物理学中有着广泛的应用，可以用来近似计算函数在某一点的取值，也可以用来推导一些复杂的数学关系。
在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念，并给出一些常见函数的泰勒展开式，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
泰勒公式的基本形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(x) \) 是要展开的函数，\( a \) 是展开点，\( f'(a) \)、\( f''(a) \)、\( f'''(a) \) 分别是函数在点\( a \)处的一阶、二阶、三阶导数。
展开式右侧的无穷级数部分则是函数在点\( a \)处的泰勒展开式。
接下来，我们将给出一些常见函数的泰勒展开式。
1. 指数函数\( e^x \)的泰勒展开式：\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]2. 三角函数\( \sin x \)的泰勒展开式：\[ \sin x = x \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \frac{x^7}{7!} + \cdots \]3. 对数函数\( \ln(1+x) \)的泰勒展开式：\[ \ln(1+x) = x \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \frac{x^4}{4} + \cdots \]4. 余弦函数\( \cos x \)的泰勒展开式：\[ \cos x = 1 \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \frac{x^6}{6!} + \cdots \]以上是一些常见函数在零点处的泰勒展开式，通过这些展开式，我们可以近似计算这些函数在零点附近的取值。
函数展开为泰勒级数
函数展开为泰勒级数设函数00()()nn n f x a x x ∞==−∑，0x x R −<，已知右端求左端，这是幂级数求和，已知左端求右端，这是求函数的幂级数展开式，除按定义之外，它们的方法是相同的。
一、 泰勒级数与迈克劳林级数：设函数()f x 在点的某一临域内具有任意阶导数，则级数： 0x ()00020000()30000()()!()()()()()1!2!()()()()3!!n n n n n f x x x n f x f x f x x x x x f x f x x x x x n ∞=−′′′=+−+−′′′+−+⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅∑0 称为函数()f x 在点的泰勒（Taylor ）级数。
0x 特别的，如果，上式变成迈克劳林(Maclaurin)级数: 00x =2()3()0(0)(0)(0)()()1!2!(0)(0)()()3(!0)()!!n n n n n f f f f x x f f x x n n x ∞=′′′=++′′′++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ 此时，这个级数的敛散性不明确。
二、 函数展开称幂级数的条件：定理1：设函数()f x 在点0x 的某一临域内具有各阶导数，则函数0()U x ()f x 在该邻域内能展开称泰勒级数的充分必要条件是函数()f x 的泰勒公式的余项()n x R 当n 时的极限为0.即： →∞()0lim n n R x →∞=三、 直接法把函数展开成幂级数的步骤：第一.步： 求出 ()f x 的各阶导数()f x ′，()f x ′′，……()()n f x …… 如果在X=0处导数不存在，就停止进行。
第二.步： 求出函数及其各阶导数在X=0处的值，即： (0)f ′，，…………(0)f ′′()(0)n f 第三.步： 写出幂级数: 2()3(0)(0)(0)()()1!2!(0)(0)()()3!!n n f f f x x f f x x n ′′′++′′′++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 并求出 收敛半径R 。
八个泰勒公式展开式
八个泰勒公式展开式泰勒公式是数学中一种用幂级数来表示一个函数的展开式的方法。
它利用函数在一些特定点的一阶、二阶、三阶……导数值来逼近函数在该点附近的近似值。
下面将介绍八个常用的泰勒公式展开式。
1.一阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)这个展开式是最简单的泰勒公式展开式，它将函数在点a的一阶导数值f'(a)和函数在点a的函数值f(a)结合起来来逼近函数在点x的值f(x)。
2.二阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2这个展开式在一阶泰勒公式展开式的基础上加上了函数在点a的二阶导数值f''(a)和(x-a)^2项，用来更精确地逼近函数在点x的值f(x)。
3.三阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2+(1/6)f'''(a)(x-a)^3这个展开式在二阶泰勒公式展开式的基础上加上了函数在点a的三阶导数值f'''(a)和(x-a)^3项，用来更加精确地逼近函数在点x的值f(x)。
4.四阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2+(1/6)f'''(a)(x-a)^3+(1/24)f''''(a)(x-a)^4导数值f''''(a)和(x-a)^4项，进一步提高了精确度。
5.五阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2+(1/6)f'''(a)(x-a)^3+(1/24)f''''(a)(x-a)^4+(1/120)f'''''(a)(x-a)^5这个展开式在四阶泰勒公式展开式的基础上加上了函数在点a的五阶导数值f'''''(a)和(x-a)^5项。
10个最常见的泰勒级数展开
10个最常见的泰勒级数展开泰勒级数展开是一种重要的数学工具，广泛应用于多个科学领域。
泰勒级数展开可以将一个函数表示为无限级数的形式，并且可以通过截取有限项来近似计算函数的值。
在实际应用中，有一些函数的泰勒级数展开具有特殊的形式，它们更易于计算和应用。
下面将介绍10个最常见的泰勒级数展开。
1. 正弦函数的泰勒级数展开正弦函数的泰勒级数展开公式为：$$\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots $$利用这个展开式，我们可以计算任意角度的正弦值。
2. 余弦函数的泰勒级数展开余弦函数的泰勒级数展开公式为：$$\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$利用这个展开式，我们可以计算任意角度的余弦值。
3. 指数函数的泰勒级数展开指数函数的泰勒级数展开公式为：$$e^x =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$指数函数的泰勒级数展开具有简洁的形式，被广泛应用于概率论、统计学和物理学等领域。
4. 自然对数函数的泰勒级数展开自然对数函数的泰勒级数展开公式为：$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots$$这个展开式在概率论、统计学和计算机科学等领域中有广泛应用。
5. 正切函数的泰勒级数展开正切函数的泰勒级数展开公式为：$$\tan(x) =x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots+\frac{2^nB_ {2n}}{(2n)!}x^{2n-1}+\cdots$$其中，$B_{2n}$是伯努利数。
八个泰勒公式展开式
八个泰勒公式展开式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以用来将一个函数在某一点的附近展开成无穷级数的形式。
这个无穷级数可以用来近似计算函数的值，也可以用来研究函数在某一点的性质。
在本文中，我们将介绍八个常用的泰勒公式展开式，分别是正弦函数、余弦函数、指数函数、自然对数函数、正切函数、反正切函数、双曲正弦函数和双曲余弦函数。
一、正弦函数的泰勒公式展开式正弦函数的泰勒公式展开式如下：$$ sin x = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - frac{x^7}{7!} + cdots = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} $$ 这个公式告诉我们，任何一个实数 x 都可以用一个无穷级数来表示它的正弦函数值。
这个级数的每一项都是 x 的奇次幂除以对应的阶乘，而且每一项的符号都是交替的。
二、余弦函数的泰勒公式展开式余弦函数的泰勒公式展开式如下：$$ cos x = 1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - frac{x^6}{6!} + cdots = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} $$ 这个公式告诉我们，任何一个实数 x 都可以用一个无穷级数来表示它的余弦函数值。
这个级数的每一项都是 x 的偶次幂除以对应的阶乘，而且每一项的符号都是交替的。
三、指数函数的泰勒公式展开式指数函数的泰勒公式展开式如下：$$ e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots = sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} x^n $$这个公式告诉我们，任何一个实数 x 都可以用一个无穷级数来表示它的指数函数值。
这个级数的每一项都是 x 的 n 次幂除以 n的阶乘。
四、自然对数函数的泰勒公式展开式自然对数函数的泰勒公式展开式如下：$$ ln(1+x) = x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} - frac{x^4}{4} + cdots = sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n $$ 这个公式告诉我们，任何一个实数 x 都可以用一个无穷级数来表示它的自然对数函数值。
常见函数泰勒公式展开式大全
常见函数泰勒公式展开式大全函数的泰勒公式是数学中非常重要的工具之一。
它可以将一个函数在某一点附近展开成一列无穷级数，从而方便我们进行更深入的研究和计算。
在数学中，常见的函数泰勒公式展开式包括：1. 指数函数的泰勒展开式：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + ...2. 正余弦函数的泰勒展开式：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...3. 自然对数函数的泰勒展开式：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...4. 幂函数的泰勒展开式：(1+x)^n = 1 + nx + (n(n-1)x^2)/2! + (n(n-1)(n-2)x^3)/3! + ...5. 反正切函数的泰勒展开式：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...这些展开式在数学和工程领域中被广泛应用。
它们可以用于近似计算，求解微分方程，以及研究函数的性质和行为。
泰勒公式展开式的精确性取决于展开点的选择和展开的级数项的截断。
一般来说，如果函数在展开点附近具有光滑的性质，那么展开式的精度会更高。
但是，需要注意的是，展开式并不一定在整个定义域都收敛，所以在具体应用中需要注意选择合适的展开点和级数项截断。
总之，泰勒公式展开式是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解和研究各种函数。
熟练掌握这些常见函数的泰勒展开式，将有助于我们在数学和科学领域中进行更精确的计算和分析。
函数展开成幂级数泰勒公式
解 f ( x) sin x cos 2x 1[sin 3x sin x]
2 sin x x 1 x3 1 x5 (1)n
x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
1 ( 1)n (3 x)2n1 1 ( 1)n x2n1
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
4 2x 在 x 2 展开成 幂级数
经济数学
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法.
经济数学
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
经济数学
思考题解答
从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数 展开式的方法称之.
解:
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
x1
x1
2
4
1 (1)n (x 1)n
4 n0
2n
( x 1 2)
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
经济数学
思考： sin x 展开成 x 的幂级数
二、泰勒级数
上节例题 (1)n1 xn ln(1 x) (1 x 1)
泰勒级数与泰勒公式
泰勒级数与泰勒公式泰勒级数和泰勒公式是数学中重要的概念和工具。
它们为我们提供了一种将函数展开成无穷级数的方法，从而可以更好地理解和计算各种函数的性质。
本文将详细介绍泰勒级数和泰勒公式的定义、性质以及应用。
一、泰勒级数的定义与性质泰勒级数是将一个函数表示为无穷级数的形式，可以将它看作是一种近似表示。
设函数f(x)在某个区间上具有无穷次可导性质，那么它的泰勒级数可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f'(a)表示函数在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，依此类推。
泰勒级数的展开式是一个幂级数，它的收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式来确定。
泰勒级数可以近似表示原函数在给定点附近的行为，当x接近a时，级数会收敛于原函数。
泰勒级数的定义和性质使它成为许多数学和科学领域的重要工具。
通过不断增加级数的项数，我们可以得到更高阶的逼近，从而更加精确地计算函数的值和性质。
二、泰勒公式的推导与应用泰勒公式是由泰勒级数推导而来的一种函数逼近方法。
它在给定点附近用一个带有若干项的无穷级数表示函数。
根据泰勒级数的定义，我们可以得到泰勒公式的一般形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，Rn(x)表示泰勒级数的剩余项，它的具体形式为：Rn(x)=f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中，c是x和a之间的某一点。
当n趋向于无穷大时，剩余项Rn(x)趋向于零，此时泰勒公式成为一个精确的等式。
泰勒公式在数学分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
通过适当选择展开点a和项数n，我们可以用泰勒公式来近似计算函数值、求解微分方程、研究函数的性质等。
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讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n)( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
几个常见函数的麦克劳林级数
例1 将f ( x) e x展开成麦克劳林级数.
解 f (n)( x) e x , f (n)(0) 1. (n 0,1,2, )
ex 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
容易证明 lim e xn1 0
2
2
f (2n)(0) 0, f (2n1)(0) (1)n , (n 0,1,2, )
且 f (n)( x) sin( x n ) 1 x (,)
2
sin[ (n 1) ]
所以lim
2 xn1 0
n (n 1)!
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
例3 将f ( x) (1 x) ( R)展开成x的幂级数. 解 f (n)( x) ( 1) ( n 1)(1 x)n,
f (n)(0) ( 1) ( n 1), (n 0,1,2, )
1 x ( 1) x2 ( 1) ( n 1) xn
若这样的幂级数存n0在，则称 f ( x) 可以展
开成幂级数。
若 f ( x)在x0的某个邻域内有n 1阶导数，则
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
f (n1)( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1,其中介于x与x0之间.
2!
n!
lim an1 lim n 1,
n an
n n 1
R 1,
在(1,1)内, 若
s( x) 1 x ( 1) ( n 1) xn
n!
s( x) ( 1)x ( 1) ( n 1) xn1
(n 1)! xs( x) x ( 1)x2 ( 1) ( n 1) xn
s( x) 1 x
两边积分
x s( x) dx
0 s( x)
x
dx, 0 1 x
得 ln s( x) ln s(0) ln(1 x),
x (1,1)
即 ln s( x) ln(1 x) ,
s( x) (1 x) , x (1,1)
(1 x)
1 x ( 1) x2 ( 1) ( n 1) xn
2!
n!
x (1,1) 牛顿二项展开式
注意: 在x 1处收敛性与的取值有关.
1 收敛区间为(1,1); 1 1 收敛区间为(1,1];
1 收敛区间为[1,1].
0, x 0
在x=0点任意阶可导,
且 f (n)(0) 0 (n 0,1,2, )
f ( x)的麦氏级数为 0 xn
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0.
可见 除 x 0 外, f ( x) 的麦氏级数
处处不收敛于 f ( x).
定理1 设函数f ( x)在x0的某个邻域U ( x0 )有
逐项求导任意次,得
f ( x) a1 2a2( x x0 ) nan( x x0 )n1
f (n)( x) n!an (n 1)n 3 2an1( x x0 )
令 x x0, 即得
an
1 n!
f
(n)( x0 )
(n 0,1,2, )
泰勒系数是唯一的,
f ( x)的展开式是唯一的.
任意阶导数,则f ( x)在x x0处的泰勒级数
n0
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n收敛到f ( x）的充分必要
条件是f ( x)在x x0处泰勒公式中的余项
Rn( x)满足
证明 设
：lim n
Rn
(
x)
0。
Sn(x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x
x0 )
f (n)( x0 ) ( x n!
第2节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、 小结
一、泰勒级数
上节例题 (1)n1 xn ln(1 x) (1 x 1)
n1
n
解决的是已知幂级数，求其和函数。若
给定函数 f (x) ，是否存在幂级数，使其
在收敛域内以 f (x)为和函数？即
f ( x) an( x x0 )n
定理2 如果存在常数 M ,使得对( x0 R, x0 R) 中的所有 x 及一切自然数n ,都有
f (n)(x) M
则 f ( x)在( x0 R, x R0 )内可展开为泰勒级数.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
若上式中的 n 趋向于无穷，则我们得到
一个幂级数：
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f (n)( x0 ) ( x n!
x0
)n
（1）
（1）式称为函数 f ( x)在 x0 的泰勒级数。当 x0 0 时称（1）为 f (x) 的麦克劳林级数。
例如
f
(x)
e
1 x2
,
x0
n (n 1)!
e x 1 x 1 x2 1 xn (n 0,1,2, )
2!
n!
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
2!
n!
例2 将f ( x) sin x展开成x的幂级数.
解
f (n)( x) sin( x n ), f (n)(0) sin n ,
x0 )n
则
f ( x) Sn( x) Rn( x)
其中
Rn( x)
f (n1)( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1
,介于x与x0之间.
从而有 Rn( x) f ( x) Sn( x)
所以
Sn
(
x
)收敛f
(
x
)充要条件是lim n
Rn
(
x
)
0.
证毕。
注：Taylor展开式是唯一的。
若 f ( x) a0 a1( x x0 ) an( x x0 )n
(n 1)!
利用 (m 1) (m n 1) (m 1) (m n) m(m 1) (m n 1)
(n 1)!
n!
n!
(1 x)s( x)
2 x ( 1) x2 2( 1) ( n 1) xn1
2!
n!
s( x)
s( x) , 且 s(0) 1.