复变函数泰勒级数展开ppt课件
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泰勒展开定理54页PPT
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 n!
)
(x
x0 )n
Rn(x)
f
(n1)( )
n 1!
(
x
x0
)n1,(在x0与x之间)
注 意 :当 n0时 ,泰 勒 公 式 变 成 拉 格 朗 日 中 值 公 式
f(x)f(x0)f()x (x0) (在 x0与 x之 ) 间
如 果 e p ( p,q Z 且 互 质 ),则 当 n q时 , q
n!
e
e n ! (n ! n ! n 1)
( )
2!
n1
应 该 是 一 个 整 数 ,但 是 0 1, e 3 , n1 n1
所 以 当 n 2时 ( )右 边 就 不 是 整 数 了 ,因 而 矛 盾 .
R n (x )f n (n 1 )1 (!)(xx 0)n 1n M 1 !|xx 0|n 1
Rn(x)
f (n1)( )
n 1! (x
x0 )n1( 在
x 0与
x之
间
)
如 果 f (n1)( x )有 界 ,那 么
Rn(x)
f (n1)( )
如 果 我 们 用 更 高 次 的 M aclau rin
多 项 式 来 逼 近 sin x ,那 就 可 以 使
得变量的取值范围有所扩大.
Taylor公 式 在 近 似 计 算 中 的 应 用 ;
yx ysinx
播放
sin xx3 1 !x 3 1 n 12 x n 2 n 1 1!R 2 nx
复变函数泰勒级数展开
泰勒级数展开在概率论与数理统计中也有应用，例如在中 心极限定理的证明中就使用了泰勒级数展开的方法。05结论泰勒级数展开的重要性和影响
理论意义
泰勒级数展开是复分析中的重要工具，它为研究函数的性 质提供了理论基础，有助于深入理解函数的性质和行为。
应用价值
泰勒级数展开在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 ，例如在信号处理、控制系统、量子力学等领域，泰勒级数展 开都发挥了关键作用。
指数函数e^z的泰勒级数展开
总结词
指数函数e^z在复平面上的泰勒级数展开 式为无限和的形式，可以表示为幂级数 的和。
VS
详细描述
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...，其中z为复数，n!表示n的阶 乘。这个级数是无限和的形式，可以用于 近似计算e^z的值。
对数学发展的推动
泰勒级数展开的发现和证明对数学的发展产生了深远的影响， 它不仅推动了复分析的兴起和发展，还为数学的其他分支提供 了新的思路和方法。
对未来研究的展望
深入研究泰勒级数展开的性质和特性
尽管泰勒级数展开已经得到了广泛的研究和应用，但关于其性质和特性的研究仍有许多值得深入探讨的问题，例如高 阶泰勒级数展开、非标准泰勒级数展开等。
值，并帮助理解函数的性质和行为。
04
泰勒级数展开的应用
在微积分中的应用
函数逼近
泰勒级数展开可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函 数表示为简单的多项式之和，可以更好地理解和分析函数 的性质。
无穷级数求和
泰勒级数展开可以用来求无穷级数的和，这对于解决一些 数学问题非常有用，例如求定积分等。
数值分析
理论意义
泰勒级数展开是复分析中的重要工具，它为研究函数的性 质提供了理论基础，有助于深入理解函数的性质和行为。
应用价值
泰勒级数展开在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 ，例如在信号处理、控制系统、量子力学等领域，泰勒级数展 开都发挥了关键作用。
指数函数e^z的泰勒级数展开
总结词
指数函数e^z在复平面上的泰勒级数展开 式为无限和的形式，可以表示为幂级数 的和。
VS
详细描述
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...，其中z为复数，n!表示n的阶 乘。这个级数是无限和的形式，可以用于 近似计算e^z的值。
对数学发展的推动
泰勒级数展开的发现和证明对数学的发展产生了深远的影响， 它不仅推动了复分析的兴起和发展，还为数学的其他分支提供 了新的思路和方法。
对未来研究的展望
深入研究泰勒级数展开的性质和特性
尽管泰勒级数展开已经得到了广泛的研究和应用，但关于其性质和特性的研究仍有许多值得深入探讨的问题，例如高 阶泰勒级数展开、非标准泰勒级数展开等。
值，并帮助理解函数的性质和行为。
04
泰勒级数展开的应用
在微积分中的应用
函数逼近
泰勒级数展开可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函 数表示为简单的多项式之和，可以更好地理解和分析函数 的性质。
无穷级数求和
泰勒级数展开可以用来求无穷级数的和，这对于解决一些 数学问题非常有用，例如求定积分等。
数值分析
高等数学下教学new-第六节-taylor级数与函数的幂级数展开课件.ppt
二、函数展开为幂级数
1、直接展开法
先求出 f (z) 的各阶导数 f (n)(z)和 f (n)(a)，n 1, 2,
代入
f (z)=
f (n)(a)(z a)n ，再确定收敛半径即可。
n0 n!
例5 设(1 z)a ealn(1z)（, 称为(1 z)a的主值支），求它的 Marclaurin展开式。
电气学院学习部资料库
故f (z)的Marclaurin展式为
f (z) (1 z)a 1 a(a 1) (a n 1) zn, ( z 1)
n1
n!
特别地，当a 1和a 2时，有
1
(z)n ,( z 1)
1 z n0
1
(1)n1 nzn1, ( z 1)
(1 z)2 n1
f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
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现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
f (z) = 1 f ( ) d
2 i Kr z
由 z a 1，有
a
1
1
z ( a) (z a)
1 a
1
1 z
a
a
1 a
n0
z
a a
2
n!
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1 x 1
说明：（7）在 - 1 x 1 恒成立，但当a 取不同值时，
端点 - 1、1处的收敛情况是不同的。
1
(1＋x )2
(1)n (n 1)xn , (1
n0
x
1)
1
(1 x) 2
1
(1)n (2n 1)!! xn, (1 x 1)
n1
(2n)!!
复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数幻灯片
w0
lim
n
zn
+
wn
z0 + w0
性质2 Cauchy收敛准则 zn z0
任意 0，存在N，使得 当m，
n>N时，| zm
zn |
6/16/2020
5
复数项级数
对于复数列 {z1，z2，…，zn，…}，称
zn z1 z2 zn
n1
为复数项级数。部分和记为
n
Sn zk z1 z2 zn
| zn || |n
可知极限不存在。
6/16/2020
25
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。
注：（3）用到了如下性质
lim zn z0 lim | zn || z0 |
n
n
这是因为
0 || zn | | z0 ||| zn z0 | 0
n 1
n 1
15
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
6/16/2020
16
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
分析与解：（1）由于 |i/2|<1，猜测{zn}的 极限为0
|
zn
n1
实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n1
n1
此时，S=X+iY
证明：由于Sn=Xn+iYn，可知 Sn S Xn X，Yn Y。
6/16/2020
10
定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。
复变函数泰勒定理PPT课件
a
应用公式(4.10),我们有
1
za n
( ),
1 z a n0 a
a
右端的级数在 上(关于 )是一致收敛的.
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以在 上的有界函数
f ( ) a 相乘,仍然得到 上的
一致收敛级数 于是(4.11)表示为 上一致收敛级数
f
( )
a
n0
(z
仿照上例 , 可得 sinz 与 cosz 在 z 0的泰勒展开式.
sin z z z3 z5 (1)n z2n1 ,
3! 5!
(2n 1)!
(R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n ,
2! 4!
(2n)!
(R )
现在您正浏览在第14页，共31页。
内容总结
复变函数泰勒定理。4.3.1.泰勒(Taylor)定理。(|u|<1).。由第三章的柯西不等式 知若f(z)在|z-a|<R内解。则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即。不可能有 这样的函数F(z)存在,它在|z-a|<R内与。K/:|z-a|<R+ρ内是解析。注 (1)纵使幂级数 在其收敛圆周上处处收敛,其。同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完 全明白.。常用方法: 直接法和间接法.
所以它在 z 1内可以展开成 z 的幂级数.
y
如图,
R1
1 o 1
x
现在您正浏览在第21页，共31页。
解 [ln(1 z)] 1 1 z
1 z z2 (1)n zn (1)n zn ( z 1)
n0
No 设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得
应用公式(4.10),我们有
1
za n
( ),
1 z a n0 a
a
右端的级数在 上(关于 )是一致收敛的.
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以在 上的有界函数
f ( ) a 相乘,仍然得到 上的
一致收敛级数 于是(4.11)表示为 上一致收敛级数
f
( )
a
n0
(z
仿照上例 , 可得 sinz 与 cosz 在 z 0的泰勒展开式.
sin z z z3 z5 (1)n z2n1 ,
3! 5!
(2n 1)!
(R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n ,
2! 4!
(2n)!
(R )
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内容总结
复变函数泰勒定理。4.3.1.泰勒(Taylor)定理。(|u|<1).。由第三章的柯西不等式 知若f(z)在|z-a|<R内解。则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即。不可能有 这样的函数F(z)存在,它在|z-a|<R内与。K/:|z-a|<R+ρ内是解析。注 (1)纵使幂级数 在其收敛圆周上处处收敛,其。同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完 全明白.。常用方法: 直接法和间接法.
所以它在 z 1内可以展开成 z 的幂级数.
y
如图,
R1
1 o 1
x
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解 [ln(1 z)] 1 1 z
1 z z2 (1)n zn (1)n zn ( z 1)
n0
No 设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得
复变函数4.3-4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开
(1) 幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域
内解析.
(2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. 对于罗朗级数，已经知道：
罗朗级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆 环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开 成罗朗级数?
4.4.2 函数的罗朗级数展开
定理4.12(Laurent展开定理) 设 0 R1 R2 , 函数f (z)在圆环域 R1 z z0 R2 内解析, 则函数f (z) 在此圆环域内可展开为罗朗级数
定理4.9 (Taylor展开定理) 设 f ( z )在区域D
内解析, z0 为D内的一点, R为 z0 到D边界的距离 (D是全平面时, R=+), 则 f ( z ) 在 z z0 R 内可 展开为幂级数
f ( z ) a n ( z z0 ) n
n 0
R
z0
.
1 (n) f ( z0 ) 其中 an n!
解析, 那么根据柯西-古萨定理, an 0 n 1, 2, 所以罗朗级数包含了Taylor级数.
,
罗朗展开式的唯一性 设函数f (z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析，并且
可以展开成双边幂级数
n
cn ( z z0 ) n
1 则系数为 cn 2 i
C
n 0
4n 0
a z 和 b z 的收敛
n n n
2n z ( 1)n , z . (2n)! 内,
n 0
n
n!
12!
2
n!
并且收敛半径 R . 同理 n
sin z
复变函数 泰勒展式
n0
3z 2
n
n0
3n zn 2n1
,
z 2 3
三、 零点
哈 定义 设函数在z0点的某邻域内解析，
尔 滨
且f (z0 ) 0,那么称z0为f (z)的零点.
工
程 大
若f (z)在 | z z0 | 内的泰勒展开式为
学
复
f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 L ,
第四章 级 数
哈
尔 滨
§4.2 泰勒级数
工
程
大 学
学习要点
复
变
函
掌握函数的泰勒展式
数
一、泰勒定理
哈 尔
定理1 设 f (z)在圆域D :| z z0 | R内解析，那
滨 工
么f (z)在D内可以唯一地展开成幂级数，
程
大 学
f (z) cn (z z0 )n
n1
复 变 函 数
其中cn
f (n) (z0 ) n!
)n
复
变 函
结论1
如果f (z)有奇点,则使f (z)在z0的泰勒
数
展开式成立的圆域的半径R等于从z0
到距z0最近的f (z)的奇点之间的距离，
即R z0 .
哈
如
f
(z)
z(
1 z
1)
在z0
1处解析，则f
( z )的在
尔
滨 工
z0 1处泰勒展开式的收敛半径为R 1 0 1.
程
大
学 结论2
复
变 函
f (z)在z0解析 f (z)在z0的某邻域内
数
可以展开成幂级数 cn (z z0 )n .
复变函数(4.3.1)--泰勒极数
dz
� �( z �
z0
)n
￥
ﾥ n0
f
( n) ( z0 n!
)(z
z0
)n
.
定理 4.10 给出了函数在 z0 点的邻域内展开成 Taylor 级数的公式 , 同时给出了展开式的收敛半
径 R=|z0-|, 其中是离 z 最近的 f (z) 的奇点 .
Taylor 展开式的惟一性定理
e , ( 1)ln(1+ z)
f ﾢﾢ(z) ( 1)e( 2)ln(1+z) ,
L LL
f (n) (z) ( 1)L( n + 1)e( n)ln(1+z) ,
L LL 令 z=0, 有
f (0) 1, f ﾢ(0) , f ﾢﾢ(0) ( 1), L,
可展开为幂级
数
f (z) cn (z z0 )n , n0
其中
cn
1 n!
f
(n)(z0 )
D
z z在0 < R 内可
R
z0 .
( n 0, 1, 2,L) . 系数 cn 按上述表示的幂级数称为
f (z)在 z0 点的 Taylor 级数 .
证明 使得 r < R,
对
z
+L
z <1 .
( ) 例 3.4 将 f (z)
1 1+ z2
2 展开为 z 的幂级数 .
根据例 3.3 ，
￥ ( ) 1
(1 + x )2
ﾥ
(1)n(n + 1)x n
n0
x <1 ,
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i f
(z)
n0
1
2
i
C
f
(
( )d
z0 )n1
(
z
z0
)n
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
其中
f (z) an (z z0 )n n0
(3.3.3)
i an
1 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n! .
(0,1, 2,L )
(3.3.4)
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
z z0 z0
从而 z z 0 1 z0
因为 1 z(z0)1 (zz0) 1z01z1 zz0 0
根据
1
zn,
(| z|1)
1z n0 .
1
z
1 z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
n0
(z z0 )n
( z0 )n1
以此代入(3.3.2)，并把它写成
正整数）。
解：先计算展开系数
f(z)(1z)m
f (0) 1m
f'(z)m(1z)m1
f '(0) m1m
f''(z)m (m 1 )(1z)m 2
f''(0)m(m1)1m
f(3 )(z ) m (m 1 )(m 2 )( 1 z )m 3
……
f(3)(0 )m (m 1 )(m 2 )1 m
值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数
f (z)lnz f(1)ln1n2i
f '( z ) 1 z
f '(1) 1
1! f ''( z) z 2
f ''(z)1!
f (3) (z) 2! z3
……
f (3) (z) 2!
于是可写成 z 0 1
在邻域上的泰勒级数 .
lnzln11(z1)1!(z1)22!(z1)3
开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
假设 f (z) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f (z) bn (z z0 )n n0
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
bn
f
n (z0 n!
)
an
,
(n 0,1, 2,L )
(3.3.6)
故展开式系数是唯一的。 .
(1z)m 1mm1mzm(m1)1mz2
1!
2!
m(m1)(m2)1mz3 L
3!
.
易求其收敛半径为1，故
( 1 z ) m 1 m { 1 m z m ( m 1 ) z 2 m ( m 1 ) ( m 2 ) z 3 L } , ( z 1 )
1 ! 2 !
3 !
式中 1m(ei2n)mei2nm
在许多的单值分支中，n＝0那一支即 1m 1的那一个叫 作 (1 z )m 的主值。上式也就是指数为非整数的二项式
定理。
.
二、当 f ( z ) 较复杂时，求 f (n) ( z0 ) 比较麻烦。根据泰勒展式
的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及
幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展
cosz1z2z4z6L 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
.
例3.3.3 在 z 0 1 的邻域把 f (z)lnz 展开。
解：多值函数 f (z)lnz 的支点在 z0,z
现在展开中心 z 0 1 并非支点，在它的邻域上，各个单
1!
2!
3!
n2i(z1)(z1)2 (z1)3 (z1)4 L
2
3
4
可以求得上式的收敛半径为1。因此
(z 1 )2 (z 1 )3
ln z n 2i (z 1 ) L (z 1 ) 23
上式n＝0的那一个单值分支叫作 l n z 的主值。
.
例3.3.3 在 z 0 0 的邻域把 f(z)(1z)m 展开（m不是
n0 n!
级数。 .
【证明】 设函数 f (z) 在区域 D： z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为
中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
gz
z0
C
由柯西积分公式知
R
f
(z)
1 2πi
i
C
f
( )d
z
(3.3.2)
.
其中z在C的内部,，而 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
且在 z 0 0 有 f1' (0) 1 f1'' (0) 0
f (3)
1
(0)
1
f (4)
1
(0)
0
故有
z z3 z5 z7 sinz L
1! 3!. 5! 7!
同样的方法，可求得 cos z 在 z 0 0 邻域上的泰勒级数
f (z) an (z z0 )n , (| z z0 | R) (3.3.1) n0
i 其中
1
an 2i
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(nபைடு நூலகம் 0,1, 2,L ) ,
且展式是唯一的。
特别地，当 z0 0 时，级数
f (n) (0)zn 称为麦克劳林
开成幂级数，基本展开公式如下：
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方
法，即求出 f (n) (z0 ) 代入即可，这种方法称
为直接展开法. 例3.3.1 在 z 0 0 的邻域上把 f (z) ez 展开。 解：函数 f (z) ez 的各阶导数 f (k)(z) ez 而
f(k)(z0)f(k)(0)1 故 f (z) ez 在 z 0 0 领域上的泰勒级数写为
ez 1zz2 z3 L 易求收敛半径无限大 1! 2! 3! .
例3.3.2 在 z 0 0 的邻域把 f1(z)sinz 和 f2(z)cosz
展开。
解： 函数 f1(z)sinz 的前四阶导数分别为 f1'(z) cosz
f1''(z)sinz f1(3)(z)cosz f1(4)(z)sinz
3.3 泰勒级数展开
.
3.3 泰勒级数展开
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个 幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解 析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就 是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.
.
3.3.1泰勒级数
泰勒(Taylor)展开定理 设 f (z) 在区域 D：| z z0 | R 内 解析，则在 D 内 f (z) 可展为泰勒级数