复变函数第四章 解析函数的级数表示法
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。
复变函数项级数
(M
z z0
n
)
n1
z1 z0
收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，
Cn(z z0 )n
n1
收敛， 从而级数 Cn(z z0 )n 绝对收敛. n0
8
定理1的几何意义
如 果 幂 级 数 在 点1z收 敛 ， 那 么 幂 级 数 在 以z0 为 圆 心 ， 以z1 z0 为 半 径 的 圆 周 内 部 的 任意 点z处收敛.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
z R R min( r1, r2 )
17
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
10
对于形如 Cn (z z0 )n的幂级数当, z z0时，可能 n1
出现如下的三种情况
(1)对 任 意 的z z0 , 级 数 Cn (z z0 )n均 发 散 n1
(2)对 任 意 的 z, 级 数 Cn (z z0 )n均 收 敛 。 n1
(3)存 在 一 点z1 z0 , 使 得 级 数 Cn (z1 z0 )n收 敛 . n1
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;
幂级数可逐项求导, 逐项积分.
(常用于求和函数)
22
例3 求幂级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn
1
z
z2
第四章、级数
的复变函数项级数，简记为 ∑ f n ( z ) .
17
一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义 设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数，
n
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛；
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
7
二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列，
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数， 简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和；
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z ， 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当 即得 ∑ n 收敛。 0 时，
n
+∞
n= 0
n= 0
20
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理 对于幂级数 ∑ a n z ，有
n→ +∞
第四章 解析函数的级数表示
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
第四章解析函数的级数表示(Therepresentationofpower
(The representation of power series of analytic function)
§4.1 复数项级数
§4.2 复变函数项级数
§4.3 泰勒（Taylo§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数
f z fnz n1
二、 幂级数
形如：
的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1,
c2 ,…, 都是复常数. 以上幂级数还可以写成如下形式
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn
n0
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛.
n1 n
n1
n
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, n1 n
(1)n 1收敛,
n1
n
故 原 级 数 仍 发 散.
定理4.3级数 收敛的必要条件是
其中zn xn yn
证明 因为级数 收敛的充分必要条件是
都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是
定理4.4若级数 zn n 1
收敛，
则级数
z
n也收敛.
lim
n
zn
z0
.
此时也称复数列{zn }收敛于 z0 .
定理4.1设复数列n an ibn, a ib,则
lim
n
n
的充分必要条件是
证明
那末对于任意给定 0
就能找到一个正数N,
从而有
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn
复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
复变函数第四章 解析函数的级数表示法
lim an 0 和 lim bn 0 .
n n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n1
lim n 0
n
重要结论:
lim n 0 级数 n发散.
n n1
例如, 级数 e in :
n1
因为lim n lim e in 0,
an和 bn都收敛。
n 1 n 1
例1
1 i 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n
1 解 因为 an 发散; n1 n1 n 1 bn 2 收敛. n1 n1 n
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
4. 收敛半径的求法
n 关于幂级数 c z n n 0
( 3)的 收 敛 半 径 求 法 ， 有
cn1 定理4.6 1 / 若 lim ，则 R (比值法) n cn 0
1 / cn ，则 R 0
0 0
n 1
: lim n 0. 定理4.3 级 数 n收 敛 的 必 要 条 件 n
定义4.3
若 n 收 敛 ， 则 称 n为 绝 对 收 敛 ；
n 1 n 1
若 n 发 散 ， 而 n收 敛 ， 则 称 n为
n 1 n 1 n 1
0
定理4.7 若 lim n n (根值法)
0
例 (1) 解
求下列幂级数的收敛半径:
z 3 n n 1
(1)
n
(2)
复变函数论第4章
n1
n
当z 2时,
原级数成为
n1
1, n
调和级数，发散.
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
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铃
例3 求幂级数 (cosin)zn的收敛半径:
n0
解
因为
cn
cos in
cosh n
1 (en 2
en ),
所以
lim cn1 n cn
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1
或
1
lim n
n
cn
lim n n
n3
lim 1 1. n n n3
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铃
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
铃
补充求：等比级数
ar n1 的敛散性。
n1
解：等比级数的部分和为：
Sn
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
已利用等比数列求和公式：
Sn
a1 anq 1 q
当公比|r|<1时，lim n
Sn
lim
n
a(1 rn ) 1 r
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
R min( r1, r2 )
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绝
对
收
敛
；
n1
n1
若
n
发
散
，
而
收
n
敛
，
则
称
为
n
n1
n1
n1
条 件 收 敛.
定理4.4若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
由定理4.2得
收敛。
n
n1
证明 sn
n
k
n
(ak ibk )
n
n
ak i
bk n i n
k 1
k 1
k 1
k 1
由定理１，lim n
sn
a
ib
lim
n
n
a, lim n
n
b
an和 bn都收敛。
n1
n1
例1 级数 1 (1 i ) 是否收敛？
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
z1 (
0)收敛, 则对满足
n0
z z1 的z,级数必绝对收敛.
⑵若级数在z z2发散,则对满足 z z2 的z, 级数必发散 .
证明 (1)
n0
cn
z1n收敛,
则
lim
n
cn
z1n
0，即
0，N 0，当n N，恒有 cnz1n
取M max , c0 , c1z1 , c2 z12 , , cN z1N
1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{ fn(z)} z D, n 1,2, fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) (1) n1
---称为复变函数项级数
▪级数的最前面n项的和
n
sn (z) f1(z) f2(z) fn (z) fk (z)
k 1
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
n
?
0
lim 如果n
n
0,
lnimn 0,
级数发散; 应进一步判断.
由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。
定理4.3 级数
收敛
n
的
必要条件:
lim
n
n
0.
n1
定义4.3
若
n
收
敛
，
则
称
为
n
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )
解
(1)
n1
1 n
发散，
n1
1 n2
收敛，
n1
1 n
(1
i )发散. n
(2)
8i n
8n 收敛，
(8i)n 绝对收敛。
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
第四章 解析函数的级数表示法
§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
1. 复数列的极限
定义4.1 设复数列：{n }(n 1,2,), 其中n＝an ibn ,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0,当 n N , 恒有 n ， 那么称为复数列{n }当n 时的极限，
i 1
收
敛
－
级数
称为
n
收
敛
n1
▪若 部 分 和 数 列{sn }
lim
n
sn
s称为级数的和
不收敛
－级数 n称为发散
n1
例1 解
判别
3i的敛散性。
sn
n1
2
n
n
3i
j1 2 j
3i(1
1 2n
),
又
lim
n
sn
3i
级数收敛,且和为 3i.
定理4.2
级数
收敛
n
an和
bn都收敛。
n1
n1
n1
1 1
ni ni
;
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛, 极限为-1 发散 收敛，极限为0
2. 复级数的概念
定义4.2 ▪设复数列： {n } {an ibn }(n 1,2,, ), n 1 2 n ---无穷级数
n1
▪级数的前面n项的和 n sn 1 2 n i ---级数的部分和
记作
lim
n
n
,或当n
时， n
,
此时，也称复数列{ n }收敛于 .
定理4.1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
b.
“
”已知
lim
n
an
a
,
lim
n
bn
b
即，
0, N
0,当 n
N , 恒有
an
a
2
，bn
b
2
又 n (an a) i(bn b)
an a bn b
故
lim
n
n
.
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
cn(z z0 )n (2)
n0
当z0 0 cnzn (3) n0
称为幂级数
在(2)中令z z0 (2) cn k k0
研 究 级 数(3)并 不 失 一 般 性 。
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：
定理4.5 (阿贝尔(Able)定理）
⑴若级数
cn z n在z
n
n
k k ,n n
k 1
k 1
n1
n1
由定理4.4的证明过程，及不等式 an2 bn2 an bn 有 :
推论4.1级数 n 收敛 an 和 bn 都收敛。
n1
n1
n1
? 若
收
n
敛
n1
n1
n收敛.(例如 :
n1
(1)n i n
)
例2 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
---级数的部分和
▪若z0 D
lim
n
sn
(
z0
)
s(
z0
),
称级数(1)在z0收敛,
其和为s(
z0
),
lim
n
sn
(
z0
)不存在，称级数(1)发散,
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 s(z) f1(z) f2(z) fn(z)＋ ---级数(1)的和函数
特殊情况，在级数(1)中 fn (z) cn (z z0 )n 得
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
n1
n1
lim
n
an
0
和
lim
n
bn
0.
所以复数项级数n收敛的必要条件是
n1
lim
n
n
0
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
例如,级数 ein :
n1
因为lim n
n
lim ein
n
0,
(
1)
n
收敛
，
n
n1
1 2n
收敛，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛.
n1 n
练习：
讨论
1
1
e
i
n的
敛散性
。
n0 n
发散
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质