第4章 解析函数的级数表示法
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。
第四章 解析函数的幂级数表示方法
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
复变函数项级数
(M
z z0
n
)
n1
z1 z0
收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，
Cn(z z0 )n
n1
收敛， 从而级数 Cn(z z0 )n 绝对收敛. n0
8
定理1的几何意义
如 果 幂 级 数 在 点1z收 敛 ， 那 么 幂 级 数 在 以z0 为 圆 心 ， 以z1 z0 为 半 径 的 圆 周 内 部 的 任意 点z处收敛.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
z R R min( r1, r2 )
17
2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
10
对于形如 Cn (z z0 )n的幂级数当, z z0时，可能 n1
出现如下的三种情况
(1)对 任 意 的z z0 , 级 数 Cn (z z0 )n均 发 散 n1
(2)对 任 意 的 z, 级 数 Cn (z z0 )n均 收 敛 。 n1
(3)存 在 一 点z1 z0 , 使 得 级 数 Cn (z1 z0 )n收 敛 . n1
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;
幂级数可逐项求导, 逐项积分.
(常用于求和函数)
22
例3 求幂级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn
1
z
z2
第四章、级数
的复变函数项级数，简记为 ∑ f n ( z ) .
17
一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义 设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数，
n
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛；
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
7
二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列，
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数， 简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和；
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z ， 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当 即得 ∑ n 收敛。 0 时，
n
+∞
n= 0
n= 0
20
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理 对于幂级数 ∑ a n z ，有
n→ +∞
第四章 解析函数的级数表示
4.3泰勒级数
23
n
其收敛半径为1。
注:本题也可用逐项积分法求解. 思考:如何用逐项求导法求1/(1+z)2在z=0处的 泰勒展式.
例3、 求 (1 z)
的解析分支 e ln(z1) 在z=0的泰勒展式（其中a不
是整数）.
解：已给解析分支在z=0的值为1，它在z=0的一阶
导数为a，二阶导数为a(a-1)，n阶导数为
f (zk ) g(zk )(k 1,2,3,...)
那么在D内，f(z)=g(z)。
定理的证明
证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析 函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然
F(zk ) 0(k 1,2,...)
设z0是点列{zk}在D内有极限点。由于F(z)在z0 连续，可见
证明：在U内任取一点z,以z0为心，在U内作一 个圆C，使z属于其内区域。我们有
f
(z)
1
2i
C
f
(
) z
d
,
由于当 C 时，z z0 q 1
又因为 1
z0
1 2 ... n ...(| |
n0
... n (z z0 )n ...
是它的和函数f(z)在收敛圆内的泰勒展式，即
0
f (z0 ),n
f (n) (z0 ) (n 0,1,2,...). n!
解析函数幂级数展式的唯一性定理
因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性 定理：
定理 在幂级数展开式定理中，幂级数的和函数
解析函数的零点
设函数f(z)在z0的邻域U内解析，并且 f (z0 ) 0
那么称z0为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展式 是：
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于π。
证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。
复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
第四章43-44泰勒级数与洛朗级数-精选文档
解 f
( n )
( 0 ) zz 1 , 0
e
) f(n ( 0 ) 1 a , n n ! n !
2 n z z z . 1 z , |z| f (z) ez ! 2 ! n ! n0 n
n
二、将函数展开为泰勒级数的方法
解 利用逐项求导性质
1 1 2 ( ) ( 1 z z ) 2 1z ( 1z)
2 n 1 2 z 3 z ( n 1 ) z ,|z| 1.
1 n a ( z i ) 例 把函数 表示成形如 的幂级数。 n (1 z ) 2 n0
( z ) ln ( 1 z ) 例 将函数 f 0 ,z 1 分别在 z 点展开为幂级数。
1 1 解 (1) f (z) (1)n zn, |z| 1. 1 ( z ) 1 z n0
三、幂级数的性质
2. 幂级数的分析性质
n 0
P87
n ( z ) a ( z z ) z z | R ,则 性质 设 f n 0 ,| 0
z | R 内解析。 (1) 函数 f ( z) 在收敛圆 |z 0
(2) 函数 f ( z) 的导数可由其幂函数逐项求导得到，即
1 1 1 解 (1) (1i) (z i) 1 z 1 i
1 1i
利用逐项求导性质
n
1 zi 1 1 i
n z i ( z i ) i| 2 . 1i (1i)n1 , |z n0 n 0
' n(z i)n1 1 1 (2) 2 (1z) 1z n1 (1i)n1
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§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 解析函数的泰勒展开 §4.4 解析函数的罗朗展开 §4.5 孤立奇点
第一节 复数项级数
1. 复数列和复数列的极限 2. 复级数
1. 复数列和复数列的极限
定义4.1 设an(n 1,2,)为一复数列，其中 an n i n .
ak
k 1
k 1
ak
，故有
lim
n
k 1
ak
ak ,
k 1
即 ak ak .
k 1
k 1
利用不等式 an
2 n
2 n
n
n 可以得到下
面的结论 .
推论4.1 设an n in , n 1,2,.则级数 an绝对 n1
收敛的充要条件是级数 n和 n都绝对收敛 .
n1
n1
例4.1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
n
应
的
部
分
和
数
列S
n
收
敛
于
n1
常 数S， 即
lim
n
Sn
S,
那 么 an称 为 收 敛 的 级 数. n1
数S叫 做 该 级 数 的 和 ， 记 为
an S .
n1
若
lim
n
Sn
不
存
在
，
则
称
n1
an为
发
散
的
级
数.
定理4.2 复级数 an收敛于S的充要条件是实级数 n1
n和 n分别收敛于 和，其中S i，
i 1
和 n分别收敛于 和，从而定理得证 .
定理4.3 复级数 an收敛的必要条件是 n1
lim
n
a
n
0.
证明：由上面定理， an收敛的充要条件是对应 的两个实
n1
级数 n和 n均收敛，其中 an n in (n 1,2,).
n1
n1
高等数学的结论指出： 实级数收敛的必要条件 是其通项
n1
n1
an n i n (n 1,2,).
证明：Sn a1 a2 an
(1 2 n ) i(1 2 n )
n i n ,
n
n
n
其中 n i , n i，它们分别为实级数 i，
i 1
i 1
i 1
n
i的部分和. 那么Sn收敛于S的充要条件是 n
n1
n1
不 等 式 an an 成 立.
n1
n1
证明：记 an n i n，n 1,2,，则有 an
2 n
2 n
.
n1
n1
由于 n
2 n
n2， n
2 n
n2，因此根据实级数的比
较
准则，得知 n和 n均收敛，于是 an是收敛的. 由三角
n1
n1
n1
n
n
n
不等式 ak k 1
证明：如果
lim
n
an
a，则对
0，存在正整数
N，使得当
n N时，有 an a . 从而有 n an a ，所以有
lim
n
n
.
同理有
lim
n
n
.
反之，如果
lim
n
n
，lim n
n
，对
0，存在正整数 N，
使得当n N时，有 n
2
，
n
，所以有
2
an a
n
n
，即
lim
n
an
a.
2. 复级数
设an n in (n 1,2,3,)为一复数列，表达式
an a1 a2 an
n1
称为复数域上的无穷级 数，简称复级数或级数 .
记该级数的前n项部分和为 Sn a1 a2 an , n 1,2,,
Sn 称为该级数的部分和数列.
定 义4.2
若
级
数
a
对
（1）
(3i)n ;
n1 n!
（2）
(1
1 )ei / n;
n1
n
（3）
n1
(1)n n
1 3n
i.
解：(1) (3i)n 3n ，由正项级数的比值判 别法和 (3i)n
n! n!
n1 n!
收敛，可知原级数为绝 对收敛.
(2)因为 lim(1 1 )ei / n 1 0，所以 (1 1 )ei / n发散.
的极限为零 .
于是，有limnຫໍສະໝຸດ n0,lim
n
n
0,
从而得到
lim
n
an
0.
定 义4.3 对 于 复 级 数 an ,若 an 收 敛 ， 则 称 级 数 an
n1
n1
n1
绝 对 收 敛 ； 若 an 发 散 ， 而 an收 敛 ， 则 称 级 数 an
n1
n1
n1
条 件 收 敛.
定 理4.4 如 果 级 数 an绝 对 收 敛 ， 则 an也 收 敛 ， 且
a i为一确定的复数 .如果对任意的正数 ,存在正整
数N ,使得当n N时，有
an a
成立，则称 a为复数列an当n 时的极限，记作
lim
n
a
n
a .并称复数列 an 收敛于 a .
定理4.1 复数列an收敛于a的充分必要条件是：
lim
n
n
，lim n
n
.
其中an n i n，a i .
1. 幂级数的概念
解析函数最重要的性质之一是可以展成幂级数， 而幂级数在它的收敛圆内确定了一个解析函数，所以 解析函数的幂级数表示是解析函数的一种最简单的分 析表达式.
所谓幂级数，是指形如
an ( z z0 )n a0 a1( z z0 ) an ( z z0 )n
n0
的表达式，它的一般项是幂级数an( z z0 )n ,这里 an( n 0,1,)和z0是复常数，而z为复变数.
n
n
(3)因为 (1)n收敛，
n1 n
n1
n1
n
1 收敛，所以原级数收敛 3n
，但
(1)n 为条件收敛，由推论 4.1知原级数为条件收敛 .
n1 n
• 作业 P91习题四 • 2（1）（3）（5）
第二节 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛半径和收敛圆 3. 收敛半径的求法 4. 幂级数的运算及性质
给 定z的 一 个 确 定 值z， 则 级 数 为 复 数 项 级 数
an ( z1 z0 )n a0 a1( z1 z0 ) an ( z1 z0 )n
n0
若 上 式 所 表 示 的 级 数 收敛 ， 则 称 幂 级 数 在z1处 收 敛 ， z1称 为 级 数 的 一 个 收 敛 点， 否 则 则 称 为 发 散 点.
若D z | an (z z0 )n收 敛， 则 级 数 在D上 的 和 确 定
n1
一个函数
S(z) a0 a1(z z0 ) an (z z0 )n , z D, 称S(z)为 级 数 的 和 函 数.
为讨论简便，不妨假定 z0 0,这个级数称为
anz n a0 a1z anzn .
n0
通常只要作变化 w z z0即可.
定理4.5 如果幂级数 anz n在z z1( 0)收敛，则对 n0