09第四章解析函数的级数表示
第4章 解析函数的级数表示法
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
(4.2)
称为复变函数项级数，记作 f n ( z ) . 级数的 n 1 最前面n项的和
sn ( z) f1 ( z) f 2 ( z) f n ( z)
s( z) f1 ( z) f 2 ( z) f n ( z)
| f ( z) sn ( z) |
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一致收敛性 定义4.2.1 对于级数(4.2），如果在点集D上有一个 函数 f (z ) ，使对任意给定的 0 ，存在正整数 N N ( ) ，当 n N 时，对一切的 z D 都有 | f ( z) sn ( z) | 则称级数(4.2）在D上一致收敛于 f (z ) 。 定理4.2.1 (柯西一致收敛准则）级数(4.2)在点集D 上一致收敛于某函数的充要条件是：任给 0 存在正整数 N N ( ) ，使当 n N 时，对一切 z D ，都有
n 1 n 1
lim an 0 和 lim bn 0 .
n n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n1
lim n 0
n
重要结论: lim n 0 级数 n发散. n
n1
15
例如,im n lim e in 0,
(定理二)
实数项级数的审敛问题
13
1 i 课堂练习 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n 1 解 因为 an 发散; n1 n1 n 1 bn n2 收敛. n1 n1
解析函数的级数表示
111
111
= 1 + + + + ... - 2 × + + + ....
234
246
111
111
= 1 + + + + ... - 1 + + + + .... = 0
234
234
实际上 I = ln 2
(- 1)n-1
Sum
, {n, 1, ∞}
n
Log[2]
可逐项相乘，下式右边仍为绝对收敛级数（乘法分配率与交换律？）
p = 1 时，(1. 2) 式退化为 ：
p
wn+k(z0) = z0N+1 - z0N+2 = 1 - 10-MN+1 2 - 10-M > 1 - 10-MN+1
k=1
p=1
因为 N 与 z 无关，M 变化时 ，N 不变，因此对那个找到的与 z 无关的 N(ε)，我们可以取足够大的 M，
比较一致收敛与非一致收敛的充要条件：
▲ 一致收敛的充要条件：
∀ （任意） ε > 0， ∃ （一个） N (ε)， 使得当 n > N(ε) 时 （对任意的 n > N），对任意 z ∈ D 或 z ∈ L，对任意自然数 p，均有
p
Sn+p(z) - Sn(z) = wn+k(z) < ε
试试看能不能证明一致收敛 。
p
用 ε - N 判别：∀ ε > 0, 需要导出存在 N，使得对任意 n > N ， wn+k(z) < ε 成立
第四章 解析函数的幂级数表示方法
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
第四章、级数
的复变函数项级数，简记为 ∑ f n ( z ) .
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一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义 设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数，
n
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛；
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
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二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列，
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数， 简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和；
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z ， 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当 即得 ∑ n 收敛。 0 时，
n
+∞
n= 0
n= 0
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二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理 对于幂级数 ∑ a n z ，有
n→ +∞
第四章 解析函数的级数表示
第四章解析函数的级数表示(Therepresentationofpower
(The representation of power series of analytic function)
§4.1 复数项级数
§4.2 复变函数项级数
§4.3 泰勒（Taylo§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数
f z fnz n1
二、 幂级数
形如：
的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1,
c2 ,…, 都是复常数. 以上幂级数还可以写成如下形式
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn
n0
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛.
n1 n
n1
n
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, n1 n
(1)n 1收敛,
n1
n
故 原 级 数 仍 发 散.
定理4.3级数 收敛的必要条件是
其中zn xn yn
证明 因为级数 收敛的充分必要条件是
都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是
定理4.4若级数 zn n 1
收敛，
则级数
z
n也收敛.
lim
n
zn
z0
.
此时也称复数列{zn }收敛于 z0 .
定理4.1设复数列n an ibn, a ib,则
lim
n
n
的充分必要条件是
证明
那末对于任意给定 0
就能找到一个正数N,
从而有
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn
第4章 解析函数的级数表示法
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 解析函数的泰勒展开 §4.4 解析函数的罗朗展开 §4.5 孤立奇点
第一节 复数项级数
1. 复数列和复数列的极限 2. 复级数
1. 复数列和复数列的极限
定义4.1 设an(n 1,2,)为一复数列，其中 an n i n .
ak
k 1
k 1
ak
，故有
lim
n
k 1
ak
ak ,
k 1
即 ak ak .
k 1
k 1
利用不等式 an
2 n
2 n
n
n 可以得到下
面的结论 .
推论4.1 设an n in , n 1,2,.则级数 an绝对 n1
收敛的充要条件是级数 n和 n都绝对收敛 .
n1
n1
例4.1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
n
应
的
部
分
和
数
列S
n
收
敛
于
n1
常 数S， 即
lim
n
Sn
S,
那 么 an称 为 收 敛 的 级 数. n1
数S叫 做 该 级 数 的 和 ， 记 为
an S .
n1
若
lim
n
Sn
不
存
在
，
则
称
n1
an为
发
散
的
级
数.
定理4.2 复级数 an收敛于S的充要条件是实级数 n1
n和 n分别收敛于 和，其中S i，
i 1
和 n分别收敛于 和，从而定理得证 .
定理4.3 复级数 an收敛的必要条件是 n1
复变函数第四章 解析函数的级数表示法
lim an 0 和 lim bn 0 .
n n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n1
lim n 0
n
重要结论:
lim n 0 级数 n发散.
n n1
例如, 级数 e in :
n1
因为lim n lim e in 0,
an和 bn都收敛。
n 1 n 1
例1
1 i 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n
1 解 因为 an 发散; n1 n1 n 1 bn 2 收敛. n1 n1 n
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
4. 收敛半径的求法
n 关于幂级数 c z n n 0
( 3)的 收 敛 半 径 求 法 ， 有
cn1 定理4.6 1 / 若 lim ，则 R (比值法) n cn 0
1 / cn ，则 R 0
0 0
n 1
: lim n 0. 定理4.3 级 数 n收 敛 的 必 要 条 件 n
定义4.3
若 n 收 敛 ， 则 称 n为 绝 对 收 敛 ；
n 1 n 1
若 n 发 散 ， 而 n收 敛 ， 则 称 n为
n 1 n 1 n 1
0
定理4.7 若 lim n n (根值法)
0
例 (1) 解
求下列幂级数的收敛半径:
z 3 n n 1
(1)
n
(2)
解析函数的级数表示.ppt
z3 z5 sin z z
(1)n
z 2n1
3! 5!
(2n 1)!
z
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
z
除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级 数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰 勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式 也可以用间接展开法得出:
)
上式称为f (z)的泰勒展式，其右边称为泰勒级数.
注：泰勒定理说明函数f (z)在一点 z0 解析的
充要条件为它在z0的邻域内可展成泰勒级数.
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利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:
cn
1 n!
f (n) (z0 )
(n 0,1,2,)
把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法
例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez,
(ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有
ez 1 z z2 zn .
2!
n!
z
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成
立, 收敛半径为+.
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同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:
lim
n
zn
0.
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定理4.3 级数 zn 收敛的必要条件为 n1
lim
n
zn
lim(
n
xn
iyn )
0
定理4.4 若级数 | zn |收敛,则 zn也收敛.
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第四章 解析函数的级数表示§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=， 又设000y i x z +=为一个复定值. 若,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式ε<-0z z n恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称{}n z 以0z 为极限，记作0l i m z z n n =∞→ 或()∞→→n z z n 0.如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞→∞→∞→.lim ,limlim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式 +++++n z z z z 321称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列() 2,1321=++++=n z z z z S n n有极限S S n n =∞→l i m （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1.当1<z 时，判断级数++++++nz z z z 321是否收敛？定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性.定理3 （级数收敛的必要条件）若级数++++n z z z 21收敛，则0lim =∞→n n z . 定理4 若级数+++++=∑∞=n n n z z z z z 3211收敛，则级数+++++=∑∞=n n nz z z z z3211一定收敛.定义： 若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛， 则称级数++++=∑∞=n n nz z z z 211绝对收敛，若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211发散，而级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛，则称级数 ++++=∑∞=n n nz z z z211条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性：（1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n ；（2）∑∞=1n nni ；（3）∑∞=12n nn i.§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义： 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限()()00lim z S z S n n =∞→存在，则称该复变函数项级数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即()()01z S z f n n=∑∞=.如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞=1n n z f .即 ()()∑∞==1n n z f z S 二. 幂级数定义： 形如()()()()+-++-+-+=-∑∞=nn n nnz z C z z C z z C C z z C 02020100的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0z 均为复常数. 定理5如果幂级数()∑∞=-00n nn z z C 在点()011z z z ≠ 收敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.推论 如果幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在点2z 发散，则在区域020z z z z ->-内发散.定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论：对幂级数()∑∞=-10n nn z z C 而言，一定存在某一圆R z z <-0，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散.达朗贝尔比值判别法——若 λ=+∞→n n n C C 1lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .柯西根值判别法——若 λ=∞→nnn C lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .例3. 求级数∑∑∑∞=∞=∞=1210,,n nn nn nn z nzz 的收敛半径. 例4.求级数()∑∞=-11n nnz 的收敛半径.说明：达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件，而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞=-02n nn z c 的幂级数. 性质 (1)幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数在收敛圆内一定解析；(2)在收敛圆内，幂级数()∑∞=-00n nn z z C 可以逐项积分或求任意阶导数，所得到的幂级数在该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算级数∑∞=122n n n 之值.§3. 泰勒级数定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析，0z 为D 内的一点，设R 为0z 到D 的边界的距离，则当R z z <-0时，()z f 可展为幂级数()()∑∞=-=00n nn z z C z f 其中()() 2,1,0!10==n z f n C n n .称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?);, , )( .200z d z d D z f -=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则内有奇点在如果4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论：函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在0z 点()z f 可展成幂级数.根据结论，解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒 级数，其展开法分别是直接展开法和间接展开法.直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.例7．将()0==z e z f z在处展开为泰勒级数.例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.;,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z,2,1,0,)(!10)(==n z f n c n n .)( 0展开成幂级数在将函数z z f例9．将()z z f -=11在z =0的邻域展开.例10. 求函数()0112=+=z zz f 在的邻域内的泰勒 展开式.例11. 例12. 求函数()21-=z z f 在1-=z 的邻域内的泰勒展开式.例13.将函数()()211z z f -=展开为i z -的幂级数.例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.例15. 将函数()ze zf -=11展开为z 的幂级数.§4. 洛朗级数引例 求函数()122-+-=z zz z f 的展开式..0arctan 的幂级数展开式在求=z z定理7 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析，则()z f 在此环域内一定可以展成()()∑∞-∞=-=n n n z z C z f 0， 其中()()() 2,1,02110±±=-=⎰+n d z f i C C n n ςςςπ.C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数. 说明:环域201R z z R <-<内的解析函数则()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数. 例16． 将函数 ()()()211--=z z z f分别在圆环域(1)10<<z ;(2)21<<z ;(3)+∞<<z 2内展开为洛朗级数.例17. 将函数()2z shz z f =在+∞<<z 0内展开为洛朗级数.例18. 试求()211z z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.。