第四章 解析函数的幂级数表示方法
第四章 解析函数的幂级数表示方法
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
幂级数经典课件
收敛域的性 质：收敛域 是一个开区 间且包含原 点
收敛域的应 用：在函数 分析、微积 分等领域有 广泛应用
幂级数的收敛域的性质
收敛半径：幂级 数在收敛域内收 敛
收敛域：幂级数 在收敛域内收敛 且收敛半径为R
收敛半径的性质： 收敛半径R是幂级 数收敛域的半径
收敛域的性质：收 敛域是幂级数收敛 的区间且收敛半径 为R
幂级数的性质
收敛性：幂级数 是否收敛取决于 其收敛半径
解析性：幂级数 在其收敛半径内 解析
幂级数的和：幂级 数的和等于其收敛 半径内的解析函数
幂级数的展开：幂 级数可以展开为泰 勒级数或其他幂级 数形式
幂级数的收敛性
收敛性定义：幂级数在收敛区间内其部分和数列的极限存在 收敛性判别：使用比值判别法、根判别法、积分判别法等 收敛性应用：在函数逼近、数值分析、微分方程求解等领域有广泛应用 收敛性研究：幂级数的收敛性是数学分析中的重要课题有许多研究成果和理论
幂级数的求和的定义与性质
幂级数的求和： 将无穷多个幂 级数项相加得 到新的幂级数
求和的定义： 求和是指将无 穷多个幂级数 项相加得到新
的幂级数
求和的性质： 求和后的幂级 数具有与原幂 级数相同的收 敛半径和收敛
域
求和的应用： 求和在解决数 学问题、物理 问题等方面有
广泛应用
幂级数的求积的定义与性质
幂级数在解决初等数学问题中的应用
幂级数在微积分中的应用
幂级数在函数逼近中的应 用
幂级数在数值分析中的应 用
幂级数在概率论中的应用
幂级数的展开式的定义
幂级数：由无穷多个项组成的函数 展开式：将幂级数表示为无穷多个项的和 展开式形式：_0 + _1x + _2x^2 + ... 展开式的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
第四章、级数
的复变函数项级数，简记为 ∑ f n ( z ) .
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一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义 设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数，
n
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛；
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
7
二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列，
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数， 简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和；
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z ， 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当 即得 ∑ n 收敛。 0 时，
n
+∞
n= 0
n= 0
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二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理 对于幂级数 ∑ a n z ，有
n→ +∞
第四章 解析函数的级数表示
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理4.1）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理4.2）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理4.3）收敛4.（定理4.4）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理4.5 柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理4.5’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理4.6）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理4.7 积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理4.8）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理4.9 魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理4.10 阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
2021年数理方法课件 精美PPT 04第四章 解析函数的幂级数表示
1.函数项级数 fn(z) (1) n=0 • 称函数项级数 (1) 在点集 E 上收敛于函数 f(z)，
若对每点 zE 及任意ε>0，存在正数 N ( , z),
m
对每个 m N ( , z)，有 | fn(z) − f (z) | . n=0
• 当 N( , z)可不依赖于 zE 时，称此函数项级数
|
cn
|
(上极限)
上极限：对实数序列 {xn} ，若去掉前 n 项后的
子序列最小上界为 pn，则
lim sup
n→
xn
=
lim
n→
pn
•对
zn ,
lim
1/ n!
= lim n n! = , 收敛半径为 ∞
n=0 n! n→ 1 /(n + 1)! n→
例1：(1)
n=0
z2n 2n ,
zn (2) ,
n=0
1− z m→+ 1− z
m
对 0<ε<1/2，不等式 | zn − (1− z)−1 | n=0
的解为 m N (z, ) −1, N (z, ) = − ln( |1− z |)
− ln | z |
若
|z|≤ρ，则N (z,
)
ln[
(1−
)]
;
lim N(z, ) = +
ln
z → −1
➢ 柯西收敛准则
fn(z) 收敛 (一致收敛) 的充分必要条件：
n=0
对zE 及 0，存在 N( , z) 0, p m N( , z)
p
时 | fn (z) | .
N ( ) 0
第四章解析函数的幂级数表示法
(z)
f (m) (a)
f (m1) (a) (z a)
m! (m 1)!
即可。充分性是明显的。
• 例4.7 考察函数
f (z) z sin z
在原点 z 0 的性质。
• 解 显然 f (z) 在 z 0 解析，
且 f (0) 0
• 定义 4.5 设函数 fn (z) (n 1,2, )
定义于区域 D 内，若级数（4.2）在
内D任一有界闭集上一致收敛，则称此级 数在 内D内闭一致收敛。
3.解析函数项级数
• 函数项级数能逐项求导的条件时苛刻的， 然而解析函数项级数求导的条件却比较 宽些，这就是下面的维尔斯特拉斯定理。
充要条件为： f (z) 在 D 内任一
a 点
的邻域内可展成幂级数，即泰
勒级数。
• 2． 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状 况
• 定理4.16 如果幂级数的收敛半径 R 0
且
f (z) cn (z a)n ,(z K : z a R)
n0
则在收敛圆周上至少有一奇点。
3! 5!
3! 5!
如在 z a R 内的解析函数 f (z)
a 不恒为零，
为其零点，则必有
a 的一个邻域，使得 f (z) 在其中无
异于 a 的零点。
（简单说来就是：不恒为零的解析函数的 零点必是孤立的。）
（4） 1 z 2 z 4 z9
解 当ｎ是平方数时， cn 1 其他情形 cn 0 。因此，相应有，
n cn 1或0 于是数列 n cn
的聚点是0和1，从而
l 1, R 1
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第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。
注2级数nz∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为：0,0,,N n N ε∀>∃>>使得当时有1||nk k z σε=-<∑，注3如果级数n z ∑收敛，那么1lim lim ()0,n n n n n z σσ+→+∞→+∞=-=注4令Re ,Re ,Im ,Re ,Im n n n n n n a z a z b z a b σσ=====，我们有 11n nn k k k k a i b σ===+∑∑因此，级数n z ∑收敛于σ的充分与必要条件是：级数n a ∑收敛于a 以及级数n b ∑收敛于b 。
注5关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）：级数n z ∑收敛必要与充分条件是：任给0ε>，可以找到一个正整数N ，使得当n>N ，p=1,2,3,…时，12|...|n n n p z z z ε++++++<柯西收敛原理（复数序列）：序列{}n z 收敛必要与充分条件是：任给0ε>，可以找到一个正整数N ，使得当m 及n>N ，||n m z z ε-<对于复数项级数n z ∑，我们也引入绝对收敛的概念： 定义4.2如果级数12||||...||...n z z z ++++收敛，我们称级数n z ∑绝对收敛。
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛复级数n z ∑收敛的一个充分条件为级数n z ∑收敛注1、级数n z ∑绝对收敛必要与充分条件是：级数n a ∑以及n b ∑绝对收敛：事实上，有11111||||||||||,nn n nkk nk k k k k nk k k k ab z a b ======≤=≤+∑∑∑∑∑及注2、若级数n z ∑绝对收敛，则n z ∑一定收敛。
例4.1当||1α<时，21......n ααα+++++绝对收敛；并且有12111...,lim 01n nn n αααααα++→+∞-++++==-我们有，当||1α<时，211.......1n αααα+++++=-定理4.1如果复数项级数'n z ∑及"n z ∑绝对收敛，并且它们的和分别为',"αα，那么级数'"'"'"12111(...)n n n n z z z z z z +∞-=+++∑ 也绝对收敛，并且它的和为'"αα。
2、复变函数项级数和复变函数序列：定义4.3 设{()}(1,2,...)n f z n =在复平面点集E 上有定义，那么：...)(...)()(21++++z f z f z f n是定义在点集E 上的复函数项级数，记为1()n n f z +∞=∑，或()n f z ∑。
设函数f(z)在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，级数()n f z ∑都收敛于()f z ，那么我们说此复函数项级数在E 上收敛于()f z ，或者此级数在E 上有和函数()f z ，记作),()(1z f z fn n=∑+∞=设),...(),...,(),(21z f z f z f n是E 上的复函数列，记作+∞=1)}({n n z f 或)}({z f n 。
设函数)(z ϕ在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，序列)}({z f n 都收敛于)(z ϕ，那么我们说此复函数序列在E 上收敛于)(z ϕ，或者此序列在E 上有极限函数)(z ϕ，记作),()(lim z z f n n ϕ=+∞→注1、复变函数项级数∑)(z f n 收敛于()f z 的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|1ε<-∑=z f z f nk k注2、复变函数序列)}({z f n 收敛于)(z ϕ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|εϕ<-z z f n定义4.4如果任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数()N N ε=，使得当E z N n ∈>,时，有.|)()(|1ε<-∑=z f z f nk k或 .|)()(|εϕ<-z z f n那么我们说级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在E 上一致收敛于()f z 或)(z ϕ。
注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：定理4.5柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复函数项级数∑)(z f n 在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,，p =1,2,3,…时，有.|)(...)()(|21ε<++++++z f z f z f p n n n柯西一致收敛原理（复函数序列）：复变函数序列)}({z f n 在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n m ∈>,,时，有.|)()(|ε<-z f z f m n注2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法(优级数准则)：设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。
设在E 上，,...),2,1( |)(|=≤n a z f n n那么级数∑)(z f n 在E 上绝对收敛且一致收敛。
这样的正项级数1n n a ∞=∑称为复函数项级数∑)(z f n 的优级数.定理 4.6 设复平面点集E 表示区域、闭区域或简单曲线。
设,...)2,1)}(({=n z f n 在集E 上连续，并且级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在E 上一致收敛于()f z 或)(z ϕ，那么f (z )或)(z ϕ在E 上连续。
定理4.7 设,...)2,1)((=n z f n 在简单曲线C 上连续，并且级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在C 上一致收敛于()f z 或)(z ϕ，那么......21++++n a a a,)()(1⎰∑⎰=+∞=Cn Cn dz z f dz z f或.)()(⎰⎰=CCn dz z dz z f ϕ注1、在研究复函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。
定义4.5设函数,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面C 上的区域D 内解析。
如果级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在D 内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于()f z 或)(z ϕ，那么我们说此级数或序列在D 中内闭（或内紧）一致收敛于()f z 或)(z ϕ。
定理4.9（魏尔斯特拉斯定理）设函数,...)2,1)((=n z f n 在区域D 内解析，并且级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在D 内闭一致收敛于函数()f z 或)(z ϕ，那么()f z 或)(z ϕ在区域D 内解析，并且在D 内,)()(1)()(∑+∞==n k n k z f z f或,...).3,2,1(),(lim )()()(==+∞→k z f z k n n k ϕ证明：先证明()f z 在D 内任一点0z 解析，取0z 的一个邻域U ，使其包含在D 内，在U 内作一条简单闭曲线C 。
由定理4.7以及柯西定理，,0)()(1==∑⎰⎰+∞=n Cn Cdz z f dz z f因为根据莫勒拉定理，可见()f z 在U 内解析。
再由于0z 是D 内任意一点，因此()f z 在D 内解析。
其次，设U 的边界即圆K 也在D 内，于是∑+∞=+-110)()(n k n z z z f ， 对于K z ∈一致收敛于10)()(+-k z z z f 。