高考数学二轮复习第5部分短平快增分练专题一小题提速练 518 小题提速练(八)文

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高考数学二轮复习第五部分短平快增分练专题一增分练5.1.4小题提速练(四)(2021学年)

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小题提速练(四）(满分80分,押题冲刺,45分钟拿下客观题满分）一、选择题(本题共1２小题，每小题５分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)１．已知a,b∈R，i是虚数单位,若ａ-i与2＋bｉ互为共轭复数，则(a＋b i)2=( )A.５-４i ﻩB.5＋4iC.3－4i Ｄ．3＋4i解析:选D。

因为a,ｂ∈R，i是虚数单位，若a－ｉ与2+ｂi互为共轭复数,所以a＝2,ｂ＝1,所以（a+b i)2=（２+ｉ)2=3+4i。

2.若全集U＝R,集合A=｛ｘ|1＜2x<4｝，B＝{ｘ|ｘ-１＞0｝,则A∩(∁UＢ）＝( ）A．{x｜0＜x≤1}ﻩ B.{x|1＜x<2}C.{x|０<x<１｝ﻩD．{x|１≤ｘ<2}解析：选Ａ.A＝{ｘ|1＜2x<4｝=｛x｜0＜x<２},B＝{ｘ|x-1>0｝={x｜x>1｝，则∁U B={x|x≤1},则A∩（∁U B）=｛ｘ｜０＜x≤1}．3.已知命题p：∀x≥0，２x≥1；命题ｑ：若x＞y,则x2>y２，则下列命题为真命题的是( ）Ａ．p∧ｑﻩ B.p∧﹁qC．﹁p∧﹁qﻩ D.﹁p∨q解析:选B。

18届高考数学二轮复习第5部分短平快增分练专题一小题提速练5_1_2小题提速练(二)文

小题提速练(二)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x －1≥1，则A ∩B ＝( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,3]D ．(1,3]解析：选B.解不等式x 2－4x ＋3≤0，得1≤x ≤3，∴A ＝[1,3]，解不等式1x －1≥1，得1＜x ≤2，∴B ＝(1,2]，∴A ∩B ＝(1,2]．2．复数1＋2i1－i 的共轭复数为( )A ．－12＋32iB ．－12－32iC ．－1＋3iD ．－1－3i解析：选B.∵1＋2i1－i ＝＋＋－＋＝1－2＋3i 2＝－12＋32i.∴1＋2i 1－i 的共轭复数为－12－32i. 3．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 解析：选C.由2k π－π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π. 4．在区间[－π，π]上随机取一个数x ，使cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32的概率为( )A.16 B ．14 C.13D ．12解析：选A.∵y ＝cos x 是偶函数，∴只研究[0，π]上的情况即可，解12≤cos x ≤32，得π6≤x ≤π3，∴所求概率P ＝π3－π6π＝16.5．已知双曲线的中心在原点，一条渐近线方程为y ＝12x ，且它的一个焦点与抛物线y 2＝85x 的焦点重合，则此双曲线的方程为( )A.x 264－y 216＝1 B ．y 264－x 216＝1 C.x 216－y 24＝1 D ．y 216－x 24＝1 解析：选C.由已知，双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝12x ，∴b a ＝12.又∵抛物线y 2＝85x 的焦点为(25，0)，∴c ＝25，a ＝4，b ＝2，∴此双曲线的方程为x 216－y 24＝1. 6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.143B ．163C ．6D ．193解析：选D.根据三视图可知，几何体是由棱长为2的正方体切去两个三棱锥得到的几何体，如图所示，∴该几何体的体积为2×2×2－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×1×1×2＝193.7．若2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝53，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A.19 B ．－23C.53D ．－53解析：选A.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2－1＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝－19，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝19.8．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝11，则输出的S ＝( )A.511 B ．613 C.1011D ．1213解析：选 A.∵1ii －＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －2－1i (i ≥3)，∴执行程序框图，输出的结果是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1ii －(i ≥3)的前n 项中所有奇数项的和，即 S ＝0＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1i －2－1i ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1i，若n ＝11，则输出的S ＝0＋12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－111＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝511.9．数列{a n }中，满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，且a 1，a 4 035是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －6的极值点，则log 2a 2 018的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A.根据题意，可知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，即数列{a n }是等差数列．又f ′(x )＝x 2－8x ＋6，所以a 1＋a 4 035＝8＝2a 2 018，所以log 2a 2 018＝log 24＝2.10．如图为2016年春节文艺晚会初审中五名评委对甲、乙两个节目的综合评分，其中a ＞0，b ＞0，已知甲、乙两个节目的平均得分之和为179，则1a ＋9b的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.甲的得分分别为88,89,90,90＋a,92 乙的得分分别为83,83,87,90＋b,99由题意得15[88＋89＋90＋90＋a ＋92]＋15[83＋83＋87＋90＋b ＋99]＝179.解得a ＋b ＝4，故1a ＋9b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ×a ＋b 4＝14＋94＋b 4a ＋9a 4b ＝52＋b 4a ＋9a 4b ≥52＋2b 4a ×9a 4b ＝52＋2×34＝4，当且仅当b 4a ＝9a4b，即3a ＝b ＝3时，等号成立，所以1a ＋9b的最小值为4.11．已知向量a ，b 满足a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝1，且|c －a －2b |＝1，则|c |的最大值为( )A ．2B ．4 C.5＋1D ．3＋1解析：解法一：选D.因为a ·(a ＋2b )＝0，所以2a ·b ＝－|a |2，又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋2b |＝|a |2＋4|b |2＋4a·b ＝4|b |2－|a |2＝3，所以|c |ma x ＝|OB →|＋1＝|a ＋2b |＋1＝3＋1.解法二：如图，连接AB ，设a ＝OA →，a ＋2b ＝OB →，c ＝OC →，且设点A 在x 轴上，则点B 在y 轴上，由|c －a －2b |＝1，可知|c －(a ＋2b )|＝|OC →－OB →|＝|BC →|＝1，所以点C 在以B 为圆心，1为半径的圆上．因为OB →＝OA →＋AB →＝a ＋2b ，所以AB →＝2b .因为|a |＝|b |＝1，所以|AB →|＝2，|OA →|＝1，所以|OB →|＝|AB →|2－|OA →|2＝3，所以|c |ma x ＝|OB →|＋1＝3＋1.12．对于函数f (x )和g (x )，设a ∈{x |f (x )＝0}，b ∈{x |g (x )＝0}，若存在a ，b 使得|a －b |≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x＋x －e －1与g (x )＝x 2－mx －2m ＋5互为“零点相邻函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤94，4 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，94 解析：选C.∵函数y ＝e x，y ＝x －e －1均为单调递增函数，∴函数f (x )为单调递增函数，∵f (1)＝0，∴函数f (x )的零点为1，设g (x )的零点为b ，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.∵g (x )＝x 2－mx －2m ＋5的图象必过点(－2,9)，要使g (x )在[0,2]上有零点，则g (0)·g (2)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧g ≥0，g ≥0，Δ＝m 2－－2m ＋5≥0，0≤m 2≤2，解得2≤m ≤52.二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x ＋y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则z ma x ＝2×2－1＝3.答案：314．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．解析：成绩低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3，故所求的人数为150.3＝50.答案：5015．在△ABC 中，AC →＝2AD →，△ABC 的面积为66，若AP →＝12AC →＋56AB →，则△ABP 的面积为________．解析：如图，在AB 上取点E 使AE →＝56AB →∵AC →＝2AD →，D 是AC 的中点， ∴12AC →＝AD →. 以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADPE则AP →＝AD →＋AE →＝12AC →＋56AB →，又△ABP 与△ABD 同底AB 且等高，∴S △ABP ＝S △ABD∴S △ABP ＝S △ABD ＝12S △ABC ＝3 6.答案：3 616．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3(a ＞0)互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1.设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，所以0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3必经过点(－1,4)，所以要使其零点在区间[0,2]上，则g (0)≥0⇒－a ＋3≥0，即a ≤3，则对称轴a 2≤32，从而可得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a 2－a ＋3≤0，即a 2＋4a －12≥0，解得，a ≥2或a ≤－6，又a ＞0，则a ≥2，所以2≤a ≤3.答案：[2,3]。

2018届高考数学二轮复习第5部分短平快增分练专题一小题提速练5_1_4小题提速练四文

小题提速练(四)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i解析：选D.因为a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.2．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜2x＜4}，B ＝{x |x －1＞0}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |1＜x ＜2} C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |1≤x ＜2}解析：选A.A ＝{x |1＜2x＜4}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x －1＞0}＝{x |x ＞1}，则∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝{x |0＜x ≤1}．3．已知命题p ：∀x ≥0,2x≥1；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧﹁q C ．﹁p ∧﹁qD ．﹁p ∨q解析：选B.命题p ：∀x ≥0,2x≥1为真命题，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2为假命题(如x ＝0，y ＝－3)，故﹁q 为真命题，则p ∧﹁q 为真命题．4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：选B.∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数的周期是4，∵f (x )在R 上是奇函数，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为( )A.312π B ．36πC.34π D ．33π 解析：选A.由三视图可知几何体为圆锥的14，圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴圆锥的高度为3，∴V ＝14×13×π×12×3＝3π12.6．在区间[－2,4]上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为56，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选D.如图区间长度是6，区间[－2,4]上随机取一个数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为56，所以m ＝9.7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：选A.f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.8．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6,8,0，则输出a 和i 的值分别为( )A ．0,4B ．0,3C ．2,4D ．2,3解析：选C.模拟执行程序框图，可得a ＝6，b ＝8，i ＝0，i ＝1，不满足a ＞b ，不满足a ＝b ，b ＝8－6＝2，i ＝2，满足a ＞b ，a ＝6－2＝4，i ＝3，满足a ＞b ，a ＝4－2＝2，i ＝4，不满足a＞b ，满足a ＝b ，输出a 的值为2，i 的值为4.9．已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( ) A ．－35B ．－45C.35D ．45解析：选B.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得T 2＝πω＝π2， ∴ω＝2.由sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得cos φ＝－45，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.10．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A.3－1 B ．11－1 C.3＋1D ．11＋1解析：选 A.由|CP →|＝1及C (0，－2)可得点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ－2，∴OA →＋OB →＋OP →＝(2＋cos θ，sin θ－1)，|OA →＋OB →＋OP →|2＝(2＋cos θ)2＋(sin θ－1)2＝2＋22cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ－2sin θ＋1＝4＋23cos(θ＋φ)≥4－23⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝63，sin φ＝33，∴|OA →＋OB →＋OP →|≥3－1.11．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3C ．2D ． 5解析：选C.如图，因为FB →＝2FA →，所以A 为线段FB 的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2＋∠4＝2∠2＝∠3，故∠2＋∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒b a＝3.∴e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝4⇒e ＝2.12．已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B ．36 C.23D ．22解析：选A.根据题意作出图形，设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC .∵CO 1＝23×32＝33， ∴OO 1＝63，∴SD ＝2OO 1＝263， ∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC ＝34，∴V ＝13×34×263＝26. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5∶4∶3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的高中二年级学生的人数是________．解析：用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为240的样本，则应从所抽取的高中二年级学生的人数45＋4＋3×240＝80.答案：8014．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，2x ＋y －4≥0，y ≤2，则x y的取值范围是________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分，则由图象知x ＞0，则设k ＝y x，则z＝x y ＝1k，则k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA 的斜率最大，OC 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，2x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，2x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝1，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，则OA 的斜率k ＝2，OC 的斜率k ＝132＝23，则23≤k ≤2，则12≤1k ≤32，则12≤x y ≤32，即x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 15．设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有4S n ＝a 2n ＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：当n ＝1时，由4S 1＝a 21＋2a 1，a 1＞0，得a 1＝2，当n ≥2时，由4a n ＝4S n －4S n －1＝(a 2n ＋2a n )－(a 2n －1＋2a n －1)，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1＝2，故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，代入n ＝1得a 1＝2符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：2n16．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 中点到抛物线准线的距离为________．解析：令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中点D (x 0，y 0)，F (1,0)，由AF →＝2FB →得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝x 2－，－y 1＝2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2x 2＝3，y 1＋2y 2＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝3－x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－y 22，∵⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝y 2x 2－1，又k FB ＝y 2x 2－1，∴k AB ＝k FB ，∴4y 1＋y 2＝y 2x 2－1， ∴y 2(y 1＋y 2)＝4(x 2－1)，即－y 22＝4(x 2－1)，又－y 22＝－4x 2，∴4(x 2－1)＝－4x 2，得x 2＝12，∴x 0＝3－x 22＝54，AB 中点到抛物线准线距离d ＝x 0＋1＝94.答案：94。

高考数学二轮复习第5部分短平快增分练专题一小题提速练 514 小题提速练(四)文

小题提速练(四)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝( ) A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i解析：选D.因为a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.2．若全集U＝R，集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x|x－1＞0}，则A∩(∁U B)＝( )A．{x|0＜x≤1} B．{x|1＜x＜2}C．{x|0＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}解析：选A.A＝{x|1＜2x＜4}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，则∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0＜x≤1}．3．已知命题p：∀x≥0,2x≥1；命题q：若x＞y，则x2＞y2，则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∧﹁qC．﹁p∧﹁q D．﹁p∨q解析：选B.命题p：∀x≥0,2x≥1为真命题，命题q：若x＞y，则x2＞y2为假命题(如x＝0，y＝－3)，故﹁q为真命题，则p∧﹁q为真命题．4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )A．2 B．－2C．－98 D．98解析：选B.∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数的周期是4，∵f(x)在R上是奇函数，且当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为( )A.312πB．36πC.34π D ．33π 解析：选A.由三视图可知几何体为圆锥的14，圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴圆锥的高度为3，∴V ＝14×13×π×12×3＝3π12.6．在区间[－2,4]上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为56，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选D.如图区间长度是6，区间[－2,4]上随机取一个数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为56，所以m ＝9.7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：选A.f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.8．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6,8,0，则输出a 和i 的值分别为( )A ．0,4B ．0,3C ．2,4D ．2,3解析：选C.模拟执行程序框图，可得a ＝6，b ＝8，i ＝0，i ＝1，不满足a ＞b ，不满足a ＝b ，b ＝8－6＝2，i ＝2，满足a ＞b ，a ＝6－2＝4，i ＝3，满足a ＞b ，a ＝4－2＝2，i ＝4，不满足a＞b ，满足a ＝b ，输出a 的值为2，i 的值为4.9．已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( ) A ．－35B ．－45C.35D ．45解析：选B.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得T 2＝πω＝π2， ∴ω＝2.由sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得cos φ＝－45，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.10．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A.3－1 B ．11－1 C.3＋1D ．11＋1解析：选 A.由|CP →|＝1及C (0，－2)可得点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ－2，∴OA →＋OB →＋OP →＝(2＋cos θ，sin θ－1)，|OA →＋OB →＋OP →|2＝(2＋cos θ)2＋(sin θ－1)2＝2＋22cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ－2sin θ＋1＝4＋23cos(θ＋φ)≥4－23⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝63，sin φ＝33，∴|OA →＋OB →＋OP →|≥3－1.11．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2D ． 5解析：选C.如图，因为FB →＝2FA →，所以A 为线段FB 的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2＋∠4＝2∠2＝∠3，故∠2＋∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒b a＝3.∴e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝4⇒e ＝2.12．已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B ．36 C.23D ．22解析：选A.根据题意作出图形，设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC .∵CO 1＝23×32＝33， ∴OO 1＝63，∴SD ＝2OO 1＝263， ∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC ＝34，∴V ＝13×34×263＝26. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5∶4∶3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的高中二年级学生的人数是________．解析：用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为240的样本，则应从所抽取的高中二年级学生的人数45＋4＋3×240＝80.答案：8014．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，2x ＋y －4≥0，y ≤2，则x y的取值范围是________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分，则由图象知x ＞0，则设k ＝y x，则z＝x y ＝1k，则k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA 的斜率最大，OC 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，2x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，2x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝1，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，则OA 的斜率k ＝2，OC 的斜率k ＝132＝23，则23≤k ≤2，则12≤1k ≤32，则12≤x y ≤32，即x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 15．设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有4S n ＝a 2n ＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：当n ＝1时，由4S 1＝a 21＋2a 1，a 1＞0，得a 1＝2，当n ≥2时，由4a n ＝4S n －4S n －1＝(a 2n ＋2a n )－(a 2n －1＋2a n －1)，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1＝2，故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，代入n ＝1得a 1＝2符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：2n16．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 中点到抛物线准线的距离为________．解析：令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中点D (x 0，y 0)，F (1,0)，由AF →＝2FB →得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝2x 2－1，－y 1＝2y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2x 2＝3，y 1＋2y 2＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝3－x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－y 22，∵⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝y 2x 2－1，又k FB ＝y 2x 2－1，∴k AB ＝k FB ，∴4y 1＋y 2＝y 2x 2－1， ∴y 2(y 1＋y 2)＝4(x 2－1)，即－y 22＝4(x 2－1)，又－y 22＝－4x 2，∴4(x 2－1)＝－4x 2，得x 2＝12，∴x 0＝3－x 22＝54，AB 中点到抛物线准线距离d ＝x 0＋1＝94.答案：94。

2018届高考数学二轮复习第5部分短平快增分练专题一小题提速练 5-1-10 小题提速练(十

小题提速练(十)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z 为复数，且2z ＋z ＝6－4i ，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.设z ＝x ＋y i ，则有3x ＋y i ＝6－4i ，x ＝2，y ＝－4，故z 在复平面内对应的点是(2，－4)，该点位于第四象限，选D.2．设集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2} B ．{2,3} C ．{1,2,3}D ．{2,3,4}解析：选A.依题意得A ＝{－1,1,2}，B ＝{x ∈Z |0＜x ＜5}＝{1,2,3,4}，故A ∩B ＝{1,2}，选A.3．cos 80°cos 130°－sin 100°sin 130°＝( ) A.32B ．12C ．－12D ．－32解析：选D.cos 80°cos 130°－sin 100°sin 130°＝cos 80°cos 130°－sin 80°sin 130°＝cos(80°＋130°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－32，选D. 4．已知向量a ＝(1，3)，|b |＝1，且向量a 与b 的夹角为60°，则(a －b )·b ＝( ) A ．0 B ．－1 C ．2D ．－2解析：选A.(a －b )·b ＝|a ||b |cos 60°－b 2＝0，选A.5．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤1x ＋2y ≥1，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D.如图，画出不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线2x －y ＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(1,0)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z 取得最大值2，选D.6．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B ．25 C.35D ．3210解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的n 的值为( )A ．12B ．24C ．48D ．96解析：选B.当n ＝6时，S ＝332＜3.10；当n ＝12时，S ＝3＜3.10；当n ＝24时，S ＝3.1056＞3.10，故输出的n 的值为24，选B.8．设a ＝log 23，b ＝log 46，c ＝log 89，则下列关系正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A.依题意得b ＝log 26log 24＝log 2612，c ＝log 29log 28＝log 2913，因为3＞612＝(63)16＞(92)16＝913，所以a ＞b ＞c ，选A.9．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若点F 1关于渐近线的对称点位于以点F 2为圆心、|OF 2|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选B.如图，记点F 1关于渐近线的对称点为M ，连接F 1M ，MF 2，OM ，则有|OF 2|＝|F 2M |＝c ＝|OM |，F 1M ⊥MF 2，△OMF 2为正三角形，∠MF 2F 1＝60°，一条渐近线的倾斜角为60°，于是有ba＝tan 60°＝3，故双曲线C 的离心率为 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，选B.10．如图是某几何体的三视图，其中正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A.20π3B ．8πC ．9πD ．19π3解析：选D.可将该几何体放入长方体中，如图，该几何体是三棱锥A BCD ，设球心为O ，O 1，O 2分别为△BCD 和△ABD 的外心，BD 的中点为E ，易知球心O 在平面BCD 、平面ABD 上的射影分别为O 1，O 2，四边形OO 1EO 2是矩形，OO 1＝O 2E ＝13×32AB ＝36AB ＝33，O 1D ＝12CD ＝52，所以球的半径R ＝OO 21＋O 1D 2＝1912，所以该几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝19π3，选D. 11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋2φ)－2sin φcos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．(0,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 解析：通解：选C.f (x )＝sin(ωx ＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx ＋φ)＝cos φsin(ωx ＋φ)－sin φcos(ωx ＋φ)＝sin ωx ，π2＋2k π≤ωx ≤3π 2＋2k π，k ∈Z ⇒π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2ω＋2k πω，3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，所以π2ω＋2k πω≤π＜3π2≤3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，由π2ω＋2k πω≤π，可得12＋2k ≤ω，k ∈Z ，由3π2≤3π2ω＋2k πω，k∈Z ，可得ω≤1＋4k 3，k ∈Z ，所以12＋2k ≤ω≤1＋4k 3，k ∈Z ，又T 2≥3π2－π＝π2，所以2πω≥π，因为ω＞0，所以0＜ω≤2，所以当k ＝0时，12≤ω≤1.故选C.优解：f (x )＝sin(ωx ＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx ＋φ)＝cos φsin(ωx ＋φ)－sinφcos(ωx ＋φ)＝sin ωx ，当ω＝1时，f (x )＝sin x ，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减，满足题意，排除B ；当ω＝54时，f (x )＝sin 54x ，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π5，6π5上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π5，2π上单调递增，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上既有增区间，又有减区间，不符合题意，排除A ，D.故选C.12．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，∀x ∈(0，＋∞)，f (f (x )－ln x )＝e ＋1(其中e 为自然对数的底数)，且方程f (x )－kx ＝0有两个不同的实根，则k 的取值范围是( )A ．(0，e)B ．(0，e e －1) C ．[1，e)D ．[1，ee －1)解析：选B.设f (x )－ln x ＝t (t ＞0且t 为常数)，则f (t )＝e ＋1，f (x )＝t ＋ln x ，f (t )＝t ＋ln t ＝e ＋1，t ＝e ，f (x )＝e ＋ln x ．过原点向曲线f (x )作切线，设切点是(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝e ＋ln x 0y 0－0x 0－0＝1x 0＝f x 0，由此解得x 0＝e1－e.因此，满足题意的k 的取值范围是(0，ee －1)，选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)：由最小二乘法求得回归方程y ＝0.67x ＋a ，则a 的值为________．解析：因为x ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋68＋75＋81＋895＝75，所以回归直线一定过样本点的中心(30,75)，则由y ^＝0.67x ＋a ^可得75＝30×0.67＋a ^，求得a ^＝54.9.答案：54.914．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0且a 1＝1，若S n ＋1＋S n ＝1a n ＋1，则a 25＝________.解析：依题意得(S n ＋1＋S n )(S n ＋1－S n )＝1，S 2n ＋1－S 2n ＝1，故数列{S 2n }是以S 21＝1为首项、1为公差的等差数列，S 2n ＝1＋n －1＝n .又S n ＞0，因此S n ＝n ，a 25＝S 25－S 24＝25－24＝5－2 6.答案：5－2 615．如图，要测量河对岸C ，D 两点间的距离，在河边一侧选定两点A ，B ，测出A ，B 两点间的距离为203，∠DAB ＝75°，∠CAB ＝30°，AB ⊥BC ，∠ABD ＝60°.则C ，D 两点之间的距离为________．解析：在Rt△ABC 中，AC ＝ABcos 30°＝40.在△ABD 中，ADsin 60°＝ABsin[180°－＋，得AD ＝203sin 60°sin 45°＝30 2.在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos 45°＝1 000，CD ＝1010，故C ，D 两点之间的距离为1010.答案：101016．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，若OA →·OB →＝2(O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．解析：设直线AB的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2＜0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋my 2＝x 得y2－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m .又OA →·OB →＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m ＜0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14×|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 1≥298|y 1|×|2y 1|＝3，当且仅当98|y 1|＝|2y 1|，即|y 1|＝43时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3.答案：3。

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小题提速练(一)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．{0,1}D ．∅解析：选C.N ＝{－1,0,1}，故M ∩N ＝{0,1}．2．已知复数z ＝3－bii(b ∈R )的实部和虚部相等，则|z |＝( )A ．2B ．3C ．22D ．32解析：选D.令3－bii＝－b －3i ，解得b ＝3故|z |＝3 2.3．“log 2(2x －3)＜1”是“x ＞32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.log 2(2x －3)＜1，化为0＜2x －3＜2，解得32＜x ＜52.∴“log 2(2x －3)＜1”是“x＞32”的充分不必要条件．4．函数y ＝x 2＋ln|x |的图象大致为( )解析：选A.∵f (x )为偶函数，故排除B ，C ，当x →0时，y →－∞，故排除D ，或者根据当x＞0时，y ＝x 2＋ln x 为增函数，故排除D.5．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A cos ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移2π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B.由图象知A ＝2，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，∴T ＝π，ω＝2，f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎪⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，－π＜φ＜0，∴φ＝－2π3，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，故可将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度得到g (x )的图象．6．圆x 2＋y 2＋4x －2y －1＝0上存在两点关于直线ax －2by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋4b的最小值为( )A ．8B ．9C ．16D ．18解析：选B.由圆的对称性可得，直线ax －2by ＋2＝0必过圆心(－2,1)，所以a ＋b ＝1.所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝4ab ，即2a ＝b 时取等号，故选B.7．已知变量x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x －2y ＋3≥0，x≥0，则z ＝(2)2x ＋y的最大值为( )。

高考数学二轮复习第五部分短平快增分练专题一增分练 5.1.3 小题提速练(三)

小题提速练(三)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x |x 2－2x －3＜0}，N ＝{x |log 2x ＜0}，则M ∩N 等于( ) A ．(－1,0) B ．(－1,1) C ．(0,1)D ．(1,3)解析：选C.由题干条件可知，M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{x |0＜x ＜1}，所以M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}．2．若复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B ．± 3 C ．±3iD.3i解析：选B.复数z 的实部为1，设z ＝1＋b i ，|z |＝2，可得1＋b 2＝2，解得b ＝±3，复数z 的虚部是± 3.3．若命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则下面结论正确的是( )A ．p 是假命题B ．﹁q 是真命题 C ．p ∧q 是假命题D ．p ∨q 是真命题解析：选D.当α＝π2时，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π2＝cos π2＝0， ∴命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α是真命题，∵∀x ∈R ，x 2＋1≥1＞0，∴命题q 是真命题，∴A 中p 是假命题是错误的；B 中﹁q 是真命题是错误的；C 中p ∧q 是假命题是错误的；D 中p ∨q 是真命题是正确的．4．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于( )A ．0.120B ．0.180C ．0.012D ．0.018解析：选D.由30×0.006＋10×0.01＋10×0.054＋10x ＝1，解得x ＝0.018.5．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D.由题意可知，该几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，ln x ，x ＞1，则f (f (e))＝(其中e 为自然对数的底数)( )A ．0B ．1C ．2D ．(e 2＋1)解析：选C.由题意得，f (e)＝ln e ＝1，所以f (f (e))＝f (1)＝1＋1＝2.7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C.依题意，注意到f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x－2－x 2x＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0＜x ＜1时，1－2x1＋2x ＜0，cos x ＞0，f (x )＜0，因此结合选项知，C 正确，选C.8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n 22n －2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，选D.9．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝(其中O 为坐标原点)( )A ．－32B ．32C ．－72D ．72解析：选D.由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＝0可得π8x ＋π4＝k π，∴x ＝8k －2，k ∈Z ，∵－2＜x＜14，∴x ＝6即A (6,0)，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于点A 对称即x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(6,0)＝6(x 1＋x 2)＝72.10．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( )A ．6B ．2 6 C. 3D ．2 3解析：选D.由题意可得双曲线C 1的一个焦点为(3,0)，∴c ＝3，可设双曲线C 1的标准方程为x 2a 2－y 29－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，x 2a 2－y 29－a2＝1，解得y ＝±9－a2a，∴2×9－a 2a＝43，解得a ＝3，∴双曲线C 1的实轴长为2a ＝2 3.11．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上非顶点的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B.如图，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重合，此时|OM →|取最小值0.当点P 在椭圆与x 轴交点时，点M 与焦点F 1重合，此时|OM →|取大值22.∵xy ≠0，∴|OM →|的取值范围是(0,22)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，若函数f (x )的图象在A ，B 两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－1，＋∞)D ．(－ln 2，＋∞)解析：选C.当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ＋a 的导数为f ′(x )＝2x ＋1；当x ＞0时，f (x )＝ln x 的导数为f ′(x )＝1x，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2，当x 1＜x 2＜0，或0＜x 1＜x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2，当x 1＜0时，函数f (x )在点A (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋x 1＋a )＝(2x 1＋1)(x －x 1)；当x 2＞0时，函数f (x )在点B (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，两直线重合的充要条件是1x 2＝2x 1＋1①，ln x 2－1＝－x 21＋a②，由①及x 1＜0＜x 2得0＜1x 2＜1，由①②得a ＝ln x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－12－1，令t ＝1x 2，则0＜t ＜1，且a ＝－ln t ＋14t 2－12t －34，设h (t )＝－ln t ＋14t 2－12t －34(0＜t ＜1)，则h ′(t )＝－1t ＋12t －12＜0，即h (t )在(0,1)为减函数，则h (t )＞h (1)＝－ln 1－1＝－1，则a ＞－1，可得函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，a 的取值范围是(－1，＋∞)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．若直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是________．解析：∵直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长， ∴直线ax －by ＋1＝0过圆C 的圆心(－1,2)，∴有a ＋2b ＝1，∴ab ＝(1－2b )b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，∴ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18 14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 值为________．解析：由程序框图知：程序第一次运行n ＝10，i ＝2；第二次运行n ＝5，i ＝3；第三次运行n ＝3×5＋1＝16，i ＝4；第四次运行n ＝8，i ＝5；第五次运行n ＝4，i ＝6；第六次运行n ＝2，i＝7；第七次运行n ＝1，i ＝8.满足条件n ＝1.程序运行终止，输出i ＝8.答案：815．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，y ≥2，x －4y ＋k ≥0，且目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－1，则实常数k ＝________.解析：由题意作出目标函数的平面区域如图所示，结合图象可知，当过点A (x,2)时，目标函数z ＝3x ＋y 取得最小值－1，故3x ＋2＝－1，解得x ＝－1，故A (－1,2)，故－1＝4×2－k ，故k ＝9.答案：916．在一个棱长为4的正方体内，最多能放入________个直径为1的球．解析：根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：16＋9＋16＋9＋16＝66(个)．答案：66。

高考数学二轮复习第五部分短平快增分练专题一增分练5.1.8小题提速练八

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小题提速练(八)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|x －y ＝0，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 中的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.集合的交集问题转化为直线x ＋y ＝0和x －y ＝0的交点问题，作出直线x ＋y ＝0和x －y ＝0，观察它们的图象的交点只有一个，故选B.2．已知i 是虚数单位，5－i zz＝1＋i ，则|z |＝( )A ．5B ． 5C ．2 5D ．10解析：选B.由题知，5－i z ＝(1＋i)z ，(1＋2i)z ＝5，z ＝51＋2i， |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪51＋2i ＝5|1＋2i|＝55＝5，故选B.3．已知命题p ：存在n ∈R ，使得f (x )＝nx n 2＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2＜3x ”．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．p ∧﹁qD ．﹁p ∧﹁q解析：选C.当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则﹁p 是假命题；“∃x ∈R ，x 2＋2＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，﹁q 是真命题．所以p ∧q ，﹁p ∧q ，﹁p ∧﹁q 均为假命题，p ∧﹁q 为真命题，选C.4．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则∠A ＝( ) A.5π6B ．π4C.2π3 D ．3π4解析：选D.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝22， ∴co s A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝－422×2＝－22，∵0＜A ＜π，∴∠A ＝3π4，故选D.5．已知正项等比数列{a n }的首项a 1＝1，a 2·a 4＝16，则a 8＝( ) A ．32 B ．64 C ．128D ．256解析：选C.因为a 2·a 4＝16＝(a 3)2，所以a 3＝4，因为a 3＝a 1q 2＝4，a 1＝1，所以q 2＝4，即q ＝±2，q ＝－2舍去，所以q ＝2，所以a 8＝a 3q 5＝4×25＝27＝128，故选C.6．定义在[－2,2]的函数f (x )对于任意的x 1＜x 2，x 1，x 2∈[－2,2]，都有f (x 1)＜f (x 2)，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的范围是( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,2)解析：选C.∵函数f (x )满足对于任意的x 1，x 2∈[－2,2]都有f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C.7．过球O 的一条半径的中点且与该半径垂直的截面圆的面积是4π，则球O 的表面积是( ) A.163π3 B ．323π3C.32π3D ．64π3解析：选D.设该球的半径为R ，由条件可得截面圆的半径为2，且⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋4＝R 2，解得R ＝433，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.8．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为16，则输入的实数x 为( )A ．2B ．4C ．－6D ．2或4解析：选 A.由程序框图得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22，x ≥0，2x，x ＜0.若y ＝16，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2＝16或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，2x＝16，解得x ＝2，故选A.9．已知sin(70°＋α)＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋80°－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋80°＝( )A ．－13B ．－223C.13D ．223解析：选A.由题知，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋80°－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋80°＝cos(α＋160°)＝－cos(α－20°)＝－sin(70°＋α)＝－13，故选A.10．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外其余完全相同)，甲先从袋中摸出一球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一球，记下编号，则甲乙两人摸出的球的编号不同的概率是( )A.15 B ．16 C.56D ．3536解析：选C.设甲乙两人摸出球的编号相同的事件为A ，其对应的概率是P (A )＝6×16×6＝16，其对立事件A 为甲乙两人摸出球的编号不相同，由对立事件的性质可知P (A )＝1－P (A )＝56，故选C.11．已知O 是坐标原点，双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)上有一点P ，过点P 作双曲线两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A ，B 两点，平行四边形OBPA 的面积是1，则双曲线的离心率是( )A. 2 B ． 3 C.52D ．223解析：选C.双曲线的渐近线方程是x ±ay ＝0，设P (m ，n )是双曲线上的任意一点，过P 平行于OB ：x ＋ay ＝0的方程是x ＋ay －m －an ＝0与OA ：x －ay ＝0的交点是A ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋an 2，m ＋an 2a ，∴|OA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋an 2·1＋1a 2，点P 到OA 的距离是d ＝|m －an |1＋a2，因为|OA |·d ＝1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋an 2·1＋1a 2·|m －an |1＋a 2＝1，∴m 2－a 2n 2＝2a ，又因为m 2a 2－n 2＝1，∴a 2＝2a ，所以a ＝2，c ＝5，即e ＝52，故选C. 12．已知函数f (x )＝e x＋eln x －2ax 在x ∈(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e 32＋e 6B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 32＋e 6，＋∞C ．(－∞，e)D ．(－∞，e]解析：选D.依题意，f ′(x )＝e x＋e x －2a ≥0在x ∈(1,3)上恒成立，即a ≤e x2＋e2x 在x ∈(1,3)上恒成立，令g (x )＝e x2＋e 2x ，则g ′(x )＝e x2－e 2x 2，令h (x )＝e x2－e 2x 2，则h ′(x )＝e x2＋ex 3＞0，g ′(x )＝e x2－e2x2≥g ′(1)＝0， ∴g (x )在x ∈(1,3)上单调递增，a ≤g (1)＝e ，故选D. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．甲、乙、丙三人中，有牧师、赌徒和骗子，牧师从不说谎，骗子总是说谎，赌徒有时说谎，有时候讲真话，甲说：“我是赌徒．”乙说：“甲是骗子．”丙说：“甲是牧师．”那么真正的牧师是________．解析：若甲是牧师，则甲说的是真话，但是甲是赌徒，这与甲是牧师矛盾；所以甲可能是赌徒或骗子，若丙是牧师，则丙说的是真话，即甲是牧师，这与丙是牧师矛盾，故乙是牧师，则乙说的是真话，甲是骗子，丙是赌徒．答案：乙14．若实数x ，y 满足不等式|x ＋1|≤y ≤a ，a ＞0，若z ＝2x －y 的最小值是－8，则a ＝________.解析：作出可行域，如图所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x ＋1|，y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－a ，y ＝a ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －1，y ＝a ，即A (－1－a ，a )，B (a －1，a )，令z ＝0得直线l 0：y ＝2x ，l 0向上移动，z ＝2x －y 的值变小，故经过点A (－1－a ，a )时，z min ＝－8，即2(－1－a )－a ＝－8，解得a ＝2.答案：215．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中a ＋b ＝10，则该四棱锥体积的最大值为________．解析：由三视图可知，P 在底面的射影在AD 边上，即正视图等价于△PAD ，P 点为以A ，D 为焦点的椭圆上的点，则当a ＝b ＝5时，PE 有最大值为4，则V 四棱锥＝13×2×6×4＝16，故该四棱锥体积的最大值为16.答案：1616．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b 2＝a 2＋c 2－2ac ，b ＝2，△ABC 的面积是S ，则S ＋2cos A cos C 的最大值是________．解析：由题知，2ac ＝a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，即cos B ＝22，所以B ＝π4，设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝b sin B ＝222＝2，解得R ＝1，因为S ＋2cos A cos C ＝12ac sin B ＋2cos A cosC ＝12×2R sin A ×2R sin C ×22＋2cos A cos C ＝2cos A cos C ＋2sin A sin C ＝2cos(A －C )，显然当A ＝C 时，cos(A －C )ma x ＝1，(S ＋2cos A cos C )ma x ＝ 2.答案： 2。