第14讲 解析函数的洛朗级数表示
洛朗级数
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iii) 在2<|z|<+∞内
1 1 f (z) = − 1− z 2 − z 1 1 1 1 =− + ⋅ = z 1 z 2 1− 1− z z −1 1 1 1 2 4 = (1+ + 2 +L + (1+ + 2 +L ) ) z z z z z z 1 3 7 = 2 + 3 + 4 +L. z z z
f (z) =
n=−∞
∑a (z − z ) ,并设C为圆环域内任何
n n 0
∞
条正向简单闭曲线 ζ为C上一点 则 , , f (ζ ) =
−∞
∑a (ζ − z )
n 0
∞
n
21
f (ζ ) =
以(ζ−z0)−p−1去乘上式两边, 这里p为任一整数, 并沿C沿分, 得 ∞ f (ζ ) n− p−1 ∫ (ζ − z0 ) p+1 dζ = n∑ an C (ζ − z0 ) dζ = 2π iap ∫ =−∞ C
1 f (ζ ) 从而 ap = ∫ (ζ − z0 ) p+1 dζ , ( p = 0,±1,±2,L) 2π i C
n=−∞
an (ζ − z0 )n ∑
∞
这就是(4.4.8)
22
用(4.4.8)计算cn要求环积分, 过于麻烦, 因此一 般不用. 一般是根据由正负整次幂项组成的级 数的唯一性, 可以用别的方法, 特别是代数运 算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛 朗级数的展开式. 例如:
洛朗Laurent级数展开
k a ( z z ) k 0 为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛
朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)， 而在去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，则称z=z0是f(z) 的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除 z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
k 0
z 2 k
k 0
( 2)
1 1 1 f ( z) 2 2 z 1 z 1 1/ z 2 1 2 z
1 1 2 2 k 0 z k 0 z k k 1
无穷多个负幂项，但z0=0不是f(z)的奇点 (3)展开中心z0=1 ，为奇点
(2)在1<|z|<2内，有|1/z|<1
1 1 f ( z) 2(1 z / 2) z (1 1 / z ) 1 zk 1 1 k k 2 k 0 2 z k 0 z
zk 1 k 1 k 1 k 0 2 k 0 z zk 1 k 1 k k 0 2 k 1 z
1 1 1 1 1 f ( z) 2 z 1 ( z 1)(z 1) 2 z 1 z 1
第一项已经是展开式的一项，第二项z=1不是 奇点，z=-1是奇点，可在|z-1|<2上展开为泰 勒级数
1 1 1 1 2 z 1 2 ( z 1) 2 1 1 1 k z 1 (1) 4 1 ( z 1) / 2 4 k 0 2
在|z-z0|≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在
奇点)；
f ( k ) ( z0 ) (2) 洛朗系数 ak ，因为 k! k! f ( ) (k ) f ( z0 ) d k 1 2i C ( z0 )
洛朗级数
1. 预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域---见第三章第18：、且作圆周：解析在设D D k k R z z k k R D z f ⊂=−≤121021,,:.:)(有，对1D z ∈∀ζπf iz f k ∫=221)(2. 双边幂级数定义形如)(00 +++=−+∞−∞=∑n nnc c z z c 正幂项(包括常数项))(00+=−∑∞=n nnc z z c 及其中1,0(0±=n c z n 负幂项部分：)(110=−−∞=−−∑n nnc z z c3. 函数展开成双边幂级数定理()()(21:)5()()(:)(010001的任何一条简单闭曲线内绕是其中在设z D c n d z f i c z z cz f R z z R D z f k n n n nn=−=−=<−<∫∑+∞+−∞=ζζζπ在称为R z z R D z f 201:)(<−<内的在称为R z z R D z f 201:)(<−<4. 展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是的洛朗级数。
事实上，)()(:)(01∑∞+−∞=−=<n nz z az f R D z f 可表示为在设∑∞+−∞=−=n nnz af )()(0ζζcz D c ∈∀ζ的简单闭曲线，内任何一条绕为设。
解析函数的级数表示法
4.2.2 幂级数
cn (z a)n c0 c1(z a)2 c1(z a)n
n0
或 cn zn称为幂级数。
阿贝n尔0 （Abel)定理
如果级数 cn z在n z z0 (收0敛) ，那么对满足
z z |发z |散| z，0 |的那么n满0，足级数必| z绝||对的z0收| 敛，，级如数果必在发散z。 级z0 数
上一致收敛。
| z | r(r 1)
29 第29页，共107页。
定理4.2.2 设级数 fn的(z)各项在点集E上连续，并且在C
上一致收敛于
，n1则f和(z函) 数
f (z) fn(z)
也在E上连续.
n1
定理4.2.3 设级数
fn (的z) 各项在曲线C上连续，并且在
C上一致收敛于 n，1 则f (沿z)C可以逐项积分：
24 第24页，共107页。
定理4.4
（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以 任意重排次序，而不致改变其绝对收敛 性，亦不致改变其和。
（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方 法得出乘积级数。
25 第25页，共107页。
4.2 幂级数
4.2.1 复变函数项级数
设 { fn (z)}(n 1,2,)为一复变函数列，其中 各项在区域D内有定义. 表达式
n
i. 1
解：先分解 n an ibn，然后分别考察 an
和 bn的极限，再确定数列 {的n} 收敛性。
（1）
(1 i )n 2
1 2n 2
(cos
n
4
i sin n ) 0(n )
4
5 第5页，共107页。
（2）
1 ni 1 ni
1 1
实变函数的幂级数,泰勒级数,洛朗级数
实变函数的幂级数,泰勒级数,洛朗级数实变函数的幂级数、泰勒级数和洛朗级数是数学中常见且重要的概念，它们在数学分析和实际应用中都有着重要的作用。
本文将从浅入深地探讨这些级数的定义、性质和应用，希望能够帮助读者更全面地理解这一主题。
一、实变函数的幂级数1.1 什么是幂级数在数学中，幂级数是指形如∑(an * (x - a)^n)的无穷级数，其中a是常数，an是系数，x是变量。
这种级数在数学分析和微积分中有着重要的应用，可以用来表示各种函数。
1.2 幂级数的收敛性幂级数的收敛性是指在何种情况下幂级数能够收敛于某一函数。
对于幂级数∑(an * (x - a)^n)，我们可以使用收敛域的概念来定义其收敛性。
一般来说，收敛域是指在何种范围内幂级数可以收敛于某一函数，而在范围之外则发散。
1.3 幂级数的应用幂级数在数学分析、微积分、物理学和工程学等领域有着重要的应用。
通过幂级数，我们可以将各种函数进行展开，并且可以用幂级数逼近复杂的函数，从而简化计算和分析过程。
二、泰勒级数2.1 泰勒级数的定义泰勒级数是一种特殊的幂级数，它可以将一个函数表示为一个无穷级数的形式。
泰勒级数的系数由函数的各阶导数决定，因此可以通过泰勒级数来对函数进行近似和展开。
2.2 泰勒级数的收敛性与幂级数类似，泰勒级数也有其收敛性的问题。
对于给定的函数，我们需要确定其在何种范围内泰勒级数能够收敛于该函数，这可以通过收敛域的概念来加以解释。
2.3 泰勒级数的应用泰勒级数在数学分析、物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
通过泰勒级数，我们可以对各种函数进行近似和展开，从而简化复杂函数的计算和分析。
三、洛朗级数3.1 洛朗级数的定义洛朗级数是一种可以表示在一个环形区域内解析的函数的级数表示法。
它是将一个函数在有限正负无穷远点处展开成一个大量项的和的一种方式。
3.2 洛朗级数的收敛性与泰勒级数类似，洛朗级数也需要考虑其在何种范围内能够收敛的问题。
洛朗级数的概念
例2
将 f (z) =
对级数 ∑ c n ( z z0 )
n =1
| ξ |<
1 内收敛 , 在该圆域外必散 。 R1
c n ( z z 0 ) n 在 | z z 0 |> R1内收敛 。 ∑
n =1 ∞
洛朗级数
f ( z ) 在该圆环内解析 。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n 在 R1 <| z z 0 |< R2 内收敛 , 且它的和函数 ∑
n = ∞
c n ( z z 0 ) n = L + c n ( z z 0 ) n + L + c 2 ( z z 0 ) 2 + c 1 ( z z 0 ) 1 ∑
∞
+ c0 + c1 ( z z 0 )1 + c 2 ( z z 0 ) 2 + L + c n ( z z 0 ) n + L
第八模块 复变函数
第八节 洛朗级数
一、洛朗级数的概念 二、解析函数的洛朗展开式
一、洛朗级数的概念
正整数次幂的幂级数
∑c
n=0
∞
n
( z z 0 ) n 与负整数次幂的幂级数
∑c
n =0
∞
n ( z z0 )
n
相加得到的级数 :
n = ∞
∑c
∞
( z z 0 ) n 称为 n
洛朗级数。 洛朗级数。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n收敛 ∑
∞
∑ 与 ∑ c n ( z z 0 ) n 都 收敛 。
罗朗 级数
例4： 求下列积分的值 (1)
z =3
∫
1 dz z ( z + 1)( z + 4)
(2)
ze ∫=2 1 − z dz z
1 z
解：） （ 函数 f ( z ) = 1
1 在圆环域1 < z < 4 z ( z + 1)( z + 4) f ( z ) dz = 2πic−1
内处处解析，而 z = 3在此圆环域内，故有
(k )
k! f (z ) (z0 ) = ∫C dz k +1 2πi ( z − z0 )
4、展开方法
直接利用展开定理（机会较少） 利用常用函数的泰勒展式和运算及性质通过各种手段 展开 举例 ez 把函数 f ( z ) = 2 在z0=0的环域内展成罗朗级数 z 解：
ez 1 z 1 z2 z3 = 2 ⋅ e = 2 (1 + z + + + ...) 2 z z z 2! 3! 1 1 1 z2 z2 = 2 + + + + + ... z z 2! 3! 4!
洛朗级数
解
(3) 将函数在每个解析环内分别展开
①当 时， 0 |z| 1
Hale Waihona Puke 1 1 f (z) 1 z 2 z
1 2
1 1 1 z 2
1 z 1 2
z n 1 1 n z n (1 n1 ) z n . 2 n 0 2 2 n 0 n 0
内是处处解析的, 试把 f (z) 在区域内展开成洛朗级数. 解
1 1 f (z) , (1 z ) ( 2 z )
1 2
盐城工学院基础部应用数学课程组
1) 在 0 z 1内,
y
z 由于 z 1 , 从而 1 o 1 x 2 1 则 1 z z2 zn 1 z 1 1 1 1 z z2 zn 1 2 n 2 z 2 1 z 2 2 2 2 2 2 1 z z 2 所以 f ( z ) (1 z z ) 1 2 2 4 1 3 7 2 z z 2 4 8
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问题分析
1 1 , 从而可得 由 |z| 1 有 |z| 1 1 1 1 1 1 2 3 . 1 1 z z z z z 1 z
这样一来，在整个复平面上就有
1 1 z z 2 , ( | z | 1) ; 1 z 引入负幂次 1 1 1 1 2 3 , ( | z | 1) . 1 z z z z
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sin z 在 z0 0 的去心邻域内展开成 例2 将函数 z 洛朗级数.
解
sin z f (z) z