第四章 复变函数级数1
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复变函数第四章
⑴若级数
c n z n 在 z = z 0 ( ≠ 0 )收敛 , 则对满足 ∑
n=0
+∞
z < z 0 的 z , 级数必绝对收敛 .
⑵若级数在 z = z 0发散 , 则对满足 z > z 0 的 z , . 级数必发散 级数必发散
证明 (1) Q ∑ c z 收敛 , 则 lim c z = 0，即 n→ ∞
∞
n n ∞ ∞ 8i 8 (8i ) ( 2) Q ∑ 收敛， 绝对收敛。 = ∑ 收敛， ∑ ∴ 绝对收敛。 n! n = 0 n! n = 0 n! n=0 ∞ ∞ ∞ ( −1)n 1 ( −1)n i ( 3) Q ∑ 收敛， 收敛， 收敛， n 收敛， ∑ ( ∴ + n )收敛. ∑2 n n 2 n =1 n =1 n =1 ∞ ( − 1) n 收敛， 又Q∑ 条件收敛， 原级数非绝对收敛 . ∴ n n =1
n→ ∞ ∞ n→ ∞ n→ ∞
a ∑ ⇔∑ n和 bn都 敛 收 。
n=1 n=1
∞
֠
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 由定理 ， 两个实数项级数的收敛问题。 两个实数项级数的收敛问题。
∞
∞ n =1 ∞ ∞ ∞
性质 级数 ∑ α n收敛的必要条件 : limαn = 0. n→ ∞ 定理3 定理 若∑ α n 收敛 ⇒ ∑ α n收敛，且 ∑ α n ≤ ∑ α n . 收敛，
n→ ∞
若级数(1)在 内处处收敛 其和为z的函数 内处处收敛， 若级数 在D内处处收敛，其和为 的函数
s( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z )＋L ---级数 的和函数 级数(1)的和函数 级数
第四章复变函数级数共38页PPT资料
设 fn(z)是定义在区域D上的复变函数列,
称
fn (z)f1 (z)f2(z) L fn (z) L
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z) Lfn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
ln i m Sn(z0)S(z0),
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
称
fn (z)f1 (z)f2(z) L fn (z) L
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z) Lfn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
ln i m Sn(z0)S(z0),
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
复变函数级数
n c n 收 敛, n0 n c n 发 散. n0
工程数学---------复变函数
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后页
返回 -21-
n 定义： 对于幂级数 c n z 0 ,若 存 在 实 数 R 0 , z R 时 , n n c z 收 敛 , 则 称 z R为 z R时, cn z 发 散 ， n n0 n0 n c z n 的 收 敛 圆, R 称 为 收 敛 半 径. n 0
n n 1 n
发散
n 1 n
工程数学---------复变函数
前页
后页
返回 -11-
1 i 例2. 级数 2 (1 ) 是否收敛？ n n 1 n 1 解: 因为 an 2 收敛 ; n 1 n 1 n 1 bn 3 收敛 . n 1 n 1 n
例1. 求幂级数 z 1 z z z
n 2 n n0
的收敛范围与和函数.
解: 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n 1
1 zn , ( z 1) 1 z
n z 级数 收敛, n 0
z 1 z 1
1 1 z , s n lim 由 于 当 z 1 时 , lim n n 1 z 1 z
所 以 当 z 1 时 级 数 收 敛.
工程数学---------复变函数
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后页
返回 -10-
2) 复数项级数收敛的条件
定理2 设 n=an+ibn (n=1,2,…), an 及 bn 为实数,则
工程数学---------复变函数
1 lim s n n 1 z
lim z 0
工程数学---------复变函数
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返回 -21-
n 定义： 对于幂级数 c n z 0 ,若 存 在 实 数 R 0 , z R 时 , n n c z 收 敛 , 则 称 z R为 z R时, cn z 发 散 ， n n0 n0 n c z n 的 收 敛 圆, R 称 为 收 敛 半 径. n 0
n n 1 n
发散
n 1 n
工程数学---------复变函数
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返回 -11-
1 i 例2. 级数 2 (1 ) 是否收敛？ n n 1 n 1 解: 因为 an 2 收敛 ; n 1 n 1 n 1 bn 3 收敛 . n 1 n 1 n
例1. 求幂级数 z 1 z z z
n 2 n n0
的收敛范围与和函数.
解: 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n 1
1 zn , ( z 1) 1 z
n z 级数 收敛, n 0
z 1 z 1
1 1 z , s n lim 由 于 当 z 1 时 , lim n n 1 z 1 z
所 以 当 z 1 时 级 数 收 敛.
工程数学---------复变函数
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返回 -10-
2) 复数项级数收敛的条件
定理2 设 n=an+ibn (n=1,2,…), an 及 bn 为实数,则
工程数学---------复变函数
1 lim s n n 1 z
lim z 0
复变函数幂级数
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
复变函数 第四章 级数
n =1
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
复变函数PPT第四章
——代入法
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
复变函数第四章 解析函数的级数表示法
n 1 n 1
lim an 0 和 lim bn 0 .
n n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n1
lim n 0
n
重要结论:
lim n 0 级数 n发散.
n n1
例如, 级数 e in :
n1
因为lim n lim e in 0,
an和 bn都收敛。
n 1 n 1
例1
1 i 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n
1 解 因为 an 发散; n1 n1 n 1 bn 2 收敛. n1 n1 n
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
4. 收敛半径的求法
n 关于幂级数 c z n n 0
( 3)的 收 敛 半 径 求 法 ， 有
cn1 定理4.6 1 / 若 lim ，则 R (比值法) n cn 0
1 / cn ，则 R 0
0 0
n 1
: lim n 0. 定理4.3 级 数 n收 敛 的 必 要 条 件 n
定义4.3
若 n 收 敛 ， 则 称 n为 绝 对 收 敛 ；
n 1 n 1
若 n 发 散 ， 而 n收 敛 ， 则 称 n为
n 1 n 1 n 1
0
定理4.7 若 lim n n (根值法)
0
例 (1) 解
求下列幂级数的收敛半径:
z 3 n n 1
(1)
n
(2)
lim an 0 和 lim bn 0 .
n n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n1
lim n 0
n
重要结论:
lim n 0 级数 n发散.
n n1
例如, 级数 e in :
n1
因为lim n lim e in 0,
an和 bn都收敛。
n 1 n 1
例1
1 i 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n
1 解 因为 an 发散; n1 n1 n 1 bn 2 收敛. n1 n1 n
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
4. 收敛半径的求法
n 关于幂级数 c z n n 0
( 3)的 收 敛 半 径 求 法 ， 有
cn1 定理4.6 1 / 若 lim ，则 R (比值法) n cn 0
1 / cn ，则 R 0
0 0
n 1
: lim n 0. 定理4.3 级 数 n收 敛 的 必 要 条 件 n
定义4.3
若 n 收 敛 ， 则 称 n为 绝 对 收 敛 ；
n 1 n 1
若 n 发 散 ， 而 n收 敛 ， 则 称 n为
n 1 n 1 n 1
0
定理4.7 若 lim n n (根值法)
0
例 (1) 解
求下列幂级数的收敛半径:
z 3 n n 1
(1)
n
(2)
复变函数第四章级数
n0
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、 幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成 立 ， 其 中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并 且 展 开 式 唯 一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论： 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆 心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、 幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成 立 ， 其 中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并 且 展 开 式 唯 一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论： 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆 心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
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如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, n 收敛于 , 或称 是 n 的极限, 记作
lni mn , 或 n n .
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理4.1 lni mn 的充分必要条件是
l n ia n m a , l n ib n m b .
第四章 级数
本章介绍复变函数级数的概念,重点 是Taylor级数、Laurent级数及其展开.
§4.1 复级数的基本概念
1 复数列的极限 2 复数项级数
4.1.1 复数列的极限
称 n a n ib n ( n 1 ,2 ,3 ,) 为复数列, 简称
为数列, 记为 n . 定义4.1级数与实数项级数收敛的关系
定理4.2 级数 n (anibn)收敛的充要
n1
n1
条件是 an , bn 都收敛, 并且
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
1 幂级数的概念 2 幂级数的敛散性 3 幂级数的性质
4.2.1 幂级数的概念
设 fn(z)是定义在区域D上的复变函数列,
称
fn (z)f1 (z)f2(z)fn (z)
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z)fn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
4.1.2 复数项级数
设 n anib n 是复数列, 则称
n12 n
n1
为复数项级数.称
n
Sn k12 n
k1
为该级数的前 n 项部分和.
级数收敛与发散的概念
如果级数
n12 n
n1
的部分和数列 S n 收敛于复数 S, 则称级数收敛,
这时称S为级数的和, 并记做
n S.
n1
如果 S n 不收敛，则称级数发散.
n 0
这类函数项级数称为幂级数.
4.2.2 幂级数的敛散性
定理 (Abel定理)
若级数 c n z n 在 z1 0 n0
处收敛，则当 z z1 时, 级数 c n z n 绝对收敛; n0
若级数 c n z n 在 z 2 处发散，则当 z z2 时, 级数 n0
c n z n 发散.
称为该级数在区域D上的和函数.
当 fn (z) c n 1 (z z0)n 1或 fn(z)cn1zn1时,
函数项级数的形式为
c n (z z0 )n c 0 c 1 (z z0 ) c 2 (z z0 )2
n 0
cn (zz0)n,
或 z0 0 的特殊情形
cn znc0 c1 z c2z2 cn zn,
ln i m Sn(z0)S(z0),
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
(1) 对所有的正实数都收敛.
级数在复平面内绝对收敛.
(2) 对所有的正实数都发散.
级数在复平面内除原点外处处发散.
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
存在正整数N, 使得当n>N 时,
e
e
ana2, bnb2.
从而有
e n ( a n a ) i ( b n b ) a n a b n b .
所以 lni mn .
该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别
两个实数列的敛散性.
例4.1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
n0
收敛圆与收敛半径
由
定理3.6 (Abel定理)
若级数
cn z n 在 z1 0
n0
处收敛，则当 z z1 时, 级数
cn z n 绝对收敛;
n0
若级数
cn z n 在 z2 处发散，则当 z z2 时, 级数
n0
cn z n 发散.
n0
, 幂级数 c n z n 收敛情况有三种: n0
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
级数收敛的必要条件
定理4.3 如果级数 n 收敛, 则 lnimn 0. n1
证明 由定理4.2及实数项级数收敛的必要
条件 ln i m a n0 ,ln i m b n0知, lnimn 0.
n 绝对收敛 a n 和 b n 都绝对收敛.
n1
n1
n1
例4.2
级数
n1
(1)n
n
1 2n
i是否绝对收敛?
解 因为
(1)n
, n1 n
1
2n
n1
都收敛, 故原级数收敛. 但是级数
( 1 ) n
n1 n
条件收敛, 所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的.
§4.2 幂 级 数
证明 如果 lni mn , 则e 0,存在正整数N,
e 使得当n>N 时, (a n ib n ) (a ib ).从而有
e a n a ( a n a ) i ( b n b ) ,
即 ln im ana. 同理 ln im bn b.
反之, 如果 ln i m ana,ln i m b nb,那么 e 0,
1)n 11 n ein; 2)nncosin
解：1）
n
1
1 n
i
en
1
1 n
c
o
s
n
i sin
n
an
1
1 n
cos
n
,
bn
1
1 n
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
2) 由于 n=n cos in=n ch n,因此, 当n时, n. 所以n发散.
重要结论:
lni mn
0 n
n1
发散.
于是在判别级数的敛散性时, 可先考察
lnimn ? 0.
定义 设 n 是复数项级数, 如果正项
n1
级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
绝对收敛级数的性质
定理4.4 若级数 n 绝对收敛, 则它必收敛. n1
n e 成立, 则称当n时, n 收敛于 , 或称 是 n 的极限, 记作
lni mn , 或 n n .
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理4.1 lni mn 的充分必要条件是
l n ia n m a , l n ib n m b .
第四章 级数
本章介绍复变函数级数的概念,重点 是Taylor级数、Laurent级数及其展开.
§4.1 复级数的基本概念
1 复数列的极限 2 复数项级数
4.1.1 复数列的极限
称 n a n ib n ( n 1 ,2 ,3 ,) 为复数列, 简称
为数列, 记为 n . 定义4.1级数与实数项级数收敛的关系
定理4.2 级数 n (anibn)收敛的充要
n1
n1
条件是 an , bn 都收敛, 并且
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
1 幂级数的概念 2 幂级数的敛散性 3 幂级数的性质
4.2.1 幂级数的概念
设 fn(z)是定义在区域D上的复变函数列,
称
fn (z)f1 (z)f2(z)fn (z)
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z)fn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
4.1.2 复数项级数
设 n anib n 是复数列, 则称
n12 n
n1
为复数项级数.称
n
Sn k12 n
k1
为该级数的前 n 项部分和.
级数收敛与发散的概念
如果级数
n12 n
n1
的部分和数列 S n 收敛于复数 S, 则称级数收敛,
这时称S为级数的和, 并记做
n S.
n1
如果 S n 不收敛，则称级数发散.
n 0
这类函数项级数称为幂级数.
4.2.2 幂级数的敛散性
定理 (Abel定理)
若级数 c n z n 在 z1 0 n0
处收敛，则当 z z1 时, 级数 c n z n 绝对收敛; n0
若级数 c n z n 在 z 2 处发散，则当 z z2 时, 级数 n0
c n z n 发散.
称为该级数在区域D上的和函数.
当 fn (z) c n 1 (z z0)n 1或 fn(z)cn1zn1时,
函数项级数的形式为
c n (z z0 )n c 0 c 1 (z z0 ) c 2 (z z0 )2
n 0
cn (zz0)n,
或 z0 0 的特殊情形
cn znc0 c1 z c2z2 cn zn,
ln i m Sn(z0)S(z0),
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
(1) 对所有的正实数都收敛.
级数在复平面内绝对收敛.
(2) 对所有的正实数都发散.
级数在复平面内除原点外处处发散.
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
存在正整数N, 使得当n>N 时,
e
e
ana2, bnb2.
从而有
e n ( a n a ) i ( b n b ) a n a b n b .
所以 lni mn .
该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别
两个实数列的敛散性.
例4.1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
n0
收敛圆与收敛半径
由
定理3.6 (Abel定理)
若级数
cn z n 在 z1 0
n0
处收敛，则当 z z1 时, 级数
cn z n 绝对收敛;
n0
若级数
cn z n 在 z2 处发散，则当 z z2 时, 级数
n0
cn z n 发散.
n0
, 幂级数 c n z n 收敛情况有三种: n0
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
级数收敛的必要条件
定理4.3 如果级数 n 收敛, 则 lnimn 0. n1
证明 由定理4.2及实数项级数收敛的必要
条件 ln i m a n0 ,ln i m b n0知, lnimn 0.
n 绝对收敛 a n 和 b n 都绝对收敛.
n1
n1
n1
例4.2
级数
n1
(1)n
n
1 2n
i是否绝对收敛?
解 因为
(1)n
, n1 n
1
2n
n1
都收敛, 故原级数收敛. 但是级数
( 1 ) n
n1 n
条件收敛, 所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的.
§4.2 幂 级 数
证明 如果 lni mn , 则e 0,存在正整数N,
e 使得当n>N 时, (a n ib n ) (a ib ).从而有
e a n a ( a n a ) i ( b n b ) ,
即 ln im ana. 同理 ln im bn b.
反之, 如果 ln i m ana,ln i m b nb,那么 e 0,
1)n 11 n ein; 2)nncosin
解：1）
n
1
1 n
i
en
1
1 n
c
o
s
n
i sin
n
an
1
1 n
cos
n
,
bn
1
1 n
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
2) 由于 n=n cos in=n ch n,因此, 当n时, n. 所以n发散.
重要结论:
lni mn
0 n
n1
发散.
于是在判别级数的敛散性时, 可先考察
lnimn ? 0.
定义 设 n 是复数项级数, 如果正项
n1
级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
绝对收敛级数的性质
定理4.4 若级数 n 绝对收敛, 则它必收敛. n1