复变函数 复数项级数和序列

幂级数的形式
∑ c (z − z )
n =0 n 0
∞
n
= c0 + c1 ( z − z0 ) + c2 ( z − z0 ) +
2
作变量替换 w=z-z0，只需讨论幂级数
∑c z
n =0 n
∞
n
= c0 + c1 z + c2 z +
2
Abel定理： 若幂级数
∑c z
n =0 ∞ n
∞
n
在点 z0≠0 收敛，则它在
∑a z
n
n
=
n
f 在|z|<R可积， f ( z ) dz =
C
∫
∑∫
n =0
C
an z dz
习题：
P 87-88
T 2（1，2） T 4（1，3） T 7（1，3，6）
n →∞
性质2 Cauchy收敛准则 znöz0ñ任意ε
> 0，存在N，使得m，n>N时，
| zm − zn |< ε
对于复数列{zn}={z1，z2，…，zn，…}，称
∑z
n =1
∞
n
= z1 + z2 +
+ zn +
为复数项级数。 部分和记为 S n =
∑z
k =1
n
k
= z1 + z2 +
+ zn
复数列即有序的复数集 {zn}={z1，z2，…，zn，…} 称{zn}收敛于z0，若
lim | zn − z0 |= 0
n →∞
记作
lim zn = z0
n →∞
归结为实数列的极限
lim zn = z0 ⇔ lim | zn − z0 |= 0
n →∞ n →∞
⎧lim | xn − x0 |= 0 ⎪ n→∞ ⇔⎨ lim | yn − y0 |= 0 ⎪ n→∞ ⎩ ⎧lim xn = x0 ⎪ n→∞ ⇔⎨ ⎪lim yn = y0 ⎩ n→∞
n =1
∞
n
| 收敛。
定理：复数项级数
∞
∑z
n =1 ∞
∞
绝对收敛 n
n
∑ x ， y 都绝对收敛。 ∑ ñ实数项级数
n =1 n
n =1
推论：复数项级数
∑z
n =1
∞
n
绝对收敛
∑z ï级数
n =1
∞
n
收敛。
性质： 1、 2、
∑ z 收敛 ï z ö0；
zn 收敛ó " e > 0，存在N，使得 ∑
cn +1 定理（比值法）：若lim | |= λ ≠ 0 ， n →∞ cn
则收敛半径为R=1/l。
cn +1 定理（比值法）：若lim | |= λ ≠ 0 ， n →∞ cn
则收敛半径为R=1/l。 定理（根值法）：若lim n | cn | = λ ≠ 0 ，
n →∞
则收敛半径为R=1/l。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（2）|l|=1，zn |=| λ | = 1，可知数列{zn}在 |
n
单位圆上运动。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（2）|l|=1，zn |=| λ | = 1，可知数列{zn}在 |
n
单位圆上运动。设 l=eiq，则 zn=einq 。 当q=2kp，即l=1时，显然有lim zn = 1 。
cn +1 定理（比值法）：若lim | |= λ ≠ 0 ， n →∞ cn
则收敛半径为R=1/l。 定理（根值法）：若lim n | cn | = λ ≠ 0 ，
n →∞
则收敛半径为R=1/l。 ☺ l=0，则R=¶；l=¶，则R=0。
例5： 求如下级数的收敛域
(n !) n (1) ∑ n z ， (2) n =1 n (3)
收敛性：若lim S n = S，则称级数 记作 S =
∑z
n =1
∞
n →∞
n
∑z
n =1
∞
n 收敛，
若{Sn}发散，则称级数 若
∑ z 发散。
n =1 n
∞ n =1
∞
∑| z
n =1
∞
n
| 收敛，称级数∑ zn 绝对收敛。
对应的实数项级数
∑x
n =1 ∞ n =1
∞
n
= x1 + x2 + = y1 + y2 +
|z|<|z0|绝对收敛； 若幂级数
∑c z
n =0 n
n
在点 z0≠0 发散，则它在
|z|>|z0|发散。
由Abel定理，只有三种情况 ☺ ☺ ☺ 幂级数
∑c z
n =0 n
∞
n
在整个复平面收敛
幂级数只在 z=0 处收敛 在圆 |z|=R外发散，在圆内收敛，在圆 周上单独讨论。 此时，称 |z|=R为收敛圆。
1 z n (2) ∑ 2 ( ) 2 n =1 n
解：（2）用比值法
∞
cn +1 2 n 1 lim = lim n +1 = 2 n →∞ c n →∞ 2 (n + 1) 2 n
n
2
可知收敛半径 R=2。
例5： 求如下级数的收敛域
1 z n (2) ∑ 2 ( ) 2 n =1 n
解：|z|=2时，
n
注：（3）用到了如下性质
lim zn = z0 ⇒ lim | zn |=| z0 |
n →∞ n →∞
这是因为 0 ≤|| zn | − | z0 ||≤| zn − z0 |→ 0
例3： 设|l|<1，证明级数1+l+l2+…+ln+…
1 收敛于 1 − λ
例3： 设|l|<1，证明级数1+l+l2+…+ln+…
n =1 n n =1
∞
定理：复数项级数
∞
∑z
n =1
∞
绝对收敛 n
n
∑ x ， y 都绝对收敛。 ∑ ñ实数项级数
n =1 n
∞
证明：“ï”假设
∑| z
n =1
n =1 ∞
n
| 收敛，由于
|xn|≤|zn|，|yn|≤|zn|，可知
∑| x | ， | y ∑
n =1 n n =1
∞
∞
n
| 收敛。
(3)
∑ n(iz )
n =1
∞
n
解： |z|=1时，
lim n(iz ) = lim n = ∞
n n →∞ ∞
n =1
n →∞
可知级数
∑ n(iz ) 发散，因此收敛域|z|<1 。
n
幂级数的线性运算（收敛半径取小的）
∑ a z ± ∑ b z = ∑ (a
n n n =0 n n =0 n n =0
∞
2
1 z n ∑ n2 ( 2 ) ， n =
例5： 求如下级数的收敛域
(n !) n (1) ∑ n z n =1 n
解：（1）用比值法
∞
2
cn +1 [(n + 1)!] n lim = lim n →∞ c n →∞ ( n + 1) ( n +1) ( n !) 2 n
inθ
−e
n →∞ i ( n +1)θ
|=|1 − λ |
由Cauchy收敛准则知极限不存在。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（3）|l|>1，此时有
| zn |=| λ | → ∞
n
可知极限不存在。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
定理：复数项级数
∞
∑z
n =1 ∞
∞
绝对收敛 n
n
∑ x ， y 都绝对收敛。 ∑ ñ实数项级数
n =1 n
证明：“ì”假设 则
∑ (| x
n =1
∞
∑| x |， | y ∑
n =1 n n =1
n =1 ∞
∞
n
| 收敛，
n
| + | yn |) 收敛，由于
|zn|≤|xn|+|yn|，可知
∑| z
zn = λ ，l为复数。
n
分析与解： 类似于实数列情形，应该以1为临界点 分为三种情况： （1）|l|<1，（2）|l|=1，（3）|l|>1
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（1）|l|<1，此时
| zn |=| λ | → 0
n
可知 lim zn = 0
n →∞
n →∞
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（2）|l|=1，zn |=| λ | = 1，可知数列{zn}在 |
n
单位圆上运动。设 l=eiq，则 zn=einq 。 当q=2kp，即l=1时，显然有lim zn = 1 。
| 当q≠2kp，zn − zn +1 |=| e
∞
∑
n =1
∞
1 z n 1 ( ) =∑ 2 2 n 2 n =1 n
∞
收敛。因此收敛域为|z|§2。