chapter3复变函数的幂级数展开
第03章_幂级数展开
第3章 幂级数展开要学习幂级数展开？ 实变函数的幂级数展开： (1) 将实变函数进行泰勒展开，截取幂级数的前面有限项 的和可以作为函数的近似（项数取决于要达到的近似 程度）； (2) 常微分方程可用级数方法求解。 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第3章 幂级数展开
2
§3.1 复数项级数 1. 复数项级数 设有复数项的无穷级数
w =w +w +w + +w +
它的每一项都可分为实部和虚部， wk uk ivk 前n+1项的级数和为 复数项无穷级数的和
其中，w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不 可能有奇点。 幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。 因为收敛圆的内部是单连通区域，所以幂级数在收敛圆 内又可以逐项积分。 逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。P37 习题1. 2.
lim ak z z0
k k
k
数学物理方法
第3章 幂级数展开
k
11
例1：求幂级数 z 的收敛圆
k 0
解： a 1 k
R lim
ak ak 1
k
1 lim 1 k 1
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1 z 1
事实上，本例是几何级数，公比是z，所以 前n+1项的和为：
数学物理方法
第3章 幂级数展开
03复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f
k 1
k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1
那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法
幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0
1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0
(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的
| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ敛的
n 1 n
n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法
复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式
03_幂级数展开
k = n +1
∑ w ( z) < ε
k
n+ p
( p 为任意正整数 为任意正整数)
如果N和 无关 就称复变项级数 无关， 复变项级数(2)在 或 上一致收敛。 如果 和z无关，就称复变项级数 在B(或l)上一致收敛。
在区域B上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 在区域 上一致收敛的复变项级数的每一项都是B上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数，则级数的和也是B上的连续函数 上的连续函数。 函数，则级数的和也是 上的连续函数。 上一致收敛的复变项级数的每一项都是l上的连续 在曲线 l上一致收敛的复变项级数的每一项都是 上的连续 上一致收敛的复变项级数的每一项都是 函数，则级数的和也是l上的连续函数 而且级数可以沿l逐项 上的ห้องสมุดไป่ตู้续函数， 函数，则级数的和也是 上的连续函数，而且级数可以沿 逐项 积分。 积分。 如果对于某个区域B(或曲线 上所有的点z，复变项级数(2) 如果对于某个区域 或曲线l)上所有的点 ，复变项级数 或曲线 上所有的点 的各项的模 wk ( z ) ≤ mk ，而正的常数项级数
由此，可得到收敛半径R的另一公式： 由此，可得到收敛半径 的另一公式： 的另一公式
1 R = lim k →∞ k | a | k
幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。 幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛。
的收敛圆， 为复变数 为复变数。 例1：求幂级数 ：求幂级数1+t+t2+⋅⋅⋅ +tk+⋅⋅⋅ 的收敛圆，t为复变数。
a0 + a1 z − z0 + a2 z − z0 + ⋅⋅⋅ + ak z − z0 + ⋅⋅⋅
第三章幂级数展开
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
幂级数展开
1
1
2
由于级数在CR1上一致收敛,由一致收敛级数的逐项可积 分性质得:
1 2 i
w ( )
CR1
z
d
1 2 i
a0
CR1
z
d
1 2 i
a1 ( z 0 )
CR1
z
d
1 2 i
a 2 ( z 0 )
k
证明: 取比收敛圆稍稍缩小的圆周CR1, 为其上的任 一点,级数的和记作 (3.2.9)
w ( ) a 0 a1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )
2
取CR1内任一点z, 1 a ( z ) 1 2 (i z 用有界函数 a a z ) 1 w ( ) 1 遍乘上式 i z 2 i z 2 i z 2 2 i z
解： R lim
k
级数在 z 1 绝对收敛
=
例2.求幂级数 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆,z为复变数 解:把 z 记作 t ,则级数为 1 t t 2 t 3 , t面上的
2
收敛半径
R lim
ak a k 1
k
1
则z面上的收敛半径为
其中, W ( z )
k 1
W (z)
wk ( z )
则级数在区域B上(或者曲线L)一致收敛于 W ( z ) W ) W ((zz) 称为和函数
,
注意: 一致收敛的概念是和一定的区域联系在一起
b.一致收敛的充要条件 对于B上(或L)上的点z， ，存在自然数
第三章幂级数展开
第三章 幂级数展开ξ3.1 复数项的级数一．复数的无穷级数可表示为：121kk n k ww w w w ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑ （1）其中：k k w u iv =+前n 项和为：11nn k k n k s w w w w w ===++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑=11nnkkk k ui v ==+∑∑当n →∞时级数：n s →级数：1kn w∞=∑故111n kkk k k k w u i v ∞∞====+∑∑∑一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛 1. 柯西收敛判据：一个级数还可写为：11kn kk k n ws w∞∞=≠+=+∑∑ （4）其中n s 是钱n 项和1kk n w∞≠∑为余项判据：任何一个小正数ξ>0 若能找到一个N 使得n>N 时1n pkk n wξ+=+<∑则称1kn w∞=∑收敛，其中p 为任意整数 2. 绝对收敛若11kk k w∞∞===∑∑是收敛的，则1kk w∞=∑绝对收敛两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积二．复变项级数（复变函数项级数） 1．函数项级数一般表示为：121()()()()kkk w z w z w z w z ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅∑ （5）函数项级数的收敛问题得涉及到z 的取值域，若z 在B 上取值是（5）收敛，则称1()kk w z ∞=∑在B 上收敛。
B 称为1()kk w z ∞=∑的收敛域函数项级数也可表示为：111()nkkkk k k n w z ww∞∞===+==∑∑∑ （6）2. 函数项级数的收敛 如在B 上，对于个点z任意给0ξ>，若存在N 使得n>N 时有1n pkk n wξ+=+<∑则称级数1()nkk w z =∑在B 上一致收敛3.收敛级数性质（1）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都是B 上的连续函数 （2）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分⇒逐项积分 (3) 若有()k k w z m ≤，而1kk m ∞=∑是收敛的，则()kw z ∑绝对且一致收敛ξ3.2 幂级数最典型也最常见的级数——即级数的各项都是幂函数2001020()()()k k k a z z a a z z a z z ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ (1) 其中0z 、0a 、1a 、2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是复常数，这一的级数叫做以0z 为中心展开的幂级数 一.级数收敛判别法1. 比值判别法（达朗贝尔判别法）： 若：110100lim lim1k k k kk k kka z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- （3）则（2）正项级数收敛，亦即级数（1）绝对收敛 2. 根值判别法若：1k < （4）则级数（2）收敛，亦即级数（1）绝对收敛3. 收敛域和收敛半径函数级数的收敛问题（从根本上）具体要涉及的是收敛u 的问题即，z 在什么样的范围内取值级数是收敛的，收敛判别法本身给出了z 的取值范围： 由判别法“1”：01l i m kk k a z z a →∞+-< (5)则 1limkk k a R a →∞+= （6）为级数（1）的收敛半径 只要满足0z z R -< 的所有点其级数（1）都收敛则以0z 为中心R 为半径的区域是（1）的收敛区域，对应圆称（1）的收敛圆。
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
第三章 幂级数展开
第三章 幂级数展开3-1 3-2 3-3 幂级数一、复数项级数∑∞=1n n w， n n n iv u w +=二、幂级数()∑∞=-10n n n z z a 收敛半径：1/lim +∞→=n n n a a R 三、泰勒级数()()()()n n n z z z f n z f 000!1-=∑∞=3-4 解析延拓一、解析延拓的含意解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。
替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。
二、解析延拓的唯一性无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。
3-5 罗朗级数一、罗朗级数若()z f 在102R Z Z R <-<内单值解析，则对该区域上任一点可展开为()()()()n n n n n n n n n z z a z z a z z a z f 00010-+-=-=∑∑∑∞=--∞=∞-∞= 罗朗级数主要部分 解析部分()()ξξξπd z f i a C n n ⎰+-=110 21二、关于罗朗级的说明● 0z 是级数的奇点，但不一定是()z f 的奇点。
● ()()!/0n z f a n n ≠● 若仅有环心是()z f 的奇点，则内园半径可任意小。
● 罗朗级数具有唯一性。
三、例例1 将()z z f sin =，∞<z ，展开为罗朗级数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 753!71!51!31x x x x s i x 解 +-+-=753!71!51!31s i n z z z z z 例2 在∞<<z 1的环域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。
()()1111--=-=x x x f 1≠x ()10=f()()21--='x x f ()10='f()()312--=''x x f ()20=''f()()41!3--='''x x f ()!30='''f()()()()11!+--=n n x n x f ()()!0n f n =()∑∞==++++++=-03211/1n n n x x x x x x ()()()∑∞=-=+-++-+-=+0321111/1n n nn n x x x x x x 解 nn z z z z z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-02222211111111 ++++=86421111zz z z例3 在10=z 的邻域上将函数()()1/12-=z z f 展开为罗朗级数。
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1
dz
z
z ndz
z n1
zn
x
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
11
4)收敛半径的求法 方法1: 比值法
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
n0
如果 lim cn1 0,那么收敛半径 R 1 .
n cn
方法2: 根值法
如果 lim n n
n0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z z0 )n1.
n1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
17
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分, 即
f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
数学物理方法
李晓红
西南科技大学理学院
2020/8/18
1
复变函数的幂级数展开
一、幂级数 二、泰勒级数展开 三、洛朗级数展开 四、奇点
2
1.复数列
设 {n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
积分后所得的幂级数收敛半径不变.
18
例
f (z) zn n0
收敛半径 z 1
zn 1 z z2 zn
n0
lim 1 z n1 1 , n 1 z 1 z
最常用的级数！
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
cn
0,
那么收敛半径
R 1.
1 , 0 ;
即
R
,
0;
0, .
12
例1 求下列幂级数的收敛半径
(1)
zn n2
n0
(2) zn n0 n!
(3) n!zn
n0
(4) zk2 .
k 1
解
(1)
由lim n
cn1 cn
lim
n
n2 (n 1)2
1,
得
R 1.
(2) 由lim cn1 lim n! 0, 得 R . n cn n (n 1)!
19
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
1
(1 z)2
( 1 ) 1 z
(z n )
n0
nz n1 ,
n0
收敛半径 z 1 收敛半径 z 1
1
(1 z)3
21
(
(1
1 z
)
2
)
21
n0
(nz
n
)
21
n0
n(n
1)z n2 ,
收敛半径
z
1
…
ln(1z) z
n收敛
n1
lim
n
n
0
5
3)复级数的绝对收敛与条件收敛
如果 n 收敛, 则称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
绝对收敛
n
an与
bn绝对收敛
n1
n1
n1
6
3.复变函数项级数
设 { fn(z)} (n 1,2,) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
n1
称为复变函数项级数, 记作 fn(z).
n1
级数最前面 n 项的和
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为这级数的部分和.
7
4. 幂级数
1) 在复变函数项级数中, 形如
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
R min( r1, r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
zR
15
(2)幂级数的代换(复合)运算
称为级数的部分和.
4
2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那么级数 n收敛, n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛, 那么级数 n发散.
n1
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
充要条件Βιβλιοθήκη 收敛nan与
bn都收敛
n1
n1
n1
必要条件
(3) 由lim cn1 lim (n 1)! , 得 R 0.
n cn
n n!
13
(4)
zk2
k 1
因为级数是缺项级数,
故
1 R
lim n
n
Cn
1,
即Cn
0, 1,
R 1.
n k2; n k2.
14
5)幂级数的运算与性质
(1)设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2 .
9
3)收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 处收敛.
(2) 对所有的正实数除z 0 外都发散.
此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
10
y
o
R.
.
收敛圆 收敛半径
n0
cn(z a)n
的级数称为幂级数.
当 a 0 时,
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn .
n1
8
2)收敛定理 ----阿贝尔Abel定理
如果级数 cnzn在 z z0( 0) 收敛, 那么对
n0
满足 z z0 的 z, 级数必绝对收敛, 如果在z z0 级数发散, 那么对满足 z z0 的 z, 级数必发散.
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
则 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
3
2.复数项级数
1) 定义 设{n } {an ibn } (n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和 sn 1 2 n
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z) 解析且满足 g(z) r, 那么当 z R
时, f [g(z)] an[g(z)]n.
n0
16
复变幂级数在收敛圆内的解析性
设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径 为 R, 那么
n0
(1) 它的和函数 f (z) , 即 f (z) cn(z z0 )n