复变函数07-复数级数和幂级数
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复数项级数
n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义 设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和 其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理 复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1
复变函数-级数
则∑ fn ( z ) = f1 ( z ) + f2 ( z ) + L + fn ( z ) + L为函数项级数
n=1
sn ( z ) = ∑ fk ( z ) —部分和函数
n
若 z 0 ∈ D , 有 lim sn ( z 0 ) = s ( z 0 ) ,
n→ ∞
k =1
收敛
称 ∑ f n ( z )在 z 0 点 收 敛 ， 且 ∑ f n ( z 0 ) = s ( z 0 )
∞ ∞ k
( −1) nπ 1 ∑ ln n sin 2 = ∑ ln ( 2k + 1) 条件收敛 n =2 k =1
∞ ∞ k
∴ 原级数条件收敛 .
第二节 幂级数
第 二 节 幂 级 数
1. 幂级数的概念
1) 函数项级 数： 设 { fn ( z )}
∞
( n = 1, 2 ,L) 为一复变函
数序列， z ∈ D
n n= 0
∞
∞
z < 1 q = z0
n= 0
2o 反证法
第 二 节 幂 级 数
综上得结论：幂级数 ( 2 ) 的收敛情况有三种
(1) 在复平面上处处收敛,
( 2 ) 只在z = 0收敛,
( 3) ∃R > 0 , 在圆C R：z
而 z = R上不定,
R = +∞
R=0
z = R内绝对收敛， > R 内发散，
n
( 2 ) ∑ ( cos in ) z n
n=0
c n +1 解： lim Q = lim n→∞ c n→∞ n
e n +1 + e − n −1 ) (
n=1
sn ( z ) = ∑ fk ( z ) —部分和函数
n
若 z 0 ∈ D , 有 lim sn ( z 0 ) = s ( z 0 ) ,
n→ ∞
k =1
收敛
称 ∑ f n ( z )在 z 0 点 收 敛 ， 且 ∑ f n ( z 0 ) = s ( z 0 )
∞ ∞ k
( −1) nπ 1 ∑ ln n sin 2 = ∑ ln ( 2k + 1) 条件收敛 n =2 k =1
∞ ∞ k
∴ 原级数条件收敛 .
第二节 幂级数
第 二 节 幂 级 数
1. 幂级数的概念
1) 函数项级 数： 设 { fn ( z )}
∞
( n = 1, 2 ,L) 为一复变函
数序列， z ∈ D
n n= 0
∞
∞
z < 1 q = z0
n= 0
2o 反证法
第 二 节 幂 级 数
综上得结论：幂级数 ( 2 ) 的收敛情况有三种
(1) 在复平面上处处收敛,
( 2 ) 只在z = 0收敛,
( 3) ∃R > 0 , 在圆C R：z
而 z = R上不定,
R = +∞
R=0
z = R内绝对收敛， > R 内发散，
n
( 2 ) ∑ ( cos in ) z n
n=0
c n +1 解： lim Q = lim n→∞ c n→∞ n
e n +1 + e − n −1 ) (
复变函数与积分变换幂级数
复变函数与积分变换幂级数
contents
目录
• 复数与复变函数 • 积分变换 • 幂级数 • 复变函数与积分变换的关系 • 复变函数与积分变换在物理中的应用
01 复数与复变函数
复数的定义与性质
总结词
复数是实数域的扩展，由实部和虚部组成。它具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、 模等特殊性质。
详细描述
复数是由实部和虚部组成的数，表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、模等特殊性质。
复变函数的定义与性质
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，它 具有连续性、可微性、可积性等性质。
拉普拉斯变换与复变函数的关系
拉普拉斯变换是复变函数中的另一种特殊形式，它可以将时域中的函数转换为复数域中的函数，从而 将时域中的问题转化为复数域中的问题。
拉普拉斯变换在控制系统、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用，是现代科学和工程中非常重 要的工具之一。
幂级数与积分变换的关系
幂级数是复变函数的一种表示方法， 它可以表示复数域中的任意函数。
04 复变函数与积分变换的关 系
傅里叶变换与复变函数的关系
傅里叶变换是复变函数中的一种特殊 形式，它将实数域中的函数转换为复 数域中的函数，从而将实数域中的问 题转化为复数域中的问题，以便更好 地解决。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、 控制系统等领域有着广泛的应用，是 现代科学和工程中非常重要的工具之 一。
线性性质、位移性质、微分性质、积分性质等。
积分变换的应用
在信号处理中的应用
通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的成分， 便于分析和处理。
contents
目录
• 复数与复变函数 • 积分变换 • 幂级数 • 复变函数与积分变换的关系 • 复变函数与积分变换在物理中的应用
01 复数与复变函数
复数的定义与性质
总结词
复数是实数域的扩展，由实部和虚部组成。它具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、 模等特殊性质。
详细描述
复数是由实部和虚部组成的数，表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、模等特殊性质。
复变函数的定义与性质
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，它 具有连续性、可微性、可积性等性质。
拉普拉斯变换与复变函数的关系
拉普拉斯变换是复变函数中的另一种特殊形式，它可以将时域中的函数转换为复数域中的函数，从而 将时域中的问题转化为复数域中的问题。
拉普拉斯变换在控制系统、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用，是现代科学和工程中非常重 要的工具之一。
幂级数与积分变换的关系
幂级数是复变函数的一种表示方法， 它可以表示复数域中的任意函数。
04 复变函数与积分变换的关 系
傅里叶变换与复变函数的关系
傅里叶变换是复变函数中的一种特殊 形式，它将实数域中的函数转换为复 数域中的函数，从而将实数域中的问 题转化为复数域中的问题，以便更好 地解决。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、 控制系统等领域有着广泛的应用，是 现代科学和工程中非常重要的工具之 一。
线性性质、位移性质、微分性质、积分性质等。
积分变换的应用
在信号处理中的应用
通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的成分， 便于分析和处理。
复数项级数与幂级数
∞
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
复变函数的级数
n0
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
复变函数复习资料
THANKS
感谢观看
06
复变函数的积分方程与 微分方程
积分方程的概念与解法
概念
复变函数积分方程是描述函数在某个路 径上的积分值的等式。
VS
解法
通过适当的变换和代数运算，将积分方程 转化为更易于解决的形式，如转化为微分 方程或代数方程。
微分方程的概念与解法
要点一
概念
复变函数微分方程是描述函数及其导数之间关系的等式。
解析函数的积分表
示
解析函数在复平面上的积分可以 用实部和虚部来表示，也可以用 极坐标形式表示。
柯西积分公式
01
柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式，它可 以用来计算复变函数沿着曲线的积分。
02
柯西积分公式由三个部分组成：被积函数、被积函 数的导数和被积函数的二阶导数。
03
柯西积分公式的应用范围很广，可以用于解决很多 复变函数的问题。
三角形式
复数可以表示为三角形式 r(cosθ + i sinθ)，其中 r 是模长，θ 是辐角。
三角函数的定义
cosθ = x/r, sinθ = y/r，其中 x 和 y 是复数的实部和虚部。
复变函数的概念
定义域
函数自变量 x 的取值范围。
可微性
函数在定义域内每一点都可微分。
值域
函数因变量 y 的取值范围。
要点二
解法
通过求解微分方程，可以得到函数的表达式或找到函数的 特定性质。
解析函数的应用
解析函数的定义
如果一个复变函数在某个区域内的导数存在 且连续，则称该函数在该区域内解析。
应用
解析函数在复变函数理论中具有重要地位， 它们具有许多良好的性质，如柯西定理、泰 勒级数展开等。这些性质在解决各种数学问 题中具有广泛的应用，如求解积分方程、微 分方程等。
复变函数复习资料
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值 ()Arg z =()arg z +2k π 3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若1112,z x iy z x=+=+，则()()121212z z x x i yy±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
复数项级数
n0
f
(n) (z0 ) n!
(z
z0 )n
,
且展开式是唯一的。
(| z z0 | R)
上式称为f (z)在z0 的泰勒展开式 。
三、解析函数的泰勒展开式
（二）泰勒级数
幂级数
n0
f
(n) (z0 ) n!
(z
z0 )n
称为
f (z)在z0的 泰勒级数。
当 z0 0时, f (z)在z0 处的泰勒展开式为
f (z) f (0) f (0) z f (0) z 2 f (n) (0) z n
1!
2!
n!
f (n) (0) z n ,
(| z | R)
n0 n!
上式称为f (z)的麦克劳林展开式 。
幂级数
f (n) (0) zn 称为 f (z)的麦 克 劳 林 级 数 。
n0 n!
（三）将函数展开为幂级数
cn n
1
z n1
.
三、解析函数的泰勒展开式
（一）泰勒定理
设 f (z)在以z0为圆心, R为半径的圆| z z0 | R 内解析, 则在此圆内, f (z)可以展开成幂级数
f (z)
f (z0 )
f
(z0 1!
)
(
z
z0
)
f
(z0 2!
)
(z
z0
)2
f
(n) (z0 ) n!
(z
z0 )n
n0
称为幂级数。
当a 0 时幂级数的形式是:
cn z n c0 c1z c2z 2 cn z n
n0
例1
求等比级数 zn 1 z z2 zn
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课前回顾
柯西积分定理
柯西积分定理 原函数与不定积分 复合闭路定理
柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 1
本次课讲述的内容
复数项级数
复数项级数的定义 敛散性判别
幂级数
函数项级数 幂级数 幂级数的收敛圆和收敛半径
sn n i n
{ n } 和 { n } 根据{sn}极限存在的充要条件，可知 的极限都存在，因此级数 a n 和 bn 都收敛。
n 1 n 1
定理2说明，复数项级数的敛散性问题可以用实 数项级数的敛散性判定方法来判定。
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 11
级数的概念
定义：设 {n } {an ibn } (n 1,2, ) 为一复数列， 则称如下表达式
n 1
n
1 2
n
为复数项无穷级数。
部分和：无穷级数最前面n项的和：
sn
n
k 1
k
1 2
n
称为级数的部分和。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 7
1z
1 zn 1 lim sn lim n n 1 z 1z
极限存在，因此当|z|<1时级数收敛。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 9
复数项级数收敛的充要条件
a n 和 bn 都收敛。 实数项级数 n 1 n 1
n (an 定理2：级数 n 1 n 1
ibn )
收敛的充要条件是：
证明：因为级数的部分和
s n 1 2 (a1 a 2 n i n
n an ) i (b1 b2 bn )
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 10
复数项级数收敛的充要条件
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 2
复数列的极限
定义：设{αn}(n=1,2,…)为一复数列，其中αn=an +ibn ，又假设α=a+ib为一个确定的复数，如果任意给 定ε>0，都能相应地找到一个正数N(ε)，使得下式在 n>N时成立： n 那么称α为复数列{αn}(n=1,2,…)在n→∞时的极限， 并记为： lim n
n
也称复数列{αn}收敛于α。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 3
复数列收敛的条件
是： 定理1：复数列{αn}(n=1,2,…)收敛于α的充要条件
n
lim an a,
n
lim bn b
证明：根据复数列收敛的定义可知，如果，
n
lim n
复数列收敛的条件
从而： n (a n ibn ) (a ib)
(a n a ) i (bn b) an a bn b
根据复数列：可将复数列的敛散性转化为判别两个 实数列的敛散性。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 6
复数项级数收敛的必要条件
n (an 定理3：级数 n 1 n 1
ibn )
收敛的必要条件是：
n
lim n 0
证明：可以利用实数项级数的相应性质来证明。 该定理说明，
n
lim n 0
n 1
n
发散。
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 13
n
lim bn b 同理可以证明： n lim an a 、 lim bn b ，根据实数列 反之，如果 n n 极限的定义可知，当n>N时，有以下两式成立：
an a
2018年11月27日星期二
2
, bn b
2《 积分变换与复变函数》
第7讲 - 5
例：判断级数 e 的敛散性。
in n 1
解：注意到，
n
lim n lim e in 0
n
根据定理3可知，该级数发散。 以上例子表明，可以首先利用定理3判断级数的 敛散性，如果判断级数是发散的，自不必说；如果不 能判断，则进一步利用定理2或定义来判断。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 14
1 i 例：判断级数 (1 ) 的敛散性。 n n 1 n
解：根据定理2，可以分别考察级数的实部和虚 部的敛散性， 1 实部 为调和级数，是发散的； n 1 n 1 虚部 2 是收敛的； n 1 n 根据定理2可知，原级数发散。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 12
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 8
2018年11月27日星期二
例：判断级数
n z 的敛散性。 n 0
解：考察级数的部分和可知，
n 1 z 2 n -1 sn 1 z z z ( z 1), 1z n 1z 当|z|<1时， sn ，对部分和取极限可得：
那么对于任意给定的 0 ，就能找到一个正数 N，当n>N时， (an ibn ) (a ib)
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 4
复数列收敛的条件
从而有： an a (an a) i(bn b)
根据实数列极限的定义可知，上式表明： lim an a
级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn}收敛，那么级数 并将极限 lim s s
n n
收敛，
n 1 n
称作级数的和。 如果部分和数列{sn}不收敛，那么级数
发散。
n 1 n
说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散 性的基本方法是，利用极限
n
lim sn s
柯西积分定理
柯西积分定理 原函数与不定积分 复合闭路定理
柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 1
本次课讲述的内容
复数项级数
复数项级数的定义 敛散性判别
幂级数
函数项级数 幂级数 幂级数的收敛圆和收敛半径
sn n i n
{ n } 和 { n } 根据{sn}极限存在的充要条件，可知 的极限都存在，因此级数 a n 和 bn 都收敛。
n 1 n 1
定理2说明，复数项级数的敛散性问题可以用实 数项级数的敛散性判定方法来判定。
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 11
级数的概念
定义：设 {n } {an ibn } (n 1,2, ) 为一复数列， 则称如下表达式
n 1
n
1 2
n
为复数项无穷级数。
部分和：无穷级数最前面n项的和：
sn
n
k 1
k
1 2
n
称为级数的部分和。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 7
1z
1 zn 1 lim sn lim n n 1 z 1z
极限存在，因此当|z|<1时级数收敛。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 9
复数项级数收敛的充要条件
a n 和 bn 都收敛。 实数项级数 n 1 n 1
n (an 定理2：级数 n 1 n 1
ibn )
收敛的充要条件是：
证明：因为级数的部分和
s n 1 2 (a1 a 2 n i n
n an ) i (b1 b2 bn )
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 10
复数项级数收敛的充要条件
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 2
复数列的极限
定义：设{αn}(n=1,2,…)为一复数列，其中αn=an +ibn ，又假设α=a+ib为一个确定的复数，如果任意给 定ε>0，都能相应地找到一个正数N(ε)，使得下式在 n>N时成立： n 那么称α为复数列{αn}(n=1,2,…)在n→∞时的极限， 并记为： lim n
n
也称复数列{αn}收敛于α。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 3
复数列收敛的条件
是： 定理1：复数列{αn}(n=1,2,…)收敛于α的充要条件
n
lim an a,
n
lim bn b
证明：根据复数列收敛的定义可知，如果，
n
lim n
复数列收敛的条件
从而： n (a n ibn ) (a ib)
(a n a ) i (bn b) an a bn b
根据复数列：可将复数列的敛散性转化为判别两个 实数列的敛散性。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 6
复数项级数收敛的必要条件
n (an 定理3：级数 n 1 n 1
ibn )
收敛的必要条件是：
n
lim n 0
证明：可以利用实数项级数的相应性质来证明。 该定理说明，
n
lim n 0
n 1
n
发散。
2018年11月27日星期二
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 13
n
lim bn b 同理可以证明： n lim an a 、 lim bn b ，根据实数列 反之，如果 n n 极限的定义可知，当n>N时，有以下两式成立：
an a
2018年11月27日星期二
2
, bn b
2《 积分变换与复变函数》
第7讲 - 5
例：判断级数 e 的敛散性。
in n 1
解：注意到，
n
lim n lim e in 0
n
根据定理3可知，该级数发散。 以上例子表明，可以首先利用定理3判断级数的 敛散性，如果判断级数是发散的，自不必说；如果不 能判断，则进一步利用定理2或定义来判断。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 14
1 i 例：判断级数 (1 ) 的敛散性。 n n 1 n
解：根据定理2，可以分别考察级数的实部和虚 部的敛散性， 1 实部 为调和级数，是发散的； n 1 n 1 虚部 2 是收敛的； n 1 n 根据定理2可知，原级数发散。
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 12
《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 8
2018年11月27日星期二
例：判断级数
n z 的敛散性。 n 0
解：考察级数的部分和可知，
n 1 z 2 n -1 sn 1 z z z ( z 1), 1z n 1z 当|z|<1时， sn ，对部分和取极限可得：
那么对于任意给定的 0 ，就能找到一个正数 N，当n>N时， (an ibn ) (a ib)
2018年11月27日星期二 《 积分变换与复变函数》 第7讲 - 4
复数列收敛的条件
从而有： an a (an a) i(bn b)
根据实数列极限的定义可知，上式表明： lim an a
级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn}收敛，那么级数 并将极限 lim s s
n n
收敛，
n 1 n
称作级数的和。 如果部分和数列{sn}不收敛，那么级数
发散。
n 1 n
说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散 性的基本方法是，利用极限
n
lim sn s