复变函数展成幂级数的一种新方法

03复变函数的幂级数展开

数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f
k 1

k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1

那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法

幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0

1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0

(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的

| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ敛的
n 1 n

n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法

复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式

复变函数泰勒级数展开

泰勒级数展开在概率论与数理统计中也有应用，例如在中心极限定理的证明中就使用了泰勒级数展开的方法。05结论泰勒级数展开的重要性和影响
理论意义
泰勒级数展开是复分析中的重要工具，它为研究函数的性质提供了理论基础，有助于深入理解函数的性质和行为。
应用价值
泰勒级数展开在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用，例如在信号处理、控制系统、量子力学等领域，泰勒级数展开都发挥了关键作用。
指数函数e^z的泰勒级数展开
总结词
指数函数e^z在复平面上的泰勒级数展开式为无限和的形式，可以表示为幂级数的和。
VS
详细描述
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...，其中z为复数，n!表示n的阶乘。这个级数是无限和的形式，可以用于近似计算e^z的值。
对数学发展的推动
泰勒级数展开的发现和证明对数学的发展产生了深远的影响，它不仅推动了复分析的兴起和发展，还为数学的其他分支提供了新的思路和方法。
对未来研究的展望
深入研究泰勒级数展开的性质和特性
尽管泰勒级数展开已经得到了广泛的研究和应用，但关于其性质和特性的研究仍有许多值得深入探讨的问题，例如高阶泰勒级数展开、非标准泰勒级数展开等。
值，并帮助理解函数的性质和行为。
04
泰勒级数展开的应用
在微积分中的应用
函数逼近
泰勒级数展开可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数表示为简单的多项式之和，可以更好地理解和分析函数的性质。
无穷级数求和
泰勒级数展开可以用来求无穷级数的和，这对于解决一些数学问题非常有用，例如求定积分等。
数值分析

复变函数的幂级数展开

复变函数的幂级数展开复变函数的幂级数展开是复数域中独有的一种展开形式。

与实函数不同，复变函数的幂级数展开能够将一个复变函数表示为一系列复数幂的和。

在复变函数理论中，幂级数展开具有广泛的应用，例如在复解析、函数论、物理学等各个领域。

首先，我们来了解一下复变函数的幂级数展开的定义和性质。

给定一个复变函数 f(z)，它可以在某个区域上进行幂级数展开。

设 z0 是该区域上的一个点，如果存在复数序列 c_n 和一个收敛半径 R，使得对于该区域内的每个点 z，有以下关系成立：f(z) = ∑(n=0 to ∞) c_n (z-z0)^n (1)其中，c_n 是函数 f(z) 的系数，R 是幂级数的收敛半径。

幂级数的收敛半径 R 可以通过柯西—阿达玛公式进行计算，该公式是根据幂级数的收敛性和发散性进行的。

下面我们来看一个具体的例子。

考虑以下函数：f(z) = 1/(1-z) (2)为了将 f(z) 展开为幂级数，我们需要找到该函数在某个点 z0 处的展开式，并计算出收敛半径 R。

对于函数 (2)，我们可以选择 z0=0。

然后，我们对函数 (2) 进行展开，在给定的收敛半径内，得到以下级数：f(z) = ∑(n=0 to ∞) z^n (3)这个级数是一个幂级数展开，它显示出函数 1/(1-z) 可以表示为一系列复数幂的和。

在这个例子中，收敛半径 R=1，因为幂级数 (3) 只在 |z| < 1 的区域内收敛。

复变函数的幂级数展开可以用来近似计算复解析函数在某个点附近的值。

一般来说，通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的近似结果。

但需要注意的是，幂级数展开的收敛性和收敛半径是限制近似精度的关键因素。

当所选择的展开点与函数的奇异点接近时，幂级数展开的收敛性可能会受到影响。

幂级数展开还经常用于计算多项式函数和三角函数的复函数版本。

例如，通过对复指数函数进行幂级数展开，我们可以得到欧拉公式：e^(iz) = ∑(n=0 to ∞) (iz)^n/n!，其中 i 是虚数单位。

第4章：复变函数的幂级数展开

| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内解析，则对于圆内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi

大学物理2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开

2. 将有理式分解为部分分式，再按 3. 利用两个绝对收敛级数的乘积。 4. 利用逐项求导或逐项积分。
展开。
例子：将
以 z = 0 中心展开成幂级数。
分析：展开中心 z = 0 不是 f (z) 的奇点，奇点为 –1、2。
解：
的三个解析区域 |z| < 1, 1< |z| <2, 2 < |z| <∞
2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
泰勒级数：在一个圆域内展开收敛半径 R：若 R = 0，函数只在该点解析；若 R 为有限值，函数在某一圆内解析；若 R = ，函数在全平面解析。例如：f (z) = 1/(1– z) 只能在 |z| < 1 展开成泰勒级数，因为
z = 1 是函数的奇点，不能在全平面把它展开成泰勒级数，但是在 |z| > 1 区域，它又是解析的，那么能否在 |z| > 1 的区域把 f (z) 展开成级数呢？
Jm (t)
l0
(1)l m
l !(l
1
( t )m2l m)! 2
(1)m Jm (t) (m 0,1, 2, )
Jn (t) 称为 n 阶贝塞尔函数 (参看§9-1)。
例：以 z = 0 为中心在 1 < |z| < 展开解：
展开中心为 z = 0，故只需展开
[分子已为 z =(z–0)1 ]
有
第二个积分中： | b| < |z b|
令 –(n+1) = k，则 n = 0 时：k = –1；n = 时： k = – 上式变为：
其中：
说明：
(1) 洛朗级数中 ak 积分表达式与泰勒系数形式相同，但洛朗系数无微分形式。因为：高阶导数公式要求 f (z) 解析才成立。但在此 f (z) 仅在 R2 < | z – b | < R1 区域内解析；

大学物理2.2 复变函数在解析区域中的幂级数展开

z
z
z2/1!
z3 /2!
z4/3!
z2
z2
z3 /1!
z4/2!
z5/3!
z3
z3
z4/1!
z5/2!
z6/3!
ez 1 (1 1 )z (1 1 1 )z2 (1 1 1 1 )z3
1 z
1!
1! 2!
1! 2! 3!
k
1 zk
k0 n0 n!
( z 1)
三、鞍点
我们来讨论复变函数的一阶导数为零的点的性质。
级数于是
在 C 上一致收敛
逐项积分
其中 4. 展开式是唯一的
若 f (z) 能展开成另一种形式：
(1) 令 z = b： (2) 对 z 求导：
……
——展开式唯一
由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式
来求 ak 。说明： (1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：
证明： 1. 从柯西公式出发
其中 z 为圆 | z – b | = R 内某一点，C 为包含 z 的圆，| – b| = (0 < < R)，为 C 上的点。
2. 将被积函数用级数表示
利用
将
1
z
展开成以
b
为中心的级数
被积函数写成：
3. 将上式沿 C 积分
级数
在 C 上一致收敛 + f ( ) 在 C 上有界
我们知道，实变函数 f (x) 的一阶导数为零的点是它的极
值点 (只要二阶导数不为零)。然而，这一结论对于复变函数
f (z) 不成立 (因为 f (z) 无大小之分) 。此时应讨论它的实部和

将函数展开成幂级数

10.4.2 将函数展开成幂级数
定理10.4.1设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有
各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
当n时的极限条件是f(x)的泰勒公式中的余项 Rn（x）为0，即: lim Rn ( x ) 0 ( x U ( x 0 ))
n
15
x ( ,)
1 1 x x2 x3 xn (| x | 1) 1 x 1 1 x x 2 x 3 (1)n x n (| x | 1) 1 x
将上式从0到x逐项积分：
例4 将f ( x ) ln( 1 x )展开成x的幂级数 1 解 f ( x ) [ln( 1 x )] 1 x
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f (0) f (0) x x x 2! n!
并求出其收敛半径R。
10
（iv）在（ R,R）内考察： lim Rn ( x )是否为零。若为零，则在（ R,R）内有
n
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f (0) f (0) x x x 2! n! 例1 将f ( x ) e x 展开成x的幂级数
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n f ( x ) n!
Rn ( x) f ( x) sn1 ( x) 0
6
在（3）式中若取x0=0,得：
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f (0) f (0) x x x 2! n! 级数（5）称为函数f(x)的麦克劳林级数。 ( 5)
（2）直接法的缺点：计算量大，余项的研究往往很困难。

复变函数的幂级数展开

数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为为级数的前n项部分和.
f
k 1

k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开

补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。