复变函数幂级数
复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。
复变函数的幂级数表示
一 复变函数项级数 1 定义：设 f k (z )是区域D中的复变函数 则
f
k 1
k
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f k ( z ) ...
称为复变函数项级数，称 Sn ( z) f k ( z) k 1 为级数的前n项和。
n
2 级数收敛和发散的定义：
f ( z)dz f
l l k 1
k
( z ) dz f k ( z )dz
k 1 l
3、幂级数在收敛圆内可逐项求导
f
(n)
( z) f
k 1
(n) k
( z)
3.2 解析函数的泰勒展开
一 定理表述及其证明
定理：设 f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析， 则对圆内的任意z点，f(z)可展为幂级数，
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。
ck 引入记号 R lim c k k 1
，称为收敛圆半径。
R，则（3.2.1)
意义： ck 若 | z z0 | lim c k k 1 绝对收敛。
另一方面，若 | z z0 | R 则
| ck 1 || z z0 |k 1 ck 1 lim lim R 1 k | c || z z |k k c k 0 k
五、例题
例1 求 1 z z 2 z k 的收敛圆。 z 为复数
(k!) 2 k z 的收敛半径。 例2 （习题4.1.b）求 k 1 (2k!!)
1 k2 k 例3（习题4.1.c）求 (1 ) z 的收敛半径。 k k 1
zk 例4（简明教程35页）求 的收敛半径。 k 0 k!
复变函数与积分变换幂级数
contents
目录
• 复数与复变函数 • 积分变换 • 幂级数 • 复变函数与积分变换的关系 • 复变函数与积分变换在物理中的应用
01 复数与复变函数
复数的定义与性质
总结词
复数是实数域的扩展，由实部和虚部组成。它具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、 模等特殊性质。
详细描述
复数是由实部和虚部组成的数，表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、模等特殊性质。
复变函数的定义与性质
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，它 具有连续性、可微性、可积性等性质。
拉普拉斯变换与复变函数的关系
拉普拉斯变换是复变函数中的另一种特殊形式，它可以将时域中的函数转换为复数域中的函数，从而 将时域中的问题转化为复数域中的问题。
拉普拉斯变换在控制系统、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用，是现代科学和工程中非常重 要的工具之一。
幂级数与积分变换的关系
幂级数是复变函数的一种表示方法， 它可以表示复数域中的任意函数。
04 复变函数与积分变换的关 系
傅里叶变换与复变函数的关系
傅里叶变换是复变函数中的一种特殊 形式，它将实数域中的函数转换为复 数域中的函数，从而将实数域中的问 题转化为复数域中的问题，以便更好 地解决。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、 控制系统等领域有着广泛的应用，是 现代科学和工程中非常重要的工具之 一。
线性性质、位移性质、微分性质、积分性质等。
积分变换的应用
在信号处理中的应用
通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的成分， 便于分析和处理。
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
复变函数的幂级数展开
复变函数的幂级数展开复变函数的幂级数展开是复数域中独有的一种展开形式。
与实函数不同，复变函数的幂级数展开能够将一个复变函数表示为一系列复数幂的和。
在复变函数理论中，幂级数展开具有广泛的应用，例如在复解析、函数论、物理学等各个领域。
首先，我们来了解一下复变函数的幂级数展开的定义和性质。
给定一个复变函数 f(z)，它可以在某个区域上进行幂级数展开。
设 z0 是该区域上的一个点，如果存在复数序列 c_n 和一个收敛半径 R，使得对于该区域内的每个点 z，有以下关系成立：f(z) = ∑(n=0 to ∞) c_n (z-z0)^n (1)其中，c_n 是函数 f(z) 的系数，R 是幂级数的收敛半径。
幂级数的收敛半径 R 可以通过柯西—阿达玛公式进行计算，该公式是根据幂级数的收敛性和发散性进行的。
下面我们来看一个具体的例子。
考虑以下函数：f(z) = 1/(1-z) (2)为了将 f(z) 展开为幂级数，我们需要找到该函数在某个点 z0 处的展开式，并计算出收敛半径 R。
对于函数 (2)，我们可以选择 z0=0。
然后，我们对函数 (2) 进行展开，在给定的收敛半径内，得到以下级数：f(z) = ∑(n=0 to ∞) z^n (3)这个级数是一个幂级数展开，它显示出函数 1/(1-z) 可以表示为一系列复数幂的和。
在这个例子中，收敛半径 R=1，因为幂级数 (3) 只在 |z| < 1 的区域内收敛。
复变函数的幂级数展开可以用来近似计算复解析函数在某个点附近的值。
一般来说，通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的近似结果。
但需要注意的是，幂级数展开的收敛性和收敛半径是限制近似精度的关键因素。
当所选择的展开点与函数的奇异点接近时，幂级数展开的收敛性可能会受到影响。
幂级数展开还经常用于计算多项式函数和三角函数的复函数版本。
例如，通过对复指数函数进行幂级数展开，我们可以得到欧拉公式：e^(iz) = ∑(n=0 to ∞) (iz)^n/n!，其中 i 是虚数单位。
第4章：复变函数的幂级数展开
| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性 设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分 设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述 任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数 逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内 解析，则对于圆 内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi
复变函数计算数字和角度
复变函数计算数字和角度
复变函数是指在复数域上定义的函数。
它可以分为两个部分：实部和虚部。
实部表示复数对应的横坐标，虚部表示复数对应的纵坐标。
复变函数可以进行各种数学运算，包括加减乘除、取模、求幂以及求根等。
其中，求和是复变函数中常见且重要的操作之一。
计算复变函数的数字和，可以将复变函数表示为幂级数的形式进行计算。
幂级数是指无限个项按照一定的规律相加的级数。
对于复变函数而言，其幂级数一般形式为：
f(z) = a0 + a1(z-z0) + a2(z-z0)^2 + a3(z-z0)^3 + ...
其中，a0、a1、a2等为常数系数，z为复数变量，z0为复数起始点。
通过将复变函数展开为幂级数，我们可以根据系数的规律来计算数字和。
具体做法是，将z0代入幂级数中，得到f(z0)的值，然后将z0替换为z1，再次代入幂级数，得到f(z1)的值，如此往复，最终将所有的f(zn)相加，即可得到数字和。
除了计算数字和，复变函数还可以用于计算角度。
复变函数在极坐标下的表示形式为：
f(z) = ρe^(iθ)
其中，ρ为复数的模，也就是复数到原点的距离，θ为复数与正实轴的夹角。
利用这个极坐标表示，我们可以计算复变函数的角度。
具体做法是，通过求解arctan(Im(z)/Re(z))来计算复数的幅角。
然后，根据实部和虚部的符号来确定复数在各个象限中的位置。
总之，复变函数可以通过幂级数展开来计算数字和，并可以通过极坐标表示来计算角度。
这些计算方法在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
大学物理2.2 复变函数在解析区域中的幂级数展开
z
z
z2/1!
z3 /2!
z4/3!
z2
z2
z3 /1!
z4/2!
z5/3!
z3
z3
z4/1!
z5/2!
z6/3!
ez 1 (1 1 )z (1 1 1 )z2 (1 1 1 1 )z3
1 z
1!
1! 2!
1! 2! 3!
k
1 zk
k0 n0 n!
( z 1)
三、鞍点
我们来讨论复变函数的一阶导数为零的点的性质。
级数 于是
在 C 上一致收敛
逐项积分
其中 4. 展开式是唯一的
若 f (z) 能展开成另一种形式：
(1) 令 z = b： (2) 对 z 求导：
……
——展开式唯一
由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个 解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式
来求 ak 。 说明： (1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：
证明： 1. 从柯西公式出发
其中 z 为圆 | z – b | = R 内某一点，C 为包含 z 的圆，| – b| = (0 < < R)， 为 C 上的点。
2. 将被积函数用级数表示
利用
将
1
z
展开成以
b
为中心的级数
被积函数写成：
3. 将上式沿 C 积分
级数
在 C 上一致收敛 + f ( ) 在 C 上有界
我们知道，实变函数 f (x) 的一阶导数为零的点是它的极
值点 (只要二阶导数不为零)。然而，这一结论对于复变函数
f (z) 不成立 (因为 f (z) 无大小之分) 。此时应讨论它的实部和
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“”已知 n l iman a,n l imbn b 即，
0,N0,
n
N,恒
有an
a
2，bn
b
2
又n (an a)i(bn b)
an a bn b 故nl i m n .
精品课件
例1 判断下列数列是否收敛？若收敛，求出其 极限。
⑴若级c数 nzn在zz0(0)收 敛 ,则对 满足 n0
z z0的z,级 数 必 绝.对 收 敛
⑵ 若z级 z0发 数,则 散 在对z 满 z0的 足 z, 级 数 . 必 发 散
精品课件
证明 (1) n0cnz0 n收,则 敛 ln im cnz0 n0，即
0 ， N 0 ， nN ， 恒 cnz0 n 有
精品课件
1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{fn(z)}z D , n1 ,2 , fn (z)f1 (z)f2 (z) fn (z) (1 ) n 1 ---称为复变函数项级数
▪级数的最前面n项的和 n sn (z)f1(z)f2(z) fn (z) fk(z) k 1 ---级数的部分和
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
?
若 n收敛 n收敛(例.如:
n1
n1
n1
(1)ni n
)
定义 若n收敛，则称n为绝对收敛；
n1n1ຫໍສະໝຸດ 若n发散，而n收敛，则称n为
n1
n1
n1
条件收.敛
精品课件
例2 下列级数是否收敛否 ？绝 是对收敛？
1 i
(8 i)n ( 1 )n i
又
(1)n 条 件 收
敛 原 ，级
数
非
绝. 对
n1 n
精品课件
练习： 讨 论 11ein的 敛 散; 性
n0 n
讨论
i
n
的敛散性 ;
n1 n
讨
论
n1
ln(1 in
1) n敛
散
性 .
精品课件
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
记ln 作 i m n,或n 当 时， n, 此 时 ， 也{称 n}收 复敛 数 .于 列
定理1 l n im n l n ia n m a , l n ib n m b .
证明 “ ”已 n l i m 知 n即， 0,N0,nN,恒有 n
精品课件
又 n(ana)i(bnb) (ana)2(bnb)2 anan bnbn
n0
(1)
zn
1 ni 1ni
(3)zn (1
i )n 3
ni
(2) zn e 2
(4)
zn
(1
1)eni n
精品课件
2. 级数的概念
定义 ▪设复数列： {n } { a n in b }n ( 1 ,2 , ,), n12n---无穷级数 n1
▪级数的前面n项的和
n
sn12 n i ---级数的部分和
i1
▪若
部
分
和
数
列{
s
n
收 }
敛
－ 级 数n称 为 收 敛
n1
ln i m sn s称为级数的和
不收敛 －级数 n称为发散 n1
精品课件
例2
判别
n1
3i的敛散性。 2n
解 snk n 12 3 k i3 i(12 1 n)又 ,ln i s m n3 i
级数收 ,且敛 和3i为 .
定理2 级 数 n收敛 an和 bn都收敛。
▪ 若z0D ln im sn(z0)s(z0),称级(1数 )在z0收敛 ,
其 和s为 (z0), ln im sn(z0)不 存 在 ， 称 (1)发 级散 数。
精品课件
若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数
s (z ) f1 (z ) f2 (z ) fn (z ) ＋ ---级数(1)的和函数
n1
n1
n1
证明 sn n k n (ak ibk) n ak i n bk nin
k1
k1
k1
k1
由定理ln１ im s， n aibln im n a,ln im n b
an和bn都收敛。
n1
n1
精品课件
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为
两个实数项级数的收敛问题。
性质 级数 n收敛的必要条:ln i件 m n 0.
第四章 级 数
精品课件
§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
精品课件
1. 复数列的极限
定义 设复 {n }n 数 ( 1 ,2 , ) 列 其 , n ： ＝ 中 a n in b ,
又设复常数：aib，
若0,N0,当nN,恒 有 n， 那 么 称 为 复 {n数 }当n列 时 的 极 限
(1 ) (1 )(2 ) n 1n n n 0 n !
(3 ) (
n 1
n 2 n )
解 (1 ) n 1n 1发n 散 1n 1 2收 ， 敛 n 1n 1(1 ， n i)发. 散
(2)
8in
8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
取 M ma,c x 0,c1z0,c2z0 2, ,cN z0 N
故 cnz0 nM ,n0 ,1 ,2 ,
若zz0,
则z q1 z0
cnzn cnz0n
n
z Mqn, z0
由于 Mqn收敛,由比较判别cn法 zn 收 得敛 ,
n0
n0
cnzn绝对收敛。
n0
精品课件
(2)用反证法，设z1,当z1 z0， 有cnz1n收敛，
n1
定理3 若 n收 敛 n收敛 ， n 且 n.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn
an an2 bn2 ,
an2 bn2
由比较判定法
an和 bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
由定理
2
得
收敛
n
。
n
n
k k, nn
n1
k1
k1
n1
n1
精品课件
由定理3的证明过程，及不等式 an2bn2 anbn有:
特殊情况，在级数(1)中 fn(z)cn(zz0)n得
cn(zz0)n (2)
n0
当z00 cnzn (3) n0
称为幂级数
在(2)中令 zz0 (2) cnk k0
研究级(3)数 并不失一般性。
精品课件
2. 收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理）