chapter3 复变函数的幂级数展开
03复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f
k 1
k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1
那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法
幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0
1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0
(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的
| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ敛的
n 1 n
n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法
复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式
第三章幂级数展开
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
幂级数展开
1
1
2
由于级数在CR1上一致收敛,由一致收敛级数的逐项可积 分性质得:
1 2 i
w ( )
CR1
z
d
1 2 i
a0
CR1
z
d
1 2 i
a1 ( z 0 )
CR1
z
d
1 2 i
a 2 ( z 0 )
k
证明: 取比收敛圆稍稍缩小的圆周CR1, 为其上的任 一点,级数的和记作 (3.2.9)
w ( ) a 0 a1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )
2
取CR1内任一点z, 1 a ( z ) 1 2 (i z 用有界函数 a a z ) 1 w ( ) 1 遍乘上式 i z 2 i z 2 i z 2 2 i z
解： R lim
k
级数在 z 1 绝对收敛
=
例2.求幂级数 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆,z为复变数 解:把 z 记作 t ,则级数为 1 t t 2 t 3 , t面上的
2
收敛半径
R lim
ak a k 1
k
1
则z面上的收敛半径为
其中, W ( z )
k 1
W (z)
wk ( z )
则级数在区域B上(或者曲线L)一致收敛于 W ( z ) W ) W ((zz) 称为和函数
,
注意: 一致收敛的概念是和一定的区域联系在一起
b.一致收敛的充要条件 对于B上(或L)上的点z， ，存在自然数
第三章幂级数展开
第三章 幂级数展开ξ3.1 复数项的级数一．复数的无穷级数可表示为：121kk n k ww w w w ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑ （1）其中：k k w u iv =+前n 项和为：11nn k k n k s w w w w w ===++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑=11nnkkk k ui v ==+∑∑当n →∞时级数：n s →级数：1kn w∞=∑故111n kkk k k k w u i v ∞∞====+∑∑∑一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛 1. 柯西收敛判据：一个级数还可写为：11kn kk k n ws w∞∞=≠+=+∑∑ （4）其中n s 是钱n 项和1kk n w∞≠∑为余项判据：任何一个小正数ξ>0 若能找到一个N 使得n>N 时1n pkk n wξ+=+<∑则称1kn w∞=∑收敛，其中p 为任意整数 2. 绝对收敛若11kk k w∞∞===∑∑是收敛的，则1kk w∞=∑绝对收敛两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积二．复变项级数（复变函数项级数） 1．函数项级数一般表示为：121()()()()kkk w z w z w z w z ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅∑ （5）函数项级数的收敛问题得涉及到z 的取值域，若z 在B 上取值是（5）收敛，则称1()kk w z ∞=∑在B 上收敛。
B 称为1()kk w z ∞=∑的收敛域函数项级数也可表示为：111()nkkkk k k n w z ww∞∞===+==∑∑∑ （6）2. 函数项级数的收敛 如在B 上，对于个点z任意给0ξ>，若存在N 使得n>N 时有1n pkk n wξ+=+<∑则称级数1()nkk w z =∑在B 上一致收敛3.收敛级数性质（1）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都是B 上的连续函数 （2）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分⇒逐项积分 (3) 若有()k k w z m ≤，而1kk m ∞=∑是收敛的，则()kw z ∑绝对且一致收敛ξ3.2 幂级数最典型也最常见的级数——即级数的各项都是幂函数2001020()()()k k k a z z a a z z a z z ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ (1) 其中0z 、0a 、1a 、2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是复常数，这一的级数叫做以0z 为中心展开的幂级数 一.级数收敛判别法1. 比值判别法（达朗贝尔判别法）： 若：110100lim lim1k k k kk k kka z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- （3）则（2）正项级数收敛，亦即级数（1）绝对收敛 2. 根值判别法若：1k < （4）则级数（2）收敛，亦即级数（1）绝对收敛3. 收敛域和收敛半径函数级数的收敛问题（从根本上）具体要涉及的是收敛u 的问题即，z 在什么样的范围内取值级数是收敛的，收敛判别法本身给出了z 的取值范围： 由判别法“1”：01l i m kk k a z z a →∞+-< (5)则 1limkk k a R a →∞+= （6）为级数（1）的收敛半径 只要满足0z z R -< 的所有点其级数（1）都收敛则以0z 为中心R 为半径的区域是（1）的收敛区域，对应圆称（1）的收敛圆。
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
复变函数的幂级数展开
复变函数的幂级数展开复变函数的幂级数展开是复数域中独有的一种展开形式。
与实函数不同，复变函数的幂级数展开能够将一个复变函数表示为一系列复数幂的和。
在复变函数理论中，幂级数展开具有广泛的应用，例如在复解析、函数论、物理学等各个领域。
首先，我们来了解一下复变函数的幂级数展开的定义和性质。
给定一个复变函数 f(z)，它可以在某个区域上进行幂级数展开。
设 z0 是该区域上的一个点，如果存在复数序列 c_n 和一个收敛半径 R，使得对于该区域内的每个点 z，有以下关系成立：f(z) = ∑(n=0 to ∞) c_n (z-z0)^n (1)其中，c_n 是函数 f(z) 的系数，R 是幂级数的收敛半径。
幂级数的收敛半径 R 可以通过柯西—阿达玛公式进行计算，该公式是根据幂级数的收敛性和发散性进行的。
下面我们来看一个具体的例子。
考虑以下函数：f(z) = 1/(1-z) (2)为了将 f(z) 展开为幂级数，我们需要找到该函数在某个点 z0 处的展开式，并计算出收敛半径 R。
对于函数 (2)，我们可以选择 z0=0。
然后，我们对函数 (2) 进行展开，在给定的收敛半径内，得到以下级数：f(z) = ∑(n=0 to ∞) z^n (3)这个级数是一个幂级数展开，它显示出函数 1/(1-z) 可以表示为一系列复数幂的和。
在这个例子中，收敛半径 R=1，因为幂级数 (3) 只在 |z| < 1 的区域内收敛。
复变函数的幂级数展开可以用来近似计算复解析函数在某个点附近的值。
一般来说，通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的近似结果。
但需要注意的是，幂级数展开的收敛性和收敛半径是限制近似精度的关键因素。
当所选择的展开点与函数的奇异点接近时，幂级数展开的收敛性可能会受到影响。
幂级数展开还经常用于计算多项式函数和三角函数的复函数版本。
例如，通过对复指数函数进行幂级数展开，我们可以得到欧拉公式：e^(iz) = ∑(n=0 to ∞) (iz)^n/n!，其中 i 是虚数单位。
第三章 幂级数展开
∞ (ξ ) ∫ l ξ z dξ = ∑0 uk ( z ) = ( z ) k=
1 代入上式得： 代入上式得： π i 2
上式表明（z）可表示成边界的线积分，即（z）为单连 ）可表示成边界的线积分， ） 通区G的科西公式 因此， G内的解析函数 的科西公式， 内的解析函数。 通区G的科西公式，因此，为G内的解析函数。 可逐项微商， ② 可逐项微商，即： ( z ) = [∑ uk ( z )] = ∑ uk ( n ) ( z )
(n)
uk (ξ ) n! (z) = ∑ ∫ l (ξ z )n+1 dξ k = 0 2π i
∞
由于u 为 内的解析函数 根据高阶导数的科西公式： 内的解析函数， 由于 k(z)为G内的解析函数，根据高阶导数的科西公式：
n! u (z) = 2π i
( n)
uk (ξ ) ∫ l (ξ z )n+1 dξ
这时复变项级数退化为复数项级数，可以利用上面方法 这时复变项级数退化为复数项级数， 来讨论它的收敛性. 其部分和为： 来讨论它的收敛性 其部分和为：
S n ( z0 )∑ uk ( z0 ) = u0 ( z0 ) + u1 ( z0 ) + + un ( z0 )
n
为唯一确定的极限值， 若lim Sn ( z0 ) = S ( z0 ) ，S(z0)为唯一确定的极限值，则称级数在 为唯一确定的极限值 n→∞ z = z0收敛。 收敛。 对于任意给定的ε ε-δ说法 对于任意给定的ε > 0，存在 = N(ε, z0 )，使得当 δ ，存在N ε ， n ≥ N时，有|Sn(z0) –S(z0)| < ε，则级数收敛 则级数收敛. 时 将上面的z 换成z， 收敛. 将上面的 0换成 ，则称复变项级数 ∑ uk ( z ) 在z收敛 收敛
复变函数的幂级数展开
数学物理方法
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为 为级数的前n项部分和.
f
k 1
k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数 若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数 若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开
补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
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n (n 1)!
13
(4)
zk2
k 1
因为级数是缺项级数,
即Cn
0, 1,
n k2; n k2.
故
R
lnim lim
n
1
Cn 1
n n Cn
R1 1 R2
R R1 R2 1
14
5)幂级数的运算与性质
(1)设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2 .
(R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n ,
2! 4!
(2n)!
(R )
27
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分 等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展 开式. 间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
R min( r1, r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
zR
15
(2)幂级数的代换(复合)运算
37
2)将函数展为洛朗级数的方法
(1) 直接展开法
根据洛朗定理求出系数 cn
K2
.
因为
1
z
(
1 z0) (z
z0 )
1 z z0
1
1
z0
z
z0 z0
1
z z0
34
n1
( z0 )n1
(z z0 )n
n1 (
1 z0
)n1
(
z
z0
)n
,
于是 1 f ( )d
2πi K1 z
n1
1 2πi
K1 (
f
( )
z0 )n1
d
(
z
z0
)n
cn (z z0 )n ,
(n 0, 1, 2,)
[证毕]
36
说明:
1) f (z) cn(z z0 )n
n
f (z)在圆环域内的洛朗(Laurent)级数. 函数 f (z)在圆环域内的洛朗展开式
2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负 幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数 的一般方法.
i
K
f
( )d
z
,
其中 K 取正方向.
因为积分变量 取在圆周 K 上, 点 z 在 K 的内部,
所以 z z0 1.
z0
则 1
1
z ( z0 ) (z z0 )
1
1
z0 1 z z0
z0
.z
z0 . r K
D
.
23
1 z0
1
(z
z0 ) ( z
z0
n0 (
19
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
1
(1 z)2
( 1 ) 1 z
(z n )
n0
nz n1 ,
n0
收敛半径 z 1 收敛半径 z 1
1
(1 z)3
21
(
(1
1 z
)
2
)
21
n0
(nz
n
)
21
n0
n(n
1)z n2 ,
收敛半径
z
1
…
ln(1z) z
1
dz
z
z ndz
z n1
zn
, 收敛半径 z 1
0 1 z
0 n0
n0 n 1
n1 n
…
20
二、泰勒定理
定理 设 f (z) 在区域 D内解析, z0 为 D 内的一
点, d 为 z0到 D 的边界上各点的最短距离, 那么
当 z z0 d 时, f (z) cn(z z0 )n 成立,
2!
n!
n0 n!
(2)
1
1 z z2 zn zn , ( z 1)
1 z
n0
(3)
1
1 z z2 (1)n zn (1)n zn ,
1 z
n0
( z 1)
(4) sin z z z3 z5 (1)n z2n1 ,
3! 5!
(2n 1)! ( z )
30
(5) cos z 1 z2 z4 (1)n z2n ,
2! 4!
(2n)!
( z )
(6) ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 ,
23
n1
(1)n zn1
n0
n1
( z 1)
(7)(1 z) 1 z ( 1) z2 ( 1)( 2) z3
c
n0 c
或
z
f ( )d
cn (z a)n1.
a
n0 n 1
积分后所得的幂级数收敛半径不变.
18
例
f (z) zn n0
收敛半径 z 1
zn 1 z z2 zn
n0
lim 1 z n1 1 , n 1 z 1 z
最常用的级数！
1
1 z z2 zn zn,
1 z
n0
n0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z z0 )n1.
n1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
17
(3) f (z) 在收敛圆内可以逐项积分, 即
f (z)dz cn (z a)ndz, c z a R.
数学物理方法
1
复变函数的幂级数展开
主要知识点： 幂级数 泰勒级数 洛朗级数 奇点
2
1.复数列
设 {n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
则 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
3
2.复数项级数
1) 定义 设{n } {an ibn } (n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和 sn 1 2 n
称为级数的部分和.
4
2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那么级数 n收敛, n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛, 那么级数 n发散.
n1
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
充要条件
收敛
n
an与
bn都收 敛
n 1
n 1
n 1Biblioteka 必要条件n收敛n1
28
例如，利用间接展开法求 sin z 在 z 0的泰勒展开式.
sin z 1 (eiz eiz ) 2i
1 2i
n0
(iz)n n!
(iz)n n0 n!
(1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
29
2)常见函数的泰勒展开式
(1) ez 1 z z2 zn zn , ( z )
2!
3!
( 1)( n 1) zn , ( z 1)
n!
31
三 洛朗级数
1)定理 设 f (z) 在圆环域 R1 z z0 R2 内处处解
析, 那么 f (z) 在 D 内可展开成洛朗级数
f (z) cn(z z0 )n,
n
其中
cn
1
2πi C (
f
(
z0
) )n1
1 z0
z z0
n
n0 z0
n0
(z z0 )n
( z0 )n1
,
33
所以
1 2π
i
K
2
f
(
)d
z
n0
1 2πi
K2 (
f (
z0
) )n1
d
(
z
z0
)n
cn(z z0 )n
n0
对于第二个积分:
1 2πi
f ( )d K1 z
R2
K1
Rr
.
R1 z0
.z
lim
n
n
0
5
3)复级数的绝对收敛与条件收敛
如果 n 收敛, 则称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
复级数 : n an i bn
n1
n1
n1
绝对收敛
n
an与
bn绝对收敛
n1
n1
n1
6
3.复变函数项级数
设 { fn(z)} (n 1,2,) 为一复变函数序列,
(1)
zn n2
n0
(2) zn n0 n!
(3) n!zn
n0
(4) zk2 .
k 1
解
(1) 由R lim cn c n
n1