必修4第2章(第3课时)平面向量的线性运算(2)
2017人教a版高中数学必修四 第2章第3课时平面向量的线
课题： 2.2.2向量的减法及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点：对向量减法概念的理解讲课类型：新讲课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学进程：一、温习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来概念的，一般有两种方式，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2．向量加法的互换律：a+b=b+a3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)二、讲解新课：向量的减法1．用“相反向量”概念向量的减法：1“相反向量”的概念：与a长度相同、方向相反的向量记作a2规定：零向量的相反向量仍是零向量(a) = a任一贯量与它的相反向量的和是零向量a + (a) =0若是a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 03向量减法的概念：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．用加法的逆运算概念向量的减法：若b + x= a，则x叫做a与b的差，记作a b 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量∵(a b) + b = a + (b) + b = a +0= a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作OA= a, OB= b, 则BA= a b即a b能够表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：1AB表示ab强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”概念法作差向量，a b = a + (b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一三、讲解范例：例1已知向量a、b、c、d，求作向量a b、c d解：在平面上取一点O，作OA= a, OB= b, OC= c, OD=d,作BA, DC, 则BA= a b, DC= c d例2平行四边形ABCD中，AB a=，AD b=，用a，b表示向量AC、DB 解：由平行四边形法则得：AC= a + b,DB= AB AD- = a b变式一：当a, b知足什么条件时，a+b与a b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a, b知足什么条件时，|a+b| = |a b|？（a, b彼此垂直）变式三：a+b与a b可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）,3,,,ABCD AB a DA b OC cb c a OA===+-=如图平行四边形证明：例b c DA OC OC CB OBb c a OB AB OB BA OA+=+=+=∴+-=-=+=证明：四、课堂练习：五、小结向量减法的概念、作图法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课跋文：。
高一必修4平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算一、知识要点梳理 知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2．向量的表示方法: (1)字母表示法:如,,,a b c →→→等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,AB CD →→等. (3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:0→与任一向量共线. 知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：a b b a →→→→+=+；②结合律：()()a b c a b c →→→→→→++=++ 知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数λ与向量a →的积是一个向量，记作：a λ→(1) ||||||a a λλ→→=；(2)①当λ>0时,a λ→的方向与a →的方向相同； ②当λ<0时,a λ→的方向与a →的方向相反； ③当0λ=时,0a λ→→=. 2．运算律 设,λμ为实数结合律：()()a a λμλμ→→=；分配律：(),()a a a a b a b λμλμλλλ→→→→→→→+=++=+ 3．共线向量基本定理非零向量a →与向量b →共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数,λ使b a λ→→=. 经典例题类型一：向量的基本概念1．判断下列各命题是否正确： (1)若||||,a b →→=则a b →→=；(2)若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC →→=是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (3)若,,a b b c →→→→==，则.a c →→=(4)两向量,a b →→相等的等价条件是||||a b →→=且//a b →→. 类型二：向量的线性运算2．如图所示，ABCD 的两条对角线相交于点,M 且,,AB a AD b →→→→==用,a b →→表示,,,MA MB MC MD →→→→【变式1】如图,ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2,AN NC AM =与BN 相交于点,P 求:AP PM 的值.【答案】解：(如图)设则和分别共线，∴存在使故，而∴由基本定理得即类型三：共线向量与三点共线问题 3．设两非零向量1e →和2e →不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e →→→→→→→→→=+=+=-求证,,A B D 三点共线. (2)试确定实数,k 使12k e e →→+和12e k e →→+共线. 类型四：综合应用4．如图，已知点,,D E F 分别是ABC ∆三边的中点， 求证：0EA FB DC →→→→++=. 测评 基础达标：1.下面的几个命题：①若||||,a b →→=则,a b →→共线；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量； ③若,a b →→满足||a →>||,b →且,a b →→同向，则a →>b →； ④由于0→方向不定，故0→不能与任何向量平行；⑤对于任意向量,a b →→必有||||||a b →→-≤||a b →→+≤||||a b →→+. 其中正确命题的序号是：( )A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2.在正六边形ABCDEF 中,O 为其中心，则2FA AB BO ED →→→→+++= ( ) A.FE → B. AC → C. DC → D. FC →3.如图所示,,,D E F 分别是ABC ∆的边,,AB BC CD 的中点，则AF DB →→-= ( ) A. FD → B. FC → C. FE → D. BE →4.若,,O E F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.B.C.D.5.已知向量,,a b →→且2,56,72,AB a b BC a b CD a b →→→→→→→→→=+=-+=-则一定共线的三点是( ) A.A 、B 、D B.A 、B 、C C.B 、C 、D D.A 、C 、D 6.下列命题中，真命题的个数为( )①||||||a b a b a →→→→→+=+⇔与b →方向相同 ②||||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →方向相反 ③||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →有相等的模 ④||||||a b a b a →→→→→-=-⇔与b →方向相同 A.0 B.1 C.2D.37.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点1,2,,3AD DB CD CA CB λ→→→→→==+则λ= ( )A.23B. 13C. 13-D. 23-8.设12,e e →→是两个不共线的向量，则向量12()m e k e k R →→→=-+∈与向量212n e e →→→=-共线的条件是 ( ) A. 0k = B. 1k = C. 2k = D. 12k =9.已知正方形ABCD 边长为1,,,,AB a BC b AC c →→→→→→===则||a b c →→→++=( )A.0B.3C.D.10.如图，在平行四边形ABCD 中,,M N 分别是,DC BC 中点，已知1,,,AM c AN d →→→→==用,c d →→表示=___________，___________.11.若1212,,,OP a OP b PP PP λ→→→→→→===则OP →= (用,a b →→表示) 12.已知在ABC ∆中,,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点，求证：(1)//DE AB →→；(2) 1||||2DE AB →→=； (3)0AD BE CF →→→→++=.13.已知OAB ∆中，点C 是以A 为中心的B 的对称点,D 是将OB →分成2:1的一个内分点,DC 与OA 交于,E 设,OA a OB b →→→→==. (1)用,a b →→表示,OC DE →→； (2)若,OE OA λ→→=求实数λ的值.。
必修4第二章2.2平面向量的线性运算
考点4向量加减法的基本运算
【例4】化简：(1) － － ；
(2)( － )－( － )．
【变式4】化简：
(1) － ＋ － ；
(2) ＋ ＋ － .
考点5用已知向量表示其他向量
【例5】如图，解答下列各题：
C．与向量b方向相同D．与向量b方向相反
3．化简 － ＋ ，所得的结果是()．
A. B． C．0D．
4．如图，在四边形ABCD中，设A＝a，＝b，＝c，则＝()．
A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c
5．化简4(a－b)－3(a＋b)－b＝()．
A．a－2bB．a
C．a－6bD．a－8b
各式：
① ＋ ＋ ；
② ＋ ＋ ＋ .
考点2利用向量证明几何问题
【例2】在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F、E，使BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形．
【变式2】已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且 ＝ ， ＝ .
用向量法证明：四边形ABCD是平行四边形．
6．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系为()．
A．不共线B．共线C．相等D．无法确定
二．填空题
7．当非零向量a，b满足________时，a＋b平分a与b的夹角
8．若菱形ABCD的边长为2，则| － ＋ |＝________.
9．梯形ABCD中，AB∥DC，AC与BD交于点O，则 － ＋ － ＋ ＝________.
高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)
高中数学必修四同步学习必修四第二章平面向量-平面向量的线性运算学习过程
r uuur r r 2b ,OC a 3b ，试判断
A 、 B、 C 三点之uu间ur 的位置关系．
解：∵uuru AB ＝ OB － OA ＝ a+2b－(a+b) ＝b，
且
AC uuru
＝
OC － uuur
OA
＝
a+3b－
(a+b)
＝
2
b，
∴ AC ＝ 2 AB ．
所以， A 、 B、 C 三点共线．
例 2.如u图uu，r 平行r 四边u形uur ABrCD 的两条r 对角r线相交于
点uuMru u，ur且u uAuuBr ＝uuaru ， AD ＝ b ，试用 a ， b 表示向量
平面向量的线性运算
学习过程
知识点一：向量的加法 （ 1）定义已知非零向量
rr a, b ，在平面内任取一点
r
r
A ，作 AB ＝ a ，BC ＝ b ，则向量 AC
rr
rr
rr
叫做 a 与 b 的和，记作 a b ，即 a b ＝ AB ＋ BC ＝ AC ．
求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求
知识点二：向量的减法
r
r
（ 1）相反向量：与 a 长度相同、方向相反的向量 .记作 a 。
rr
r
（ 2）①向量 a 和 - a 互为相反向量，即 –(- a ).
②零向量的相反向量仍是零向量． ③任一向量与其相反向量的和是零向量，即
r r r rr a ＋ (- a )＝(- a )＋ a ＝ 0 ．
[来源 :]
则确定．
（ 2）向量加法的平行四边形法则
以点 O 为起点作向量 OA a
人教A版高中数学必修四 第2章(第3课时)《平面向量的线性运算》(2)教案
课 题： 2.2.2向量的减法及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念； ⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点：对向量减法定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )二、讲解新课：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法： 1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量 + (-a ) =0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 03︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．用加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a +0 = a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一三、讲解范例：例1已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD =d ,作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d例2平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，用a ，b 表示向量AC 、 解：由平行四边形法则得：AC = a + b , DB = AB AD - = a -b变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |）变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a , b 互相垂直）变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）,3,,,ABCD AB a DA b OC c b c a OA===+-= 如图平行四边形证明：例 b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA+=+=+=∴+-=-=+= 证明：四、课堂练习：五、小结 向量减法的定义、作图法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算课件(3)
r
r
r
思 与向考量题2ar:
向量 3a 与向量 有什么关系?
a 有什么关系? 向量
3a
r
r
r
r
(的1)3向倍量,即3a3的ar 方3向ar .与 a 的方向相同, 向量 3a的长度是 a
r
r
r
r
(2)向量3a的r方向r与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a
的3倍,即 3a 3 a .
精品PPT
C
3 AB BC A
B
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
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定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明三点共线的问题:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
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例3：设a，b是两个不共线的向量，
AB a b，BC 2a 8b，CD 3 a b ，
求证：A，B，D三点共线.
如何作出
r a
r a
r a
和(ar)Biblioteka r (a)r (a)?
r
rrr
r rr
a
aaa
a a a
uuur uuur Ouuur Auuur rB r rC N r rM r Q r P
OC
OA
uuur
AB
r
BC
a
a
uuaur
记r: a ra a r 3a
r
即: OC 3a. 同理可得: PN (a) (a) (a) 3a
c)
(3ar
2br
cr)
a 5b 2c
注：向量与实数之间可以像多项式
一样进行运算.
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高中数学必修4：2.2 平面向量的线性运算(人教版高中数学必修4第二章平面向量)
AB BC CD _A__D__
AB BC CD DE __A_E__
加法三角形法则：首尾相连
向量加法（二）：平行四边形法则
平行四边形法则： OA + OB = OC
b a
A
a
C
O
b
B
向量加法
（1）规定：0 + a = a + 0 = a
（2）求三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更 简单．
λ>0 λ<0
特别地,当λ＝0或a＝0时，0a＝_0__或λ0＝__0_.
向量数乘的运算律
① λ(μa)＝____(_λ_μ_)a_____； ② (λ＋μ)a＝___λ_a_＋__μ_a___；
③ λ(a＋b)＝___λ_a_＋__λ_b___．
2(3a)=(2×3)a=6a (2+3)a=2a+3a=5a 2(a+b)=2a+2b
例1 已知 λ∈R，下列关系式正确吗？
① 若λ＝0, 则 λa＝0; ② 若a＝0，则λa＝0；
③ |λa|＝|λ|a；
④ |λa|＝λ|a|.
解析：实数λ与向量a的积λa也是一个向量，所以①错，② 正确；|λa|＝|λ||a|，所以③④错.
想一想？
向量与实数可以求积（数乘），结果是个向量. 那么向量和实数可以进行加减运算吗？ 提示：不可以． 向量与实数不能进行加减运算，如1＋a和λ－a无法运算．
QP
(－a)+(－a)+(－a)
PN PQQM MN a a a =3 a
(－a)+(－a)+(－a)=－3a
－3a方向与a方向相反 |－3a|=__3_|a|=|－3| |a|
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课 题： 2.2.2向量的减法及其几何意义
教学目的：
⑴了解相反向量的概念； ⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.
教学难点：对向量减法定义的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
2．向量加法的交换律：a +b =b +a
3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )
二、讲解新课：向量的减法
1．用“相反向量”定义向量的减法： 1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量 + (-a ) =0
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0
3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差
即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法
2．用加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b
3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量
∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a +0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，
作OA = a , OB = b , 则BA = a - b
即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量
注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数
2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
三、讲解范例：
例1已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d
解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD =d ,
作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d
例2平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，用a ，b 表示向量AC 、
解：由平行四边形法则得：
AC = a + b , DB = AB AD - = a -b
变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |）
变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a , b 互相垂直）
变式三：a +b 与a -b
,3,,,ABCD AB a DA b OC c b c a OA
===+-= 如图平行四边形证明：例 b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
+=+=+=∴+-=-=+= 证明：
四、课堂练习：
五、小结 向量减法的定义、作图法
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。