线性二次型问题的最优控制

& = ( A + BK ) x 是稳定的， 设计状态反馈矩阵 K 时， 首先要保证系统 x 根据李雅普诺夫方程 ( A + BK )T P + P ( A + BK ) = −(Q + K T RK ) 可知要求矩阵 P 正定对称。该方程中 P 、 K 是未知的
是一个二元矩阵方程，只能求解出两者之间的数学关系 P = P ( K ) 。 另外由于 A + BK 是渐进稳定的，因此 xT (∞) Px (∞) = 0 ，性能指标转化为：
J=
1 T 1 tf T x (t f ) Fx (t f ) + ∫ x (t )Q(t ) x (t ) + u T (t ) R (t )u (t ) dt 2 2 t0
线性定常系统而言， 希望系统受到扰动偏离平衡状态后， 系统能最优地恢复到原平衡状 态，无稳态误差，则必须采用无限时间定常状态调节器。 线性定常系统状态方程
2、线性二次型问题数学描述 系统的状态空间描述如下：
& (t ) = A(t ) x(t ) + B(t )u (t ) x y (t ) = C (t ) x(t ) + D (t )u (t ) x (t ) = x 0 0
性能指标
1 1 tf T J = eT (t f ) Fe(t f ) + ∫ e (t )Q (t )e(t ) + u T (t ) R (t )u (t ) dt 2 2 t0 其中， e(t ) = z (t ) − y (t ) 表示输出误差向量， z (t ) 表示期望输出， y (t ) 表示实际输出向量； t 0 、 t f 固定； F = F T ≥ 0 、 Q (t ) = QT (t ) ≥ 0 、 R (t ) = R T (t ) ≥ 0 是正定对称加权矩阵，在工程应
Real Axis
图 1 系统极点分布图
3.2 系统响应特性验证 在上述稳定系统的情况下， 给系统一个单位阶跃输入信号， 得到系统的单位阶跃响应曲 线如下。
Step Response 1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3 Time (sec)
4
5
6
7
图 2 单位阶跃响应曲线 3.3 系统鲁棒性验证 鲁棒性验证是指当模型的结构参数变化时， 设计的状态反馈控制律能否仍然保证系统具 有稳定性，如果仍然稳定，称设计的状态反馈控制律具有鲁棒性。 假设系统参数变化范围为 λ ，则对应的系统的系统矩阵如下
J= 1 T x (0) Px (0) 2 ∂J = 0 由此求出系统的状态反馈矩阵。 ∂K
最终，要使得系统的性能指标极小。必须满足 【案例】
系统的状态方程与性能指标如下所示， 试设计系统的状态反馈矩阵使得系统的性能指标 达到最优。
0 &= x 0
∞
1 0 x + u 0 1
用中一般取对角阵。 在线性二次型性能指标 J 中，其中各项具有对应的物理意义。
1 （1）末值项 eT (t f ) Fe(t f ) 表示在控制过程结束后，对系统末态跟踪误差的要求。 2
（2）积分项
1 tf T e (t )Q(t )e(t )dt 表示在系统控制过程中，对系统动态跟踪误差加权平方 2 ∫t0 1 tf T u (t ) R (t )u(t )dt 在控制系统中控制信号的大 小往往正比 于作用力或力 2 ∫t0
根据利亚普诺夫方程 AcT P + PAc = −(Q + K T RK ) ，求解得到 P 。求解这些可以借助 Matlab 工具。由
∂J = 0 解得状态反馈矩阵为 K1 = [1 i ] K 2 = [1 -i ] K3 = [−1 ∂K 3] K 4 = [−1 - 3] 四个
解。根据物理意义以及系统稳定性要求只有 K3 = [−1 - 3] 满足。
A = (1 + λ ) A B = (1 + λ ) B C = (1 + λ )C D = (1 + λ ) D
仿真得到系统的极点分布图与单位阶跃响应曲线如下。
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 -1.3
-1.2
-1.1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈，取控制输入 u = Kx 则有： & = ( A + BK ) x x
J= 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt 2 ∫0
1、线性二次型研究的背景 如果系统式线性系统， 且性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数， 这类问题的性 能指标的最优问题成为线性二次型。 问题的本质是寻求最优控制量 u * (t ) ， 使得性能指标 J 达 到极小值。由于最优控制输入 u * (t ) 具有统一的解析形式，并且可以设计简单的线性状态反 馈控制律，易于构成闭环最优反馈控制，便于工程实现，因此在实际工程中得到广泛应用。
J =∫ x T (t ) x (t ) + u T (t )u (t ) dt 0
1 系统分析 该系统是一个二阶单输入系统， 由系统矩阵 A 可知原系统不稳定， 但是系统的状态是完 全可控的。因此采用状态反馈主要需要解决两个问题：系统的稳定性与性能指标的最优化。
0 1 0 其中 A = ， B = ，Q = I ， R =1。 0 0 1
f 0
义是使得系统在整个控制过程中的动态跟踪误差与控制能量消耗， 以及控制过程结束时的末 端跟踪偏差的综合最优。
3、线性二次型的应用 3.1 状态调节器（LQR） 状态调节器要解决的问题是当系统受到扰动而偏离其 xc (t ) = 0 平衡状态时，要求产生一 控制向量，使得系统的状态 x(t ) 恢复到平衡状态，并使得性能指标 J 极小。 如果取 C (t ) = I ，期望输出 z (t ) = 0 则有 e(t ) = z (t ) − y (t ) = − y (t ) = − x (t ) 带入线性二次型的 性能指标函数中则有：
2 控制律设计 由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x ， 因此， 系统新的状态方程变为：
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
和的积分指标要求，是系统在控制过程中动态跟踪误差的总度量，几何上以面积大小表示。 （3）积分项
矩，该积分项描述了在整个控制过程中所消耗能量。
1 1 t T 综上所述， 性能指标 J = eT (t f ) Fe(t f ) + ∫ e (t )Q (t )e(t ) + u T (t ) R (t )u (t ) dt 的极小物理意 2 2 t
x 因此，设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
Байду номын сангаас
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证 加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ，阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有： dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
图 3 系统极点分布图
Step Response 1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4 Time (sec)
5
6
7
8
图 4 系统单位阶跃响应曲线
3.2 输出调节器
3.3 输出跟踪系统问题
System: G Pole : -0.866 - 0.5i Damping: 0.866 0.95 Overshoot (%): 0.433 -0.4 Frequency (rad/sec): 1 -0.2 -0.6 0.84 0.7 -0.8 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 0.56 -0.5 0.42 -0.4 -0.3 0.3 -0.2 0.2 0.09 -0.1 0