7.61圆的标准方程

2.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切， 则b= 4或-4 .
小结 (1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数， 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐 标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方 程解决实际问题。
(1,0) (-1,2)
6 3
(-a,0)
|a|
例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。
思考：（1）本题关键是求出什么？ （2）直线和圆的位置关于有哪几种？ （3）怎样求出圆的半径？
解：因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以
圆心C到这条直线的距离等于半径r
根据 点到直线的距离公式 ，得
O
x
x0x +y0 y = r2
例 2.已知圆的方程是 x y M 过圆上一点( x0 , y0 ) 的切线的方程。
2
2
r
2
，求经
y P(x,y)
分析：利用平面向量知识. 设P（x,y)是切线上不同于M的 任意一点,则
OM MP OM MP= 0
M ( x0 , y0 )
O
x
x0x +y0 y = r2
2 2 2 1 2 1
0 0 2 2
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质.
如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆 拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔 4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精 确到0.01m)
问题:试推导圆心是C(a,b)，半 径 是r的圆的方程。 自学提纲 (1) 求曲线方程的一般步骤是
建系设点 找几何条件 坐标化
y
r
C
M(x,y)
O 化简
x 查漏补缺 .
(2) 圆是 平面内到定点的距离等于定长 的点的集合； （3) 推导中利用了 两点间的距离 公式进行坐标化； （4）圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 . (5) 圆的标准方程有哪些特点？
整理得
x
y0 y r .
2
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
2 例2. 已知圆的方程是 x 2 y 2 r，求经过圆上一 点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
分析：当M不在坐标上时， 设切线方程为 y
y-y0=k(x-x0)
整理成一般式，利用 点到直线的距离公式求k, 代入所设方程即可. 当点M在坐标轴上时，同解 法一可以验证.
高中数学第二册（上）
§7.6 圆 的 方 程
复习提纲
1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= x x y y ; 2.已知点P（xo,yo）,直线L：Ax+By+C=0，则 Ax By C 点P到直线L的距离d= A B 3.若A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB = (x2-x1, ,y2-y1） ； 4.已知 a x1 , y1 , b x2 , y2 a b 的充要条件 ，则 是 x1 x2 y1 y2 0 ； 5.平面解析几何是用 坐标 法研究几何图形的一门 学科； 6.平面解析几何研究的两个主要问题是：
当P与M重合时，P的坐标仍满足上面方程.
经过圆 x 2 y 2 r 2上一点M ( x0 , y0 ) 的切线的 方程是 x0x +y0 y = r2
x2+y2=r2 xx+yy=r2 x0x+y0y=r2 练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2， ) 6 的切线方程。 2x + 6 y =10
2 2 2
思考
y
1.圆的切线有哪些性质？ 2.求切线方程的关键是什么？ 3.切线的斜率一定存在吗？ 4.除了课本解法，你还能想 到哪些方法？
O
M ( x0 , y0 )
x
例2. 已知圆的方程是
x y r
2 2
2
，求经过圆上一点
M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k=
练习1.写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3,4 )，半径是 5
(2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(1)(x-3)2+(y-4)2 =5 (2)(x-8)2+(y+3)2 =25 练习2. 写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)(x-1)2+y2 =6
(2)(x+1)2+(y-2)2 =9 (3)(x+a)2+y2 =a2
M ( x0 , y0 )
O
x
例2 已知圆的方程是 x 2 y 2 r 2 ，求经过圆 y 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
分析：利用平面几何知识， 按求曲线方程的一般步骤求 解. 如图，在Rt△OMP中 由勾股定理： |OM|2+|MP|2=|OP|2 P(x,y)
M ( x0 , y0 )
①是关于x、y的二元二次方程； ②方程明确给出了圆心坐标和半径; ③确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
y
r
y
C(a,a)
O
r xy (a,0)
C(a,b)
2+y2=r 2 (x-a)2+y2 =a2 x
x 2+(y-a)2=a2 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 (x-a)
O
x
O
r= | 3×1— 4×3 — 7 | 32+(-4)2 16 = 5
y C
M
2+(y-3)2 256 因此所求圆的方程是 (x-1) = 25
O
x
r
d
用r 表示圆的半径，d 表示圆心到直线的距离，则 （1）直线和圆相交 d<r
（2）直线和圆相切 （3）直线和圆相离
d=r d>r
例2. 已知圆的方程是 x y r ，求经 过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
y 思考
利用圆的几 何性质，你能否 用直线方程求出 圆心坐标？进而 写出圆的方程？
x
Hale Waihona Puke C1练习巩固1.以（3，-4）为圆心，且过点（0，0） 的圆的方程是 (x-3) 2+(y+4)2=25 .
课外思考题
1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。 2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线 方程. 3.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线，求 切线的长.
x
3.怎样求出圆的方程？ 所以圆的方程是： 2P2的长度？ 4.怎样求出支柱Ax2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 5.这个实际问题的解决中用到了哪些数学方法和思想？
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
1 kOM
kOM =
y0 x0
,
经过点M 的切线方程是
x0 k . y0
y
.
x0 y y0 y (x x0 ), 0
2 0 2 0
M ( x0 , y0 )
O
所求的切线方程是 x0 x
x0 x y0 y x y . 2 2 r2, 因为点M在圆上,所以 x 0 y 0
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支 撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m) y
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0， b）,圆的半径是r ,则圆的 方程是x2+(y-b)2=r2 。 思考： 把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 1.是否要建立直角坐标系？怎样建立？ 02+(4-b)2= r2 2.圆心和半径能直接求出吗？ 解得：b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10