实验2-行列式与方程组的求解
行列式的计算及应用
1.行列式的定义及性质1
1.1行列式的定义1
1.1.1排列1
1.1.2定义1
1.2行列式的相关性质1
2.行列式的计算方法5
2.1几种特殊行列式的结果5
2.1.1三角行列式5
2.1.2对角行列式5
2.2定义法5
2.3利用行列式的性质计算5
2.4降阶法6
2.5归纳法7
2.6递推法8
2.7拆项法9
2.8用范德蒙德行列式计算10
2.9化三角形法10
2.10加边法11
2.11拉普拉斯定理的运用12
2.12行列式计算的Mat lab实验13
This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction me什induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understanding of the essence of the solution determinant method・In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve a theoretical and practical determinant combined・Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen什study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of methods, laid the foundation for future learning・
行列式的计算方法和应用[文献综述]
![行列式的计算方法和应用[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ad77af9f121dd36a22d823f.png)
毕业论文文献综述信息与计算科学行列式的计算方法和应用一． 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，因此对许多人来说，掌握行列式的计算是重要的。
而对行列式进行计算不是唯一目的，我们还需要利用行列式去解决一些实际问题，使复杂问题简单化。
在了解行列式的概念、性质的基础上，讨论行列式的求解方法，其中包括化三角法，利用范德蒙行列式求解以及利用拉普拉斯定理的解法。
通过对行列式的求解方法的研究，探讨行列式在求解线性方程组中的应用。
二． 主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）我们知道,行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。
当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。
但由定义可知，n 阶行列式的展开式有!n 项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。
值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。
以下给出了行列式的概念及性质和行列式的计算方法包括：化三角法，利用范德蒙行列式求解行列式以及利用拉普拉斯定理的解法等等，涵盖了行列式解法的许多方面。
从这些解法中我们看到了计算行列式的巧妙之处。
2.1行列式的概念及性质2.1.1行列式的概念[9]n 级行列式nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121的代数和，这里n j j j ...21是1,2，...，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j ...21是偶排列时，带有正号；当n j j j ...21是奇排列时，带有负号。
二阶行列式
二阶行列式什么是行列式？在线性代数中，行列式是一个数字，它和一个给定的方阵相关联。
行列式可以用于解决许多线性代数的问题，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆等。
二阶行列式的定义对于一个2x2的矩阵A = A，其行列式记为|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = Determinant即A的左上元素乘以右下元素减去右上元素乘以左下元素。
二阶行列式的示例现在我们来求解一个具体的二阶行列式。
对于矩阵A = MatrixA，其行列式为：|A| = 2 * 5 - 3 * 4 = 10 - 12 = -2所以矩阵A的行列式为-2。
二阶行列式的性质1.行列式的值与矩阵的转置无关，即|A| = |A^T|。
2.当矩阵A中某两行或某两列互换位置时，行列式的值取相反数，即如果矩阵A的第i行与第j行互换位置得到矩阵B，则有|B| = -|A|。
3.行列式的值与矩阵的每一行（或每一列）成比例，即如果矩阵A的第i行（或第j列）的所有元素都乘以一个常数k，得到矩阵B，则有|B| = k * |A|。
二阶行列式的应用二阶行列式在线性代数中有许多重要的应用，以下列举几个常见的应用：1.解线性方程组：对于一个由两个线性方程组成的方程组，可以使用二阶行列式来判断方程组是否有解，以及求解方程组的解。
2.计算矩阵的逆：对于一个可逆的2x2矩阵A，可以使用二阶行列式计算其逆矩阵A^-1。
3.计算平面向量的面积：对于一个由两个非零向量构成的平面上的三角形，可以使用二阶行列式计算该三角形的面积。
总结二阶行列式是线性代数中的一个重要概念，用于解决许多与矩阵相关的问题。
我们可以通过简单的公式来计算二阶行列式，同时也可以利用行列式的性质进行计算和求解。
二阶行列式在解线性方程组、计算矩阵逆、计算平面向量面积等方面有着广泛的应用。
掌握二阶行列式的概念和计算方法对于理解线性代数和解决相关问题非常重要。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式和线性方程组的求解共33页
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
计算行列式的方法总结
计算行列式的方法总结计算行列式的方法总结行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能写好行列式，下面是计算行列式的方法总结，一起来看看吧！计算行列式的方法总结(一)首先，行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换，行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。
推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。
推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。
性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理：定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。
定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。
(二)几种特殊行列式的值有关行列式的若干个重要公式：为便于考生综合复习及掌握概念间的联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下：2017考研数学：行列式的计算行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面小编为同学们简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清楚这种类型题。
对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。
三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。
第一章(行列式和线性方程组的求解)
几何与代数主讲: 张小向第一章行列式和线性方程组的求解第一节二阶, 三阶行列式第二节n阶行列式的概念第三节行列式的性质第四节线性方程组的求解第五节用Matlab解题学代数方程组多项式的次数未知量的个数方程的个数线性代数线性方程组未知已知涉及的函数多项式一次≥1≥1线性方程组的应用: 平面的位置关系电路化学方程式配平交通流量营养配方搜索引擎投入产出模型……W. Leontief [美](1905.8.5-1999.2.5)1973Nobel 经济学奖投入(元)产出(元)煤运费电0.20.31煤0.50.11运费0.60.10.11电订单(元)60000100000 x y0.9x-0.65y= 60000-0.32x+ 0.89y= 100000§1.1 二阶, 三阶行列式历史上,行列式因线性方程组的求解而被发明G. W. Leibniz [德](1646.7.1~1716.11.14)S. Takakazu[日](1642?~1708.10.24)(a11a22-a12a21)x1= b1a22-a12b2(a11a22-a12a21)x2= a11b2-b1a 21⇒当a11a22-a12a21≠0时,a11x1+ a12x2= b1a21x1+ a22x2= b 2x1=b1a 22-a 12b 2a 11a 22-a 12a 21, x2= a11a22-a12a21a11b2-b1a21.a11 a12a21a 22记D= ,b1a12b2a 22D1= ,a11 b1a21b2D2= ,则当D= a11a22-a12a21≠0时,,=D1D =D2D.a11x1+ a12x2= b1a21x1+ a22x2= b2x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21有唯一确定的解x2= a11a22-a12a21a11b2-b1a21= 33+ a 1231+ 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-.对角线法则a 11 a 12 a 21a 22= a 11a 22-a 12a 21a 11a 12a 13a 21a 22 a 23 a 31a 32a 33a 13a 21a 32 a 11 a 22 a 33 a 23a 31 32 a 13a 22a 31a11a12a13a21a22a23a31a32a 33记D = ,则当D 0时,a11x1+ a12x2+ a13x3= b1a21x1+ a22x2+ a23x3= b2a31x1+ a32x2+ a33x3= b3,D1Dx1=有唯一确定的解b1a12a13b2a22a23b3a32a33D1= ,a11b1a13a21b2a23a31b3a33D2= ,a11a12b1a21a22b2a31a32b3D3= ,,D2Dx2= .D3Dx3=§1.2 n 阶行列式的概念110 0120 00 0 1-10 0 12仿照三阶行列式的对角线法则可得1⨯2⨯1⨯2-1⨯1⨯(-1)⨯1= 4+1 = 5.310 0520 000 1-130 123⨯2⨯1⨯2-1⨯5⨯(-1)⨯1= 12+5 = 17.但方程组⎧⎨⎩x 1+ x 2= 3x 1+ 2x 2= 5x 3-x 4= 0有唯一解⎧⎨⎩x 1= 1x 2= 2x 3= 1≠175一. 排列的逆序数与奇偶性1.全排列(简称排列)P n = n 个不同元素的所有排列的种数= 1⨯2⨯…⨯(n -1)⨯n 例如, 1, 2有个全排列: 1 23, 13 2, 3 1 2, 2 13, 23 1, 3 2 112, 21. 1, 2, 3有个全排列:2 6 =n !2. 逆序数先规定一个标准次序偶排列如自然次序: 1 2 3 4 … (n 1) n n = 6时, 1 2 3 4 5 6 ——标准次序1 4 2 3 5 6 ——有逆序4 2 4 32 个3 23 2 1456 ——有逆序2 13 1 3 个逆序数奇排列例1. 求下列排列的逆序数(1) 32514,(2) (2n )(2n -2)…4213…(2n -3)(2n -1). 3. 对换/邻对换注: ①任一邻对换都改变排列的奇偶性.②任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.1 53 42 6 32 1 4 5 6 13 245 61 2 4 35 6定理 1.1. 每一个对换都改变排列的奇偶性. ☺ ☹ ☹ ☺ ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺ ☹ 3 ☺☹ 4 ☹☺ 5 ☹ ☺ 6 ☹ ☺ 7☹ ☺ 89☺ ☹ ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺☹ 3 ☹☺ 4 ☹ ☺ 5 ☹ ☺ 6☹ ☺ 7推论. n 2时, n 个元素的所有排列中, 奇、偶排列各占一半, 即各有n !/2个.二. n 阶行列式的定义1.三阶行列式的特点每一项都是三个元素的乘积.a 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33= a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31.每一项的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的6项恰好对应于1, 2, 3的6种排列.各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性有关.()()=-∑1231231231231j j j j j j j j j a a a τa 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33j 1j 2j 3的逆序数对所有不同的三级排列j 1j 2j 3求和()()=-∑121212121j j j j j j a a τa 11 a 12a 21a 222. n 阶行列式的定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()=-∑121212121 n nnj j j j j nj j j j a a a τ注: 当n = 1时, 一阶行列式|a 11| = a 11,这与绝对值符号的意义是不一样的.例如, 四阶行列式中, 负a 12a 23a 34a 411234a a 13a 14222331324144a 14a 23a 32a 41前面带____号,正a 11121314 a 21a 22a 23a 24a 31a 32a 33a 34a 41a 42a 43a 44a 31a 22a 13a 44前面带____号.负没有,a 11a 22a 31a 44前面带____号, a a a a3. 几个特殊的行列式λ1 0 ... 00λ2 0… … … …0 0 … λn0 … 0 λ10 … λ20… … … …λn … 0 0= λ1λ2…λn , (1) 对角行列式λ1λ2…λn .= (-1) n (n -1) 2(2) 上(下)三角形行列式a 11 a12 (1)0a22 ... a 2n ... ... ... ...00... a nn a11 0 0a21a22 0… … … …a n 1 a n2 … a nn = a 11 a 22…a nn . = a11 a22…a nn.事实上, 只有pi i(i= 1,2,…n)时,1212np p npa a a才有可能不为0.若有某个pk> k, 则必然有若有某个p l< l,否则1+2+…+n= p1+p2+…+p n>1+2+…+n, 矛盾!例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1a a a a →a a a a i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 11j 12j 23j 34j 4''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''(-1)例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1①τ(i 1i 2i 3i 4)奇τ( j 1 j 2 j 3 j 4)奇②τ(i 1i 2i 3i 4)奇τ( j 1 j 2 j 3 j 4)偶③τ(i 1i 2i 3i 4)偶τ( j 1 j 2 j 3 j 4)奇④τ(i 1i 2i 3i 4)偶τ( j 1 j 2 j 3 j 4)偶经过一次对换后奇奇偶偶偶奇奇偶τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性相同''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性与例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性相同''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性与τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)(-1)= (-1)例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)(-1)= (-1)a a a a →a a a a i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 11j 12j 23j 34j 4''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)= (-1)τ(1234) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''= (-1)τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''(-1)4. n 阶行列式的另外一种定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()=-∑112221121 n nn i i i i i i i ni i a a a τ性质1. DT = D .记D = 行列式D T 称为D 的转置. 记bij= a ji , 则D Ta 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n… … … …a n 1 a n 2 … a nna 11a 21… a n 1a 12a 22… a n 2… … … …a 1n a 2n … a nn, D T=()()=-∑1212121 n n j j nj j j j b b b τ()()=-∑1212121 n n j j j j j nj a a a τ5. 行列式的转置= D .§1.3 行列式的性质一. 行列式的基本性质a 11 a 12… a 1n k a 21k a 22 … k a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()()=-∑121231231 n n j j j j j j nj k a a a a τ()()=-∑121231231 n nj j j j j j nj k a a a a τa 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … … a n 1 a n 2 … a nna 11 a 12… a 1n k a 21k a 22 … k a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()()=-∑121231231 n n j j j j j j nj k a a a a τ()()=-∑121231231 n nj j j j j j nj k a a a a τa 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn= k .性质2. 行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式记号外.k a11 k a12… k a1n k a21k a22 … k a2n … … … …k a n1 k a n2 … k a nna11 a12 (1)a21a22 (2)… … … …a n1 a n2 … a nn = ___.k na 11+b 11a 12… a 1n a 21+b 21a 22 … a 2n … … … …a n 1+b n 1a n 2 … a nn()()()=-+∑111221121 n n i i i i i n i i a a a b τ()()=-∑1212211 n n i i i i i i n a a a τ()()+-∑1212211 n n i i i i i i nb a a τa 11+b 11a 12… a 1n a 21+b 21a 22 … a 2n … … … …a n 1+b n 1a n 2 … a nn()()()=-+∑111221121 n n i i i i i ni i a a a b τb 11a 12… a 1n b 21a 22 … a 2n … … … …b n 1a n 2 … a nn+ . a 11a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1a n 2 … a nn =性质3. 行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和. a + u b +vc +xd + y = [ ].+ a b c d (A)u v x y 例3. + u b x d (B)u v x y + a b cd a v c y + a b + v cd + y u b + v x d + y()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τa 31 a 32 a 33 a 21a 22 a 23a 11 a 12a 13 a 11 a 12a 13a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33→b 11 b 12 b 13 b 21b 22 b 23b 31 b 32b 33()()-∑3122311321j j j j j j b b b τ()()-∑3122313121j j j j j j a a a τ()()-∑3122131321j j j j j j a a a τ()()--∑1322131321j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ(-1)τ(123)a 11a 22a 33(-1)τ(321)a 13a 22a 31+ (-1)τ(132)a 11a 23a 32+ (-1)τ(231)a 12a 23a 31+ (-1)τ(213)a 12a 21a 33+ (-1)τ(312)a 13a 21a 32+ (-1)τ(231)a 12a 23a 31+ (-1)τ(312)a 13a 21a 32+ (-1)τ(321)a 32a 22a 31+ (-1)τ(132)a 11a 23a 32+ (-1)τ(213)a 12a 21a 33+ (-1)τ(123)a 11a 22a 33性质4. 互换行列式中的两行(列), 值变号. ()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τa 31 a 32 a 33 a 21a 22 a 23a 11 a 12a 13 a 11 a 12a 13a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33 →b 11 b 12 b 13 b 21b 22 b 23b 31 b 32b 33()()-∑3122311321j j j j j j b b b τ()()-∑3122313121j j j j j j a a a τ()()-∑3122131321j j j j j j a a a τ()()--∑1322131321j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ例4.= _____. 3 2 1 01 5 6 -20 -1 7 3 1 01 01 5 6 -2 0 -1 7 3 1 0=-3 2 -1 0 3 2 -1 0 -1 0 3 2 -1 0 推论. 若行列式D 中有两行(列)完全相同, 则D = 0.6 4 -2 0 1 5 6 - 20 - 1 7 3 3 2 - 1 0 例5.= _____. 3 2 -1 01 5 6 -2 0 -1 7 3 3 2 -1 0=2性质5. 若行列式D 中有两行(列)成比例,则D = 0.例6.111213a21a22a23a31a32a33⨯k→a11a12a13a21a22a23a31+k a11a32+k a12a33+k a13=a11a12a13a21a22a23a31a32a33+ 0=a11a12a13a21a22a23a31a32a33+a11a12a13a21a22a23k a11k a12k a13例6.性质6. 将行列式中某一行(列)的k 倍加到另一行(列), 所得的行列式与原行列式的值相等.111213a 21a 22a 23a 31a 32a 33k = a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31+k a 11a 32+k a 12a 33+k a 13例7. (1) 1 2 34 5 67 8 9⨯(-1)=1 2 33 3 37 8 9⨯(-1)= 1 2 33 3 36 6 6= 0.(2) 1 1 11 2 11 1 3⨯(-1)=1 1 10 1 01 1 3⨯(-1)= 1 1 10 1 00 0 2= 2.(3)⨯(-1)1 1 ... 1 1 a (1)1 1 … a= (a +n -1)… …… =a +n -1 a +n -1...a +n -11 a (1)1 1 … a ………n ⨯na 1 … 1 1 a … 1 1 1 … a ………(4)1 0 λ+1-5 λ+2 -3λ-3 1 -2= -λ-3 1 -2-5 λ+2 -31 0 λ+1⨯51 0 λ+10 λ+2 5λ+2λ-3 1 -2= -⨯(3-λ)1 0 λ+10 λ+2 5λ+20 1 -λ2+2λ+1= -⨯(-λ-2) 1 0 λ+1 0 λ+2 5λ+20 1 -λ2+2λ+1 = -1 0 λ+1 0 1 -λ2+2λ+1 0 λ+2 5λ+2 = 1 0 λ+10 1 -λ2+2λ+10 0 λ3= = λ3.(其中a 1a 2…a n ≠0).(5) 1+a 1 1 … 1 1 1+a 2… 1… … … …1 1 … 1+a n= 1 1 1 … 101+a 1 1 … 1 0 1 1+a 2… 1…… … … …0 1 1 … 1+a n⨯(-1)…= 1 1 1 (1)01+a1 1 (1)0 1 1+a2 (1)…… … … …0 1 1 … 1+a n⨯(-1)…1 1 1 (1)-1a10 0-10 a2 0…… … ……-10 0 … a n= ―伞形”行列式Il veit!= 1 1 1 … 1-1a 10 … 0 -10 a 2… 0…… … ……-10 0 … a n⨯(-1/a 1)…⨯(-1/a 2)⨯(-1/a n )注意已知条件: a 1a 2…a n ≠0,否则不能1/a 1, …, 1/a n != [1+ ∑(1/a i )]a 1a 2a n .… n= 1+∑(1/a i )00...0-1a 10 0-10 a 2… 0…… … ……-10 0 … a n i = 1 n例8. 证明n阶级(n≥2)范德蒙(Vandermonde)D n = 1 1 (1)x 1x 2… x nx12x22… x n2… … … …x1n -1x2n-1 … x n n -1= ∏(x j-x i).1≤i<j≤n行列式注: ①有些书上将上述转化过程用r k↔r j, c k↔c j, r i+k r j , c i+k c j等记号表示, 并写在等号的上方或下方.但这样不够直观.②为了不引起混淆, 每步最好只进行一个操作. 例如:a b c da+c b+dc da+c b+d-a -b r1+r2a b c da bc-a d-bc dc-a d-br1+r2r2-r1r2-r1例9. 设D = a 11 … a 1m a m 1 … a mmD 1=……, 证明: D = D 1D 2.证明: 对D 1施行r i +k r j 这类运算, 把D 1化为下三角形行列式:= p 11p m 1…p mm…...= p 11 …p mm , b 11 …b 1nb n 1 …b nnD 2=,……a 11 …a 1m 0 … 0 ……………………,a m 1... a mm 0 0c 11 …c 1m b 11 …b 1nc n 1 …c nm b n 1 …b nna 11 … a 1m a m 1 … a mmD 1=……。
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2 行列式与方程组的求解1.求行列式的命令； 2.求矩阵秩的命令； 3.求矩阵的最简行矩阵的命令； 4.满秩线性方程组的各种方法； 5.符号变量的应用； 6. 验证与行列式相关的公式和定理。
例2.1 已知非齐次线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+=+++-=+-++=+++-=++++851035372227772902116115359131073280543265432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ， 要求用下列方法求解该方程组。
（1）求逆矩阵法；（2）矩阵左除法；（3）初等行变换；（4）克莱姆法则。
解：（1）把非齐次线性方程组写为矩阵形式：b Ax =，则b A x 1-=，直接在MATLAB 的命令窗口输入：A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];x=inv(A)*b%或：x=A^-1*b计算结果为：x =9.00003.00002.00001.00002.0000（2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律，Matlab 软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算，针对方程组的矩阵形式b Ax =，可用左除法等式两端同时左除A ，得到：“b A x \=”，即b A x 1-=针对矩阵方程B XA =，，可用右除法，等式两端同时右除A ，A B X /=，即1-=BA X在MATLAB 命令窗口中输入：A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];x=A\b% 符号“\”即为左除运算，注意它的方向。
结果为：x =9.00003.00002.00001.00002.0000（3）用初等行变换，把方程组的增广矩阵变换为最简行阶梯形式，从而得到方程组的解。
在MATLAB 命令窗口中输入：A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];U=rref([A,b])运算结果为：U =1 0 0 0 0 90 1 0 0 0 30 0 1 0 0 20 0 0 1 0 10 0 0 0 1 2（4）根据克莱姆法则，有：DD x i i， 其中D 是方程组的系数行列式， i D 是用常数列向量b 代替系数行列式的第i 列所得到的行列式。
用Matlab 的M 文件编辑器，编写la01.m 文件如下：% 用克莱姆法则求解方程组clear % 清除变量n=input('方程个数n ＝') % 请用户输入方程个数A=input('系数矩阵A=') % 请用户输入方程组的系数矩阵b=input('常数列向量b=') % 请用户输入常数列向量if (size(A)~=[n,n]) | (size(b)~=[n,1])% 判断矩阵A 和向量b 输入格式是否正确disp('输入不正确,要求A 是n 阶方阵，b 是n 维列向量')% disp ：显示字符串elseif det(A)==0 % 判断系数行列式是否为零disp('系数行列式为零，不能用克莱姆法则解此方程。
')elsefor i=1:n % 计算x1,x2,...xnB=A; % 构造与A 相等的矩阵BB(:,i)=b; % 用列向量b 替代矩阵B 中的第i 列 x(i)=det(B)/det(A); % 根据克莱姆法则计算x1,x2,...xn endx=x' % 以列向量形式显示方程组的解 end在MATLAB 命令窗口中输入：la01得到以下人机对话结果：方程个数n ＝5n =5系数矩阵A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10]A =6 2 3 4 52 -3 7 10 133 5 11 -16 212 -7 7 7 27 3 -5 3 10常数列向量b=[80;59;90;22;85]b =8059902285x =93212例2.2求矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=411183073920325911311363164627A 的逆，要求用以下方法：（1）矩阵左除和右除运算；（2）初等行变换；（3）利用伴随矩阵*A 求逆的公式A A A *1=-。
解：在MATLAB 的M 文件编辑器中，编写程序la02.m ：% 逆矩阵各种求法：clearA=[-7,-2,-6,4,6;1,3,-6,3,11;3,-11,9,5,-2;-3,0,-2,9,-3;7,30,-18,11,4]; % 1.命令法：An1=inv(A)% 2.幂运算法：An2=A^-1% 3.右除法：An3=eye(5)/A % eye(5)为5阶单位矩阵% 4.左除法：An4=A\eye(5)% 5.初等行变换法：B=rref([A,eye(5)]); % 对矩阵[A , I] 进行初等行变换% B 为矩阵A 的最简行阶梯矩阵if(rank(B(:,1:5))==5) % 判断最简行阶梯矩阵B 的前5列是否为单位阵An5=B(:,6:10) % 取出矩阵的后5列，并显示elsedisp('A 不可逆');end% 6.伴随矩阵求逆法：for i=1:5 % 构造伴随矩阵的5×5个元素for j=1:5T=A; % 把矩阵A 赋给矩阵TT(i,:)=[]; % 删去矩阵T 的第i 行T(:,j)=[]; % 删去矩阵T 的第j 列% 此时，|T| 为矩阵A 元素aij 的余子式 AA(j,i)=(-1)^(i+j)*det(T);% 算出aij 的代数余子式% 并放入矩阵AA 的第j 行、第i 列% 当循环结束，矩阵AA 即为A 的伴随矩阵endendif det(A)~=0An6=AA/det(A)elsedisp('A 不可逆');end运算程序la02，前四个方法计算结果相同：1.0e+004 *-1.5895 1.3448 -1.0646 1.6206 -0.63081.6298 -1.3789 1.0916 -1.6617 0.64682.5392 -2.1483 1.7007 -2.5889 1.00770.3631 -0.3072 0.2432 -0.3702 0.14410.9860 -0.8342 0.6604 -1.0053 0.3913后两个方法计算结果相同：-15895 13448 -10646 16206 -630816298 -13789 10916 -16617 646825392 -21483 17007 -25889 100773631 -3072 2432 -3702 14419860 -8342 6604 -10053 3913从计算结果可以发现，前四个方法得到的是实数矩阵，而后两个方法得到的是整数矩阵。
如果在Matlab 环境下，键入：format long然后再重新运行该程序，会发现前四个方法的运算结果存在误差，这是计算机做数值运算时，存在舍入误差的原因。
为了进一步观察计算机做数值运算所产生的误差，现在用上述六种方法来计算矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=131211*********A 的逆， A=[1,2,3;10,10,10;11,12,13]前四种方法得到以下类似结果：Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 2.135044e-018.ans =1.0e+015 *-4.5036 -4.5036 4.50369.0072 9.0072 -9.0072-4.5036 -4.5036 4.5036显然此结果是不正确的，因为A 不可逆。
例2.3 解方程：0231723151223112322=--x x 。
解：Matlab 软件定义了“符号变量”的概念。
在MATLAB 的M 文件编辑器中，应用“符号变量”编写程序la03.m ：% 求解符号行列式方程clear all % 清除各种变量syms x % 定义x 为符号变量A=[3,2,1,1;3,2,2-x^2,1;5,1,3,2;7-x^2,1,3,2]% 给矩阵A 赋值D=det(A) % 计算含符号变量矩阵A 的行列式D f=factor(D) % 对行列式D 进行因式分解% 从因式分解的结果，可以看出方程的解 X=solve(D) % 求方程“D ＝0”的解在MATLAB 的命令窗口输入：la03运行结果为：A =[ 3, 2, 1, 1][ 3, 2, 2-x^2, 1][ 5, 1, 3, 2][ 7-x^2, 1, 3, 2]D =-6+9*x^2-3*x^4f =-3*(x-1)*(x+1)*(x^2-2)X =[ 1][ -1][ 2^(1/2) ][ -2^(1/2)]例2.4 请用Matlab 软件验证行列式按行（列）展开公式：A A a A a A a =+++1515121211110351532123111=+++A a A a A a解：在MATLAB 的M 文件编辑器中，编写程序la04.m ：% 验证行列式按行（列）展开公式clearA=round(10*randn(5)); % 构造5阶随机数方阵D=det(A); % 计算矩阵A 的行列式% 矩阵A 按第一行元素展开：s=a11*A11+a12*A12+…+a15*A15s=0;for i=1:5T=A;T(1,:)=[]; % 删去阵矩第1行T(:,i)=[]; % 删去矩阵第i 列% 此时，|T| 为矩阵A 元素a1i 的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)^(1+i)*det(T);ende=D-s % 验算D 与s 是否相等在MATLAB 的命令窗口中输入：la04计算结果为：e =在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la05.m：% 计算5阶方阵A的第一行元素与第三行元素对应的代数余子式乘积之和：% s=a11*A31+a12*A32+…+a15*A35clearA=round(10*randn(5)); % 构造5阶随机数方阵s=0;for i=1:5T=A;T(3,:)=[]; % 删去矩阵第3行T(:,i)=[]; % 删去矩阵第i列% 此时，|T| 为矩阵A元素a3i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)^(3+i)*det(T);ends % 验算s是否为0在MATLAB命令窗口中输入：la05计算结果为：s =例2.5 计算行列式的444422221111dcbadcbadcba值.解在MATLAB编辑器中建立M文件：syms a b c dA=[1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^4 b^4 c^4 d^4];d1=det(A)d2=simple(d1) %用 simple函数化简表达式d1pretty(d2) %用pretty函数使表达式d2符合人们的书写习惯.则结果显示为：d1 =b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2*c*d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2-b^4*d*c^2-a*c^2*d^4+a*d^ 2*c^4+a*b^2*d^4-a*b^2*c^4-a*b^4*d^2+a*b^4*c^2+a^2*c*d^4-a^2*d*c^4-a^2*b*d^4+a^ 2*b*c^4+a^2*b^4*d-a^2*b^4*c-a^4*c*d^2+a^4*d*c^2+a^4*b*d^2-a^4*b*c^2-a^4*b^2*d+ a^4*b^2*cd2 =(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b) (-d + c) (b - d) (b - c) (-d+ a) (a - c) (a - b) (a + c + d + b)。