江苏省南通市 2020届高三 第三次调研测试 数学(无答案含附加题)
2020届江苏省苏州市三校高三5月联考数学试卷含附加题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合A＝{﹣2，0，1，2}，B＝{x|x﹣l＜0}，则A∩B＝．2．设z＝3+2i，i为虚数单位，则z2＝．3．为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从4名（含甲、乙两人）随机选2名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为．6．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为π，且它的图象过点（−π12，−√2），则φ的值为．7．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是双曲线x22p −y2p=1的一个焦点，则p＝．8．已知α为锐角，若2sin2α=sin(π2+2α)+1，则cosα＝．9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2m﹣1＝2019，a m＝3，其中m∈N*，则m＝．10．已知正实数x，y满足2x•4y＝（2x）y，则x+y的最小值为．11．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，其棱长为1，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的表面积为．12．由圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0外一点P （4，6）引直线l 交圆C 于A 、B 两点，则线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为 ．13．△ABC 中，BC ＝2，点O ，G 分别为△ABC 的外心、重心，若AO →⋅AG →=AB →⋅AC →，则△ABC 面积的最大值为 ．14．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)={√1−x 2，0≤x ≤1lnx x +12，x ＞1，若关于x的方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知向量m →=（cos B ，cos C ），n →=（4a ﹣b ，c ），且m →∥n →． （1）求cos C 的值；（2）若c =√3，△ABC 的面积S =√154，求a ，b 的值．16．（14分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1=√2AB ，D 是AB 的中点 （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）若点P 在线段BB 1上，且BP =14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD ．17．（14分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB＝90°），如图1所示，其中AE+EB＝30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．（16分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√22，点(1，√62)在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．①求证：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．19．（16分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2）①比较f（x1）+f（x2）与f（2）的大小；②若函数g（x）＝|f（x）|﹣|f（x1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．20．（16分）数列{a n}的数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，若数列{a n}满足：对任意正整数n，k，当n＞k时，S n+k+S n﹣k＝2（S n+S k）总成立，则称数列{a n}是“D（k）数列”（1）若{a n }是公比为2的等比数列，试判断{a n }是否为“D （2）”为数列？ （2）若{a n }是公差为d 的等差数列，且是“D （3）数列”，求实数d 的值； （3）若数列{a n }既是“D （2）”，又是“D （3）”，求证：数列{a n }为等差数列． 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A =[33c d ]，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1→=[11]，属于特征值1的一个特征向量为α2→=[3−2]，求矩阵 A ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin （π3−θ）=√32，椭圆C 的参数方程为{x =2cost y =√3sint （t 为参数）．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a +b +c ＝1，证明：（a +1）2+（b +1）2+(c +1)2≥163．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB =√2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ． （1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角A ﹣DF ﹣B 的大小．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点p （x 0，y 0）在曲线y ＝x 2（x ＞0）上．已知A （0，﹣1），P n （x 0n ，y 0n ），n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ． （1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{﹣2，0，1，2}，B ＝{x |x ﹣l ＜0}，则A ∩B ＝ {﹣2，0} ． 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【解答】解：∵集合A ＝{﹣2，0，1，2}， B ＝{x |x ﹣l ＜0}＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝{﹣2，0}． 故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设z ＝3+2i ，i 为虚数单位，则z 2＝ 5+12i ． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：z 2＝9﹣4+12i ＝5+12i ． 故答案为：5+12i ．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从4名（含甲、乙两人）随机选2名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是56．【分析】基本事件总数n =C 42=6，甲、乙两人中，至少有一人被选中包含的基本事件个数m =C 21C 21+C 22=5，由此能求出甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率．【解答】解：从4名（含甲、乙两人）随机选2名，基本事件总数n =C 42=6，甲、乙两人中，至少有一人被选中包含的基本事件个数：m =C 21C 21+C 22=5，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率p =m n =56． 故答案为：56．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．运行如图所示的伪代码，其结果为 17 ．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+1+3+5+7的值，所以S＝1+1+3+5+7＝17．故答案为：17．【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出循环得到的S，I的值是解题的关键，是基础题目．5．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为91.4．【分析】根据计分规则去掉一个最高分和一个最低分，计算余下5个数字的平均数．【解答】解：去掉一个最高分94和一个最低分86后，则该作品的平均分为：89+92+93+91+925=91.4．故答案是：91.4．【点评】本题主要考查了茎叶图以及平均数的计算问题，是基础题．6．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为π，且它的图象过点（−π12，−√2），则φ的值为−π12．【分析】根据最小正周期为π，利用周期公式即可求出ω的值，利用图象经过点（−π12，−√2），结合其范围即可求出φ的值．【解答】解：依题意可得：2πω=π，解得：ω＝2，…（2分）又图象过点（−π12，−√2）， 故2sin[2×（−π12）+φ]=−√2，解得：sin （φ−π6）=−√22，…（3分） 因为|φ|＜π2， 所以φ=−π12．… 故答案为：−π12． 【点评】本题主要考查了由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数周期公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题． 7．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 22p−y 2p=1的一个焦点，则p ＝ 12 ．【分析】利用抛物线与双曲线的焦点相同，列出关系式，求解即可． 【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 22p−y 2p=1的一个焦点，可得p2=√2p +p ，解得p ＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 8．已知α为锐角，若2sin2α=sin(π2+2α)+1，则cos α＝2√55．【分析】利用二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合α为锐角，即可求解cos α的值．【解答】解：∵2sin2α=sin(π2+2α)+1， ∴4sin αcos α＝cos2α+1＝2cos 2α， ∵α为锐角，cos α＞0， ∴2sin α＝cos α，可得tan α=12， ∴cos α=√11+tan 2α=√11+14=2√55． 故答案为：2√55． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2m ﹣1＝2019，a m ＝3，其中m ∈N *，则m ＝ 337 ． 【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出． 【解答】解：S 2m ﹣1＝2019＝（2m ﹣1）a m ，∴2m ﹣1=20193=673， 解得m ＝337． 故答案为：337．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知正实数x ，y 满足2x •4y ＝（2x ）y ，则x +y 的最小值为 3+2√2 ． 【分析】由题意得x +2y ＝xy ，则2x +1y=1，再利用“1”的代换即可得出．【解答】解：∵2x •4y ＝（2x ）y ， ∴x +2y ＝xy ， ∴2x +1y=1，∴x +y =(x +y)(2x +1y )=2+1+2yx +xy ≥3+2√2， 当且仅当2y x=xy即x =2+√2，y =√2+1时等号成立，故答案为：3+2√2．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查“1”的代换，属于基础题．11．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，其棱长为1，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的表面积为 18+12√2 ．【分析】由图可知：在Rt △ABC 中，AB ＝AC =√22．可得正方体的棱长a ＝AD ＝1+2×AC ，即可得出结论．【解答】解：由图可知：在Rt △ABC 中，AB ＝AC =√22． 正方体的棱长a ＝AD ＝1+2×√22=1+√2．∴此正方体的表面积＝6×(1+√2)2=18+12√2． 故答案为：18+12√2．【点评】本题考查了正方体的性质及其表面积、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．由圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0外一点P （4，6）引直线l 交圆C 于A 、B 两点，则线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为32．【分析】设M （x ，y ），求出圆心C 的坐标，利用MP →⋅CM →=0，即可得到点M 的轨迹方程；然后求解线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0，圆C 的方程可化为：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4， 所以圆心C （1，2），半径为2，设M （x ，y ），则CM →=（x ﹣1，y ﹣2），MP →=（4﹣x ，6﹣y ）， 则由条件知，MP →⋅CM →=0，故（x ﹣1）（4﹣x ）+（y ﹣2）（6﹣y ）＝0， 即（x −52）2+（y ﹣4）2=254． 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是（x −52）2+（y ﹣4）2=254；线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为：32．故答案为：32．【点评】本题主要考查了动点轨迹，以及直线与圆的位置关系，是中档题．13．△ABC 中，BC ＝2，点O ，G 分别为△ABC 的外心、重心，若AO →⋅AG →=AB →⋅AC →，则△ABC 面积的最大值为 √2 ．【分析】根据重心和外心满足的几何性质，将AO →⋅AG →=AB →⋅AC →进行转化，找到点A 满足的等量关系，然后求三角形ABC 的面积的最值．【解答】解：因为O ，G 是三角形ABC 的外心和重心，设M 为BC 的中点，∴MB →=−MC →． ∴AO →⋅AC →=12AC →2，AO →⋅AB →=12AB →2.AG →=23AM →=23×12(AB →+AC →)． ∴AO →⋅AG →=AO →⋅13(AB →+AC →)=13AO →⋅AB →+13AO →⋅AC →=16AB →2+16AC →2=AB →⋅AC →①，∵16(AB →2+AC →2)=16(AB →+AC →)2−13AB →⋅AC →=23AM →2−13AB →⋅AC →，将上式代入①式得AM →2=2AB →⋅AC →=2(MB →−MA →)⋅(MC →−MA →)=−2(MB →2−MA →2)， ∴MA →2=2MB →2=2，所以，A 点在以BC 的中点M 为圆心，半径为√2的圆上． 故当AM ⊥BC 时，△ABC 面积的最大为12×BC ×√2=12×2×√2=√2．故答案为：√2．【点评】本题考查平面向量的运算及应用，利用化归思想将题目中涉及到的向量转化为基底向量来表示，是本题的关键．同时考查学生利用转化思想来解题的能力和运算能力．有一定难度．14．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)={√1−x 2，0≤x ≤1lnx x +12，x ＞1，若关于x的方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 （1e+16，23）∪{1e+56} ．【分析】利用导数结合函数f （x ）的奇偶性，画出函数f （x ）在R 上的大致图象，解方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0得：f （x ）＝a +13 或f （x ）＝a −13，根据函数f （x ）的图象可知有3种情况，分别求出a 的取值范围，再取并集即可． 【解答】解：当0≤x ≤1时，f （x ）=√1−x 2，单调递减； 当x ＞1时，f （x ）=lnx x +12，则f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0得，x ＝e ，所以当x ∈（1，e ）时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 又f （e ）=1e +12＜1，且f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以函数f （x ）的大致图象，如图所示： 解方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0得 ：f （x ）＝a +13 或f （x ）＝a −13，因为关于x 的方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0 有4个不同的实数根，根据函数f （x ）的图象可知有3种情况：{1e +12＜a +13＜10≤a −13≤12或{a +13＞1a −13=1e +12或{a +13=1e +12a −13＜0， 解得：1e +16＜a ＜23或a =1e +56，故答案为：（1e+16，23）∪{1e+56}．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及利用导数研究函数的单调性，考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m→=（cos B，cos C），n→=（4a﹣b，c），且m→∥n→．（1）求cos C的值；（2）若c=√3，△ABC的面积S=√154，求a，b的值．【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sin C cos B＝（4sin A﹣sin B）cos C，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sin A＝4sin A cos C，结合sin A＞0，即可解得cos C的值．（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用三角形面积公式S= 12absinC=√154可解得ab＝2，结合余弦定理可求a2+b2＝4，从而解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵m∥n，∴c cos B＝（4a﹣b）cos C，…（2分）由正弦定理，得sin C cos B＝（4sin A﹣sin B）cos C，化简，得sin（B+C）＝4sin A cos C﹒…（4分）∵A+B+C＝π，∴sin A＝sin（B+C）﹒又∵A∈（0，π），∵sin A＞0，∴cosC=14．…（6分）（2）∵C∈（0，π），cosC=1 4，∴sinC=√1−cos2C=√1−116=√154．∵S=12absinC=√154，∴ab＝2﹒①…（9分）∵c=√3，由余弦定理得3=a2+b2−12 ab，∴a2+b2＝4，②…（12分）由①②，得a4﹣4a2+4＝0，从而a2＝2，a=±√2（舍负），∴b=√2，∴a=b=√2．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的应用，三角函数和的变换的应用，考查了化归和转化思想，属于中档题．16．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，AA1=√2AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=14BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB 的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）法一：设AB ＝x ，则证明△ABP ∽△ADA 1，可得AP ⊥A 1D ，又由线面垂直的性质可得CD ⊥AP ，从而可证AP ⊥平面A 1CD ；法二：由题意，取A 1B 1 的中点O ，连接OC 1，OD ，分别以OC 1，OA 1，OD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设OA 1＝a ，OC 1＝b ，由题意可得各点坐标，可求A 1C →=（b ，﹣a ，2√2a ），A 1D →=（0．﹣a ，2√2a ），AP →=（0，﹣2a ，−√2a2），由AP →•A 1C →=0，AP →•A 1D →=0，即可证明AP ⊥平面A 1CD ．【解答】证明：（1）如图，连接AC 1，设与CA 1 交于O 点，连接OD ∴直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，O 为AC 1 的中点， ∵D 是AB 的中点， ∴△ABC 1中，OD ∥BC 1， 又∵OD ⊂平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD ．（2）法一：由题意，设AB ＝x ，则BP =√24x ，AD =12x ，A 1A =√2x ，由于BPAD=AB AA 1=√22， ∴△ABP ∽△ADA 1，可得∠BAP ＝∠AA 1D ， ∵∠DA 1A +∠ADA 1＝90°，可得：AP ⊥A 1D ， 又∵CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，可得CD ⊥平面ABA 1B 1， ∴CD ⊥AP ， ∴AP ⊥平面A 1CD ．法二：由题意，取A 1B 1 的中点O ，连接OC 1，OD ，分别以OC 1， OA 1，OD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设OA 1＝a ，OC 1＝b ， 则：由题意可得各点坐标为：A 1（0，a ，0），C （b ，0，2√2a ）， D （0，0，2√2a ），P （0，﹣a ，3√2a2），A （0，a ，2√2a ）， 可得：A 1C →=（b ，﹣a ，2√2a ），A 1D →=（0．﹣a ，2√2a ）， AP →=（0，﹣2a ，−√2a2），所以：由AP →•A 1C →=0，可得：AP ⊥A 1C ，由AP →•A 1D →=0， 可得：AP ⊥A 1D ，又：A1C∩A1D＝A1，所以：AP⊥平面A1CD【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．17．（14分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB＝90°），如图1所示，其中AE+EB＝30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S 2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S 1，S 2， 方案①，设AE ＝x ，则S 1=12x （30﹣x ）≤12[x+(30−x)2]2=2252，当且仅当x ＝15时，取等号，方案②，设∠BAE ＝θ，则S 2＝100sin θ（1+cos θ），θ∈（0，π2），由S 2′＝100（2cos 2θ+cos θ﹣1）＝0得cos θ=12（cos θ＝﹣1舍去）， ∵θ∈（0，π2），∴θ=π3，当S 2′＞0，解得0＜x ＜π3，函数单调递增， 当S 2′＜0，解得π3＜x ＜π2，函数单调递减，∴当θ=π3时，（S 2）max ＝75√3， ∵2252＜75√3，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE =π3．【点评】本题考查了基本不等式和导数的基本应用，关键是求导，属于中档题．18．（16分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点(1，√62)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ①求证：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点在椭圆上，满足椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）①设直线PQ 的斜率为k ，则其方程设为y ＝kx （k ＞0），联立椭圆方程，求得P ，Q ，E 的坐标，求得直线QG 的方程，联立椭圆方程可得G 的坐标，进而得到PG 的斜率，结合两直线垂直的条件即可得证；②由①可得|PQ |，|PG |，由三角形的面积公式和换元法、对勾函数的单调性，计算可得所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得e =c a =√22，1a +32b=1， 又a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝c =√2，则椭圆的方程为x 24+y 22=1；（2）①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程设为y ＝kx （k ＞0），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4， 可得x ＝±√1+2k 2，记u =2√1+2k ，则P （u ，uk ），Q （﹣u ，﹣uk ），E （u ，0），于是直线QG 的斜率为12k ，方程为y =k2（x ﹣u ），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+k 2）x 2﹣2uk 2x +k 2u 2﹣8＝0，①， 设G （x 0，y 0），则﹣u 和x 0是方程①的解，故x 0=u(2+3k 2)2+k2，由此可得y 0=uk22+k2，从而PG 的斜率为uk 22+k 2−uk u(2+3k 2)2+k 2−u =−1k，所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①可得|PQ |＝2u √1+k 2，|PG |=2uk √1+k 22+k2，所以△PQG 的面积为S =12|PQ |•|PG |=8k(1+k 2)(1+2k 2)(2+k 2)=8(k+1k)1+2(k+1k)2， 设t ＝k +1k ，由k ＞0，可得t ≥2，当且仅当k ＝1时取得等号． 由S =8t 1+2t 2=82t+1t在[2，+∞）递减，可得t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，且为169，因此△PQG 的面积的最大值为169．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查两直线垂直的条件和三角形的面积公式，以及对勾函数的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题．19．（16分）设函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+ax （a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2） ①比较f （x 1）+f （x 2）与f （2）的大小；②若函数g （x ）＝|f （x ）|﹣|f （x 1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．【分析】（1）f ′（x ）＝3x 2﹣6x +a ＝3（x ﹣1）2+a ﹣3．对a 分类讨论即可得出单调性．（2）因为函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），由（1）可得：a ＜3．a ＝﹣3x 12+6x 1，a ＝﹣3x 22+6x 2．且x 1＝1−√3−a 3，x 2＝1+√3−a 3．x 1+x 2＝2，x 1x 2=13a ，可得0＜x 2＜2.0＜a ＜3．①函数f （x ）在[0，x 1]，[x 2，2]上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减．可得f （x 1）＞f （0）＝0，f （x 2）＜f （2）＝2a ﹣4．由f （x 1）+f （x 2）＝（x 1+x 2）[(x 1+x 2)2−3x 1x 2]﹣3[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+a （x 1+x 2），代入即可得出．大小关系．②函数g （x ）＝|f （x ）|﹣|f （x 1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点，可得y ＝|f （x ）|在区间[0，2]上只有唯一的最大值|f （x 1）|＝f （x 1）．故由{f(x 2)≥0f(x 1)＞f(2)，（由①知不成立，舍去）．或{f(x 2)＜0f(x 1)＞f(2)f(x 1)＞−f(x 2)，即{f(x 2)＜02a −4＞0．即可得出．【解答】解：（1）f ′（x ）＝3x 2﹣6x +a ＝3（x ﹣1）2+a ﹣3． a ≥3时，f ′（x ）≥0，∴函数f （x ）的单调增区间为R ，无减区间． a ＜3时，令f ′（x ）＞0，解得x ＜1−√3−a3，或x ＞1+√3−a3． ∴函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1−√3−a 3），（1+√3−a3，+∞）；函数f （x ）的单调减区间为（1−√3−a3，1+√3−a3）．综上可得：a ≥3时，函数f （x ）的单调增区间为R ，无减区间．a ＜3时，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1−√3−a3），（1+√3−a3，+∞）；函数f （x ）的单调减区间为（1−√3−a 3，1+√3−a3）． （2）因为函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），由（1）可得：a ＜3．a ＝﹣3x 12+6x 1，a ＝﹣3x 22+6x 2．且x 1＝1−√3−a 3，x 2＝1+√3−a 3．x 1+x 2＝2，x 1x 2=13a ，可得0＜x 2＜2．∴0＜a ＜3．①∵函数f （x ）在[0，x 1]，[x 2，2]上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减．∴f （x 1）＞f （0）＝0，f （x 2）＜f （2）＝2a ﹣4．由f （x 1）+f （x 2）=x 13−3x 12+ax 1+x 23−3x 22+ax 2＝（x 1+x 2）[(x 1+x 2)2−3x 1x 2]﹣3[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+a （x 1+x 2）＝2（4﹣3a ）﹣3（4﹣2a ）+2a ＝2a ﹣4＝f （2） ．即f （x 1）+f （x 2）＝f （2）．②函数g （x ）＝|f （x ）|﹣|f （x 1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点， ∴y ＝|f （x ）|在区间[0，2]上只有唯一的最大值|f （x 1）|＝f （x 1）．故由{f(x 2)≥0f(x 1)＞f(2)，（由①知不成立，舍去）．或{f(x 2)＜0f(x 1)＞f(2)f(x 1)＞−f(x 2)，即{f(x 2)＜02a −4＞0．由f （x 2）＝﹣2x 23+3x 22＜0，解得32＜x 2＜2，代入a ＝﹣3x 22+6x 2．得0＜a ＜94．由2a ﹣4＞0，解得a ＞2．∴2＜a ＜94．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）数列{a n }的数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，若数列{a n }满足：对任意正整数n ，k ，当n ＞k 时，S n +k +S n ﹣k ＝2（S n +S k ）总成立，则称数列{a n }是“D （k ）数列” （1）若{a n }是公比为2的等比数列，试判断{a n }是否为“D （2）”为数列？ （2）若{a n }是公差为d 的等差数列，且是“D （3）数列”，求实数d 的值； （3）若数列{a n }既是“D （2）”，又是“D （3）”，求证：数列{a n }为等差数列． 【分析】（1）求出通项公式，把K ＝2代入，然后举反例即可判断；（2）利用S n +3﹣S n ＝a n +3+a n +2+a n +1，S n ﹣S n ﹣2＝a n +a n ﹣1+a n ﹣2可得一个递推公式，又{a n }是公差为d 的等差数列，从而求出d ；（3）反复利用S n 之间的递推公式，求出a n 关系，从而得到证明． 【解答】解：（1）∵a 1＝1，q ＝2，∴S n =2n −1．假设{a n }是D （2）数列，则当n ＞2时，有S n +2+S n ﹣2＝2（S n +S 2）成立． 但当n ＝3时，S 5+S 1＝32，2（S 3+S 2）＝20，所以假设不成立， 于是，{a n }不是D （2）数列．（2）若{a n }是公差为d 的等差数列，又a 1＝1，则a n ＝1+（n ﹣1）d ， 若{a n }是“D （3）数列“，则∀n ＞3，S n +3+S n ﹣3＝2（S n +S 3）， 即a n +3+a n +2+a n +1﹣a n ﹣a n ﹣1﹣a n ﹣2＝2S 3， 所以9d ＝2（2+3d ），即d ＝2．（3）数列{a n }既是“D （2）”，又是“D （3）”， 则{∀n ＞2，S n+2+S n−2=2(S n +S 2)①∀n ＞3，S n+3+S n−3=2(S n +S 2)②，由②﹣①得，∀n ＞3，a n +3﹣a n ﹣2＝2a 3， 把n 变为n +1可得：∀n ＞3，S n +3+S n ﹣1＝2（S n +1+S 2）③ ∀n ＞4，S n +4+S n ﹣2＝2（S n +1+S 3）④ 由④﹣③得，∀n ＞4，a n +4﹣a n ﹣1＝2a 4． 又③﹣①得，∀n ＞3，a n +3+a n ﹣1＝2a n +1， 由④﹣②得，∀n ＞4，a n +4+a n ﹣2＝2a n +1，所以，a n ﹣1，a n +1，a n +3成等差数列，设公差为d 1；a n ﹣2，a n +1，a n +4成等差数列，设公差为d 2．因此a n +3＝a n +1+d 1，a n +4＝a n +1+d 2，所以a n +4﹣a n +3＝d 2﹣d 1＝a n ﹣1﹣a n ﹣2，对n ＞3恒成立． 即当n ≥2时，{a n }成等差数列，设公差为d ，由（1）和（2）中，分别取n ＝3，n ＝4得：{2a 2−4d =−24a 2−7d =−2，解得a 2＝3，d ＝2，又因为a 1＝1，所以{a n }为等差数列，首项a 1＝1，公差为2．【点评】本题考查了数列新定义问题，其本质还是等差等比数列判断与性质应用，考查了学生的逻辑推理以及转化和运算能力，属于较难问题．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A =[33c d ]，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1→=[11]，属于特征值1的一个特征向量为α2→=[3−2]，求矩阵 A ．【分析】根据特征值的定义可知A α＝λα，利用待定系数法建立四个等式关系，解二元一次方程组即可．【解答】解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为 α1=[11]可得 [33cd ] [11]=6 [11]，即 {3+3=6c +d =6；（4分）由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为 α2=[3−2]，可得[33cd ] [3−2]=[3−2]，即 {3×3−3×2=33c −2d =−2，（6分）解得 {c =2d =4，即矩阵 A =[3324]．（10分） 【点评】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin （π3−θ）=√32，椭圆C 的参数方程为{x =2costy =√3sint（t 为参数）．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【分析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出交点的坐标，进一步求出弦长． 【解答】解：直线l 的极坐标方程为ρsin （π3−θ）=√32，转换为直角坐标方程为y =√3x −√3．椭圆C 的参数方程为{x =2costy =√3sint （t 为参数）．转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1，进一步联立方程组{y =√3x −√3x 24+y 23=1，整理得x 24+(x −1)2=1，解得x 1=0，x 2=85， 所以A （0，−√3），B （85，3√35）， 所以|AB |=(0−85)2+(−√3−335)2=165．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a +b +c ＝1，证明：（a +1）2+（b +1）2+(c +1)2≥163． 【分析】利用柯西不等式，即可证明【解答】证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2]≥（a +1+b +1+c +1）2，∵a +b +c ＝1，∴（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥163，当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号， 问题得以证明【点评】本题考查了不等式的证明，属于基础题【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB =√2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ． （1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角A ﹣DF ﹣B 的大小．【分析】（1）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DF 与BE 所成角的余弦值．（2）求出平面ADF 的法向量和设平面BDF 的法向量，利用向量法能求出二面角A ﹣DF ﹣B 的大小．【解答】解：（1）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D （√2，0，0），F （√2，√2，1），E （0，0，1），B （0，√2，0），C （0，0，0）， 则DF →=（0，√2，1），BE →=（0，−√2，1），∴cos ＜DF →，BE →＞=−13×3=−13，∴异面直线DF 与BE 所成角的余弦值为13． （2）平面ADF 的法向量m →=CD →=(√2，0，0)， 设平面BDF 的法向量n →=（x ，y ，z ），由BF →=（√2，0，1），DF →=（0，√2，1），得：{n →⋅BF →=√2x +z =0n →⋅DF →=√2y +z =0，取x ＝1，得n →=（1，1，−√2）， 设二面角A ﹣DF ﹣B 的大小为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√24×2=12，θ=π3，∴二面角A ﹣DF ﹣B 的大小为π3．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点p （x 0，y 0）在曲线y ＝x 2（x ＞0）上．已知A （0，﹣1），P n （x 0n ，y 0n ），n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ． （1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得y 0+1x 0=x 02+1x 0=2，解方程可得P 1的坐标；（2）设k 1＝2p （p ∈N *），运用直线 的斜率公式，求得x 0，再求k n ，运用二项式定理，讨论n 为偶数或奇数，即可得证． 【解答】解：（1）由k 1＝2，可得y 0+1x 0=x 02+1x 0=2，解得x 0＝1，y 0＝1，则P 1（1，1）：（2）证明：设k 1＝2p （p ∈N *），即y 0+1x 0=x 02+1x 0=2p ，解得x 0＝p ±√p 2−1， 由y 0＝x 02，可得k n =y 0n +1x 0n=x 02n +1x 0n =x 0n+1x 0n ， 当x 0＝p 2−1时，k n ＝（p 2−1）n 1√n＝（p +√p 2−1）n +（p −√p 2−1）n ；同理当x 0＝p −√p 2−1时，k n ＝（p +√p 2−1）n +（p −√p 2−1）n ．①当n ＝2m （m ∈N *），k n ＝2∑ m k=0C n 2k pn ﹣2k（p 2﹣1）k ，即有k n 为偶数； ②当n ＝2m +1（m ∈N *），k n ＝2∑ m k=0C n 2k pn ﹣2k（p 2﹣1）k ，即有k n 为偶数．综上可得，k n 为偶数．【点评】本题考查二项式定理的运用，直线的斜率公式的运用，以及点满足抛物线的方程，考查分类讨论和化简整理的运算能力，属于难题．。
03-江苏省南通市2020届高三上学期教学质量调研(三)数学(文)答案
----------------------------------14 分
18.解：(1)设 OP x ， OQ y ，(单位：千米)
在 OPQ 中，由余弦定理得： PQ2 OP2 OQ2 2OP OQ cosPOQ ， 因为 PQ 6 ， POQ 2π ， OP x ， OQ y ，
2
a2 4b2
由①、②解得： a2 4 ，b2 3 ，所以，椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 . ----------6 分 43
(2)由(1)知，右焦点 F 坐标 (1，0) ，椭圆 C 的右准线 l 方程为 x 4 ，点 P 坐标 (4 ，0) .
①当直线 AB 的斜率不存在时，直线 OM 与线段 AB 交点 D 即为右焦点 F ，此时点 D 为
---------------------10 分
x my 1，
联立方程组
x2
4
y2 3
1
，消去 y 得： (3m2 4) y2 6my 9 0 ，
设
A( x1
，y1 )
，B(x2
，y2 )
，则
y1，2
3m 6 3m2
m2 4
1
，
即 y1
y2
方法二：在 MPQ 中，设 MP m ， MQ n (单位：千米)， PMQ ，则 m n 10 ，
由余弦定理得： PQ2 MP2 MQ2 2MP MQ cos ，
即 62 m2 n2 2mncos (m n)2 2mn(1 cos) 102 2mn(1 cos) ，
------------------14 分
江苏南通市2019-2020学年度第二学期高三数学适应性测试(含答案)
2020届高三数学适应性练习参考公式：样本数据12n x x x L ，，，的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1． 已知集合{}13=A ，，{}2|20B x x x =-<，则集合A B I = ． 2． 已知复数(1i)43i z -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 . 3． 现有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：10，11，12，13，14，则康复时间的方差为 . 4． 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S 的值是 ．5． 一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B ，C ，D 三人随机坐到其他三个位置上，则A 与B 相对而坐的概率为 ．6． 已知向量，，a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若λμλμ=+∈R （，）a b c ，则λμ+的值为 ．7． 将函数()π()sin 23f x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，所得函数为偶函数，则ϕ的最小正值是 ．8． 已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若31412a a -=，4217S S =，则2a 的值为 ．I ← 1While I < 6 I ← I +2 S ←2I +3 End While Print S（第4题）（第5题）cba（第6题）（第11题）BCDEFA（第14题）9． 过双曲线2221(0)5y x b b-=>的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为P ．若△POF 的面积5，则该双曲线的离心率为 ． 10．已知直线80ax by +-=()a b ∈，R 经过点(12)-，，则124a b +的最小值是 ．11．过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l 1，一般的十字捆扎（如图（2）所示）所用绳长为l 2．若点心盒的长、宽、高之比为2:2:1，则12l l 的值为 ． 12．已知函数()f x x =，则不等2(2)()f x f x ->式的解集是 ．13．已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)为圆M ：224x y +=上的两点，且121212x x y y +=-，设00()P x y ，为弦AB 的中点，则00|3410|x y +-的最小值为 ．14．已知等边ABC △的边长为1，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，AC 上，且ADF DEF S S =△△13ABC S =△．若AD =x ，CE =y ，则yx的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin sin sin sin B C B AA B C--=+． （1）若ABC △3ab 的值； （2）若223c b a +=，求cos A ．16．（本小题满分14分）如图，已知EA 和DC 都垂直于平面ABC ，AB=AC ＝BC =AE =2CD ，F 是BE 的中点． （1）若G 为AF 中点，求证：CG ∥平面BDE ； （2）求证：AF ⊥平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，某度假村有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD ，其内有一以正方形中心O 为圆心，2百米为半径的圆形观景湖．现规划修建一条从边AB 上点P 出发，穿过生态园且与观景湖相切的观赏道PQ （其中Q 在边AD 上）． （1）设APQ θ∠=，求观赏道PQ 的长l 关于θ的函数关系式()f θ； （2）试问如何规划设计，可使观赏道PQ 的长l 最短？G （第16题）BDFE CA（第17题）θQOAD18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为22，点(21，在椭圆上．若直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且l 与直线2-=x 相交于Q ．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为21时，求直线l的方程；（3）点T 是x 轴上一点，若总有0uu u r uu u rPT QT ⋅=，求T 点坐标．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足1(2)0n n n S nS n ---+=，N 2n n *∈，≥，22a =．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记221111i i i b a a +=++，1(1)nn i i T b ==-∑．① 求T n ；② 求证：11ln ln n n n T T T ++<．20．（本小题满分16分）已知函数2()(1)f x ax a x =-+-，21()ln 2g x x x ax x =--．（1）若函数f (x )与g (x )在(0)+∞，上均单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当(e 0]a ∈-，（其中e 为自然对数的底数）时，记函数()g x 的最小值为m ．求证：312em -<-≤；（3）记()()()2ln h x g x f x x '=--，若函数h (x )有两个不同零点，求实数a 的取值范围．（第18题）POxy Q2020届高三数学适应性练习附加21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区．．．．．．域内作答．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b ∈，R ，矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的特征值3λ=所对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵M ；（2）若曲线1C ：292y x x =-在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求曲线2C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为3112x y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线截得的弦长．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 是正实数，且=5x y z ++，求证：222210≥x y z ++．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，1），点B 在直线:1l y =-上，点T 满足TB u u r ∥OA u u u r，()2AB AB TB ^-u u u r u u u r u u r ，T 点的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点P ()()00t t ，>的直线交曲线C 于点M N ，，分别过M ，N 作直线l 的垂线，垂足分别为11M N ，．① 若1190M PN ?°，求实数t 的值；② 点M 关于y 轴的对称点为Q （与N 不重合），求证：直线NQ 过一定点，并求出这个定点的坐标．23．(本小题满分10分)已知数列}{n a 满足：11||n n a a n n*+-∈N ≤，．（1）证明：||n k n k a a n k n*+-∈≤，，N ；（2）证明：221(1)||2m i mi m m a a m *=--∈∑≤，N ．y A TBO（第22题）参考答案及评分细则一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． {}1； 2． 522； 3． 2； 4． 17；5．13； 6． 0； 7． 512π； 8． 4±；9． 35； 10． 32； 11． 2； 12． -21（，）； 13．5710-； 14．130222⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，，． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．【解】（1）因为 (sin sin )(sin sin )sin (sin sin )B C B C A B A +-=-，在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得()()()b c b c a b a +-=-，化简得222a b c ab +-=， ……3分在ABC V 中，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==， ……4分 因为(0,)C π∈，所以3πC =，又ABC V 3，可得1sin 32ab C =，所以4ab =. ……7分（2）因为223c b a +=,在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==,所以2sin sin 2sin 3C B A += 因为A B C π++=，所以2sin sin()2sin 3C A C A ++= ……9分由（1）得3πC =，所以2sin sin()2sin 333ππA A ++=， 化简得333sin 2A A -=，所以1sin()63πA -=. ……11分 因为203A π<<，所以662πππA -<-<，所以222cos()1sin ()66ππA A -=--=所以22311261cos cos ()6632ππA A -⎡⎤=-+=-⋅=⎢⎥⎣⎦. ……14分16．（本小题满分14分）证明：（1）取EF 中点Q ，连结GQ ， 因为G 为AF 中点，所以GQ ∥AE ，且12GQ AE =. ……2分 因为EA 和DC 都垂直于平面ABC ， 所以CD ∥AE ，又AE =2CD ， 所以GQ ∥CD ，且GQ CD =. 所以四边形CDQG 为平行四边形，所以CG ∥DQ ， ……4分 又CG ⊄平面BDE ，DQ ⊂平面BDE ，所以CG ∥平面BDE ． ……6分（2）取AB 中点P ，连结FP ，CP ， 因为F 是BE 的中点， 所以FP ∥AE ，且12FP AE =.因为EA 和DC 都垂直于平面ABC ，所以CD ∥AE. 又AE =2CD ，所以CD ∥PF ，且CD =PF ， 所以四边形CDFP 是平行四边形.所以CP ∥DF . ……8分 因为AC ＝BC ，P 为AB 中点， 所以CP ⊥AB ，所以DF ⊥AB .因为EA 垂直于平面ABC ，CP ⊂平面ABC ，所以CP ⊥AE ，所以DF ⊥AE . ……10分 因为AB AE A =I ，AB AE ⊂，平面ABE ，所以DF ⊥平面ABE . 因为AF ⊂平面ABE ，所以DF ⊥AF . ……12分 因为AB=AE ，F 是BE 的中点， 所以AF ⊥BE .因为BE DF F =I ，BE DF ⊂，平面BDE ，所以AF ⊥平面BDE . ……14分17．（本小题满分14分）解：（1）以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则(22)O ，，(cos 0)P l θ，，(0sin )Q l θ，， 所以直线PQ 的方程为sin (cos )cos l y x l l θθθ=--，即sin cos sin cos 0x y l θθθθ⋅+⋅-=. ……3分 因为直线PQ 与圆O 相切， 所以圆心到直线PQ 的距离为222sin 2cos sin cos 2sin cos l d θθθθθθ+-==+，化简得2sin 2cos sin cos 20l θθθθ+-=， ……5分 解得2sin 2cos 2l θθ+-=，2sin 2cos 2()f θθθ+-=π5π1212θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. ……7分（2）因为2sin 2cos 2()f θθθ+-=，则(cos sin )(2sin 2cos 22sin cos )()f θθθθθθθ-+--'=9分因为π5π1212θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2220θθ+-≤，2222sin cos 0θθθθ+--< 令()0f θ'=，得π4θ=， ……11分则ππ124θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'<，()f θ单调递减，π5π412θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>，()f θ单调递增，所以π4θ=时，()f θ取得最小值为22. 答：设计成π4APQ ∠=时，可使观赏道PQ 的长l 最短. ……14分18．（本小题满分16分） 【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意，得2222211+=1222.a b c aa b c ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，，解得21.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为2212x y +=． ……3分（2）由题意，设直线l 的方程为m x y +=21， 联立方程组221212y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，，得 0444322=-++m mx x ，因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()221612440m m ∆=--= 解得6m = ， 所以直线l 的方程为2621±=x y ． ……6分 （3）当直线l 的斜率不存在时，l 与直线2-=x 无交点，不符合题意，故直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +m ， 由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()022412222=-+++m kmx x k ， 因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()()22221681210k m m k ∆=--+=，化简得：2221m k =+， ……8分所以412,P P P k x y kx m m m =-=+=，即⎪⎭⎫⎝⎛-m m k P 1,2， 因为直线l 与直线2-=x 相交于Q ，所以)2,2(k m Q --，……10分 设(0)T t ，，所以021)2(2=-+--⎪⎭⎫⎝⎛--=⋅m k t t m k ，即0)1(12=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++t t m k 对任意的k ,m 恒成立， ……14分 所以01=+t ，即1-=t ，所以点T 坐标为()0,1-. ……16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为1(2)0n n n S nS n ---+=， 所以2n =时，11S =，即11a =. 因为2n ≥时，1(2)0n n n S nS n ---+=，即2n n S na n =+. n =1时也适合该式.所以2n ≥时，2n n S na n =+，112(1)1n n S n a n --=-+-，两式相减得1(2)(1)10n n n a n a ----+=， 则1(1)10n n n a na +--+=，两式相减得112(1)(1)(1)02n n n n a n a n a n -+-----=，≥. 所以11202n n n a a a n -+--=，≥，所以11n n n n a a a a +--=-. 所以数列{a n }为等差数列.因为11a =，22a =，所以公差1d =，所以1(1)1n a n n =+-⨯=. ……4分（2）①因为a n =n ，所以2222222211(1)(1)1(1)(1)i i i i i b i i i i ++++=++=++ (1)111111(1)(1)1i i i i i i i i ++==+=+-+++， ……6分所以111111111()()()()1122334111n n T n n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++，…8分 ②要证11ln ln n n n T T T ++<，只要证11ln ln212n n n n n n ++<+++， 只要证+12(1)ln (2)ln1n n n n n n ++>++，即证+1+122ln ln11+1+2111n n n n n n n n n n n n ++++>--+.…10分 设+1n x n =，x >1，令ln ()11x xf x x x =>-，， 则21ln ()(1)x xf x x --'=-， ……12分 易证1ln 0x x -->，故()0f x '>在()1+∞，上恒成立. 所以()f x 在()1+∞，上单调递增， 因为121n n n n ++>+，所以12()()+1n n f f n n ++>.所以所证不等式成立. ……16分 20．（本小题满分16分）【解】（1）因为函数2()(1)f x ax a x =-+-在(0)+∞，上单调递减，所以0102a a a-<⎧⎪⎨-⎪-⎩，≤，解得1a ≥.因为21()ln 2g x x x ax x =--在(0)+∞，上单调递减，所以()ln 110g x x ax '=+--≤在(0)+∞，上恒成立， 即ln 0x ax -≤在(0)+∞，上恒成立，所以ln x a x≥在(0)+∞，上恒成立. ……2分令ln ()x t x x =，则21ln ()x t x x-'=，令()0t x '=，得e x =， 当()0e x ∈，时，()0t x '>，()t x 单调递增； 当()e +x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单调递减， 所以max 1()e t x =，所以1ea ≥.故实数a 的取值范围为[)1+∞，. ……4分 （2）因为()ln g x x ax '=-，所以11()ax g x a x x -''=-=.当(e 0]a ∈-，时，[0e)a -∈，，所以11()0ax g x a x x -''=-=>恒成立，所以()ln g x x ax '=-在（0，+∞）上单调递增. 因为1e (1)()10e e ea a g a g +''=-=--=-<≥0，，所以(011e x ⎤∃∈⎥⎦，，使得0()0g x '=.，即00ln 0x ax -=.所以当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x x <时，()0g x '>，()g x 单调递增. 从而2000min00000ln ()()ln 22ax x x m g x g x x x x x ===--=-. ……8分令(ln 1()12e x x x x x ϕ⎤=-∈⎥⎦，，，则ln 1()02x x ϕ-'=<.所以ln ()2x x x x ϕ=-在(11e ⎤⎥⎦，单调递减，因此()(1)1x ϕϕ=-≥，13()()e 2ex ϕϕ<=-.所以312em -<-≤. ……10分（3） 因为2()(1)f x ax a x =-+-，21()ln 2g x x x ax x =--，所以2()()()2ln (1)ln 112ln h x g x f x x ax a x x ax x '=--=+-++---， 即2()ln h x ax x x =--.所以2121()21ax x h x ax x x--'=--=， 当0a ≤时，()0h x '<在(0)+∞，上恒成立，则h (x )在(0)+∞，上单调递减，故h (x )不可能有两个不同的零点. ……12分当0a >时，22ln ()x x h x x a x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令2ln ()x x F x a x +=-， 则函数()h x 与函数()F x 零点相同.因为312ln ()x x F x x -+'=，令()12ln G x x x =-+，则2()10G x x'=+>在(0)+∞，上恒成立，因为(1)0G =，则x(01)，1 (1)+∞，()F x '- 0 + ()F x递减极小值递增所以()F x 的极小值为(1)1F a =-，所以要使()F x 由两个不同零点，则必须(1)10F a =-<，所以a 的取值范围为()01，. ……14分 因为(1)0F <，1()0e F >，又()F x 在()01，内连续且单调， 所以()F x 在()01，内有唯一零点. 又()()()()22222222ln 2022a a a a a a F a a a a⋅--+=->=，且21a >， 又()F x 在()1+∞，内连续且单调，所以()F x 在()1+∞，内有唯一零点. 所以满足条件的a 的取值范围为()01，. ……16分21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解】（1）因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的特征值3λ=所对应的一个特征向量， 所以1111λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即1113311a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1333a b +=⎧⎨+=⎩，，解得20a b =⎧⎨=⎩，．所以矩阵2130⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ……4分 （2）设曲线1C 上任一点00()Q x y ，在矩阵M 的作用下得到曲线2C 上一点()P x y ，， 则002130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以00023x y x x y +=⎧⎨=⎩，，解得00323y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．因为200092y x x =-， 所以()2292333yy x y -=-⋅，即曲线2C 的方程为2y x =． ……10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解】曲线的直角坐标方程为2240x y x +-=， ……3分即22(2)4x y -+=，圆心(20)，，半径2r =，直线l 的普通方程为310x -=， ……6分 所以圆心(20)，到直线l 的距离12d =，所以直线l 被曲线C 截得的线段长度()22221222152L r d =-=-=……10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 是正实数，且=5x y z ++，求证：222210≥x y z ++． 证明：由柯西不等式得()()22222222211x z x y z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦≥ …… 6分 因为=5x y z ++， 所以2225(2)252≥x y z ++⋅，所以222210≥x y z ++，当且仅当2a b c ==时取等号．……………… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)解:（1）设T 的坐标为(),x y ，则B 为(),1x -，因为 A （0，1），所以()0,1TB y =--u u r ，(),2AB x =-u u u r因为()2AB AB TB ^-u u u r u u u r u u r ，所以()20AB AB TB ?=u u u r u u u r u u r，所以220AB AB TB -?u u u r u u u r u u r，所以()24440x y +-+=，即 24x y =，所以曲线C 的方程为24x y = ……4分 （2）法一：由题意，直线MN 的斜率必存在，设为k则直线MN 的方程为：y kx t =+， 由24y kx tx yì=+ïí=ïî可得：2440x kx t --= 设()()1122,,,M x y N x y ， 则21212Δ1616044k t x x k x x t ì=+>ïï+=íï?-ïî①因为1190M PN ?°，所以110PM PN ?u u u u r u u u u r因为()()1112,1,,1PM x t PN x t =--=--u u u u r u u u u r所以()21210x x t ++=，所以()2410t t -++=解得：1t = ……6分 ②因为点M 关于y 轴的对称点为Q ，所以()()1112,0Q x y x x -+?xyPN 1MNM 1O所以222121212121444QNx x y y x x k x x x x ---===++ 所以直线NQ 的方程为：()21114x x y y x x --=+ 令0x =得：()22211121112144444xx x x x x x x x y y t -=+=-+==- 所以直线NQ 过定点，定点坐标为()0,t - ……10分（2）法二：设()()222,,2,M m m N n n ()m n ¹，因为,,M N P 三点共线，所以MP NP k k =，所以2222m t n t m n --=，化简得：()()0mn t m n +-= 因为m n ¹，所以mn t =- ①由题意：()()112,1,2,1M m N n --，所以()()112,1,2,1PM m t PN n t =--=--u u u u r u u u u r因为1190M PN ?°，所以110PM PN ?u u u u r u u u u r，所以()()2,12,10m t n t --?-=，所以()2410mn t ++=，所以()2410t t -++=，解得：1t = ……6分②因为点M 关于y 轴的对称点为Q ，所以()22,Q m m -()0m n +?所以22222QNn m n m k n m --==+， 所以直线NQ 的方程为：()222n my m x m --=+ 令0x =得：()222n m my m mn t -=+==- 所以直线NQ 过定点，定点坐标为()0,t - ……10分23．(本小题满分10分)【解析】（1）证明：||=n k n a a +-1121|()()()|n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+-+-++-L1121||||||n k n k n k n k n n a a a a a a ++-+-+-+-+-++-L ≤11112n k n k n ++++-+-L ≤kn≤． ……3分（2）用数学归纳法证明．① 当1=m 时，左边0||22=-=a a =右边；当2=m 时，由（1）得左边||||4424a a a a -+-=2222||12a a +=-=≤=右边；② 设当k m =时，结论成立，即有221(1)||2k i ki k k a a =--∑≤， ……5分 则当1+=k m 时，∑+=-+1122||1k i i k a a||221221i k k k a a a aki -+-=∑=+1221||k k ki a a +=-∑≤∑=-+ki i ka a122||由（1）得||221k k a a -+||222k kk a a -=+212kk =≤，所以1221||k k ki a a k +=-∑≤， ……8分所以∑+=-+1122||1k i i k a a 221||k i ki k a a =+-∑≤(1)2k k k -+≤(1)[(1)1]=2k k ++- 所以1+=k m 时结论成立．由①②可知原不等式成立． ……10分。
江苏省南通市2020届高三第三次模拟考试数学试题答案
所以
f
'(x)
2x (x2 4(x
4x 16) 4)2
0 ，所以
f
( x)max
f
(2
2) 6 4
2
，
即△ ABC 的内切圆的面积最大值为 (6 4 2) ．
18．(本小题满分 16 分)
【答案与解析】
a c 3,
（1）
AF
3 ，点
F
与椭圆
C
左准线的距离为
5， c
a2 c
5,
c a2 b2 ,
，
y
k
(
a3k 2 ab2 a2k2 b2
a)
Hale Waihona Puke 2kab2 a2k2 b2
，
即
M
(
a3 a2
2
k2．
k2
,
…… 6 分a 2 b2
)
b a2
2
k k2
a
同理由
y 2k(x a),
x2 a2
y2 b2
1
得
N
(
4a3k 2 ab2 4a2k 2 b2
,
4kab2 4a2k 2
b2
－f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使 xn 取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，…，m）取 得最高点，且 f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为 0≤x1 x2 xn ，且
f x1 f x2 f x2 f x3 f xn1 f xn 2017 ，
(ii)
又 2kMA kBN (iii)
由 (i)
(ii)
(iii)
得：
2b2 a2
b4
江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期9月诊断测试数学试题含答案
如皋市2023届高三上学期9月诊断测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}320223,nA n n n Z =∈＜＜的所有元素之积为（▲）.A.8648640B.55440C.665280D.02.已知复数z 满足3i i z z -+为负实数，31z z -+为纯虚数，则z =（▲）.A.B.1C.D.13.抛物线28y x =的焦点为F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上的两个动点，若124||3x x AB ++=，则AFB ∠的最大值为（▲）.A.3π B.34π C.56π D.23π4.“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示，古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为{}n a ，其中115n 且*n N ∈，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，15a =是指每月的第1天可见部分占满月的5240，8128a =是指每月的第8天可见部分占满月的128240，15240a =是指每月的第15天(即农历十五)会出现满月.已知在月相数列{}n a 中，前5项构成等比数列，第5项到第15项构成等差数列，则第3天可见部分占满月的（▲）.A.124B.112C.16D.135.在平面直角坐标系中，椭圆E ：2214x y +=，P 为E 上的动点，,A B 为两个定点，其中B 点坐标为()0,3.若PAB △的面积最小值为1，最大值为5，则线段AB 的长为（▲）.A.5B.26C.6D.76.已知函数()y f x =的图像既关于点()1,1中心对称，又关于直线0x y +=轴对称.当()0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2log 10f 的值为（▲）.A.2log 6B.175C.3D.1457.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示，即512sin18.2-=︒记2sin18m =︒，则21cos36(2)sin144m +︒=-⋅︒（▲）.A.2- B.2- C.2D.51-8.若,(0,)x y ∈+∞，ln sin y x x e y +=+，则（▲）.A.ln()0x y -< B.ln()0y x -> C.e yx < D.ln y x<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列关于复数的命题中(i 为虚数单位)，说法正确的是（▲）.A.若关于x 的方程2(1i)14i 0(R)x ax a +++-=∈有实根，则52a =±B.复数z 满足2020(1i)i 1z +==，则z 在复平面对应的点位于第二象限C.12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中p 、q 为实数，则5q =D.已知1i z a b =+，2i z c d =+，且12z z =，则,a c b d==10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点1P ，2P ，…，(2n P n 且*)n N ∈满足1223112n n n PFP P FP P FP P FP nπ-∠=∠=⋅⋅⋅=∠=∠=，则下列结论中正确的是（▲）.A.2n =时，12112||||PF P F +=B.3n =时，123||||||PF P F P F ++的最小值为9C.4n =时，1324111||||||||4PF P F P F P F +=++D.4n =时，1234||||||||PF P F P F P F +++的最小值为811.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，n M ，n N 是圆222:O x y n +=上两个不同的动点，n P 是n nM N 的中点，且满足2*20().n n n OM ON OP n N ⋅+=∈ 设n M ，n N到直线20l y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，则下列说法中正确的是（▲）.A.向量n OM 与向量n ON所成角为120︒B.||n OP n= C.22n a n n =+D.若2nn a b n =+，则数列的前n 项和为11121n +--12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，1F 、2F分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线l ：220bx ay a b +--=，则（▲）.A.直线l 与蒙日圆相切B.C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C.记点A 到直线l 的距离为d ，则2||d AF -D.若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知1,0,0x y y x +=>>，则121x x y ++的最小值为▲.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，直线l ：y kx m =+与圆O ：225x y +=交于A ，B 两点，若PAB △为正三角形，则实数m 的值是▲.15.已知()00,P x y 是抛物线24y x =000210x y +-+的最小值为▲.16.函数())f x x R =∈的值域为▲.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）若ABC △的内角,,A B C 满足sin cos tan A B C ==.（1）若π12B =，求C 的大小；（2）求32cos cos cos A A A +-的值.18.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0.n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令221(2)n nn b n a +=+，数列的前n 项和为n T ，证明对于任意的*n N ∈，都有5.64n T <郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.（1）已知A ，B 是在直线l 两侧且到直线l 距离不相等的两点，P 为直线l 上一点.试探究当点P 的位置满足什么条件时，||PA PB -取最大值；（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.20.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足621S =，728S =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项；（2）令14(1)(21)(21)n n n n n b a a -=--+，证明：12b b ++ (22).21n n b n +++已知点B A 、分别是椭圆22:143x y Γ+=的左、右顶点，过Γ的右焦点F 作直线l 交Γ于,M N 两点，（1）设直线,,AM AN BM 的斜率分别为123,,k k k ，求12k k 和23k k 的值；（2）若直线,AM AN 分别交椭圆Γ的右准线于,P Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆经过定点.22.（本小题满分12分）已知函数()()ln ,e x x x f x g x x==.（1）求()f x 和()g x 的极值；（2）证明：存在直线y a =，其与曲线()y f x =和曲线()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.如皋市2023届高三上学期9月诊断测试数学参考答案及评分标准2022.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CCDBDBAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.题号9101112答案ACBCACDAC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）所以π3C =.………………………………………………4分17.（2）………………………10分18.（1）因为数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，所以当1n =时，22211(111)(11)0S S -+--+=，即21120S S --=，解得12S =或11S =-，因为数列{}n a 都是正项，所以12S =，因为222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，则2[()](1)0n n S n n S -++=，则2n S n n =+或1n S =-，因为数列{}n a 都是正项，所以2n S n n =+，.………………………………………………2分当2n 时，有1n n n a S S -=-，所以22[(1)(1)]n a n n n n =+--+-，解得2n a n =，2n ，当1n =时，112a S ==，符合2n a n =，所以数列{}n a 的通项公式2n a n =，*;n N ∈.………………………………………………5分18.（2）证明：由222211(2)(2)4n n n n b n a n n ++==++⋅，.……………8分所以115(1)16464<+=，所以对于任意*n N ∈，都有5.64n T <.………………………………………………12分19.（1）不妨设A 点到直线l 的距离比B 点到直线l 的距离大，作A 点关于直线l 的对称点.A '当l 为APB ∠的平分线时，A '，B ，P 三点共线，故PA PB PA PB A B -='-='，.…………2分当l 不是APB ∠的平分线时，取这样的点P '，则A '，B ，P '能构成一个三角形，故P A P B P A P B A B '-'=''-'<'，因此，当且仅当P 的位置使得l 为APB ∠的平分线时，||PA PB -取最大值．.…………………5分19.（2）证明：不妨设双曲线的焦点在x 轴上，半实轴长为a ，左右焦点分别为1F ，2F ，入射光线1l 从2F 出射，入射点Q ，反射光线2l ，双曲线在Q 点处的切线3l ，3l 在Q 点处的垂线4l ，由光的反射定律，1l ，2l 关于4l 对称，故1l ，2l 关于3l 对称，要证：反射光线2l 过点1F ，只要证：3l 是12F QF ∠的角平分线，.………………………………………………7分定义双曲线焦点所在区域为内部，渐近线所在区域为外部，由双曲线的定义，122F Q F Q a -=，对于双曲线内部的一点Q '有12||2F Q F Q a '-'>，对于双曲线外部的一点Q ''有12||2F Q F Q a ''-''<，又3l 是双曲线在Q 点处的切线，故在3l 上有且仅有一点Q 使得122F Q F Q a -=，3l 上其他点Q '''均有122F Q F Q a '''-'''<，故Q 是3l 上唯一使得12F Q F Q -取最大值的点，又1F ，2F 到直线3l 距离不相等，根据(1)中结论，可知3l 是12F QF ∠的角平分线，故反射光线2l 过点1F ，命题得证．.………………………………………………12分20.（1）数列{}n a 为等差数列，依题意有117212861521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =，1d =，.………………………………………………2分所以1(1)1n a n =+-⨯，所以n a n =，.………………………………………………4分20.（2）证明：111411(2)(1)(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n n b a a n n ---=-=-+--+-+，.……………8分1123111111(1(()[(1)3355721n n b b b b n -+++⋅⋅⋅+=++--+++⋅⋅⋅+--1111122(1)1(1)1.21212121n n n n n n n --++-=+-+=++++ .………………………………………………12分21.（1）1294k k =-………………………………………………3分233k k =………………………………………………6分21.（2）此圆恒过定点()()7,01,0，………………………………………………12分22.（1）()f x 极大值1e，无极小值；………………………………………………2分()g x 极大值1e，无极小值；………………………………………………4分22.（2）证明略.………………………………………………12分。
江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题 Word版含答案
南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试卷2020.1.14一、填空题1.已知集合 A ＝ {-1，0，2}， B ＝ {-1，1，2}， 则 A ∩B =________.2.已知复数 z 满足(1+ i ) z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.5.已知等差数列{a n } 的公差 d 不为 0 ，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则1a d的值为_____. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.7.在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为______.8.已如函数.若当 x ＝6π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值为______.9. 已 知 函 数 f (x ) ＝ (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈R ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若2CD DA =，则 BD 的最小值为______.13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2 ＝ 8 与圆C 2 : x 2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A ，B 两点.若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + 2af (x )+1- a 2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15. (本小题满分14 分)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D，E 分别为BC，AC 的中点。
江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)
三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值； （2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，； 当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象 的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-， 即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>； 当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线， 则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线； （2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根， 则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条 一条 a b ac k 332->两条 零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则 当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=， 故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题： 第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==；第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==；第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==；不满足判断条件，输出计算结果3y =，故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ）A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里【答案】B 【解析】【分析】人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，计算1192a=，代入得到答案. 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，则61112378112a⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a=，从而可得3241119296,1922422a a⎛⎫=⨯==⨯=⎪⎝⎭，故24962472a a-=-=.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99，则判断框中可以填（）A．1S≥B．2S>C．lg99S>D．lg98S≥【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，1i=，lg2S=；第二次，2i =，3lg 2lg lg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=， …；第九十八次，98i =，99lg98lglg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99.此时299S lg =>.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 4．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30°的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．2【答案】B【解析】【分析】 先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可.【详解】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒，所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD ==又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以326BC ==所以AB ===故选：B.【点睛】 本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 5．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】C【解析】【分析】解出集合A ，再由含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个可得答案.【详解】 解：由|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，得{}|30{2,1,0}A x Z x =∈-<≤=-- 所以集合A 的真子集个数为3217-=个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个，属于基础题.6．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2T x x -=可判断④. 【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( )A ．9B ．12C ．15-D ．18-【答案】A【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】 设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.8．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛⎝⎦ B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛⎝⎦ D ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率5e ==，所以0,5e ⎛∈ ⎝⎦. 故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.9．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ）A ．35B ．45-C ．45D ．35- 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】 解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5f θ=-， 所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D【点睛】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．10．函数()f x = ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 【答案】A【解析】【分析】 根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥.因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.11．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，计算可得；【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有42115-=（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，属于基础题． 12．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】 由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ， 又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。