§3 解三角形的实际应用举例(北师大必修五)
2.3解三角形的实际应用举例 教案(北师大版必修五)
B．c和b
C．c和β
D．b和α
【解析】由于不能过河测量，故c不能测出，排除A、B、C，在Rt△ACB中，a＝btanα，故较适宜的一组数据为b与α.
【答案】D
3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛与B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛与C岛之间的距离为________nmile.
隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(视A、B、C、D四点在同一平面内)．求两目标A、B之间的距离．
图2－3－1
【解】在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝，∴AD＝3.
2．测量角度问题，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图．
图2－3－4
如图2－3－4所示，一缉私艇在A处发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船C正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．
图2－3－2
【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝＝s.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·tan∠ACB＝s·tan 30°＝s.
因此塔高为s.
测量角度问题
图2－3－3
如图2－3－3所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
高中数学 必修五 解三角形应用举例(三)-角度及面积
2
2
例7. 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S
(精确到0.1cm²)
（4）已知 a 2,b 6, A 45 ；
解：由正弦定理可得sin B bsin A 6 sin 45 3
a
2
2
b a B 60 或B 120
（1）若B 60 ，则C 180 45 60 75
S=15，求角A的大小。
解： ABC的面积为S 1 ab sinC 30sinC 15
sin C 1
2
2
∵a>c ， ∴∠C为锐角，故C=30o
B 180 C A 150 A
sin A cos B cos(150 A) 3 cos A 1 sin A
2
2
整理得 tan A 3
54.0sin137 113.15
0.3255,
ABC 137o 90o
故∠CAB≈19.0°,
∴75°-∠CAB=56.0°. 答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，
需要航行113.15n mile.
变题：如图，甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60 方向的 B 处，且乙船正在向正北方向行驶，如果甲船的速度是乙船的
解：（2） b c sin B sin C
c b sin C 3.16 sin 65.8 3.24(cm)
sin B
sin 62.7
又 A 180 (62.7 65.8 ) 51.5
S bc sin A 1 3.163.24sin 51.5 4.0(cm2). 2
例7. 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S (精确到0.1cm²) （1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°； （2）已知B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm； （3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.
北师大版高中数学必修五§3 解三角形的实际应用举例
§3 解三角形的实际应用举例双基达标(限时20分钟)1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )．A．10kmB．103kmC．105kmD．107km解析由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos120°＝700.∴AC＝107(km)．答案 D2．D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从D 、C 两点测得A 点仰角分别是α、β(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )． A.a sin αsin βsin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin αcos βsin (β－α) D.a cos αsin βcos (α－β)解析 由已知得∠DAC ＝β－α，由正弦定理AC sin α＝DC sin (β－α)，∴AC ＝a sin αsin (β－α).在Rt △ABC中，AB ＝AC ·sin β＝a sin αsin βsin (β－α). 答案 A 3．如右图所示，D ，C ，B 在同一地平面的同一直线上，DC ＝10m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB 等于( )．A ．10mB ．53mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1)m解析 在△ADC 中，AD ＝10·sin 135°sin 15°＝10(3＋1)(m)． 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ·sin30°＝5(3＋1)(m)．答案 D4．测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，使AB ＝120m ，从A ，B 望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，则河宽为________m.解析 ∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA＝180°－30°－75°＝75°，∴AC ＝AB ＝120m.∴河宽CD ＝12AC ＝60m. 答案 605．海岸边有一炮台高30m ，海中有两小船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两小船与炮台底部连线成30°角，则两小船相距________．解析 如图，设CD 为炮台，A ，B 为两小船，由题意CD ＝30m ，∠CBD ＝45°，∠CAD ＝30°，∠ACB ＝30°，在Rt △ACD 中，AC ＝30tan60°＝303(m)，同理BC ＝30tan45°＝30(m)，在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(303)2＋302－2×30 3×30cos30°＝900，∴AB ＝30(m)．答案 30m6．如图所示，客轮以速度2v 由A 至B 再到C 匀速航行；货轮从AC的中点D 出发，以速度v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝50海里．若两船同时起航，则两船相遇之处距C 点多少海里？解 设两船相遇之处距C 点x 海里，由题意可知，CD ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝252(海里)， 则100－x 2v ＝(252)2＋x 2－2×252x cos 45°v， 解得x 2＝5 0003，∴x ≈40.8(海里)． 所以，两船相遇之处距C 点40.8海里．综合提高（限时25分钟）7．有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长表( )．A ．5mB ．10mC ．102mD ．103m解析 如下图所示，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.依题意，∠AB ′B ＝30°， ∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m.在△ABB ′中，根据正弦定理得，BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)， 即当坡底伸长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案 C8．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )．A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km解析 如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°，∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝3a (km)．答案 B9．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10nmile ，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是_____nmile.解析 在△ABC 中，由正弦定理可得BCsin A ＝ABsin C ，即BC ＝AB sin A sin C＝10sin 60°sin (180°－60°－75°) ＝5 6.答案 5 610．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为________．解析 如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m ，依据正弦定理可得2sin 60°＝x sin (120°－α)， 所以x ＝43·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案 30°11．如图所示，在高出地面30m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度．解 设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则tan α＝3060＝12， 又∠DAB ＝45°＋α，tan ∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060， 又tan(α＋45°)＝tan 45°＋tan α1－tan α＝3 ∴x ＋3060＝3，∴x ＝150m ，即电视塔的高度为150m.12．(创新拓展)在南海伏季渔期中，我渔政船在A 处观测到一外国偷渔船在我船北偏东60°的方向，相距a 海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的3倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？解 如图所示，设渔船沿B 点向北行驶的速度大小为v ，则我船行驶的速度大小为3v ，两船相遇的时间为t ，则BC ＝vt ，AC ＝3vt ，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋vat ，∴2v 2t 2－vat －a 2＝0.解得t 1＝a v ，t 2＝－a2v(舍去)．∴BC ＝a ，∴∠CAB ＝30°. 即我船应沿北偏东30°的方向去追赶渔船，在渔船行驶a 海里处相遇．。
高中数学 第二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第1课时 距离和高度问题练习(含解析)北师大
距离和高度问题A 级 基础巩固一、选择题1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是(D )A ．103海里B ．106海里C ．52海里D ．56海里[解析]如图，由正弦定理得 BCsin60°＝10sin45°，∴BC ＝5 6.2．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( D )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m[解析] 在△ABC 中，已知可得BC ＝AC ＝4，∠C ＝180°－30°×2＝120°，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝42＋42－2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝48，∴AB ＝43(m)．3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( A )A ．(30＋303)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋153)m[解析] 由正弦定理可得60sin45°－30°＝PBsin30°，PB ＝60×12sin15°＝30sin15°.h ＝PB ·sin45°＝30sin15°·sin45°＝(30＋303)(m)．4．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( B )A ．a (km)B ．3a (km)C ．2a (km)D ．2a (km)[解析]在△ABC 中，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°. ∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2×(－12)＝3a 2，∴AB ＝3a (km)．6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( A )A ．4003米B ．40033米C ．20033米D ．2003米[解析] 解法一：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°，∴BC ＝200tan30°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.∴CD ＝AB －AM ＝4003.解法二：如图AB 为山高，CD 为塔高． 在△ABC 中，AC ＝ABsin60°＝40033， 在△ACD 中，∠CAD ＝30°，∠ADC ＝120°. 由正弦定理CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC .∴CD ＝40033×1232＝4003(米)．二、填空题7．一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝1063cm.[解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°，由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063.8．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为50 2 m.[解析] 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°， 所以∠ABC ＝30°， 根据正弦定理可知：AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB ＝50 2 m.三、解答题9．海面上相距10海里的A 、B 两船，B 船在A 船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C 岛，C 岛在B 船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C 岛，经测算，A 船行驶了107海里，求B 船的速度．[解析] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝107，∠ABC ＝120°由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos120°即700＝100＋BC 2＋10BC ，∴BC ＝20，设B 船速度为v ，则有v ＝2043＝15(海里/小时)．即B 船的速度为15海里/小时．10．在某某世博会期间，小明在中国馆门口A 处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B 处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1 m)．[解析] 由题意画出示意图(AA ′表示小明的身高)．∵AB ＝200，∠CA ′B ′＝45°，∠CB ′D ′＝60°， ∴在△A ′B ′C 中，A ′B ′sin ∠A ′CB ′＝B ′Csin45°，∴B ′C ＝A ′B ′sin45°sin15°＝200×226－24＝200(3＋1)．在Rt △CD ′B ′中，CD ′＝B ′C ·sin60°＝100(3＋3)，∴CD ＝1.8＋100(3＋3)≈475(米)． 答：红灯笼高约475米．B 级 素养提升一、选择题1．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( B )A ．20(2＋6)海里/时B ．20(6－2)海里/时C ．20(6＋3)海里/时D ．20(6－3)海里/时[解析] 设货轮航行30分钟后到达N 处，由题意可知∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°， 则∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°.而MS ＝20， 在△MNS 中，由正弦定理得MN sin30°＝MSsin105°，∴MN ＝20sin30°sin105°＝10sin 60°＋45°＝10sin60°cos45°＋cos45°sin45°＝106＋24＝10(6－2)．∴货轮的速度为10(6－2)÷12＝20(6－2)(海里/时)．2．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( D )A ．500 2 mB ．200 mC ．1 000 2 mD ．1 000 m[解析] ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°sin30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin45°＝1 0002×22＝1 000(m)． 3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A ．5 n mlieB ．5 3 n mlieC ．10 n mlieD ．10 3 n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦某某岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( D )A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米[解析] 由题意画出示意图，设高AB ＝h ， 在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD 得3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500(米)．二、填空题5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A 、B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A 、B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是4033米．[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC ＝45°－30°＝15°，∠DAC ＝60°－30°＝30°. ∴∠BAC ＝150°，∠ACB ＝15°，∴AC ＝AB ＝40米，∠ADC ＝120°，∠ACD ＝30°， 在△ACD 中，由正弦定理，得CD ＝sin ∠CAD sin ∠ADC ·AC ＝sin30°sin120°·40＝4033.6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时，测量公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD 等于5(2－3)km.[解析] 在△ABC 中，∠A ＝15°，∠ACB ＝30°－15°＝15°， 所以BC ＝AB ＝5.又CD ＝BC ·tan∠DBC ＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－3)．三、解答题7．(2018·全国卷Ⅰ理，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.8．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？[解析] 由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千米后到达B 处，在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21.由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin120°cos C －cos120°sin C ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理得MC ＝AC ·sin∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35，从而MB ＝MC －BC ＝15.即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站．。
3解三角形的实际应用举例(北师大必修五)
2.方向角: 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通 常表达成：正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏 东××度，南偏西××度.
解决有关测量、航海等问题时，一定要搞清题 中有关术语的准确含义.
【例2】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+ ）3海 里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出 求救信号，位于B点南偏西 60°且与B点相距 20 3海里 的C点的救援船立即前往营 救，其航行速度为30海里/小 时，该救援船到达D点需要多长时间？
答：经过约1.1小时后，甲、乙两船相距最近. ………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见错误
不能正确的 用时间x表 示出CD
错误原因 对题意理解不清，不能正确理解方向角的含 义，不会利用余弦定理表示出两船之间的距 离，对于这类问题要养成利用数形结合解题 的习惯.
课堂训练：
1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上 种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这 种草皮至少要( )
（A）5 000米
（B） 5 000 米2
（C）4 000米
（D） 4 000 米2
【解析】选A.作出示意图如图，∠A=30°,∠DBC=60°,AB=10
000.
∴∠BCD=30°,∴BC=10 000,BD=5 000（米）.
4.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮
的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮
又因为sin∠BAC＝ BCsin120 15 3 5 3，
AB
21 2 14
5.解三角形应用举例(3)
1.2应用举例（3）教材分析：本节知识是必修五第一章《解三角形》的第二节内容，本节主要是正弦定理、余弦定理的进一步应用，利用正弦定理、余弦定理解决高度、距离、角度以及三角形的综合应用.课时分配：本节内容用四课时完成，由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解. 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度、距离、角度问题，这是前三课时的内容. 第四课时主要应用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，会求证简单的证明题.教学目标：重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系.难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.知识点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.能力点：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.教育点：在教学过程中激发学生的探索精神.自主探究点：正弦定理、余弦定理的选择.考试点：运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.易错点：化简关系式，诱导公式及三角函数的定义掌握不好.易混点：数学模型的解与实际问题的意义还原.拓展点：纠正实际操作中的错误教具准备：多媒体计算机，直尺等一、引入新课：提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题. 然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题.二、探究新知:[范例讲解]例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB. 解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222 =︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722 ≈113.15 根据正弦定理,CAB BC ∠sin = ABCAC ∠sin sin ∠CAB = ACABC BC ∠sin = 15.113137sin 0.54︒≈0.3255, 所以 ∠CAB =19.0︒, 75︒- ∠CAB =56.0︒答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高.师：请大家根据题意画出方位图. 生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评. 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD 中， AC=BC=30， AD=DC=103，∠ADC =180︒-4θ， ∴θ2sin 310=)4180sin(30θ-︒. 因为 sin4θ=2sin2θcos2θ∴c os2θ=23,得 2θ=30︒ ∴θ=15︒， ∴在Rt ∆ADE 中，AE=ADsin60︒=15答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h 在 Rt ∆ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302 在 Rt ∆ADE 中,x 2+h 2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15∴在 Rt ∆ACE 中,tan2θ=xh +310=33∴2θ=30︒,θ=15︒答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得∠BAC=θ， ∠CAD=2θ，AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt ∆ACE 中，sin2θ=30x--------- ① 在Rt ∆ADE 中，sin4θ=3104, --------- ②②÷① 得 cos2θ=23,2θ=30︒,,sin .AE AD θ︒=15=60=15o 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量. 解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ACB=︒75+︒45=︒120∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120 ∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23,或x=-169(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =2115⨯23=1435 ∴∠BAC =3831'︒,或∠BAC =14174'︒（钝角不合题意，舍去）， ∴3831'︒+︒45=8331'︒答：巡逻艇应该沿北偏东︒'8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船. 评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、理解新知：1.与三角形有关问题经常用到：正弦定理、余弦定理、内角和定理，边角关系等定理.2.解应用题的一般思路：（1）审题：理解问题的实际背景，分清已知与所求； （2）建模：抓住主要元素构造出一个或多个三角形； （3）计算：选择正弦定理或余弦定理解三角形；（4）还原：将三角形的解还原为实际定义，注意实际问题与抽象的数学问题在单位及近似计算上的差异.3.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.四、运用新知：课堂练习：课本P16 练习3.3 m 长的斜棒靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2 m 地面上，另一端在沿堤上2.8 m 的地方，求堤对地面的倾斜角α（精确到1°）.[设计意图] 为巩固所学的余弦定理的进一步应用,熟悉余弦定理之外，还能够利用计算器进行较复杂的运算，增强解斜三角形的能力.五、课堂小结：教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：知识：正余弦定理的进一步应用. 思想方法：方程思想，数形结合思想. 教师总结：解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.[设计意图] 加强对学生学习方法的指导，教会学生学会学习．六、布置作业：1. 阅读课本P15—P16.2. 书面作业：课本第20页，第9、10题3. 选作作业：我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？[设计意图]复习并掌握余弦定理的内容，并能运用正、余弦定理解决有关角度计算的实际问题. 选作作业是对正、余弦定理的进一步运用，考察学生综合运用正、余弦定理的能力.七、教后反思:1.本教案的亮点是一题多解.让学生尝试用多种方法解决实际问题，一题多解开阔思路．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在正、余弦定理的灵活运用上下足功夫.3.本节课的弱项是由于数据的特殊性，需要用计算器进行某些计算，降低了学生的动手计算能力. 强项是由于内容仅涉及角度的计算，对于学生的思维过程，教师可以及时的进行点评和总结，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计:。
新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排
新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排必修1（36节）第一章集合（5）§1 集合的含义与表示 1 §2 集合的基本关系1§3 集合的基本运算 2 阅读材料康托与集合论小结与复习1第二章函数（9）§1 生活中的变量关系1 §2 对函数的进一步认识3§3 函数的单调性 1 §4 二次函数性质的再研究2§5 简单的幂函数 1 阅读材料函数概念的发展小结与复习1第三章指数函数和对数函数（14）§1 正整数指数函数 1 §2 指数概念的扩充3§3 指数函数 3 §4 对数 2§5 对数函数3§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1第四章函数应用7§1 函数与方程 2 §2 实际问题的函数建模4小结与复习1必修2（36）第一章立体几何初步（18节）§1 简单几何体 1 §2 直观图 1§3 三视图 3 §4 空间图形的基本关系与公理 2§5 平行关系 3 §6 垂直关系 4§7 简单几何体的面积和体积2第二章解析几何初步（18节）§1 直线与直线的方程8 §2 圆与圆的方程 5§3 空间直角坐标系3必修3全书目录第一章统计（16）§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法第二章算法初步（12）§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句第三章概率（8）§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用必修4第一章三角函数（16）§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章平面向量（12）§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形（8）§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用必修5第一章数列（12）§1数列1.1数列的概念 1.2数列的函数特性§2等差数列2.1等差数列 2.2等差数列的前ｎ项和§3等比数列3.1等比数列 3.2等比数列的前ｎ项和§4书雷在日常经济生活中的应用第二章解三角形（8）§1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理 1.2余弦定理§2三角形中的几何计算§3解三角形的实际应用举例第三章不等式（16）§1不等关系——2 1.1不等关系 1.2比较大小§2一元二次不等式——52.1一元二次不等式的解法 2.2一元二次不等式的应用§3基本不等式——— 33.1基本不等式 3.2基本不等式与最大（小）值§4简单线性规划——54.1二元一次不等式（组）与平面区域4.2简单线性规划 4.3简单线性规划的应用。
北师大版高中数学课本目录大全(必修)
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。
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二、测量高度问题 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯 角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何的知识， 先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以 解决.
2.俯角和仰角的概念：
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目
标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯
角（如图）.
【例1】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ ，沿BE方 向前进30 m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ ，再继续前进 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ ，求θ 的大小和建筑物AE的高. 10 3
∴CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos60° =（8x）2+（20-10x）2-2·8x·（20-10x）· =244x2-560x+400
（ = 244 x 70 2 4 800 ） 61 61 1 2
∵当CD2取得最小值时，CD取得最小值.
70 ∴当x= 61≈1.1小时时，CD取得最小值，„„„„„ 10分
答：经过约1.1小时后，甲、乙两船相距最近. „„„12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 常见错误 不能正确的 用时间x表 离，对于这类问题要养成利用数形结合解题 示出CD 的习惯. 错误原因 对题意理解不清，不能正确理解方向角的含 义，不会利用余弦定理表示出两船之间的距
课堂训练：
（A）5 000米 （C）4 000米
（B） 5 000 米 2 （D） 4 000 米 2
【解析】选A.作出示意图如图，∠A=30°,∠DBC=60°,AB=10 000. ∴∠BCD=30°,∴BC=10 000,BD=5 000（米）.
4.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮 的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮 按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯 塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( （A）20（ （B）20（ （C）20（ （D）20（ ）海里/小时
10 6 2） （ 20 6 2海里/小时. （ ） ∴v= 1 2
5．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔
M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔
在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______km.
【解析】如图，依题意有 AB=15×4=60， ∠MAB=30°，∠AMB=45°， 在△AMB中，
所以BC=10x=15,AB=14x=21, 又因为sin∠BAC＝
BCsin120 15 3 5 3 ， AB 21 2 14
∴∠BAC =38°13′或∠BAC =141°47′（钝角不合题意，舍 去）， ∴38°13′+45°=83°13′. 答：巡逻艇应该沿着北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时 可追上走私船.
1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上
种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这
种草皮至少要( )
（A）450a元
（C）150a元
（B）225a元
（D）300a元
1 【解析】选C.S= 2 ×20×30sin150°=150，∴购买这种草皮
至少要150a元.
2.某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成
【例3】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘 走私船，正沿南偏东75°以 10海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻 艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 【审题指导】由题意可知∠ACB的大小，根据巡逻艇和走私船 的速度，可用时间表示出AB、BC,再利用正、余弦定理即可解 决.
【规范解答】如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追 上走私船，则CB=10x, AB=14x, AC=9,∠ACB=75°+45°=120°， ∴(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120° 化简得32x2-30x-27=0，
3 9 (舍去)， 即x= 2或x= 16
10 3 30 ∴由正弦定理得 sin2 sin(180 4) .
因为sin4θ=2sin2θcos2θ ∴cos2θ=
3 2 ,得2θ=30°，
∴θ=15°， ∴在Rt△ADE中，AE=ADsin60°=15. 答：所求角θ为15°，建筑物高度为15 m.
方法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
距离或角度,则需测量方向角.
测量高度问题
1.测量高度问题的方法: （1）测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依 条件结合正弦定理和余弦定理来解．解决测量高度的问题时，常
出现仰角与俯角的问题，要搞清它们的区别及联系．
（2）测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直
角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．
【例】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种
测量A、B两点间距离的方法.
【审题指导】问题研究的是两个不可到达的点之间的距离测量
问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦
定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方
法分别求出AC和BC，再利用余弦定理计算出AB的长度.
问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
【审题指导】用时间x和速度分别表示甲、乙两船航行的距离，
用余弦定理可得到关于两船之间距离的函数，再利用函数思想
求最值. 【规范解答】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C，D两 点„„„„„„„„„„„„„„„„2分 则AC=8x,AD=AB-BD=20-10x „„„„„„„„„„„„„„„„„4分
6 2）海里/小时
6 2）海里/小时
)
6 3 ）海里/小时 6 3
【解析】选B.由题意知
SM=20,∠SNM=60°+45°=105°,∠NMS=45°,
MN 20 . ∴∠MSN=30°,∴ sin30 sin105 10 10 6 2） （ . ∴MN= sin105
60 BM 由正弦定理得 sin45 sin30 ，
解得BM= 30 2(km)． 答案： 30 2
6.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西
75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N
处，求这只船的航行速度.
【解析】如图所示，在△PMN中，由正弦定理得
PM MN sin45 sin120
=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105°. 又sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45°
2 1 3 2 = 2 2 2 2 2 6 . 4
在△ABD中，由正弦定理得：
BD AB sinDAB sinADB
AB DAB （3 3） sin 5 sin45 sinADB sin105 2 （3 3） 5 3 2 10 （1 3） 10 3. 2 6 1 3 4 在△DBC中，BC= 20 3 ，∠DBC=60°，
68 3 34 6, ∴MN= 2 MN 17 6 ∴v= 4 2 （海里/时） 17 6 答：这只船的航行速度为 2 海里/时.
解三角形实际应用问题的思路
三、测量角度问题 1.测量角度，首先应明确方向角的含义. 2.解决与角度有关的问题，可以转化为求角的函数值问题，如 果是用余弦定理求得角的余弦，则该角容易确定，如果用正弦 定理求得该角的正弦,就需要讨论解的情况.
在实际问题中,一般测量哪些角度？
提示：一般情况下,若测量高度,则需测量仰角或俯角;若测量
【审题指导】本题可利用三角形的外角与其两不相邻内角的关
系定理,寻找BC、AC及CD、AD之间的关系，再利用正弦定理和直角三ຫໍສະໝຸດ 形的知识求解;也可利用方程思想求解.
【规范解答】方法一：（用正弦定理求解）由已知可得， 在△ABC中，AC=BC=30，
3 在△ACD中，AD=DC= 10 ，
∠ADC =180°-4θ，
倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加
长(
)
(B) 100 3 m
(A) 100 2 m
(C) 50( 2 6)m
(D)200 m
2 2 100 2, 故选A.
【解析】选A.在△ABD中，∠BAD＝45°，
AD BAD sin BD＝ sinABD 100 1 2
3.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前方地面目标C的俯角为 30°，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角 为60°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )
∴BD=
CD2=300＋1
1 10 3 20 3 =900⇒CD=30，t= 200-2× 2
30 30
=1（小时）． 答：救援船到达D点需要1小时.
测量角度问题 测量角度问题：在利用正弦定理、余弦定理 解决航海问题中的综合应用题时.要根据实际，找出等量关系， 在画示意图时，要注意方向角的画法.
【规范解答】测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=
a，并且在C、D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=
γ，∠BDA =δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
asin( ) asin( ) ， AC= sin［ ）］ sin( ) 180 （ asin asin BC= sin［ ）］ sin( ) 180 （
）海 3
里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出 求救信号，位于B点南偏西 60°且与B点相距 20 3 海里 的C点的救援船立即前往营 救，其航行速度为30海里/小