【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：6.3 等比数列

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湘教版高考总复习一轮数学精品课件第6章数列第3节等比数列

a9= -√6 .
解析根据等比数列的性质得 a5a13=92 =6,所以 a9=±√6.又
a1+a17=a1(1+q16)=-6<0,所以 a1<0,所以 a9=a1q8<0,所以 a9=-√6.
考向2前n项和的性质
例4(1)(2023·新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,
考向1项的性质
例3(1)(2023·全国乙,理15)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则
a7= -2
.
解析 (方法一)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
1 = 1,
1 ·1 3 ·1 4 = 1 2 ·1 5 ,
题组三连线高考
8.(2023·全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若
a1=1,S5=5S3-4,则S4=( C )
15
A. 8
65
B. 8
C.15
D.30
解析设等比数列{an}的公比为 q,易知 q>0,且
51 (1-3 )
1-5
-4,又 a1=1,所以
1-
1-
S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),
解得S6=7.故选A.
2 研考点精准突破
考点一等比数列基本量的运算
例1(1)(2022·全国乙,理8,文10)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,
设
1
1
1
1
n
cn=an-n+2+3 ,由本例(2)解析知 an=2 +n-2,∴cn=2+3n,

2025年高考数学一轮复习课件第六章数列-6.3等比数列

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3.设正项等比数列{ }满足4 − 3 = 36，2 = 6，则1 =(
C.2
√
1
2
A.3
B.
)
1
3
D.
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
2
2
则4 − 3 = 2 − 2 = 36，即6 − 6 = 36，解得 = 3.则1 =
2

6
3
否则可能漏解或增解.
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变式1（1）（2023年全国甲卷）已知正项等比数列{ }中，1 = 1, 为{ }的前项
和，5 = 53 − 4，则4 =(
A.
15
8
65
8
2 + 3
B.
解：由题意,知1 + +
)
C.15
√
D.40
+ 4 = 5 1 + + 2 − 4,即 3 + 2 − 4 − 4 = 0,即
解：设等比数列{ }的公比为， > 0.
1 + 2 + 3 = 14 ⇒ 1 + 1 + 1 2 = 14①.
又5 = 33 + 41 ，所以1 4 = 31 2 + 41 ②.
由①②,解得 = 2，1 = 2.则 = 1 −1 = 2 .
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2.重要关系
（1）若{ }是各项均为正数的等比数列，则{log }( > 0且 ≠ 1)必为等差数
列;若{ }为等差数列，则{ }( > 0且 ≠ 1)必为等比数列.
（2）若 = + ≠ 0, ≠ 0,1 ，则{ }是等比数列⇔ + = 0.

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第6章 §6.3 等比数列

2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第六章　数　列§6.3　等比数列考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q (q ≠0)表示.(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ .2同一个公比a ，G ，b ab2.等比数列的通项公式及前n项和公式a1q n－1(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝.(2)等比数列通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝________＝ .3.等比数列性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2w ＝m ＋n ，则，其中m ，n ，w ∈N *.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 (k ，m ∈N *).a m a n ＝a p a q q mS2n－S n S3n－S2n(4)等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，，仍成等比数列，其公比为q n.(n为偶数且q＝－1除外)增减常用结论1.等比数列{a n}的通项公式可以写成a n＝cq n，这里c≠0，q≠0.2.等比数列{a n}的前n项和S n可以写成S n＝Aq n－A(A≠0，q≠1,0).3.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(2)当公比q >1时，等比数列{a n }为递增数列.( )(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( )√×××1.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的A.充分不必要条件√B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.2.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6等于√A.31B.32C.63D.64根据题意知，等比数列{a n}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数1,3,9或9,3,1为____________.∴这三个数为1,3,9或9,3,1.第二部分例1　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于√A.14B.12C.6D.3方法一　设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1.所以a6＝a1q5＝3，故选D.方法二　设等比数列{a n}的公比为q，所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一√设第一个音的频率为a ，相邻两个音之间的频率之比为q ，那么a n ＝aq n －1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a 13＝2a ＝aq 12，即q ＝，1122思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.跟踪训练1　(1)设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于√A.2B.3C.4D.5∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是A.插入的第8个数为B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍C.M>3√D.N<7设该等比数列为{a n}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，112112-要证M >3，即证－1－ >3，112112-112121-即证 >4，1122N ＝M ＋3.1122112121 所以 >5，所以－1－ >4，即M >4，112112 所以N ＝M ＋3>7，故D 错误.例2　已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等比数列；②数列{S n＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.选①②作为条件证明③：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，解得q＝2，所以a2＝2a1.选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{a n}是等比数列，所以公比q＝2，选②③作为条件证明①：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，所以{a n}为等比数列.思维升华(3)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n}是等比数列.跟踪训练2　在数列{a n}中，＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；所以(a n＋1＋1)2＝(a n＋1)(a n＋2＋1)，因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以数列{a n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.(2)求数列{a n}的前n项和S n.由(1)知，a n＋1＝3·2n－1，所以a n＝3·2n－1－1，√∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，又数列{a n}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，(2)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a1124＋a12的最小值为______.由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，当且仅当S4＝6时等号成立.综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.跟踪训练3　(1)(2023·六安模拟)在等比数列{a n}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于√A.40B.36C.54D.81在等比数列{a n}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，(2)等比数列{a n}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于√A.1B.2C.3D.4∵a n＝192，√∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，第三部分1.(2023·岳阳模拟)已知等比数列{a n}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于√A.1B.－1C.3D.－3设a n＝a1q n－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，2.数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k等于√A.2B.3C.4D.5令m＝1，则由a m＋n＝a m a n，得a n＋1＝a1a n，所以a n＝2n，所以a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝2k (a1＋a2＋…＋a10)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.3.若等比数列{a n}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于√。

【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：6.4 数列求和

��(��+1)(2��+1) ; 6 ��(��+1) 2 3 3 3 3 ( 1 +2 +3 +…+n = 2 5) .
3.数列求和的常用方法 ( 分组求和: 1) 把一个数列分成几个可以直接求和的数列. ( 裂项相消: 2) 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式, 通过相加过程消去中间项, 只剩有限项再求和.裂项相消又叫裂项法. ( 错位相减: 3) 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. ( 倒序相加: 4) 例如, 等差数列前 n 项和公式的推导.
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3.已知等比数列{an}的首项为 a1= , 公比 q 满足 q>0 且 q≠1.又已知 a1, 3, 5 成等差数列. 5a 9a ( 求数列{an}的通项; 1)
1 1
1 3
( 令 bn=log3�� , �� + �� +…+�� 的值. 2) 求 �� +1 1 2 2 3 【解】 ( ∵ 1) 2×5a3=a1+9a5, ∴ 1q2=a1+9a1q4. 10a 故 9q4-10q2+1=0. ∵ q>0 且 q≠1, q=3. ∴ 故 an=a1qn-1=3-n.
+…+ ��
10 11
+
=10. 故 t=5.
目录退出
T 题型三裂(拆)项法求和
例 3 在数列{an}中, n=��+1 + ��+1+…+��+1, bn=�� a 又

2014高三数学一轮复习课件--数列

任一项an 与它如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
[小题能否全取]
2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列 1，，，， „的一个通项公式 3 5 7 9 是 ( )
n A．an＝ 2n＋1 n C．an＝ 2n－3
解析：
B．递减数列
D．摆动数列
n＋1 n an ＋ 1 － an ＝－＝ n＋2 n＋1
n＋12－nn＋2 1 ＝ >0. n＋1n＋2 n＋1n＋2
答案：A
4 ． ( 教材习题改编 )已知数列 {an} 的通项公式是 an ＝
2·n－1n为偶数， 3 2n－5n为奇数，
(1)3,5,7,9，„；
1 3 7 15 31 (2) ，，，，，„； 2 4 8 16 32
(3)3,33,333,3 333，„； 3 1 3 1 3 (4)－1，，－，，－，，„. 2 3 4 5 6
解：(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1.
(2) 每一项的分子比分母少 1 ，而分母组成数列 2n－1 21,22,23,24，„，所以 an＝ n . 2 9 99 999 9999 (3)将数列各项改写为，，，，„，分母都是 3 3 3 3
(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？
[自主解答]
(1)因为 an ＝n
2
21 2 －21n＋20＝ n－－ 2
361 21 ，可知对称轴方程为 n＝＝10.5.又因 n∈N*，故 n＝ 4 2 10 或 n＝11 时，an 有最小值，其最小值为 112－21×11＋20 ＝－90.

[数学]2014届高三数学文一轮总复习等比数列ppt课件

(2)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于( ) (A)80 (B)30 (C)26 (D)16 解析:(1)根据等比数列的性质,a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=a1a10,∴ a2a3a4a5a6a7a8a9=(a1a10)4=34=81,故选 A.
∴
1
=
1
n
1
,
an 2
∴
1 an
的前
5
项和为
1
1
1
5
2 31 .
1 1
16
2
故选 B.
4.(2012 年高考新课标全国卷)等比数列{an}的
前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=
.
解析:由 S3+3S2=0 得 4a1+4a2+a3=0, 有 4+4q+q2=0,解得 q=-2.
22 解:当 q=1
时,a1=a2=a3= 3 ,S3=3× 3 = 9 ,符合题
2
22
意,此时 an= 3 ,Sn= 3 n. 22
当 q≠1 时,由已知得
a1q2
3 2
,
a1
(1
q3)
9
,
1 q 2
即
a1q
2
3， 2
①
a（11 q q2）
9， 2
②
由①②两式相除得 2q2-q-1=0,
等比数列的基本运算
【例 1】 (2013 温州十校联考)已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn,点(an+2,Sn+1)在直线 y=4x-5 上,其中 n∈N*.令 bn=an+1-2an,且 a1=1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.

2014届高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教学案理新人教A版

6.3 等比数列及其前n 项和考纲要求1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1，，q ≠1(1)在等比数列中，假设m ＋n ＝p ＋q ，那么a m ·a n ＝__________(m ，n ，p ，q ∈N *)． (2)间隔相同的项，如a 1，a 3，a 5，…仍为等比数列，且公比为__________．(3)等比数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，那么S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为__________．(4)单调性假设⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1⇔{a n }__________．假设⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，q >1⇔{a n }__________．q ＝1⇔{a n }为常数列，q ＜0⇔{a n }为摆动数列．1．在等比数列{a n }中，假设a 5＝4，那么a 2a 8等于( )．A ．4B ．8C ．16D ．32 2．在等比数列{a n }中，假设a 4＝8，q ＝－2，那么a 7的值为( )． A ．－64 B ．64 C ．－48 D ．48 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，那么S 5S 2＝( )．A ．－11B ．－8C ．5D ．114．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，那么S n ＝__________.一、等比数列的判定与证明[例1]设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列．方法提炼等比数列的判定方法：(1)定义法：假设a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，那么{a n }是等比数列．(2)中项公式法：假设数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，那么数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：假设数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，那么{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：假设数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，那么{a n }是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)假设要判定一个数列不是等比数列，那么只需判定存在连续三项不成等比即可．请做演练巩固提升5二、等比数列的基本运算[例2－1] (2012重庆高考)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝__________. [例2－2] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 方法提炼1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二〞，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．3．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．提醒：数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＝aq n＋b (a ，b ∈R )，{a n }是等比数列，那么a ，b 应满足a ＋b ＝0且a ，b 均不为0.∵由S n ＝aq n＋b ，可知{a n }的公比q ≠1，∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q ·q n＋a 11－q .观察可知a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q ，∴a ＋b ＝0且a 与b 不等于0.请做演练巩固提升1,3三、等比数列的性质及其应用[例3－1] (1)等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值．(2)在等比数列{a n }中，假设a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.[例3－2]方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，求m n的值．方法提炼1．等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2．等比数列的常用性质(1)数列{a n }是等比数列，那么数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列；(2)在等比数列{a n }中，等距离取出假设干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(3)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；(4)假设m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，那么a m ·a n ＝a p ·a q ；(5)假设等比数列{a n }的公比不为－1，前n 项和为S n ，那么S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等比数列．请做演练巩固提升4未注意数列首项的特殊而致误[典例] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．错解：(1)证明：∵b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是等比数列．(2)解：b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N )．正解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列．(2)解：由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1，∴{a n }的通项公式为a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．答题指导：此题难度并不大，属于一道中等难度的题目，但大部分考生都因解题不规范，步骤不完整等原因被扣分，如解(1)题时未说明{b n }的首项和公比．解第(2)题时未对n ＝1的情况进行检验等，因此在解题时一定注意步骤的完整性及逻辑的严谨性．1．(2012大纲全国高考)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，那么S n ＝( )．A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －12．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n ＋1，n ∈N *，假设数列{a n ＋pn ＋q }是等比数列，那么实数p ，q 的值分别等于( )．A ．1,2B ．2,1C ．2,2D ．1,33．设等比数列{a n }的公比q ＝3，前n 项和为S n ，那么S 4a 2等于__________． 4．在正项等比数列{a n }中，假设1a 2a 4＋2a 24＋1a 4a 6＝81，那么1a 3＋1a 5＝__________.5．(2012陕西高考)等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)假设a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．参考答案基础梳理自测知识梳理1．a 1·q n －1na 1 a 1(1－q n )1－q G 2＝ab2．(1)a p ·a q (2)q 2 (3)q n(4)递增递减基础自测1．C 解析：∵{a n }是等比数列且2＋8＝2×5，∴a 2·a 8＝a 52＝16.2．A 解析：依题意得a 7＝a 4q 3＝8×(－2)3＝－64. 应选A.3．A 解析：由8a 2＋a 5＝0， ∴a 5a 2＝－8，即q 3＝－8，q ＝－2.∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝33－3＝－11. 4．2n ＋1－n －2 解析：由得数列的通项a n ＝1×(1－2n)1－2＝2n－1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2×(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－n －2.考点探究突破[例1]证明：(1)由a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2得a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2，①那么当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵b n ＝a n ＋1－2a n . ∴b n ＝2b n －1.∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．[例2－1] 15 解析：由等比数列前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 得，S 4＝1－241－2＝15.[例2－2] 解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n－1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.[例3－1] 解：(1)∵a 3a 11＝a 72＝4a 7，且a 7≠0， ∴a 7＝4.∴b 7＝4. ∵{b n }为等差数列， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41q 6＝1，①a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得，a 14·q 54a 14·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 14·q 166＝a 14·q 6·q 160＝(a 14·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024.[例3－2] 解：设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a＜c ＜d ＜b ，那么a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d＝2，那么m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，那么m n ＝32或m n ＝23.演练巩固提升1．B 解析：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n －1＝2a n (n ≥2)，两式相减得：a n ＝2a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋1a n ＝32. ∴数列{a n }从第2项起为等比数列．又n ＝1时，S 1＝2a 2，∴a 2＝12.∴S n ＝a 1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．A 解析：依题意有a n ＋1＋p (n ＋1)＋q a n ＋pn ＋q＝m 对任意n ∈N *都成立，得a n ＋1＋p (n ＋1)＋q ＝ma n ＋mpn ＋mq ，又a n ＋1＝2a n ＋n ＋1，那么2a n ＋n ＋1＋pn ＋p ＋q ＝ma n ＋mpn ＋mq ，即(2－m )a n ＋(p ＋1－mp )n ＋p ＋1＋q －mq ＝0.由可得a n ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，p ＋1－mp ＝0，p ＋1＋q －mq ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，p ＝1，q ＝2.应选A.3．403 解析：由题意得S 4＝a 1(1－34)1－3＝40a 1，a 2＝3a 1，∴S 4a 2＝403. 4．9 解析：∵a 2a 4＝a 32，a 4a 6＝a 52，a 42＝a 3·a 5，∴1a 2a 4＋2a 42＋1a 4a 6＝1a 32＋2a 3a 5＋1a 52＝81，即⎝⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 52＝81.又a 3＞0，a 5＞0，故1a 3＋1a 5＝9.5．解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －13.(2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．。

推荐-高考数学一轮复习(课标版理科)配套课件第6章-第3节等比数列及其前n项和(58张PPT)

(4)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1，a8＝a6 ＋2a4，则 a6 的值是________．
[解析] (1)利用等比数列的通项公式求解． ∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21. ∴1＋q2＋q4＝7.解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选 B.
[解析] (1)∵数列{an}是等比数列，∴a23＋2a2a6＋a3a7＝ a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝8，故选 A.
(2)由题意可得 a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，解得 a5a6＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝ log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10.
3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am·_q_n－_m___ (n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， a1n，{a2n}，{an·an}，abnn仍是等比数列． (4)公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为_q_n __.
考点三等比数列的判定与证明——互动型
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1 ＋λan，其中 λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝3312，求 λ. [解] (1)证明：由题意得 a1＝S1＝1＋λa1，故 λ≠1，a1 ＝1－ 1 λ，a1≠0. 由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1 得 an＋1＝λan＋1－λan，即 an＋1(λ－1)＝λan.

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【解】 ( 证明: an+Sn=n, 1) ∵ ① ∴ n+1+Sn+1=n+1.② a ②-①, an+1-an+an+1=1, 得即 2an+1=an+1. 于是可得 2( n+1-1) n-1, a =a 即
��+1 -1 �� -1
= .故{an-1}是等比数列.
整理得 nSn+1=2( n+1) n, S 即故
��
是以 2 为公比的等比数列.
��-1 ��+1 ( 由( 知 2) 1) =4· ( n≥2) . ��+1 ��-1 ��-1
于是 Sn+1=4( n+1) ·
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【解】 ( 方法一: 1) 设数列{an}的公比为 q, 由通项公式 an=a1qn-1 及已知条件得: ��6 -��4 = ��1 ��3 (��2 -1) = 24, ① ��3 ·��5 = (��1 ��3 )2 = 64. ② 由②得 a1q3=± 8. 将 a1q3=-8 代入①式, q2=-2, 得无解, 故舍去. 将 a1q3=8 代入①式, q2=4, q=± 得即 2. 当当
1 2
∵ 首项 c1=a1-1, 又 a1+a1=1, ∴ 1=2. a 故
1 c1=- , 公比 2 1 q= . 2 1
又 cn=an-1,
1 1 ∴ n}是以- 为首项, 为公比的等比数列. {c 2 2
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( ∵ 1) 2) 由( 可知 cn= ∴ n=cn+1=1a ∵ n≥2 时, 当 bn=an-an-1=1= 又
��1 (1-��8 ) q=2 时, 1=1, a 此时 S8= =255; 1-�� 1 (1-��8 ) q=-2 时, 1=-1, a 此时 S8= =85. 1-��
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2 方法二: {an}是等比数列, ∵ 由已知条件得��4 =a3·a5=64, ∴ 4=± a6=24+a4=24± a 8, 8.
��
��+2
是等比数列;
( Sn+1=4an. 2)
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【证明】 ( ∵ n+1=Sn+1-Sn, 1) a 又 an+1=
��+2 S, ( ∴n+2) n=n( n+1-Sn) S S . �� n ��+1 �� =2 . ��+1 ��
【答案】 A 【解析】 ∵ 19=a9q10, 20=a10q10, a a ∴ 19+a20=q10( 9+a10) a a . 故 q10=��, 99+a100=a9·q90+a10q90=q90( 9+a10) a a =
9 �� 9 �� ·a=��8. ��
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2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S4=1, 8=17, S 求{an}的通项公式. 【解】方法一: 在等比数列{an}中, S4=1, 8=17, 由 S 可知 q≠1, 因此
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1 1.已知{an}是等比数列, 2=2, 5= , a a 则公比 q 4 1 1 A.B.-2 C.2 D. 2 2
等于(
)
【答案】 D 【解析】 ∵ 3= q
��5 ��2
= , q= . ∴
1 8
1 2
2.若等差数列{an}的公差不为零, 首项 a1=1, 2 是 a1 和 a5 的等比中项, a 则数列{an}的前 10 项之和是( ) A.90 B.100 C.145 D.190 【答案】 B 【解析】设等差数列{an}的公差为 d, 则 2 ( 1+d) =1×( 1+4d) ∵ ∴ , d≠0, d=2. 于是, 10=10+ 2 ×2=100. S
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10×9
3.若等比数列{an}满足 anan+1=16n, 则其公比 q 为( A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】 B 【解析】令 n=1, a1a2=16, 得 ① 令 n=2, a2a3=162.② 得 �� ②÷ 得��3=16, q2=16, ①, 即于是得 q=± 4.
��+1 (1)定义法: �� =q(q 是不为 0 的常数, n∈N*) ⇔{an}是等比数列. ��
��
(2)通项公式法: n=cqn(c, 均是不为 0 的常数, a q n∈N*) ⇔{an}是等比数列. (3)中项公式法: ��+1 =an·n+2(an·n+1·n+2≠0, ��2 a a a n∈N*)⇔{an}是等比数列. (4)前
=
��1 (�� -1) ��-1
=
��1 �� -1
−
��1 . ��-1
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6.等比数列前 n 项和的性质公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn, 2n-Sn, 3n-S2n 则 S S 仍成等比数列, 其公比为 qn.
1
)
又由①知 q>0, 因此 q=4.
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4.在等比数列{an}中, 已知 a9+a10=a( a≠0)a19+a20=b, a99+a100 等于 , 则 ( )
�� A. 8 ��
9
B.
�� 9 ��
�� C. 9 ��
10
D.
�� 10 ��
1-(-2) S5= =11. 1-(-2)
5
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T 题型一等比数列的定义及判定
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 数列{bn} 中, 1=a1, n=an-an-1( b b n≥2)且 an+Sn=n. , ( 设 cn=an-1, 1) 求证: n}是等比数列; {c ( 求数列{bn}的通项公式. 2) ( 由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1=n+1 转化成 an 与 an+1 的 1) 递推关系, 再构造数列{an-1}. ( 由 cn 求 an 再求 bn. 2)
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( 若 q=1, na1=40, 1=3 280, 2) 则 2na 矛盾. 因此 q≠1, 则有
④ , 得 ③ ��1 (1-�� ) 1-��
= 40,
��1 (1-��2�� ) 1-��
③ = 3 280,④
1Байду номын сангаасqn=82, qn=81, 即 ⑤
��
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2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为 a1, 公比为 q, 则它的通项 an=a1·n-1. q 3.等比中项若 G2=a· 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. b, 4.等比数列的常用性质 ( 通项公式的推广: n=am·n-m( m∈N*) 1) a q n, . ( 若{an}为等比数列, k+l=m+n( l, n∈N*)则 ak·l=am·n. 2) 且 k, m, , a a ( 若{an}, n}( 3) {b 项数相同) 是等比数列, 则 {λan}( λ≠0) ,
第 3 讲等比数列
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考纲展示
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系.
考纲解读
1.等比数列中对于等比数列的定义、判定、通项公式和前 n 项和公式的考查是重点和热点. 考查形式类似于等差数列, 考查题型既有基本题, 也有与等差数列、函数、方程、解析几何等知识有关的综合题.在题型上, 坚持小题考性质, 大题考能力. 2.等差数列和等比数列是数列的两个最基本的模型, 因此等差数列、等比数列的综合应用是高考中的热点之一.基本知识以选择题和填空题呈现, 而综合知识则以解答题形式呈现.
��-1
=4an( n≥2) .
又 a2=3S1=3, S2=a1+a2=4. 故因此对于任意正整数 n≥1, 都有 Sn+1=4an.
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T 题型二等比数列的基本量
例 2( 在等比数列{an}中, 1) 已知 a6-a4=24, 3a5=64, a 求{an}的前 8 项和 S8; ( 设等比数列{an}的公比为 q( 2) q>0)它的前 n 项和为 40, 2n 项 , 前和为 3 280, 且前 n 项中数值最大的项为 27, 求数列的第 2n 项. ( 利用已知条件, 1) 建立 a1 和 q 满足的两个方程, 解之可得{an}, 从而可求出 S8. ( 利用前 n 项和公式列出方程组求出 a1 和 q, 2) 使问题得到解决. 需注意的是 Sn 应分 q=1 和 q≠1 两种情况来考虑.